RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 6 सततता तथा अवकलनीयता Exercise 6.2

Question 1. सिद्ध कीजिए कि निम्न फलन x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय है
(i) तत्समक फलन \( f(x) = x \)
(ii) अचर फलन \( f(x) = c \), जहाँ c अचर है।
(iii) \( f(x) = e^x \)
(iv) \( f(x) = \sin x \)
Answer:
(i) दिया है कि \( f(x) = x \), जो कि तत्समक फलन है। यहाँ \( x \in R \) (वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) है। हम मान लेते हैं कि \( a \) कोई वास्तविक संख्या है।
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(a - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(a-h) - a}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (1) \)
\( = 1 \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(a + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(a+h) - a}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (1) \)
\( = 1 \)
चूंकि बायाँ अवकलज और दायाँ अवकलज बराबर हैं (\( f'(a - 0) = f'(a + 0) = 1 \)), इसलिए फलन \( f(x) = x \) x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय है। एक सीधा फलन हमेशा अपनी ढलान के बराबर एक स्थिर अवकलज रखता है।

(ii) दिया है कि अचर फलन \( f(x) = c \), जहाँ c एक स्थिर मान है। फलन \( f(x) \) का प्रांत वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R है। हम मान लेते हैं कि \( a \) कोई वास्तविक संख्या है।
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(a - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{0}{-h} \)
\( = 0 \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(a + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \)
\( = 0 \)
चूंकि बायाँ अवकलज और दायाँ अवकलज बराबर हैं (\( f'(a - 0) = f'(a + 0) = 0 \)), इसलिए फलन \( f(x) = c \) x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय है। एक स्थिर फलन की ढलान हमेशा शून्य होती है।

(iii) दिया है कि फलन \( f(x) = e^x \)। हम मान लेते हैं कि \( a \) कोई वास्तविक संख्या है।
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(a - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{e^{a-h} - e^a}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{e^a(e^{-h} - 1)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} e^a \left( \frac{1-h+\frac{h^2}{2!} - \frac{h^3}{3!} + \dots - 1}{-h} \right) \)
\( = \lim_{h \to 0} e^a \left( \frac{-h+\frac{h^2}{2!} - \frac{h^3}{3!} + \dots}{-h} \right) \)
\( = \lim_{h \to 0} e^a \left( 1 - \frac{h}{2!} + \frac{h^2}{3!} - \dots \right) \)
\( = e^a \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(a + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{e^{a+h} - e^a}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{e^a(e^h - 1)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} e^a \left( \frac{1+h+\frac{h^2}{2!} + \frac{h^3}{3!} + \dots - 1}{h} \right) \)
\( = \lim_{h \to 0} e^a \left( \frac{h+\frac{h^2}{2!} + \frac{h^3}{3!} + \dots}{h} \right) \)
\( = \lim_{h \to 0} e^a \left( 1 + \frac{h}{2!} + \frac{h^2}{3!} + \dots \right) \)
\( = e^a \)
चूंकि बायाँ अवकलज और दायाँ अवकलज बराबर हैं (\( f'(a - 0) = f'(a + 0) = e^a \)), इसलिए फलन \( f(x) = e^x \) x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय है। घातांक फलन की अवकलनीयता एक महत्वपूर्ण गुण है।

(iv) दिया है कि फलन \( f(x) = \sin x \)। हम मान लेते हैं कि \( a \) कोई वास्तविक संख्या है।
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(a - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-h) - f(a)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(a-h) - \sin a}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos \left(\frac{a-h+a}{2}\right) \sin \left(\frac{a-h-a}{2}\right)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos \left(a-\frac{h}{2}\right) \sin \left(-\frac{h}{2}\right)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \cos \left(a-\frac{h}{2}\right) \sin \left(\frac{h}{2}\right)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \cos \left(a-\frac{h}{2}\right) \frac{\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \)
\( = \cos(a-0) \times 1 \)
\( = \cos a \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(a + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(a+h) - \sin a}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos \left(\frac{a+h+a}{2}\right) \sin \left(\frac{a+h-a}{2}\right)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos \left(a+\frac{h}{2}\right) \sin \left(\frac{h}{2}\right)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \cos \left(a+\frac{h}{2}\right) \frac{\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \)
\( = \cos(a+0) \times 1 \)
\( = \cos a \)
चूंकि बायाँ अवकलज और दायाँ अवकलज बराबर हैं (\( f'(a - 0) = f'(a + 0) = \cos a \)), इसलिए फलन \( f(x) = \sin x \) x के प्रत्येक मान के लिए अवकलनीय है। त्रिकोणमितीय फलनों का अवकलन कलन में महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमने दिखाया कि चार अलग-अलग प्रकार के फलन - एक सीधा फलन, एक स्थिर मान, घातांक फलन, और साइन फलन - सभी हर जगह अवकलनीय हैं। इसका मतलब है कि आप इन सभी फलनों के लिए किसी भी बिंदु पर उनकी ढलान (अवकलज) ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: अवकलनीयता सिद्ध करते समय हमेशा बाएँ हाथ का अवकलज (LHD) और दाएँ हाथ का अवकलज (RHD) ज्ञात करें और दिखाएं कि वे बराबर हैं। त्रिकोणमितीय और घातांक श्रृंखला के विस्तार को याद रखना सहायक होता है।

