RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Exercise 5.2

Question 1. सारणिक की सहायता से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष निम्न हैं
(i) (2, 5), (-2, – 3) तथा (6, 0)
(ii) (3, 8), (2, 7) तथा (5,-1)
(iii) (0, 0), (5, 0) तथा (3, 4)
Answer:
(i) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष \( (2, 5), (-2, -3) \) तथा \( (6, 0) \) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ -2 & -3 & 1 \\ 6 & 0 & 1 \end{vmatrix} \)
अब, सारणिक को हल करेंगे:
\( \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 2(-3-0) - 5(-2-6) + 1(0+18) \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 2(-3) - 5(-8) + 1(18) \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ -6 + 40 + 18 \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } (52) \)
\( \implies \Delta = 26 \) वर्ग इकाई। इस प्रकार, सारणिक विधि से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है।
(ii) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष \( (3, 8), (2, 7) \) तथा \( (5, -1) \) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \begin{vmatrix} 3 & 8 & 1 \\ 2 & 7 & 1 \\ 5 & -1 & 1 \end{vmatrix} \)
सारणिक को हल करने पर:
\( \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 3(7+1) - 8(2-5) + 1(-2-35) \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 3(8) - 8(-3) + 1(-37) \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 24 + 24 - 37 \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } (11) \)
\( \implies \Delta = \frac { 11 }{ 2 } \) वर्ग इकाई। यह दर्शाता है कि सारणिक विधि क्षेत्रफल गणना के लिए कितनी उपयोगी है।
(iii) दिए गए त्रिभुज के शीर्ष \( (0, 0), (5, 0) \) तथा \( (3, 4) \) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 5 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix} \)
सारणिक को हल करने पर:
\( \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 0(0-4) - 0(5-3) + 1(20-0) \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 0 - 0 + 1(20) \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } (20) \)
\( \implies \Delta = 10 \) वर्ग इकाई। मूल बिंदु के साथ शीर्ष होने पर गणना सरल हो जाती है।
In simple words: त्रिभुज के शीर्ष दिए गए हैं। हमने सारणिक विधि का उपयोग करके प्रत्येक भाग के लिए त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया। सारणिक को हल करते समय, हम ध्यान से गणना करते हैं।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए यदि सारणिक का मान ऋणात्मक आता है, तो उसका निरपेक्ष मान (absolute value) लें।

Question 2. सारणिक का प्रयोग कर शीर्ष (1, 4), (2, 3) तथा (-5,- 3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या दिये गये बिन्दु संरेख है ?
Answer: दिए गए त्रिभुज के शीर्ष \( (1, 4), (2, 3) \) तथा \( (-5, -3) \) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -5 & -3 & 1 \end{vmatrix} \)
सारणिक को हल करने पर:
\( \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 1(3+3) - 4(2+5) + 1(-6+15) \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 1(6) - 4(7) + 1(9) \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 6 - 28 + 9 \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } (-13) \)
\( \implies \Delta = - \frac { 13 }{ 2 } \)
क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = \frac { 13 }{ 2 } \) वर्ग इकाई।
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य नहीं है (\( \frac { 13 }{ 2 } \neq 0 \)), अतः दिए गए बिन्दु संरेख नहीं हैं। यदि क्षेत्रफल शून्य होता, तो बिंदु एक ही रेखा पर होते।
In simple words: हमने दिए गए शीर्षों का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाला। चूंकि क्षेत्रफल शून्य नहीं है, इसका मतलब है कि तीनों बिंदु एक सीधी रेखा में नहीं हैं।

🎯 Exam Tip: यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो, तो दिए गए बिंदु संरेख (collinear) होते हैं, अन्यथा नहीं। इस अवधारणा को याद रखना महत्वपूर्ण है।

Question 3. k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई जबकि शीर्ष (k, 4), (2,- 6) तथा (5, 4) हैं।
Answer: दिए गए बिंदु \( (k, 4), (2, -6) \) तथा \( (5, 4) \) से निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \begin{vmatrix} k & 4 & 1 \\ 2 & -6 & 1 \\ 5 & 4 & 1 \end{vmatrix} \)
दिया गया है कि \( \Delta = \pm 35 \) (क्योंकि क्षेत्रफल धनात्मक होता है, लेकिन सारणिक का मान धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है)।
तो, \( \frac { 1 }{ 2 } \begin{vmatrix} k & 4 & 1 \\ 2 & -6 & 1 \\ 5 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \pm 35 \)
\( \implies \begin{vmatrix} k & 4 & 1 \\ 2 & -6 & 1 \\ 5 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \pm 70 \)
सारणिक को हल करने पर:
\( k(-6-4) - 4(2-5) + 1(8+30) = \pm 70 \)
\( \implies k(-10) - 4(-3) + 1(38) = \pm 70 \)
\( \implies -10k + 12 + 38 = \pm 70 \)
\( \implies -10k + 50 = \pm 70 \)
स्थिति 1: धन चिह्न लेने पर
\( -10k + 50 = 70 \)
\( \implies -10k = 70 - 50 \)
\( \implies -10k = 20 \)
\( \implies k = -2 \)
स्थिति 2: ऋण चिह्न लेने पर
\( -10k + 50 = -70 \)
\( \implies -10k = -70 - 50 \)
\( \implies -10k = -120 \)
\( \implies k = 12 \)
अतः, \( k \) के मान \( -2 \) और \( 12 \) हैं। सारणिक विधि से अज्ञात शीर्ष का मान आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।
In simple words: हमें त्रिभुज का क्षेत्रफल और उसके शीर्षों में से एक में एक अज्ञात मान \( k \) दिया गया था। हमने सारणिक सूत्र का उपयोग करके \( k \) के दो संभावित मानों को हल किया।

🎯 Exam Tip: जब क्षेत्रफल दिया गया हो, तो सारणिक के मान के लिए हमेशा \(\pm\) चिह्न का उपयोग करें, क्योंकि क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है लेकिन सारणिक का मान धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।

