RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 6 सततता तथा अवकलनीयता Exercise 6.1

प्रश्न 1. निम्न फलनों की सातत्यता का परीक्षण कीजिए-
(a) \( f(x) = \begin{cases} x\left(1+\frac{1}{3}\sin(\log x^2)\right); & x \neq 0 \\ 0; & x = 0 \end{cases} \)
(b) \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{e^{1/x}-1}; & x \neq 0 \\ 0; & x = 0 \end{cases} \)
(c) \( f(x) = \begin{cases} 1+x; & x \le 3 \\ 7-x; & x > 3 \end{cases} \), \( x = 3 \) पर
(d) \( f(x) = \begin{cases} \sin x; & -\frac{\pi}{2} < x \le 0 \\ \tan x; & 0 < x < \frac{\pi}{2} \end{cases} \), \( x = 0 \) पर
(e) \( f(x) = \begin{cases} \cos\left(\frac{1}{x}\right); & x \neq a \\ 0; & x = a \end{cases} \), \( x = a \) पर
(f) \( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-a} \cdot \operatorname{cosec}(x-a); & x \neq a \\ 0; & x = a \end{cases} \), \( x = a \) पर
(g) \( f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{a}-a; & x < a \\ 0; & x = a \\ a-\frac{a^3}{x^2}; & x > a \end{cases} \), \( x = a \) पर
Answer:
(a) दिए गए फलन की \( x = 0 \) पर सातत्यता का परीक्षण:
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
\( f(0-0) = \lim_{h \to 0} f(0-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} f(-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} -h\left\{1+\frac{1}{3}\sin(\log (-h)^2)\right\} \)
\( = 0 \times \{1+\frac{1}{3} \times \text{सीमित मान}\} = 0 \)
दायीं सीमा (Right hand limit) के लिए,
\( f(0+0) = \lim_{h \to 0} f(0+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} f(h) \)
\( = \lim_{h \to 0} h\left\{1+\frac{1}{3}\sin(\log h^2)\right\} \)
\( = 0 \times \{1+\frac{1}{3} \times \text{सीमित मान}\} = 0 \)
और \( x = 0 \) पर फलन का मान,
\( f(0) = 0 \)
चूंकि \( f(0-0) = f(0+0) = f(0) = 0 \), अतः दिया हुआ फलन \( x = 0 \) पर सतत है।
In simple words: हमने \( x=0 \) पर बायीं और दायीं सीमा तथा फलन का मान निकाला. तीनों मान 0 आए, इसलिए फलन सतत है. यह सीमा के बुनियादी नियमों का पालन करता है.

🎯 Exam Tip: जब \( \sin \) या \( \cos \) फलन के अंदर अनंत सीमा (जैसे \( \log x^2 \)) आती है, तो उसका मान -1 और 1 के बीच सीमित होता है, जिससे गुणनफल को 0 बनाया जा सकता है यदि बाहरी कारक 0 की ओर अग्रसर हो रहा हो।

(b) दिए गए फलन की \( x = 0 \) पर सातत्यता का परीक्षण:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{e^{1/x}-1}; & x \neq 0 \\ 0; & x = 0 \end{cases} \)
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
\( f(0-0) = \lim_{h \to 0} f(0-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{e^{1/(0-h)}} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{0-h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{-h} \)
\( \implies \) कोई अस्तित्व नहीं है (सीमा अनंत है)।
दायीं सीमा (Right hand limit) के लिए,
\( f(0+0) = \lim_{h \to 0} f(0+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{e^{0+h}} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{0+h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \)
\( \implies \) कोई अस्तित्व नहीं है (सीमा अनंत है)।
चूंकि बायीं सीमा और दायीं सीमा का कोई अस्तित्व नहीं है, इसलिए दिया हुआ फलन \( x = 0 \) पर असतत है।
In simple words: जब हमने \( x=0 \) पर फलन की बायीं और दायीं सीमा निकाली, तो दोनों ही अनंत आ गईं, जिसका मतलब है कि सीमा मौजूद नहीं है. इसलिए, यह फलन \( x=0 \) पर सतत नहीं है.