Question 3. फलन \( f(x) = |x - 1| + |x| \), का बिन्दुओं \( x = 0, 1 \) पर अवकलनीयता को परीक्षण कीजिए।
Answer: दिए गए फलन \( f(x) = |x - 1| + |x| \) को हम निम्न प्रकार लिख सकते हैं:
जब \( x < 0 \): \( f(x) = -(x-1) - x = -x+1-x = 1-2x \)
जब \( 0 \le x < 1 \): \( f(x) = -(x-1) + x = -x+1+x = 1 \)
जब \( x \ge 1 \): \( f(x) = (x-1) + x = 2x-1 \)
इसलिए, फलन है:
\( f(x) = \begin{cases} 1-2x, & x < 0 \\ 1, & 0 \le x < 1 \\ 2x-1, & x \ge 1 \end{cases} \)
अब हम \( x = 0 \) और \( x = 1 \) पर अवकलनीयता की जाँच करेंगे।

\( x = 0 \) पर अवकलनीयता के लिए:
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(0 - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} \)
\( f(0) = 1 \) (जब \( 0 \le x < 1 \))
\( f(0-h) = f(-h) = 1-2(-h) = 1+2h \) (जब \( x < 0 \))
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(1+2h) - 1}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (-2) = -2 \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(0 + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} \)
\( f(0) = 1 \)
\( f(0+h) = f(h) = 1 \) (जब \( 0 \le x < 1 \))
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1 - 1}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0 \)
चूंकि \( f'(0 - 0) \neq f'(0 + 0) \) (\( -2 \neq 0 \)), इसलिए फलन \( f(x) \), \( x = 0 \) पर अवकलनीय नहीं है।

\( x = 1 \) पर अवकलनीयता के लिए:
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(1 - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} \)
\( f(1) = 2(1)-1 = 1 \) (जब \( x \ge 1 \))
\( f(1-h) = 1 \) (जब \( 0 \le x < 1 \))
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1 - 1}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{0}{-h} = 0 \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(1 + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \)
\( f(1) = 1 \)
\( f(1+h) = 2(1+h)-1 = 2+2h-1 = 1+2h \) (जब \( x \ge 1 \))
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(1+2h) - 1}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (2) = 2 \)
चूंकि \( f'(1 - 0) \neq f'(1 + 0) \) (\( 0 \neq 2 \)), इसलिए फलन \( f(x) \), \( x = 1 \) पर अवकलनीय नहीं है।
निष्कर्ष: फलन \( f(x) = |x - 1| + |x| \), \( x = 0 \) और \( x = 1 \) दोनों बिन्दुओं पर अवकलनीय नहीं है। एक निरपेक्ष मान फलन अक्सर उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं होता जहाँ उसका तर्क शून्य होता है।
In simple words: इस फलन में, जहां भी निरपेक्ष मान के अंदर का हिस्सा शून्य होता है (जैसे x=0 और x=1 पर), वहां फलन की ढलान अचानक बदल जाती है। क्योंकि ढलान एक जैसी नहीं रहती, फलन इन खास बिंदुओं पर चिकना नहीं होता और इसलिए अवकलनीय नहीं होता।

🎯 Exam Tip: निरपेक्ष मान फलनों की अवकलनीयता का परीक्षण करते समय, पहले फलन को अलग-अलग अंतरालों के लिए परिभाषित करें। फिर उन बिंदुओं पर LHD और RHD की गणना करें जहाँ निरपेक्ष मान के अंदर का व्यंजक शून्य होता है।