Question 4. सारणिक का प्रयोग कर k का मान ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु (k, 2-2k), (-k+1, 2k) तथा (-4-k, 6-2k) सरेख हों।
Answer: दिए गए बिंदु \( (k, 2-2k), (-k+1, 2k) \) तथा \( (-4-k, 6-2k) \) सरेख हैं।
यदि बिंदु सरेख होते हैं, तो उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
इसलिए, \( \frac { 1 }{ 2 } \begin{vmatrix} k & 2-2k & 1 \\ -k+1 & 2k & 1 \\ -4-k & 6-2k & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
\( \implies \begin{vmatrix} k & 2-2k & 1 \\ -k+1 & 2k & 1 \\ -4-k & 6-2k & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
सारणिक को हल करने पर:
\( k[2k - (6-2k)] - (2-2k)[(-k+1) - (-4-k)] + 1[(-k+1)(6-2k) - (-4-k)(2k)] = 0 \)
\( \implies k[2k - 6 + 2k] - (2-2k)[-k+1+4+k] + 1[-6k+2k^2+6-2k - (-8k-2k^2)] = 0 \)
\( \implies k(4k-6) - (2-2k)(5) + 1[-6k+2k^2+6-2k+8k+2k^2] = 0 \)
\( \implies 4k^2-6k - 10 + 10k + 4k^2 + 6 = 0 \)
\( \implies 8k^2 + 4k - 4 = 0 \)
दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर:
\( \implies 2k^2 + k - 1 = 0 \)
अब, इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करेंगे:
\( \implies 2k^2 + 2k - k - 1 = 0 \)
\( \implies 2k(k+1) - 1(k+1) = 0 \)
\( \implies (2k-1)(k+1) = 0 \)
इसलिए, \( 2k-1=0 \) या \( k+1=0 \)
\( \implies k = \frac { 1 }{ 2 } \) या \( k = -1 \)
अतः, \( k \) के मान \( \frac { 1 }{ 2 } \) और \( -1 \) हैं। संरेखता की शर्त का उपयोग करके अज्ञात मान को निर्धारित करना एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।
In simple words: हमें तीन बिंदु दिए गए थे जो एक सीधी रेखा में थे। हमने यह जानने के लिए सारणिक का उपयोग किया कि \( k \) का मान क्या होगा, क्योंकि सीधी रेखा में होने का मतलब है कि उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।

🎯 Exam Tip: जब तीन बिंदु संरेख होते हैं, तो उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा शून्य होता है। इस सिद्धांत का उपयोग करके अज्ञात चर के मान ज्ञात किए जा सकते हैं।

Question 5. दिए गए बिन्दु (3, -2), (x, 2) तथा (8, 8) सरेख हैं।
Answer: दिए गए बिंदु \( (3, -2), (x, 2) \) तथा \( (8, 8) \) सरेख हैं।
यदि बिंदु सरेख हैं, तो उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
इसलिए, \( \frac { 1 }{ 2 } \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ x & 2 & 1 \\ 8 & 8 & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
\( \implies \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ x & 2 & 1 \\ 8 & 8 & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
सारणिक को हल करने पर:
\( 3(2-8) - (-2)(x-8) + 1(8x-16) = 0 \)
\( \implies 3(-6) + 2(x-8) + (8x-16) = 0 \)
\( \implies -18 + 2x - 16 + 8x - 16 = 0 \)
\( \implies 10x - 50 = 0 \)
\( \implies 10x = 50 \)
\( \implies x = 5 \)
अतः, \( x = 5 \)। सरेखता की स्थिति का उपयोग करके अज्ञात निर्देशांक का पता लगाया जा सकता है।
In simple words: तीन बिंदु एक सीधी रेखा में थे, और उनमें से एक बिंदु में एक संख्या \( x \) गायब थी। हमने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य मानकर \( x \) का मान ज्ञात किया, क्योंकि सीधी रेखा में बिंदुओं से त्रिभुज नहीं बनता।

🎯 Exam Tip: सरेख बिंदुओं के लिए सारणिक को शून्य के बराबर सेट करते समय, गणना में किसी भी गलती से बचने के लिए चिह्नों और गुणा को ध्यान से जांचें।

Question 6. सारणिक प्रयोग से दो बिन्दुओं (3, 1) तथा (9, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए तथा त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि तीसरा बिन्दु (-2, -4) हो।
Answer:
(i) बिन्दुओं \( (3, 1) \) तथा \( (9, 3) \) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करना है।
माना रेखा पर एक बिंदु \( (x, y) \) है। यदि तीन बिंदु संरेख हैं, तो उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
इसलिए, \( \frac { 1 }{ 2 } \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
\( \implies \begin{vmatrix} x & y & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \)
सारणिक को हल करने पर:
\( x(1-3) - y(3-9) + 1(9-9) = 0 \)
\( \implies x(-2) - y(-6) + 1(0) = 0 \)
\( \implies -2x + 6y = 0 \)
\( \implies -2(x - 3y) = 0 \)
\( \implies x - 3y = 0 \)
अतः, बिन्दुओं \( (3, 1) \) तथा \( (9, 3) \) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण \( x - 3y = 0 \) है। यह समीकरण एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
(ii) अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है जिसके तीनों बिंदु \( (3, 1), (9, 3) \) तथा \( (-2, -4) \) हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ -2 & -4 & 1 \end{vmatrix} \)
सारणिक को हल करने पर:
\( \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 3(3 - (-4)) - 1(9 - (-2)) + 1(-36 - (-6)) \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 3(3+4) - 1(9+2) + 1(-36+6) \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 3(7) - 1(11) + 1(-30) \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } \{ 21 - 11 - 30 \} \)
\( \implies \Delta = \frac { 1 }{ 2 } (-20) \)
\( \implies \Delta = -10 \)
क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल \( = 10 \) वर्ग इकाई। यह दर्शाता है कि तीनों बिंदु एक वास्तविक त्रिभुज बनाते हैं।
In simple words: पहले, हमने दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण निकाला, यह मानकर कि रेखा पर कोई भी तीसरा बिंदु उन दो बिंदुओं के साथ एक सीधी रेखा में होगा। फिर, हमने दिए गए तीन बिंदुओं के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: रेखा का समीकरण ज्ञात करते समय, अज्ञात बिंदु \((x, y)\) को शामिल करें और सारणिक को शून्य के बराबर सेट करें। क्षेत्रफल गणना में, परिणाम को धनात्मक बनाने के लिए हमेशा निरपेक्ष मान लें।