🎯 Exam Tip: \( e^{1/x} \) जैसे फलनों में, \( x \to 0^+ \) या \( x \to 0^- \) के लिए सीमा निकालते समय ध्यान रखें, क्योंकि ये एक तरफा सीमा पर बहुत अलग व्यवहार करते हैं, जिससे अक्सर असततता आती है।

(c) दिए गए फलन की \( x = 3 \) पर सातत्यता का परीक्षण:
\( f(x) = \begin{cases} 1+x; & x \le 3 \\ 7-x; & x > 3 \end{cases} \)
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
\( f(3-0) = \lim_{h \to 0} f(3-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} (1+(3-h)) \)
\( = 1+3-0 = 4 \)
दायीं सीमा (Right hand limit) के लिए,
\( f(3+0) = \lim_{h \to 0} f(3+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} (7-(3+h)) \)
\( = 7-3-0 = 4 \)
और \( x = 3 \) पर फलन का मान,
\( f(3) = 1+3 = 4 \)
चूंकि \( f(3-0) = f(3+0) = f(3) = 4 \), अतः दिया हुआ फलन \( x = 3 \) पर सतत है।
In simple words: हमने \( x=3 \) के लिए बायीं सीमा, दायीं सीमा और फलन का मान परखा. तीनों 4 के बराबर आए, जिससे पता चलता है कि यह फलन \( x=3 \) पर बिना किसी रुकावट के लगातार चलता है.

🎯 Exam Tip: टुकड़ों में परिभाषित (piecewise) फलनों की सातत्यता की जांच करते समय, हमेशा उन बिंदुओं पर बायीं और दायीं सीमा की गणना करें जहां फलन की परिभाषा बदलती है, और फिर फलन के मान से तुलना करें।

(d) दिए गए फलन की \( x = 0 \) पर सातत्यता का परीक्षण:
\( f(x) = \begin{cases} \sin x; & -\frac{\pi}{2} < x \le 0 \\ \tan x; & 0 < x < \frac{\pi}{2} \end{cases} \)
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
\( f(0-0) = \lim_{h \to 0} f(0-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \sin(0-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} -\sin h \)
\( = 0 \)
दायीं सीमा (Right hand limit) के लिए,
\( f(0+0) = \lim_{h \to 0} f(0+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \tan(0+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \tan h \)
\( = 0 \)
और \( x = 0 \) पर फलन का मान,
\( f(0) = \sin 0 = 0 \)
चूंकि \( f(0-0) = f(0+0) = f(0) = 0 \), अतः दिया हुआ फलन \( x = 0 \) पर सतत है।
In simple words: \( x=0 \) पर बायीं सीमा, दायीं सीमा और फलन का मान तीनों 0 हैं. इसका मतलब है कि \( x=0 \) पर फलन लगातार है और कोई टूट नहीं है.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय फलनों (जैसे \( \sin x \), \( \tan x \)) की सीमाओं का मूल्यांकन करते समय, याद रखें कि \( \lim_{x \to 0} \sin x = 0 \) और \( \lim_{x \to 0} \tan x = 0 \), जो अक्सर इन बिंदुओं पर सातत्य स्थापित करने में मदद करते हैं।

(e) दिए गए फलन की \( x = a \) पर सातत्यता का परीक्षण:
\( f(x) = \begin{cases} \cos\left(\frac{1}{x}\right); & x \neq a \\ 0; & x = a \end{cases} \)
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
\( f(a-0) = \lim_{h \to 0} f(a-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \cos\left(\frac{1}{a-h}\right) \)
\( = \cos\left(\frac{1}{a}\right) \)
दायीं सीमा (Right hand limit) के लिए,
\( f(a+0) = \lim_{h \to 0} f(a+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \cos\left(\frac{1}{a+h}\right) \)
\( = \cos\left(\frac{1}{a}\right) \)
और \( x = a \) पर फलन का मान,
\( f(a) = 0 \)
चूंकि \( f(a-0) = f(a+0) \neq f(a) \) (यदि \( \cos\left(\frac{1}{a}\right) \neq 0 \)), इसलिए दिया हुआ फलन \( x = a \) पर असतत है। फलन केवल तभी सतत होगा जब \( \cos\left(\frac{1}{a}\right) = 0 \) हो, जो हमेशा सत्य नहीं है।
In simple words: हमने \( x=a \) पर बायीं और दायीं सीमा निकाली, दोनों \( \cos\left(\frac{1}{a}\right) \) आईं. लेकिन \( x=a \) पर फलन का मान 0 है. चूंकि ये बराबर नहीं हैं (जब तक \( \cos\left(\frac{1}{a}\right) = 0 \) न हो), फलन सतत नहीं है.