Question 4. फलन \( f(x) = |x - 1| + |x - 2| \) के अन्तराल \( [0, 2] \) में अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
Answer: दिए गए फलन \( f(x) = |x - 1| + |x - 2| \) को हम निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं:
जब \( 0 \le x < 1 \): \( f(x) = -(x-1) - (x-2) = -x+1-x+2 = 3-2x \)
जब \( 1 \le x < 2 \): \( f(x) = (x-1) - (x-2) = x-1-x+2 = 1 \)
जब \( x \ge 2 \): \( f(x) = (x-1) + (x-2) = 2x-3 \)
इसलिए, फलन है:
\( f(x) = \begin{cases} 3-2x, & 0 \le x < 1 \\ 1, & 1 \le x < 2 \\ 2x-3, & x \ge 2 \end{cases} \)
हम उन बिन्दुओं पर अवकलनीयता की जाँच करेंगे जहाँ फलन की परिभाषा बदलती है, यानी \( x = 1 \) और \( x = 2 \) पर। प्रश्न के अनुसार, हमें अंतराल \( [0, 2] \) में अवकलनीयता का परीक्षण करना है।

\( x = 1 \) पर अवकलनीयता के लिए:
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(1 - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} \)
\( f(1) = 1 \) (जब \( 1 \le x < 2 \))
\( f(1-h) = 3-2(1-h) = 3-2+2h = 1+2h \) (जब \( 0 \le x < 1 \))
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(1+2h) - 1}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (-2) = -2 \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(1 + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \)
\( f(1) = 1 \)
\( f(1+h) = 1 \) (जब \( 1 \le x < 2 \))
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1 - 1}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0 \)
चूंकि \( f'(1 - 0) \neq f'(1 + 0) \) (\( -2 \neq 0 \)), इसलिए फलन \( f(x) \), \( x = 1 \) पर अवकलनीय नहीं है। एक बिंदु पर अवकलनीय न होने का अर्थ है कि उस बिंदु पर एक अद्वितीय स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।

\( x = 2 \) पर अवकलनीयता के लिए:
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(2 - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2-h) - f(2)}{-h} \)
\( f(2) = 2(2)-3 = 1 \) (जब \( x \ge 2 \))
\( f(2-h) = 1 \) (जब \( 1 \le x < 2 \))
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1 - 1}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{0}{-h} = 0 \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(2 + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} \)
\( f(2) = 1 \)
\( f(2+h) = 2(2+h)-3 = 4+2h-3 = 1+2h \) (जब \( x \ge 2 \))
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(1+2h) - 1}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (2) = 2 \)
चूंकि \( f'(2 - 0) \neq f'(2 + 0) \) (\( 0 \neq 2 \)), इसलिए फलन \( f(x) \), \( x = 2 \) पर अवकलनीय नहीं है।
अतः, दिया गया फलन अंतराल \( [0, 2] \) में अवकलनीय नहीं है क्योंकि यह \( x = 1 \) और \( x = 2 \) पर अवकलनीय नहीं है।
In simple words: यह फलन उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ निरपेक्ष मान के अंदर के व्यंजक शून्य होते हैं। इसका मतलब है कि \( x=1 \) और \( x=2 \) पर फलन की ग्राफ नुकीली है, और इसलिए इन बिंदुओं पर उसकी ढलान को स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: जब दो निरपेक्ष मान फलन एक साथ दिए हों, तो क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के आधार पर फलन को टुकड़ों में परिभाषित करें। इन क्रांतिक बिंदुओं पर LHD और RHD की तुलना करके अवकलनीयता की जाँच करें।

Question 5. निम्न फलन \( f(x) = \begin{cases} x\tan^{-1} x; & x \neq 0 \\ 0; & x = 0 \end{cases} \) की बिन्दु पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
Answer: हमें \( x = 0 \) पर फलन \( f(x) \) की अवकलनीयता का परीक्षण करना है।
\( x = 0 \) पर अवकलनीयता के लिए:
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(0 - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} \)
\( f(0) = 0 \)
\( f(0-h) = f(-h) = (-h)\tan^{-1}(-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(-h)\tan^{-1}(-h) - 0}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \tan^{-1}(-h) \)
\( = \tan^{-1}(0) \)
\( = 0 \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(0 + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} \)
\( f(0) = 0 \)
\( f(0+h) = f(h) = h\tan^{-1}(h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h\tan^{-1}(h) - 0}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \tan^{-1}(h) \)
\( = \tan^{-1}(0) \)
\( = 0 \)
चूंकि \( f'(0 - 0) = f'(0 + 0) = 0 \), इसलिए फलन \( f(x) \), \( x = 0 \) पर अवकलनीय है। इसका मतलब है कि \( x=0 \) पर फलन की ढलान 0 है।
In simple words: हमने देखा कि \( x=0 \) पर फलन का बायां और दायां अवकलज दोनों शून्य आते हैं। इसका मतलब है कि फलन \( x=0 \) पर चिकना है और वहां इसकी ढलान शून्य है, इसलिए यह उस बिंदु पर अवकलनीय है।