Question 7. क्रेमर नियम से निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i) \( 2x + 3y = 9, 3x - 2y = 7 \)
(ii) \( 2x - 7y - 13 = 0, 5x + 6y - 9 = 0 \)
Answer:
(i) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( 2x + 3y = 9 \)
\( 3x - 2y = 7 \)
सबसे पहले, हम गुणांक सारणिक (\( \Delta \)) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = 2(-2) - 3(3) = -4 - 9 = -13 \)
चूँकि \( \Delta \neq 0 \), समीकरण निकाय संगत है और इसका एक अद्वितीय हल है।
अब, \( \Delta_1 \) ज्ञात करेंगे ( \( x \) के गुणांकों को स्थिरांक से प्रतिस्थापित करके):
\( \Delta_1 = \begin{vmatrix} 9 & 3 \\ 7 & -2 \end{vmatrix} = 9(-2) - 3(7) = -18 - 21 = -39 \)
और \( \Delta_2 \) ज्ञात करेंगे ( \( y \) के गुणांकों को स्थिरांक से प्रतिस्थापित करके):
\( \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 9 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 2(7) - 9(3) = 14 - 27 = -13 \)
क्रेमर नियम का उपयोग करते हुए, हल है:
\( x = \frac { \Delta_1 }{ \Delta } = \frac { -39 }{ -13 } = 3 \)
\( y = \frac { \Delta_2 }{ \Delta } = \frac { -13 }{ -13 } = 1 \)
अतः, समीकरण निकाय का हल \( x = 3, y = 1 \) है। यह विधि दो चरों वाले समीकरणों को हल करने के लिए सीधी है।
(ii) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( 2x - 7y - 13 = 0 \)
\( 5x + 6y - 9 = 0 \)
इन समीकरणों को मानक रूप में लिखने पर:
\( 2x - 7y = 13 \)
\( 5x + 6y = 9 \)
सबसे पहले, हम गुणांक सारणिक (\( \Delta \)) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta = \begin{vmatrix} 2 & -7 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 2(6) - (-7)(5) = 12 + 35 = 47 \)
चूँकि \( \Delta \neq 0 \), समीकरण निकाय संगत है और इसका एक अद्वितीय हल है।
अब, \( \Delta_1 \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta_1 = \begin{vmatrix} 13 & -7 \\ 9 & 6 \end{vmatrix} = 13(6) - (-7)(9) = 78 + 63 = 141 \)
और \( \Delta_2 \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 13 \\ 5 & 9 \end{vmatrix} = 2(9) - 13(5) = 18 - 65 = -47 \)
क्रेमर नियम का उपयोग करते हुए, हल है:
\( x = \frac { \Delta_1 }{ \Delta } = \frac { 141 }{ 47 } = 3 \)
\( y = \frac { \Delta_2 }{ \Delta } = \frac { -47 }{ 47 } = -1 \)
अतः, समीकरण निकाय का हल \( x = 3, y = -1 \) है। क्रेमर नियम बड़े सिस्टम को भी आसानी से हल कर सकता है।
In simple words: हमने दो अलग-अलग समीकरण प्रणालियों को क्रेमर के नियम का उपयोग करके हल किया। इस नियम में, हम तीन अलग-अलग सारणिकों की गणना करते हैं और फिर अज्ञात मानों \( x \) और \( y \) को खोजने के लिए उन्हें विभाजित करते हैं।

🎯 Exam Tip: क्रेमर नियम का उपयोग करने से पहले हमेशा जांच लें कि \( \Delta \) शून्य न हो; यदि \( \Delta = 0 \), तो क्रेमर नियम लागू नहीं होता और आपको असंगतता या अनगिनत हल की जांच करनी होगी।

Question 8. सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण निकाय असंगत हैं
(i) \( 3x - y + 2z = 3 \)
\( 2x + y + 3z = 5 \)
\( x - 2y - z = 1 \)
(ii) \( x + 6y + 11 = 0 \)
\( 3x + 20y - 6z + 3 = 0 \)
\( 6y - 18z + 1 = 0 \)
Answer:
(i) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( 3x - y + 2z = 3 \)
\( 2x + y + 3z = 5 \)
\( x - 2y - z = 1 \)
गुणांक सारणिक \( \Delta \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} \)
\( \Delta = 3(1(-1) - 3(-2)) - (-1)(2(-1) - 3(1)) + 2(2(-2) - 1(1)) \)
\( \implies \Delta = 3(-1+6) + 1(-2-3) + 2(-4-1) \)
\( \implies \Delta = 3(5) + 1(-5) + 2(-5) \)
\( \implies \Delta = 15 - 5 - 10 \)
\( \implies \Delta = 0 \)
चूँकि \( \Delta = 0 \), हम \( \Delta_1, \Delta_2 \) और \( \Delta_3 \) ज्ञात करेंगे। यदि इनमें से कोई भी गैर-शून्य है, तो निकाय असंगत होगा।
\( \Delta_1 = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 5 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} \)
\( \Delta_1 = 3(1(-1) - 3(-2)) - (-1)(5(-1) - 3(1)) + 2(5(-2) - 1(1)) \)
\( \implies \Delta_1 = 3(-1+6) + 1(-5-3) + 2(-10-1) \)
\( \implies \Delta_1 = 3(5) + 1(-8) + 2(-11) \)
\( \implies \Delta_1 = 15 - 8 - 22 \)
\( \implies \Delta_1 = -15 \)
चूँकि \( \Delta = 0 \) और \( \Delta_1 \neq 0 \), समीकरण निकाय असंगत है और इसका कोई हल संभव नहीं है। यदि \( \Delta_1 \), \( \Delta_2 \), और \( \Delta_3 \) सभी शून्य होते, तो अनगिनत हल होते।
इति सिद्धम्।
(ii) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( x + 6y + 11 = 0 \implies x + 6y = -11 \)
\( 3x + 20y - 6z + 3 = 0 \implies 3x + 20y - 6z = -3 \)
\( 6y - 18z + 1 = 0 \implies 6y - 18z = -1 \)
गुणांक सारणिक \( \Delta \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 0 \\ 3 & 20 & -6 \\ 0 & 6 & -18 \end{vmatrix} \)
\( \Delta = 1(20(-18) - (-6)(6)) - 6(3(-18) - (-6)(0)) + 0(3(6) - 20(0)) \)
\( \implies \Delta = 1(-360+36) - 6(-54-0) + 0 \)
\( \implies \Delta = -324 - 6(-54) \)
\( \implies \Delta = -324 + 324 \)
\( \implies \Delta = 0 \)
चूँकि \( \Delta = 0 \), हम \( \Delta_1, \Delta_2 \) और \( \Delta_3 \) ज्ञात करेंगे।
\( \Delta_1 = \begin{vmatrix} -11 & 6 & 0 \\ -3 & 20 & -6 \\ -1 & 6 & -18 \end{vmatrix} \)
\( \Delta_1 = -11(20(-18) - (-6)(6)) - 6(-3(-18) - (-6)(-1)) + 0(-3(6) - 20(-1)) \)
\( \implies \Delta_1 = -11(-360+36) - 6(54-6) + 0 \)
\( \implies \Delta_1 = -11(-324) - 6(48) \)
\( \implies \Delta_1 = 3564 - 288 \)
\( \implies \Delta_1 = 3276 \)
चूँकि \( \Delta = 0 \) और \( \Delta_1 \neq 0 \), समीकरण निकाय असंगत है और इसका कोई हल संभव नहीं है। यह क्रेमर नियम के अनुसार एक स्पष्ट संकेत है।
इति सिद्धम्।
In simple words: हमने दोनों समीकरण प्रणालियों के लिए दिखाया कि वे असंगत हैं, इसका मतलब है कि उनका कोई हल नहीं है। यह तब होता है जब मुख्य सारणिक \( (\Delta) \) शून्य होता है, लेकिन \( \Delta_1, \Delta_2, \) या \( \Delta_3 \) में से कम से कम एक शून्य नहीं होता है।

🎯 Exam Tip: एक समीकरण निकाय असंगत होता है यदि \( \Delta = 0 \) हो और \( \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 \) में से कम से कम एक सारणिक गैर-शून्य हो। यह स्थिति दर्शाती है कि समीकरणों में कोई सामान्य हल नहीं है।