🎯 Exam Tip: \( \cos(1/x) \) जैसे फलन किसी बिंदु पर सतत नहीं होते यदि उस बिंदु पर फलन का मान सीमाओं के मान से भिन्न हो। ऐसे मामलों में \( \lim_{h \to 0} \cos(1/(a \pm h)) \) सीधे \( \cos(1/a) \) के बराबर होता है यदि \( a \neq 0 \)।

(f) दिए गए फलन की \( x = a \) पर सातत्यता का परीक्षण:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-a} \cdot \operatorname{cosec}(x-a); & x \neq a \\ 0; & x = a \end{cases} \)
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
\( f(a-0) = \lim_{h \to 0} f(a-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{(a-h)-a} \cdot \operatorname{cosec}((a-h)-a) \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{-h} \cdot \operatorname{cosec}(-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{-h} \cdot \frac{1}{\sin(-h)} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{(-h)(-\sin h)} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h \sin h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} \cdot \frac{h}{\sin h} \)
\( = \infty \times 1 = \infty \)
\( \implies \) कोई अस्तित्व नहीं है।
दायीं सीमा (Right hand limit) के लिए,
\( f(a+0) = \lim_{h \to 0} f(a+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{(a+h)-a} \cdot \operatorname{cosec}((a+h)-a) \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \operatorname{cosec}(h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h \sin h} \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} \cdot \frac{h}{\sin h} \)
\( = \infty \times 1 = \infty \)
\( \implies \) कोई अस्तित्व नहीं है।
चूंकि बायीं सीमा और दायीं सीमा दोनों का अस्तित्व नहीं है (वे अनंत हैं), इसलिए दिया हुआ फलन \( x = a \) पर असतत है।
In simple words: हमने \( x=a \) पर फलन की दोनों सीमाएं निकालीं, और दोनों ही अनंत निकलीं. इसका मतलब है कि फलन उस बिंदु पर टूट जाता है और सतत नहीं है.

🎯 Exam Tip: जब हर में \( \sin h \) जैसा पद हो और \( h \to 0 \) हो, तो \( \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \) का उपयोग करके सीमा को सरल बनाया जा सकता है। हालाँकि, यदि \( \frac{1}{h \sin h} \) जैसा पद हो, तो वह अनंत की ओर अग्रसर होता है, जिससे सीमा का अस्तित्व नहीं होता।

(g) दिए गए फलन की \( x = a \) पर सातत्यता का परीक्षण:
\( f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{a}-a; & x < a \\ 0; & x = a \\ a-\frac{a^3}{x^2}; & x > a \end{cases} \)
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
\( f(a-0) = \lim_{h \to 0} f(a-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \left(\frac{(a-h)^2}{a}-a\right) \)
\( = \lim_{h \to 0} \left(\frac{a^2+h^2-2ah}{a}-a\right) \)
\( = \frac{a^2+0-0}{a}-a \)
\( = a-a = 0 \)
दायीं सीमा (Right hand limit) के लिए,
\( f(a+0) = \lim_{h \to 0} f(a+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \left(a-\frac{a^3}{(a+h)^2}\right) \)
\( = a-\frac{a^3}{(a+0)^2} \)
\( = a-\frac{a^3}{a^2} \)
\( = a-a = 0 \)
और \( x = a \) पर फलन का मान,
\( f(a) = 0 \)
चूंकि \( f(a-0) = f(a+0) = f(a) = 0 \), अतः दिया हुआ फलन \( x = a \) पर सतत है।
In simple words: हमने \( x=a \) पर फलन की बायीं और दायीं सीमा, साथ ही \( x=a \) पर फलन का मान भी 0 पाया. तीनों के मान बराबर होने से यह फलन \( x=a \) पर लगातार है.

🎯 Exam Tip: बीजीय फलनों की सीमाओं का मूल्यांकन करते समय, सीधे मान प्रतिस्थापित करना अक्सर काम करता है, बशर्ते हर शून्य न हो। \( h \to 0 \) के लिए, \( h \) वाले सभी पद शून्य हो जाते हैं।