🎯 Exam Tip: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज की गणना करते समय, \( \tan^{-1}(0) = 0 \) जैसे मानक मानों को याद रखना महत्वपूर्ण है। \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x} = 1 \) जैसे सूत्रों का उपयोग भी सहायक हो सकता है।

Question 6. फलन \( f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos x}{2}; & x \leq 0 \\ \frac{x-2x^2}{2}; & x > 0 \end{cases} \) की बिन्दु \( x = 0 \) पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
Answer: हमें \( x = 0 \) पर फलन \( f(x) \) की अवकलनीयता का परीक्षण करना है।
पहले, \( f(0) \) का मान ज्ञात करें:
जब \( x \le 0 \), \( f(x) = \frac{1-\cos x}{2} \)
इसलिए, \( f(0) = \frac{1-\cos(0)}{2} = \frac{1-1}{2} = 0 \)

\( x = 0 \) पर अवकलनीयता के लिए:
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(0 - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} \)
\( f(0-h) = f(-h) = \frac{1-\cos(-h)}{2} = \frac{1-\cos h}{2} \) (क्योंकि \( \cos(-h) = \cos h \))
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1-\cos h}{2} - 0}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1-\cos h}{-2h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2\sin^2(h/2)}{-2h} \) (क्योंकि \( 1-\cos h = 2\sin^2(h/2) \))
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\sin^2(h/2)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h/2)}{h/2} \times \frac{\sin(h/2)}{-2} \right) \)
\( = 1 \times \frac{0}{-2} \)
\( = 0 \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(0 + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} \)
\( f(0+h) = f(h) = \frac{h-2h^2}{2} \) (जब \( x > 0 \))
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h-2h^2}{2} - 0}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h(1-2h)}{2h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1-2h}{2} \)
\( = \frac{1-0}{2} = \frac{1}{2} \)
चूंकि \( f'(0 - 0) \neq f'(0 + 0) \) (\( 0 \neq \frac{1}{2} \)), इसलिए फलन \( f(x) \), \( x = 0 \) पर अवकलनीय नहीं है। फलन की परिभाषा बदलने वाले बिंदुओं पर अवकलनीयता की जाँच करना महत्वपूर्ण है।
In simple words: हमने \( x=0 \) पर फलन की ढलान को बाईं और दाईं ओर से देखने की कोशिश की। बाईं ओर से ढलान शून्य मिली, लेकिन दाईं ओर से यह \( \frac{1}{2} \) मिली। क्योंकि दोनों ढलानें अलग-अलग हैं, फलन \( x=0 \) पर अवकलनीय नहीं है।

🎯 Exam Tip: खंडशः परिभाषित फलन (piecewise function) की अवकलनीयता की जाँच करते समय, पहले यह सुनिश्चित करें कि फलन उस बिंदु पर सतत है या नहीं। यदि यह सतत नहीं है, तो यह अवकलनीय भी नहीं होगा। त्रिकोणमितीय सीमाओं और \( \sin x / x \) नियमों का सही उपयोग करें।

Question 7. सिद्ध कीजिए कि निम्न फलन \( f(x) = \begin{cases} x^m \cos \left(\frac{1}{x}\right); & x \neq 0 \\ 0; & x = 0 \end{cases} \) बिन्दु \( x = 0 \) पर अवकलनीय है यदि \( m > 1 \)।
Answer: हमें फलन \( f(x) = \begin{cases} x^m \cos \left(\frac{1}{x}\right); & x \neq 0 \\ 0; & x = 0 \end{cases} \) की \( x = 0 \) पर अवकलनीयता का परीक्षण करना है। अवकलनीयता के लिए फलन को पहले सतत होना चाहिए।

(a) \( x = 0 \) पर सततता (Continuity):
फलन \( x=0 \) पर सतत होगा यदि \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \)
\( f(0) = 0 \)
बायाँ सीमा:
\( \lim_{h \to 0} f(0-h) = \lim_{h \to 0} (-h)^m \cos \left(\frac{1}{-h}\right) \)
\( = \lim_{h \to 0} (-1)^m h^m \cos \left(\frac{1}{h}\right) \)
क्योंकि \( -1 \le \cos\left(\frac{1}{h}\right) \le 1 \) और \( \lim_{h \to 0} h^m = 0 \) (यदि \( m > 0 \)), तो यह सीमा \( 0 \) है।
दायाँ सीमा:
\( \lim_{h \to 0} f(0+h) = \lim_{h \to 0} h^m \cos \left(\frac{1}{h}\right) \)
चूंकि \( \cos\left(\frac{1}{h}\right) \) परिमित है और \( \lim_{h \to 0} h^m = 0 \) (यदि \( m > 0 \)), तो यह सीमा \( 0 \) है।
चूंकि \( \lim_{h \to 0} f(0-h) = \lim_{h \to 0} f(0+h) = f(0) = 0 \) (जब \( m > 0 \)), इसलिए फलन \( x = 0 \) पर सतत है यदि \( m > 0 \)।