Question 9. क्रेमर नियम से निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i) \( x + 2y + 4z = 16 \)
\( 4x + 3y - 2z = 5 \)
\( 3x – 5y + z = 4 \)
(ii) \( 2x + y - z = 0 \)
\( x - y + z = 6 \)
\( x + 2y + z = 3 \)
Answer:
(i) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( x + 2y + 4z = 16 \)
\( 4x + 3y - 2z = 5 \)
\( 3x - 5y + z = 4 \)
गुणांक सारणिक \( \Delta \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 4 & 3 & -2 \\ 3 & -5 & 1 \end{vmatrix} \)
\( \Delta = 1(3(1) - (-2)(-5)) - 2(4(1) - (-2)(3)) + 4(4(-5) - 3(3)) \)
\( \implies \Delta = 1(3-10) - 2(4+6) + 4(-20-9) \)
\( \implies \Delta = 1(-7) - 2(10) + 4(-29) \)
\( \implies \Delta = -7 - 20 - 116 \)
\( \implies \Delta = -143 \)
चूँकि \( \Delta \neq 0 \), एक अद्वितीय हल मौजूद है।
अब, \( \Delta_1 \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta_1 = \begin{vmatrix} 16 & 2 & 4 \\ 5 & 3 & -2 \\ 4 & -5 & 1 \end{vmatrix} \)
\( \Delta_1 = 16(3(1) - (-2)(-5)) - 2(5(1) - (-2)(4)) + 4(5(-5) - 3(4)) \)
\( \implies \Delta_1 = 16(3-10) - 2(5+8) + 4(-25-12) \)
\( \implies \Delta_1 = 16(-7) - 2(13) + 4(-37) \)
\( \implies \Delta_1 = -112 - 26 - 148 \)
\( \implies \Delta_1 = -286 \)
अब, \( \Delta_2 \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 16 & 4 \\ 4 & 5 & -2 \\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix} \)
\( \Delta_2 = 1(5(1) - (-2)(4)) - 16(4(1) - (-2)(3)) + 4(4(4) - 5(3)) \)
\( \implies \Delta_2 = 1(5+8) - 16(4+6) + 4(16-15) \)
\( \implies \Delta_2 = 1(13) - 16(10) + 4(1) \)
\( \implies \Delta_2 = 13 - 160 + 4 \)
\( \implies \Delta_2 = -143 \)
और \( \Delta_3 \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 16 \\ 4 & 3 & 5 \\ 3 & -5 & 4 \end{vmatrix} \)
\( \Delta_3 = 1(3(4) - 5(-5)) - 2(4(4) - 5(3)) + 16(4(-5) - 3(3)) \)
\( \implies \Delta_3 = 1(12+25) - 2(16-15) + 16(-20-9) \)
\( \implies \Delta_3 = 1(37) - 2(1) + 16(-29) \)
\( \implies \Delta_3 = 37 - 2 - 464 \)
\( \implies \Delta_3 = -429 \)
क्रेमर नियम से:
\( x = \frac { \Delta_1 }{ \Delta } = \frac { -286 }{ -143 } = 2 \)
\( y = \frac { \Delta_2 }{ \Delta } = \frac { -143 }{ -143 } = 1 \)
\( z = \frac { \Delta_3 }{ \Delta } = \frac { -429 }{ -143 } = 3 \)
अतः, \( x = 2, y = 1, z = 3 \)। यह हल तीन चरों वाले समीकरण निकाय के लिए है।
(ii) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( 2x + y - z = 0 \)
\( x - y + z = 6 \)
\( x + 2y + z = 3 \)
गुणांक सारणिक \( \Delta \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} \)
\( \Delta = 2(-1(1) - 1(2)) - 1(1(1) - 1(1)) + (-1)(1(2) - (-1)(1)) \)
\( \implies \Delta = 2(-1-2) - 1(1-1) - 1(2+1) \)
\( \implies \Delta = 2(-3) - 1(0) - 1(3) \)
\( \implies \Delta = -6 - 0 - 3 \)
\( \implies \Delta = -9 \)
चूँकि \( \Delta \neq 0 \), एक अद्वितीय हल मौजूद है।
अब, \( \Delta_1 \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 6 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} \)
\( \Delta_1 = 0(-1(1) - 1(2)) - 1(6(1) - 1(3)) + (-1)(6(2) - (-1)(3)) \)
\( \implies \Delta_1 = 0 - 1(6-3) - 1(12+3) \)
\( \implies \Delta_1 = -1(3) - 1(15) \)
\( \implies \Delta_1 = -3 - 15 \)
\( \implies \Delta_1 = -18 \)
अब, \( \Delta_2 \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 6 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \)
\( \Delta_2 = 2(6(1) - 1(3)) - 0(1(1) - 1(1)) + (-1)(1(3) - 6(1)) \)
\( \implies \Delta_2 = 2(6-3) - 0 - 1(3-6) \)
\( \implies \Delta_2 = 2(3) - 0 - 1(-3) \)
\( \implies \Delta_2 = 6 + 3 \)
\( \implies \Delta_2 = 9 \)
और \( \Delta_3 \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \)
\( \Delta_3 = 2(-1(3) - 6(2)) - 1(1(3) - 6(1)) + 0(1(2) - (-1)(1)) \)
\( \implies \Delta_3 = 2(-3-12) - 1(3-6) + 0 \)
\( \implies \Delta_3 = 2(-15) - 1(-3) \)
\( \implies \Delta_3 = -30 + 3 \)
\( \implies \Delta_3 = -27 \)
क्रेमर नियम से:
\( x = \frac { \Delta_1 }{ \Delta } = \frac { -18 }{ -9 } = 2 \)
\( y = \frac { \Delta_2 }{ \Delta } = \frac { 9 }{ -9 } = -1 \)
\( z = \frac { \Delta_3 }{ \Delta } = \frac { -27 }{ -9 } = 3 \)
अतः, \( x = 2, y = -1, z = 3 \)। क्रेमर नियम का उपयोग करके जटिल समीकरणों को हल करना आसान हो जाता है।
In simple words: हमने क्रेमर के नियम का उपयोग करके दो प्रणालियों में तीन अज्ञात मानों \( x, y, z \) को हल किया। इस तरीके में, हम हर अज्ञात के लिए सारणिकों की गणना करते हैं और फिर उन्हें मुख्य सारणिक से विभाजित करते हैं।

🎯 Exam Tip: तीन चरों वाले समीकरणों के लिए क्रेमर नियम का उपयोग करते समय, प्रत्येक सारणिक की गणना बहुत सावधानी से करें, क्योंकि इसमें अधिक पद शामिल होते हैं और एक छोटी सी गलती पूरे हल को प्रभावित कर सकती है।