प्रश्न 2. फलन \( f(x) = x - [x] \) की \( x = 3 \) पर सततता का परीक्षण कीजिए।
Answer: दिया गया फलन \( f(x) = x - [x] \) है। हम \( x = 3 \) पर इसकी सातत्यता का परीक्षण करेंगे।
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
\( f(3-0) = \lim_{h \to 0} f(3-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} (3-h) - [3-h] \)
क्योंकि \( h \to 0^+ \), \( 3-h \) का मान 3 से थोड़ा कम होगा, इसलिए \( [3-h] = 2 \)।
\( = (3-0) - 2 \)
\( = 3-2 = 1 \)
दायीं सीमा (Right hand limit) के लिए,
\( f(3+0) = \lim_{h \to 0} f(3+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} (3+h) - [3+h] \)
क्योंकि \( h \to 0^+ \), \( 3+h \) का मान 3 से थोड़ा अधिक होगा, इसलिए \( [3+h] = 3 \)।
\( = (3+0) - 3 \)
\( = 3-3 = 0 \)
और \( x = 3 \) पर फलन का मान,
\( f(3) = 3 - [3] = 3 - 3 = 0 \)
चूंकि \( f(3-0) \neq f(3+0) \) (क्योंकि \( 1 \neq 0 \)), इसलिए दिया हुआ फलन \( x = 3 \) पर असतत है।
In simple words: हमने देखा कि \( x=3 \) पर फलन की बायीं सीमा 1 है और दायीं सीमा 0 है. ये दोनों बराबर नहीं हैं, इसलिए फलन \( x=3 \) पर लगातार नहीं है, बल्कि असतत है.

🎯 Exam Tip: महत्तम पूर्णांक फलन (greatest integer function) \( [x] \) पूर्णांक बिंदुओं पर हमेशा असतत होता है। इसलिए, \( x-[x] \) जैसे फलन भी पूर्णांक बिंदुओं पर असतत होते हैं, क्योंकि इन बिंदुओं पर बायीं और दायीं सीमा का मान अलग-अलग आता है।

प्रश्न 3. यदि निम्न फलन \( f(x) = \begin{cases} \frac{x^3+x^2-16x+20}{(x-2)^2}; & x \neq 2 \\ \lambda; & x = 2 \end{cases} \) बिन्दु \( x = 2 \) पर सतत है, तब \( \lambda \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया फलन \( f(x) \) बिन्दु \( x = 2 \) पर सतत है। इसका अर्थ है कि \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \)।
यहाँ \( f(2) = \lambda \) है। हमें \( \lim_{x \to 2} f(x) \) का मान निकालना होगा।
\( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^3+x^2-16x+20}{(x-2)^2} \)
हर में \( (x-2)^2 \) है, जो \( x=2 \) पर शून्य हो जाता है। अंश को गुणनखंडित करने पर:
\( x^3+x^2-16x+20 = (x-2)(x^2+3x-10) \)
\( = (x-2)(x-2)(x+5) \)
\( = (x-2)^2(x+5) \)
तो, \( \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)^2(x+5)}{(x-2)^2} = \lim_{x \to 2} (x+5) \)
\( = 2+5 = 7 \)
वैकल्पिक रूप से, बायीं सीमा और दायीं सीमा का उपयोग करके:
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए,
\( f(2-0) = \lim_{h \to 0} f(2-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(2-h)^3+(2-h)^2-16(2-h)+20}{((2-h)-2)^2} \)
अंश: \( (8-12h+6h^2-h^3)+(4-4h+h^2)-(32-16h)+20 \)
\( = 8-12h+6h^2-h^3+4-4h+h^2-32+16h+20 \)
\( = (-h^3) + (7h^2) + (-12-4+16)h + (8+4-32+20) \)
\( = -h^3+7h^2+0h+0 = 7h^2-h^3 \)
हर: \( (-h)^2 = h^2 \)
\( \lim_{h \to 0} \frac{7h^2-h^3}{h^2} = \lim_{h \to 0} (7-h) = 7-0 = 7 \)
दायीं सीमा (Right hand limit) के लिए,
\( f(2+0) = \lim_{h \to 0} f(2+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^3+(2+h)^2-16(2+h)+20}{((2+h)-2)^2} \)
अंश: \( (8+12h+6h^2+h^3)+(4+4h+h^2)-(32+16h)+20 \)
\( = 8+12h+6h^2+h^3+4+4h+h^2-32-16h+20 \)
\( = h^3 + 7h^2 + (12+4-16)h + (8+4-32+20) \)
\( = h^3+7h^2+0h+0 = 7h^2+h^3 \)
हर: \( (h)^2 = h^2 \)
\( \lim_{h \to 0} \frac{7h^2+h^3}{h^2} = \lim_{h \to 0} (7+h) = 7+0 = 7 \)
चूंकि फलन \( x = 2 \) पर सतत है, इसलिए \( f(2-0) = f(2+0) = f(2) \)।
\( 7 = 7 = \lambda \)
अतः \( \lambda = 7 \)।
In simple words: फलन के सतत होने का मतलब है कि जब \( x \) 2 के पास होता है, तो फलन का मान \( \lambda \) के बराबर होता है. अंश को गुणनखंडित करने पर हमें सीमा 7 मिलती है, इसलिए \( \lambda \) का मान भी 7 होगा.