(b) \( x = 0 \) पर अवकलनीयता (Differentiability):
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(0 - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(-h)^m \cos \left(\frac{1}{-h}\right) - 0}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(-1)^m h^m \cos \left(\frac{1}{h}\right)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (-1)^{m-1} h^{m-1} \cos \left(\frac{1}{h}\right) \)
यह सीमा तभी मौजूद होगी और शून्य होगी जब \( m-1 > 0 \), यानी \( m > 1 \)।
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(0 + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h^m \cos \left(\frac{1}{h}\right) - 0}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} h^{m-1} \cos \left(\frac{1}{h}\right) \)
यह सीमा तभी मौजूद होगी और शून्य होगी जब \( m-1 > 0 \), यानी \( m > 1 \)।
चूंकि बायाँ अवकलज और दायाँ अवकलज दोनों शून्य हैं जब \( m > 1 \), इसलिए फलन \( f(x) \), \( x = 0 \) पर अवकलनीय है यदि \( m > 1 \)। यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय का उदाहरण है जहां \( m \) का मान अवकलनीयता को निर्धारित करता है।
In simple words: हमने पहले देखा कि यह फलन \( x=0 \) पर तभी जुड़ा रहता है जब \( m \) शून्य से बड़ा हो। फिर, हमने पाया कि फलन \( x=0 \) पर तभी अवकलनीय (जिसका मतलब एक चिकनी ढलान है) होता है जब \( m \) एक से बड़ा हो। इसका मतलब है कि \( m \) को कम से कम \( 1 \) से ज़्यादा होना चाहिए ताकि हम \( x=0 \) पर फलन की ढलान ज्ञात कर सकें।

🎯 Exam Tip: जब \( x^m \cos(1/x) \) प्रकार के फलन की बात हो, तो \( m \) की घात पर विशेष ध्यान दें। सततता के लिए \( m > 0 \) और अवकलनीयता के लिए \( m > 1 \) की शर्त अक्सर पूछी जाती है। \( \cos(1/x) \) की सीमित प्रकृति का उपयोग करें।

Question 8. निम्न फलन की \( x = 0 \) पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए : \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1+e^{1/x^2}}; & x \neq 0 \\ 0; & x = 0 \end{cases} \)
Answer: हमें \( x = 0 \) पर फलन \( f(x) \) की अवकलनीयता का परीक्षण करना है।
पहले, हम फलन की \( x=0 \) पर सततता की जाँच करेंगे।
\( f(0) = 0 \)
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+e^{1/x^2}} \)
जब \( x \to 0 \), \( x^2 \to 0^+ \), इसलिए \( \frac{1}{x^2} \to \infty \)।
अतः, \( e^{1/x^2} \to \infty \)
\( \implies \lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{1}{1+\infty} = 0 \)
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+e^{1/x^2}} \)
इसी प्रकार, जब \( x \to 0 \), \( x^2 \to 0^+ \), इसलिए \( \frac{1}{x^2} \to \infty \)।
अतः, \( e^{1/x^2} \to \infty \)
\( \implies \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{1+\infty} = 0 \)
चूंकि \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0 \), इसलिए फलन \( x = 0 \) पर सतत है।