Question 10. सारणिकों की सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए
(i) \( 6x + y - 3z = 5 \)
\( x + 3y - 2z = 5 \)
\( 2x + y + 4z = 8 \)
Answer:
(i) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( 6x + y - 3z = 5 \)
\( x + 3y - 2z = 5 \)
\( 2x + y + 4z = 8 \)
गुणांक सारणिक \( \Delta \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta = \begin{vmatrix} 6 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} \)
\( \Delta = 6(3(4) - (-2)(1)) - 1(1(4) - (-2)(2)) + (-3)(1(1) - 3(2)) \)
\( \implies \Delta = 6(12+2) - 1(4+4) - 3(1-6) \)
\( \implies \Delta = 6(14) - 1(8) - 3(-5) \)
\( \implies \Delta = 84 - 8 + 15 \)
\( \implies \Delta = 91 \)
चूँकि \( \Delta \neq 0 \), एक अद्वितीय हल मौजूद है।
अब, \( \Delta_1 \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta_1 = \begin{vmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 5 & 3 & -2 \\ 8 & 1 & 4 \end{vmatrix} \)
\( \Delta_1 = 5(3(4) - (-2)(1)) - 1(5(4) - (-2)(8)) + (-3)(5(1) - 3(8)) \)
\( \implies \Delta_1 = 5(12+2) - 1(20+16) - 3(5-24) \)
\( \implies \Delta_1 = 5(14) - 1(36) - 3(-19) \)
\( \implies \Delta_1 = 70 - 36 + 57 \)
\( \implies \Delta_1 = 91 \)
अब, \( \Delta_2 \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta_2 = \begin{vmatrix} 6 & 5 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 2 & 8 & 4 \end{vmatrix} \)
\( \Delta_2 = 6(5(4) - (-2)(8)) - 5(1(4) - (-2)(2)) + (-3)(1(8) - 5(2)) \)
\( \implies \Delta_2 = 6(20+16) - 5(4+4) - 3(8-10) \)
\( \implies \Delta_2 = 6(36) - 5(8) - 3(-2) \)
\( \implies \Delta_2 = 216 - 40 + 6 \)
\( \implies \Delta_2 = 182 \)
और \( \Delta_3 \) ज्ञात करेंगे:
\( \Delta_3 = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 5 \\ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 8 \end{vmatrix} \)
\( \Delta_3 = 6(3(8) - 5(1)) - 1(1(8) - 5(2)) + 5(1(1) - 3(2)) \)
\( \implies \Delta_3 = 6(24-5) - 1(8-10) + 5(1-6) \)
\( \implies \Delta_3 = 6(19) - 1(-2) + 5(-5) \)
\( \implies \Delta_3 = 114 + 2 - 25 \)
\( \implies \Delta_3 = 91 \)
क्रेमर नियम से:
\( x = \frac { \Delta_1 }{ \Delta } = \frac { 91 }{ 91 } = 1 \)
\( y = \frac { \Delta_2 }{ \Delta } = \frac { 182 }{ 91 } = 2 \)
\( z = \frac { \Delta_3 }{ \Delta } = \frac { 91 }{ 91 } = 1 \)
अतः, \( x = 1, y = 2, z = 1 \)। क्रेमर नियम एक प्रणाली के सभी चरों के लिए हल प्रदान करता है।
In simple words: हमने क्रेमर के नियम का उपयोग करके दिए गए समीकरणों के समूह को हल किया। इस विधि में, हम कई सारणिकों की गणना करते हैं और फिर \( x, y, \) और \( z \) के मानों को खोजने के लिए उन्हें भाग देते हैं।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप \( \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 \) की गणना करते समय स्थिरांकों को सही कॉलम में प्रतिस्थापित कर रहे हैं, क्योंकि गलत प्रतिस्थापन से गलत उत्तर आएगा।

Question 10. सारणिकों की सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए।
(ii) \( \frac { 2 }{ x } + \frac { 3 }{ y } + \frac { 10 }{ z } = 4 \)
\( \frac { 4 }{ x } - \frac { 6 }{ y } + \frac { 5 }{ z } = 1 \)
\( \frac { 6 }{ x } + \frac { 9 }{ y } - \frac { 20 }{ z } = 2 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय को हल करने के लिए, हम पहले \( \frac { 1 }{ x } = a \), \( \frac { 1 }{ y } = b \) और \( \frac { 1 }{ z } = c \) मान लेते हैं। ऐसा करने से समीकरण सरल हो जाते हैं। तब समीकरण निकाय इस प्रकार होगा:
\( 2a + 3b + 10c = 4 \)
\( 4a - 6b + 5c = 1 \)
\( 6a + 9b - 20c = 2 \)
अब, हम इस प्रणाली को हल करने के लिए सारणिकों का उपयोग करेंगे। हम \( \Delta \), \( \Delta_1 \), \( \Delta_2 \), और \( \Delta_3 \) की गणना करते हैं:
\[ \Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 10 \\ 4 & -6 & 5 \\ 6 & 9 & -20 \end{vmatrix} \]
\( = 2(( -6)(-20) - (5)(9)) - 3((4)(-20) - (5)(6)) + 10((4)(9) - (-6)(6)) \)
\( = 2(120 - 45) - 3(-80 - 30) + 10(36 + 36) \)
\( = 2(75) - 3(-110) + 10(72) \)
\( = 150 + 330 + 720 = 1200 \)
\[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 4 & 3 & 10 \\ 1 & -6 & 5 \\ 2 & 9 & -20 \end{vmatrix} \]
\( = 4((-6)(-20) - (5)(9)) - 3((1)(-20) - (5)(2)) + 10((1)(9) - (-6)(2)) \)
\( = 4(120 - 45) - 3(-20 - 10) + 10(9 + 12) \)
\( = 4(75) - 3(-30) + 10(21) \)
\( = 300 + 90 + 210 = 600 \)
\[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 10 \\ 4 & 1 & 5 \\ 6 & 2 & -20 \end{vmatrix} \]
\( = 2((1)(-20) - (5)(2)) - 4((4)(-20) - (5)(6)) + 10((4)(2) - (1)(6)) \)
\( = 2(-20 - 10) - 4(-80 - 30) + 10(8 - 6) \)
\( = 2(-30) - 4(-110) + 10(2) \)
\( = -60 + 440 + 20 = 400 \)
\[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & -6 & 1 \\ 6 & 9 & 2 \end{vmatrix} \]
\( = 2((-6)(2) - (1)(9)) - 3((4)(2) - (1)(6)) + 4((4)(9) - (-6)(6)) \)
\( = 2(-12 - 9) - 3(8 - 6) + 4(36 + 36) \)
\( = 2(-21) - 3(2) + 4(72) \)
\( = -42 - 6 + 288 = 240 \)
अब, क्रेमर के नियम का उपयोग करके \( a, b, c \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( a = \frac { \Delta_1 }{ \Delta } = \frac { 600 }{ 1200 } = \frac { 1 }{ 2 } \)
\( b = \frac { \Delta_2 }{ \Delta } = \frac { 400 }{ 1200 } = \frac { 1 }{ 3 } \)
\( c = \frac { \Delta_3 }{ \Delta } = \frac { 240 }{ 1200 } = \frac { 1 }{ 5 } \)
चूंकि \( a = \frac { 1 }{ x } \), \( b = \frac { 1 }{ y } \) और \( c = \frac { 1 }{ z } \) है, तो हम \( x, y, z \) के मान ज्ञात कर सकते हैं:
\( \frac { 1 }{ x } = \frac { 1 }{ 2 } \implies x = 2 \)
\( \frac { 1 }{ y } = \frac { 1 }{ 3 } \implies y = 3 \)
\( \frac { 1 }{ z } = \frac { 1 }{ 5 } \implies z = 5 \)
In simple words: हमने पहले \( \frac { 1 }{ x }, \frac { 1 }{ y }, \frac { 1 }{ z } \) को नए अक्षर दिए. फिर क्रेमर के नियम से उन नए अक्षरों के मान निकाले. आखिर में, हमने \( x, y, z \) के असली मान निकालने के लिए उन मानों को पलट दिया.