🎯 Exam Tip: जब एक फलन किसी बिंदु पर सतत होता है और \( \frac{0}{0} \) का रूप लेता है, तो आप सीमा ज्ञात करने के लिए गुणनखंडन या L'Hôpital के नियम का उपयोग कर सकते हैं। यह सीमा का मान ही \( f(a) \) के बराबर होगा।

प्रश्न 4. निम्न फलन
\( f(x) = \begin{cases} -x^2; & -1 \le x < 0 \\ 4x-3; & 0 \le x < 1 \\ 5x^2-4x; & 1 \le x \le 2 \end{cases} \)
Answer: हम दिए गए फलन की सातत्यता का परीक्षण \( x = 0 \) और \( x = 1 \) पर करेंगे।
**\( x = 0 \) पर सातत्यता का परीक्षण:**
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए, (\( x < 0 \) के लिए \( f(x) = -x^2 \))
\( f(0-0) = \lim_{h \to 0} f(0-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} -(0-h)^2 \)
\( = \lim_{h \to 0} -h^2 = 0 \)
दायीं सीमा (Right hand limit) के लिए, (\( x \ge 0 \) के लिए \( f(x) = 4x-3 \))
\( f(0+0) = \lim_{h \to 0} f(0+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} 4(0+h)-3 \)
\( = \lim_{h \to 0} (4h-3) = 0-3 = -3 \)
और \( x = 0 \) पर फलन का मान, (\( x = 0 \) के लिए \( f(x) = 4x-3 \))
\( f(0) = 4(0)-3 = -3 \)
चूंकि \( f(0-0) \neq f(0+0) \) (क्योंकि \( 0 \neq -3 \)), इसलिए फलन \( x = 0 \) पर असतत है।

**\( x = 1 \) पर सातत्यता का परीक्षण:**
बायीं सीमा (Left hand limit) के लिए, (\( x < 1 \) के लिए \( f(x) = 4x-3 \))
\( f(1-0) = \lim_{h \to 0} f(1-h) \)
\( = \lim_{h \to 0} 4(1-h)-3 \)
\( = \lim_{h \to 0} (4-4h-3) = 4-0-3 = 1 \)
दायीं सीमा (Right hand limit) के लिए, (\( x \ge 1 \) के लिए \( f(x) = 5x^2-4x \))
\( f(1+0) = \lim_{h \to 0} f(1+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} 5(1+h)^2-4(1+h) \)
\( = \lim_{h \to 0} 5(1+2h+h^2)-4-4h \)
\( = \lim_{h \to 0} (5+10h+5h^2-4-4h) \)
\( = \lim_{h \to 0} (1+6h+5h^2) = 1+0+0 = 1 \)
और \( x = 1 \) पर फलन का मान, (\( x = 1 \) के लिए \( f(x) = 5x^2-4x \))
\( f(1) = 5(1)^2-4(1) = 5-4 = 1 \)
चूंकि \( f(1-0) = f(1+0) = f(1) = 1 \), इसलिए फलन \( x = 1 \) पर सतत है।
अतः, दिया हुआ फलन अंतराल \( [-1, 2] \) में \( x=0 \) पर असतत है और \( x=1 \) पर सतत है।
In simple words: हमने फलन को दो जगहों पर परखा: \( x=0 \) और \( x=1 \). \( x=0 \) पर फलन टूट गया (असतत है) क्योंकि उसकी बायीं और दायीं सीमाएं अलग-अलग थीं. लेकिन \( x=1 \) पर फलन लगातार है (सतत है) क्योंकि उसकी दोनों सीमाएं और फलन का मान सब बराबर हैं.

🎯 Exam Tip: टुकड़ों में परिभाषित फलनों (Piecewise functions) की सातत्यता हमेशा उन बिंदुओं पर जांचनी चाहिए जहाँ फलन की परिभाषा बदलती है, साथ ही फलन के परिभाषित अंतराल के अंदर और अंत बिंदुओं पर भी ध्यान देना चाहिए।