अब, \( x = 0 \) पर अवकलनीयता की जाँच करें।
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(0 - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+e^{1/(-h)^2}} - 0}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{-h(1+e^{1/h^2})} \)
जब \( h \to 0 \), \( h^2 \to 0^+ \), \( \frac{1}{h^2} \to \infty \), \( e^{1/h^2} \to \infty \), और \( 1+e^{1/h^2} \to \infty \)।
तो, पद \( he^{1/h^2} \) की सीमा ज्ञात करें। \( \lim_{h \to 0} he^{1/h^2} \). \( h = 1/\sqrt{y} \) के रूप में लिखने पर यह \( \lim_{y \to \infty} \frac{e^y}{\sqrt{y}} \to \infty \) होगा। (या \( h e^{1/h^2} \) के लिए \( \frac{e^{1/h^2}}{1/h} \), यह \( \frac{\infty}{\infty} \) रूप है। L'Hopital's नियम का उपयोग करने पर, \( \lim_{h \to 0} \frac{e^{1/h^2} (-2/h^3)}{-1/h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{2e^{1/h^2}}{h} = \infty \)).
इसलिए, \( -h(1+e^{1/h^2}) \approx -he^{1/h^2} \to -\infty \).
अतः, \( \lim_{h \to 0} \frac{1}{-h(1+e^{1/h^2})} = \frac{1}{-\infty} = 0 \).
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(0 + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+e^{1/h^2}} - 0}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h(1+e^{1/h^2})} \)
जैसा कि बाएँ अवकलज में देखा गया, \( h(1+e^{1/h^2}) \to \infty \).
अतः, \( \lim_{h \to 0} \frac{1}{h(1+e^{1/h^2})} = \frac{1}{\infty} = 0 \).
चूंकि \( f'(0 - 0) = f'(0 + 0) = 0 \), इसलिए फलन \( f(x) \), \( x = 0 \) पर अवकलनीय है। यह एक सूक्ष्म सीमा मूल्यांकन का उदाहरण है।
In simple words: हमने \( x=0 \) पर फलन की बाईं और दाईं दोनों ओर से ढलान की गणना की। दोनों ही मामलों में, ढलान शून्य आती है। इसका मतलब है कि फलन \( x=0 \) पर चिकना है और वहां अवकलनीय है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के फलनों में, \( e^{1/x^2} \) जैसे पदों का मूल्यांकन करते समय \( x \to 0 \) पर विशेष ध्यान दें। \( \frac{1}{x^2} \to \infty \) हमेशा \( x \to 0 \) पर, चाहे \( x \) धनात्मक या ऋणात्मक हो। सीमा के गुणों का सही ढंग से उपयोग करें।

Question 9. फलन \( f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}; & x \neq 0 \\ 0; & x = 0 \end{cases} \) की बिन्दु \( x = 0 \) पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
Answer: दिए गए फलन \( f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}; & x \neq 0 \\ 0; & x = 0 \end{cases} \) को हम निम्न प्रकार भी लिख सकते हैं:
जब \( x < 0 \): \( \frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1 \)
जब \( x > 0 \): \( \frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1 \)
तो, फलन है:
\( f(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases} \)
हम \( x = 0 \) पर अवकलनीयता की जाँच करेंगे।
पहले, \( x = 0 \) पर सततता की जाँच करते हैं:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \)
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \)
चूंकि \( \lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x) \), इसलिए फलन \( x = 0 \) पर सतत नहीं है। यदि कोई फलन किसी बिंदु पर सतत नहीं है, तो वह उस बिंदु पर अवकलनीय भी नहीं हो सकता। यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।

फिर भी, अवकलज की गणना करते हैं:
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(0 - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} \)
\( f(0) = 0 \)
\( f(0-h) = f(-h) = -1 \) (जब \( x < 0 \))
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-1 - 0}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} = \infty \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(0 + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} \)
\( f(0) = 0 \)
\( f(0+h) = f(h) = 1 \) (जब \( x > 0 \))
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1 - 0}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} = \infty \)
चूंकि बायाँ और दायाँ अवकलज दोनों ही \( \infty \) हैं, वे परिमित नहीं हैं। इसलिए, फलन \( f(x) \), \( x = 0 \) पर अवकलनीय नहीं है।
In simple words: यह फलन \( x=0 \) पर अचानक कूद जाता है (असतत है), इसलिए यह उस बिंदु पर अवकलनीय नहीं हो सकता। ढलान बाईं ओर से \( -1 \) और दाईं ओर से \( 1 \) होने के कारण, \( x=0 \) पर कोई एक निश्चित ढलान नहीं होती।

🎯 Exam Tip: किसी फलन की अवकलनीयता की जाँच करने से पहले हमेशा उसकी सततता की जाँच करें। यदि फलन असतत है, तो वह अवकलनीय नहीं होगा। यह एक त्वरित तरीका है यह निर्धारित करने का कि आगे की गणना की आवश्यकता है या नहीं।

Question 10. फलन \( f(x) = \begin{cases} 1 + \sin x, & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ 2+\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2, & x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases} \) बिन्दु \( x = \frac{\pi}{2} \) पर अवकलनीयता का परीक्षण कीजिए।
Answer: हमें \( x = \frac{\pi}{2} \) पर फलन \( f(x) \) की अवकलनीयता का परीक्षण करना है।
पहले, हम फलन की \( x = \frac{\pi}{2} \) पर सततता की जाँच करेंगे।
\( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2+\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)^2 = 2+0 = 2 \)
बायाँ सीमा:
\( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (1+\sin x) = 1+\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1+1 = 2 \)
दायाँ सीमा:
\( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \left(2+\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2\right) = 2+\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)^2 = 2+0 = 2 \)
चूंकि \( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} f(x) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \), इसलिए फलन \( x = \frac{\pi}{2} \) पर सतत है।