🎯 Exam Tip: जब समीकरणों में \( \frac { 1 }{ x }, \frac { 1 }{ y } \) जैसे पद हों, तो उन्हें नए चरों से प्रतिस्थापित करना गणना को बहुत आसान बना देता है।

Question 11. आव्यूह सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए।
(i) \( 2x - y = -2 \)
\( 3x + 4y = 3 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखा जा सकता है, जिसे \( AX = B \) के रूप में दर्शाया जाता है।
यहां, \( A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \), \( X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \), और \( B = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} \)।
पहले, हम आव्यूह \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( |A| = (2)(4) - (-1)(3) = 8 + 3 = 11 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \) है, तो \( A^{-1} \) का अस्तित्व है। अब हम \( A \) के सहखण्ड ज्ञात करते हैं:
\( a_{11} = 4 \)
\( a_{12} = -3 \)
\( a_{21} = -(-1) = 1 \)
\( a_{22} = 2 \)
सहखण्डों से निर्मित आव्यूह \( C = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)।
अब, हम सहखण्डज आव्यूह (\( adj A \)) ज्ञात करते हैं, जो \( C \) का परिवर्त है:
\( adj A = C^T = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \)
इसके बाद, हम \( A^{-1} \) ज्ञात करते हैं:
\( A^{-1} = \frac { 1 }{ |A| } adj A = \frac { 1 }{ 11 } \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \)
समीकरण \( X = A^{-1}B \) का उपयोग करके हल ज्ञात करते हैं:
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 11 } \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 11 } \begin{bmatrix} (4)(-2) + (1)(3) \\ (-3)(-2) + (2)(3) \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 11 } \begin{bmatrix} -8 + 3 \\ 6 + 6 \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 11 } \begin{bmatrix} -5 \\ 12 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5/11 \\ 12/11 \end{bmatrix} \]
अतः \( x = - \frac { 5 }{ 11 } \) तथा \( y = \frac { 12 }{ 11 } \)।
In simple words: हमने समीकरणों को आव्यूह के रूप में लिखा. फिर हमने आव्यूह का उलटा (inverse) निकाला. उस उल्टे आव्यूह को इस्तेमाल करके, हमने \( x \) और \( y \) के मान पता किए.

🎯 Exam Tip: आव्यूह विधि में, \( A^{-1} \) की गणना सही होनी चाहिए, क्योंकि कोई भी छोटी सी गलती पूरे हल को गलत कर सकती है।

Question 11. आव्यूह सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए।
(ii) \( 5x + 7y + 2 = 0 \)
\( 4x + 6y + 3 = 0 \)
Answer: दिए गए समीकरणों को फिर से व्यवस्थित करके लिखा जा सकता है:
\( 5x + 7y = -2 \)
\( 4x + 6y = -3 \)
इन समीकरणों को आव्यूह रूप में \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है:
यहां, \( A = \begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} \), \( X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \), और \( B = \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix} \)।
आव्यूह \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( |A| = (5)(6) - (7)(4) = 30 - 28 = 2 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \) है, तो \( A^{-1} \) का अस्तित्व है। अब हम \( A \) के सहखण्ड ज्ञात करते हैं:
\( a_{11} = 6 \)
\( a_{12} = -4 \)
\( a_{21} = -7 \)
\( a_{22} = 5 \)
सहखण्डों से निर्मित आव्यूह \( C = \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} \)।
अब, हम सहखण्डज आव्यूह (\( adj A \)) ज्ञात करते हैं:
\( adj A = C^T = \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -4 & 5 \end{bmatrix} \)
इसके बाद, हम \( A^{-1} \) ज्ञात करते हैं:
\( A^{-1} = \frac { 1 }{ |A| } adj A = \frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -4 & 5 \end{bmatrix} \)
समीकरण \( X = A^{-1}B \) का उपयोग करके हल ज्ञात करते हैं:
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} (6)(-2) + (-7)(-3) \\ (-4)(-2) + (5)(-3) \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} -12 + 21 \\ 8 - 15 \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 9 \\ -7 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9/2 \\ -7/2 \end{bmatrix} \]
अतः \( x = \frac { 9 }{ 2 } \) तथा \( y = - \frac { 7 }{ 2 } \)।
In simple words: हमने समीकरणों को सही रूप में लिखा, फिर आव्यूह का सारणिक और सहखण्डज निकाला. इससे हमें आव्यूह का उलटा मिल गया. आखिर में, इस उल्टे आव्यूह से हमने \( x \) और \( y \) के मान निकाले.

🎯 Exam Tip: आव्यूह विधि में, समीकरणों को \( AX=B \) के रूप में लिखने से पहले, सुनिश्चित करें कि सभी स्थिरांक (constants) समीकरण के दाहिनी ओर हों।

Question 11. आव्यूह सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए।
(iii) \( x + y - z = 1 \)
\( 3x + y - 2z = 3 \)
\( x - y - z = -1 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है।
यहां, \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix} \), \( X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \), और \( B = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} \)।
पहले, हम आव्यूह \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\[ |A| = 1((1)(-1) - (-2)(-1)) - 1((3)(-1) - (-2)(1)) + (-1)((3)(-1) - (1)(1)) \]
\( = 1(-1 - 2) - 1(-3 + 2) - 1(-3 - 1) \)
\( = 1(-3) - 1(-1) - 1(-4) \)
\( = -3 + 1 + 4 = 2 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \) है, तो \( A^{-1} \) का अस्तित्व है। अब हम \( A \) के सहखण्ड ज्ञात करते हैं:
\( a_{11} = (1)(-1) - (-2)(-1) = -1 - 2 = -3 \)
\( a_{12} = -((3)(-1) - (-2)(1)) = -(-3 + 2) = -(-1) = 1 \)
\( a_{13} = (3)(-1) - (1)(1) = -3 - 1 = -4 \)
\( a_{21} = -( (1)(-1) - (-1)(-1) ) = -( -1 - 1 ) = -(-2) = 2 \)
\( a_{22} = (1)(-1) - (-1)(1) = -1 + 1 = 0 \)
\( a_{23} = -( (1)(-1) - (1)(1) ) = -( -1 - 1 ) = -(-2) = 2 \)
\( a_{31} = (1)(-2) - (-1)(1) = -2 + 1 = -1 \)
\( a_{32} = -( (1)(-2) - (-1)(3) ) = -( -2 + 3 ) = -(1) = -1 \)
\( a_{33} = (1)(1) - (1)(3) = 1 - 3 = -2 \)
सहखण्डों से निर्मित आव्यूह \( C = \begin{bmatrix} -3 & 1 & -4 \\ 2 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & -2 \end{bmatrix} \)।
अब, हम सहखण्डज आव्यूह (\( adj A \)) ज्ञात करते हैं:
\( adj A = C^T = \begin{bmatrix} -3 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -4 & 2 & -2 \end{bmatrix} \)
इसके बाद, हम \( A^{-1} \) ज्ञात करते हैं:
\( A^{-1} = \frac { 1 }{ |A| } adj A = \frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} -3 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -4 & 2 & -2 \end{bmatrix} \)
समीकरण \( X = A^{-1}B \) का उपयोग करके हल ज्ञात करते हैं:
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} -3 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -4 & 2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} (-3)(1) + (2)(3) + (-1)(-1) \\ (1)(1) + (0)(3) + (-1)(-1) \\ (-4)(1) + (2)(3) + (-2)(-1) \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} -3 + 6 + 1 \\ 1 + 0 + 1 \\ -4 + 6 + 2 \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 2 } \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \]
अतः \( x = 2, y = 1, z = 2 \)।
In simple words: हमने तीन समीकरणों को आव्यूह रूप में लिखा. फिर आव्यूह का सारणिक और सहखण्डज (cofactors) निकाले. इससे हमें उसका उलटा आव्यूह मिला. अंत में, हमने इस उल्टे आव्यूह का उपयोग करके \( x, y, z \) के मान निकाले.

🎯 Exam Tip: 3x3 आव्यूह के सहखण्डज की गणना करते समय चिह्नों (\( + \) और \( - \)) का विशेष ध्यान रखें, क्योंकि यह एक सामान्य गलती है।

Question 11. आव्यूह सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकायों को हल कीजिए।
(iv) \( 6x - 12y + 25z = 4 \)
\( 4x + 15y - 20z = 3 \)
\( 2x + 18y + 15z = 10 \)
Answer: दिए गए समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है।
यहां, \( A = \begin{bmatrix} 6 & -12 & 25 \\ 4 & 15 & -20 \\ 2 & 18 & 15 \end{bmatrix} \), \( X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \), और \( B = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 10 \end{bmatrix} \)।
पहले, हम आव्यूह \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\[ |A| = 6((15)(15) - (-20)(18)) - (-12)((4)(15) - (-20)(2)) + 25((4)(18) - (15)(2)) \]
\( = 6(225 + 360) + 12(60 + 40) + 25(72 - 30) \)
\( = 6(585) + 12(100) + 25(42) \)
\( = 3510 + 1200 + 1050 = 5760 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \) है, तो \( A^{-1} \) का अस्तित्व है। अब हम \( A \) के सहखण्ड ज्ञात करते हैं:
\( a_{11} = (15)(15) - (-20)(18) = 225 + 360 = 585 \)
\( a_{12} = -( (4)(15) - (-20)(2) ) = -(60 + 40) = -100 \)
\( a_{13} = (4)(18) - (15)(2) = 72 - 30 = 42 \)
\( a_{21} = -( (-12)(15) - (25)(18) ) = -( -180 - 450 ) = -(-630) = 630 \)
\( a_{22} = (6)(15) - (25)(2) = 90 - 50 = 40 \)
\( a_{23} = -( (6)(18) - (-12)(2) ) = -(108 + 24) = -132 \)
\( a_{31} = ( -12)(-20) - (25)(15) = 240 - 375 = -135 \)
\( a_{32} = -( (6)(-20) - (25)(4) ) = -( -120 - 100 ) = -(-220) = 220 \)
\( a_{33} = (6)(15) - (-12)(4) = 90 + 48 = 138 \)
सहखण्डों से निर्मित आव्यूह \( C = \begin{bmatrix} 585 & -100 & 42 \\ 630 & 40 & -132 \\ -135 & 220 & 138 \end{bmatrix} \)।
अब, हम सहखण्डज आव्यूह (\( adj A \)) ज्ञात करते हैं:
\( adj A = C^T = \begin{bmatrix} 585 & 630 & -135 \\ -100 & 40 & 220 \\ 42 & -132 & 138 \end{bmatrix} \)
इसके बाद, हम \( A^{-1} \) ज्ञात करते हैं:
\( A^{-1} = \frac { 1 }{ |A| } adj A = \frac { 1 }{ 5760 } \begin{bmatrix} 585 & 630 & -135 \\ -100 & 40 & 220 \\ 42 & -132 & 138 \end{bmatrix} \)
समीकरण \( X = A^{-1}B \) का उपयोग करके हल ज्ञात करते हैं:
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 5760 } \begin{bmatrix} 585 & 630 & -135 \\ -100 & 40 & 220 \\ 42 & -132 & 138 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 10 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 5760 } \begin{bmatrix} (585)(4) + (630)(3) + (-135)(10) \\ (-100)(4) + (40)(3) + (220)(10) \\ (42)(4) + (-132)(3) + (138)(10) \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 5760 } \begin{bmatrix} 2340 + 1890 - 1350 \\ -400 + 120 + 2200 \\ 168 - 396 + 1380 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 5760 } \begin{bmatrix} 2880 \\ 1920 \\ 1152 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2880/5760 \\ 1920/5760 \\ 1152/5760 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 \\ 1/3 \\ 1/5 \end{bmatrix} \]
अतः \( x = \frac { 1 }{ 2 }, y = \frac { 1 }{ 3 }, z = \frac { 1 }{ 5 } \)।
In simple words: हमने समीकरणों को आव्यूह रूप में बदला. फिर आव्यूह का सारणिक और सहखण्डज निकाले, जिससे हमें उसका उलटा आव्यूह मिला. अंत में, इस उल्टे आव्यूह का उपयोग करके हमने \( x, y, z \) के मान निकाले, जो भिन्न (fractions) में आए.