अब, \( x = \frac{\pi}{2} \) पर अवकलनीयता की जाँच करें।
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'\left(\frac{\pi}{2} - 0\right) = \lim_{h \to 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}-h\right) - f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{-h} \)
\( f\left(\frac{\pi}{2}-h\right) = 1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-h\right) = 1+\cos h \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(1+\cos h) - 2}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-(1-\cos h)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1-\cos h}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{2\sin^2(h/2)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h/2)}{h/2} \times \sin(h/2) \right) \)
\( = 1 \times 0 = 0 \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'\left(\frac{\pi}{2} + 0\right) = \lim_{h \to 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{2}+h\right) - f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{h} \)
\( f\left(\frac{\pi}{2}+h\right) = 2+\left(\frac{\pi}{2}+h-\frac{\pi}{2}\right)^2 = 2+h^2 \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h^2) - 2}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} h = 0 \)
चूंकि \( f'\left(\frac{\pi}{2} - 0\right) = f'\left(\frac{\pi}{2} + 0\right) = 0 \), इसलिए फलन \( f(x) \), \( x = \frac{\pi}{2} \) पर अवकलनीय है। यहाँ फलन एक त्रिकोणमितीय भाग से एक बहुपद भाग में बदलता है।
In simple words: हमने देखा कि \( x = \frac{\pi}{2} \) पर फलन बिना किसी रुकावट के जुड़ा हुआ है। फिर, हमने पाया कि उस बिंदु पर फलन की ढलान बाईं ओर से और दाईं ओर से दोनों शून्य है। क्योंकि वे बराबर हैं, फलन \( x = \frac{\pi}{2} \) पर अवकलनीय है।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों से जुड़े अवकलनीयता के प्रश्नों में \( \sin(\frac{\pi}{2}-h) = \cos h \) जैसे त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का सही उपयोग करें। साथ ही, \( \lim_{h \to 0} \frac{1-\cos h}{h} = 0 \) जैसी मानक सीमाओं को याद रखें।

Question 11. m तथा n के मान ज्ञात कीजिए जबकि फलन \( f(x) = \begin{cases} x^2+3x+m, & \text{जब } x \le 1 \\ nx +2, & \text{जब } x > 1 \end{cases} \) प्रत्येक बिन्दु पर अवकलनीय है।
Answer: दिया गया है कि फलन \( f(x) \) प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है। हम जानते हैं कि प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत भी होता है। इसलिए, फलन \( x = 1 \) पर सतत होगा।

\( x = 1 \) पर सततता के लिए:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) \)
\( f(1) = (1)^2 + 3(1) + m = 1+3+m = 4+m \)
बायाँ सीमा:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^2+3x+m) = 1^2+3(1)+m = 4+m \)
दायाँ सीमा:
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (nx+2) = n(1)+2 = n+2 \)
सततता के लिए, \( 4+m = n+2 \)
\( \implies m-n = -2 \) (समीकरण 1)

\( x = 1 \) पर अवकलनीयता के लिए:
चूंकि फलन अवकलनीय है, \( x = 1 \) पर बायाँ अवकलज और दायाँ अवकलज बराबर होंगे।
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(1 - 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} \)
\( f(1) = 4+m \)
\( f(1-h) = (1-h)^2 + 3(1-h) + m = (1-2h+h^2) + (3-3h) + m = 4 - 5h + h^2 + m \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(4 - 5h + h^2 + m) - (4+m)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{-5h + h^2}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (5-h) \)
\( = 5 \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(1 + 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \)
\( f(1) = 4+m \)
\( f(1+h) = n(1+h)+2 = n+nh+2 \)
समीकरण 1 से, \( m = n-2 \), इसलिए \( 4+m = 4+(n-2) = n+2 \).
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(n+nh+2) - (n+2)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{nh}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} n = n \)
अवकलनीयता के लिए, बायाँ अवकलज = दायाँ अवकलज:
\( \implies n = 5 \)
अब, \( n = 5 \) को समीकरण 1 में रखने पर:
\( m-5 = -2 \)
\( m = -2+5 \)
\( m = 3 \)
अतः, \( m = 3 \) और \( n = 5 \)। ये मान यह सुनिश्चित करते हैं कि फलन न केवल \( x=1 \) पर बल्कि पूरे डोमेन में चिकना और जुड़ा हुआ है।
In simple words: फलन के हर जगह अवकलनीय होने का मतलब है कि यह हर जगह जुड़ा हुआ और चिकना है। हमने \( x=1 \) पर दो शर्तों का उपयोग किया: पहली, फलन जुड़ा होना चाहिए; दूसरी, उस बिंदु पर उसकी ढलान एक जैसी होनी चाहिए। इन दो शर्तों को हल करके, हमने \( m \) और \( n \) के मान \( 3 \) और \( 5 \) पाए।

🎯 Exam Tip: खंडशः परिभाषित फलनों में अज्ञात स्थिरांक (constants) ज्ञात करने के लिए, हमेशा पहले सततता की शर्त का उपयोग करें, फिर अवकलनीयता की शर्त का। यह सुनिश्चित करें कि आपके सभी बीजगणितीय चरण सही हैं।

Question 11. m तथा n के मान ज्ञात कीजिए जबकि फलन \( f(x) = \begin{cases} x^2+3x+m, & \text{जब } x \le 1 \\ nx +2, & \text{जब } x > 1 \end{cases} \) प्रत्येक बिन्दु पर अवकलनीय है।
Answer: दिया गया फलन \( f(x) \) बिन्दु \( x = 1 \) पर अवकलनीय है। हम जानते हैं कि प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत भी होता है। इसलिए, \( x = 1 \) पर फलन \( f(x) \) सतत होगा।
दायाँ सीमा (Right hand limit):
\( f(1+0) = \lim_{h \to 0} f(1+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} n(1+h) + 2 \)
\( = n(1+0) + 2 \)
\( = n+2 \)
बायाँ सीमा (Left hand limit):
\( f(1-0) = \lim_{h \to 0} f(1-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} ((1-h)^2+3(1-h)+m) \)
\( = (1-0)^2+3(1-0)+m \)
\( = 1+3+m = 4+m \)
फलन का मान \( f(1) = 1^2+3(1)+m = 1+3+m = 4+m \)
चूँकि फलन सतत है, तो दायाँ सीमा = बायाँ सीमा = \( f(1) \)
\( n+2 = 4+m \)
\( m-n = -2 \) . . . (i)
अब, \( x = 1 \) पर \( f(x) \) अवकलनीय है।
बायाँ अवकलज (Left hand derivative):
\( f'(1-0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1-h)-f(1)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{[(1-h)^2+3(1-h)+m] - [(1)^2+3(1)+m]}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{[1+h^2-2h+3-3h+m] - [1+3+m]}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1+h^2-2h+3-3h+m-4-m}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h^2-5h}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{h(h-5)}{-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} (-(h-5)) \)
\( = \lim_{h \to 0} (5-h) \)
\( = 5-0 = 5 \)
दायाँ अवकलज (Right hand derivative):
\( f'(1+0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{[n(1+h)+2] - [4+m]}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{n+nh+2-4-m}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{nh + (n-m-2)}{h} \)
समीकरण (i) से, \( m-n = -2 \implies n-m = 2 \)
तो, \( n-m-2 = 0 \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{nh+0}{h} \)
\( = \lim_{h \to 0} n = n \)
चूँकि फलन अवकलनीय है, तो बायाँ अवकलज = दायाँ अवकलज
\( 5 = n \)
अब, \( n = 5 \) का मान समीकरण (i) में रखने पर:
\( m-5 = -2 \)
\( m = -2+5 \)
\( m = 3 \)
इसलिए, \( m = 3 \) और \( n = 5 \) हैं। इस तरह के प्रश्नों में, फलन की निरंतरता और अवकलनीयता दोनों की शर्तों का उपयोग करके अज्ञात स्थिरांकों को हल किया जाता है।
In simple words: हमें m और n की वैल्यू निकालनी है. क्योंकि फंक्शन \( x=1 \) पर डिफरेंशिएबल है, इसका मतलब वह \( x=1 \) पर कंटीन्यूअस भी है. कंटीन्यूअस होने की कंडीशन से एक समीकरण बनती है, और डिफरेंशिएबल होने की कंडीशन से दूसरी समीकरण बनती है. इन दोनों समीकरणों को हल करके m और n का मान 3 और 5 मिलता है.

🎯 Exam Tip: जब भी कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय दिया गया हो, तो हमेशा याद रखें कि वह उस बिंदु पर सतत भी होगा। इससे आपको दो समीकरण बनाने में मदद मिलेगी, जिससे अज्ञात स्थिरांकों को हल करना आसान हो जाता है।