🎯 Exam Tip: बड़े गुणा और जोड़ के चरणों में सावधानी बरतें, विशेषकर 3x3 आव्यूह के लिए। गणनाओं को दोबारा जांचना गलतियों से बचने में मदद करेगा।

Question 12. यदि \( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} \) हो, तो इस आव्यूह का व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात कीजिए तथा इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए: \( x - 2y = 10 \), \( 2x + y + 3z = 8 \), \( -2y + z = 7 \)।
Answer: दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} \)।
पहले, हम आव्यूह \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\[ |A| = 1((1)(1) - (3)(-2)) - (-2)((2)(1) - (3)(0)) + 0((2)(-2) - (1)(0)) \]
\( = 1(1 + 6) + 2(2 - 0) + 0 \)
\( = 1(7) + 2(2) = 7 + 4 = 11 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \) है, तो \( A^{-1} \) का अस्तित्व है। अब हम \( A \) के सहखण्ड ज्ञात करते हैं:
\( a_{11} = (1)(1) - (3)(-2) = 1 + 6 = 7 \)
\( a_{12} = -( (2)(1) - (3)(0) ) = -(2 - 0) = -2 \)
\( a_{13} = (2)(-2) - (1)(0) = -4 - 0 = -4 \)
\( a_{21} = -( (-2)(1) - (0)(-2) ) = -( -2 - 0 ) = -(-2) = 2 \)
\( a_{22} = (1)(1) - (0)(0) = 1 - 0 = 1 \)
\( a_{23} = -( (1)(-2) - (-2)(0) ) = -( -2 - 0 ) = -(-2) = 2 \)
\( a_{31} = (-2)(3) - (0)(1) = -6 - 0 = -6 \)
\( a_{32} = -( (1)(3) - (0)(2) ) = -(3 - 0) = -3 \)
\( a_{33} = (1)(1) - (-2)(2) = 1 + 4 = 5 \)
सहखण्डों से निर्मित आव्यूह \( C = \begin{bmatrix} 7 & -2 & -4 \\ 2 & 1 & 2 \\ -6 & -3 & 5 \end{bmatrix} \)।
अब, हम सहखण्डज आव्यूह (\( adj A \)) ज्ञात करते हैं:
\( adj A = C^T = \begin{bmatrix} 7 & 2 & -6 \\ -2 & 1 & -3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)
इसके बाद, हम \( A^{-1} \) ज्ञात करते हैं:
\( A^{-1} = \frac { 1 }{ |A| } adj A = \frac { 1 }{ 11 } \begin{bmatrix} 7 & 2 & -6 \\ -2 & 1 & -3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)
दिए गए समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां \( X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 10 \\ 8 \\ 7 \end{bmatrix} \)।
समीकरण \( X = A^{-1}B \) का उपयोग करके हल ज्ञात करते हैं:
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 11 } \begin{bmatrix} 7 & 2 & -6 \\ -2 & 1 & -3 \\ -4 & 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10 \\ 8 \\ 7 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 11 } \begin{bmatrix} (7)(10) + (2)(8) + (-6)(7) \\ (-2)(10) + (1)(8) + (-3)(7) \\ (-4)(10) + (2)(8) + (5)(7) \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 11 } \begin{bmatrix} 70 + 16 - 42 \\ -20 + 8 - 21 \\ -40 + 16 + 35 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 11 } \begin{bmatrix} 44 \\ -33 \\ 11 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 44/11 \\ -33/11 \\ 11/11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix} \]
अतः \( x = 4, y = -3, z = 1 \)।
In simple words: हमने दिए गए आव्यूह का सारणिक और सहखण्डज निकालकर उसका उलटा (inverse) आव्यूह ज्ञात किया. फिर, दिए गए समीकरणों को आव्यूह रूप में लिखकर, हमने इस उल्टे आव्यूह का उपयोग करके \( x, y, z \) के मान निकाले.

🎯 Exam Tip: आव्यूह विधि से समीकरणों को हल करते समय, सुनिश्चित करें कि आव्यूह A के कॉलम समीकरणों में चरों के क्रम से मेल खाते हों।

Question 13. गुणनफल ज्ञात कीजिए तथा इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए: \( x - y + z = 4 \), \( x - 2y - 2z = 9 \), \( 2x + y + 3z = 1 \)।
Answer: पहले हम दो आव्यूहों का गुणनफल ज्ञात करेंगे। मान लीजिए आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \)।
\[ AB = \begin{bmatrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \]
\[ AB = \begin{bmatrix} (-4)(1)+(4)(1)+(4)(2) & (-4)(-1)+(4)(-2)+(4)(1) & (-4)(1)+(4)(-2)+(4)(3) \\ (-7)(1)+(1)(1)+(3)(2) & (-7)(-1)+(1)(-2)+(3)(1) & (-7)(1)+(1)(-2)+(3)(3) \\ (5)(1)+(-3)(1)+(-1)(2) & (5)(-1)+(-3)(-2)+(-1)(1) & (5)(1)+(-3)(-2)+(-1)(3) \end{bmatrix} \]
\[ AB = \begin{bmatrix} -4+4+8 & 4-8+4 & -4-8+12 \\ -7+1+6 & 7-2+3 & -7-2+9 \\ 5-3-2 & -5+6-1 & 5+6-3 \end{bmatrix} \]
\[ AB = \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix} = 8 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 8I \]
चूँकि \( AB = 8I \) है, तो \( B^{-1} = \frac { 1 }{ 8 } A \) होगा।
इसलिए, \( B^{-1} = \frac { 1 }{ 8 } \begin{bmatrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{bmatrix} \)
दिए गए समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में \( BX = C \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां \( X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( C = \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{bmatrix} \)।
समीकरण \( X = B^{-1}C \) का उपयोग करके हल ज्ञात करते हैं:
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 8 } \begin{bmatrix} -4 & 4 & 4 \\ -7 & 1 & 3 \\ 5 & -3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 9 \\ 1 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 8 } \begin{bmatrix} (-4)(4) + (4)(9) + (4)(1) \\ (-7)(4) + (1)(9) + (3)(1) \\ (5)(4) + (-3)(9) + (-1)(1) \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 8 } \begin{bmatrix} -16 + 36 + 4 \\ -28 + 9 + 3 \\ 20 - 27 - 1 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 8 } \begin{bmatrix} 24 \\ -16 \\ -8 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24/8 \\ -16/8 \\ -8/8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix} \]
अतः \( x = 3, y = -2, z = -1 \)।
In simple words: हमने पहले दो आव्यूहों को गुणा किया और देखा कि उनका गुणनफल एक पहचान आव्यूह (identity matrix) का 8 गुना है. इस जानकारी का उपयोग करके, हमने दूसरे आव्यूह का उलटा (inverse) निकाला. फिर, दिए गए समीकरणों को आव्यूह रूप में लिखा और उलटे आव्यूह की मदद से \( x, y, z \) के मान निकाले.

🎯 Exam Tip: यदि दो आव्यूहों का गुणनफल \( kI \) (जहां \( I \) पहचान आव्यूह है) के बराबर आता है, तो एक आव्यूह का व्युत्क्रम दूसरे आव्यूह का \( \frac { 1 }{ k } \) गुना होता है। यह विधि व्युत्क्रम ज्ञात करने में बहुत सहायक होती है।

Question 14. आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \) का व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात कीजिए तथा इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए: \( \frac { 1 }{ x } - \frac { 1 }{ y } + \frac { 1 }{ z } = 4 \), \( \frac { 2 }{ x } + \frac { 1 }{ y } - \frac { 3 }{ z } = 0 \), \( \frac { 1 }{ x } + \frac { 1 }{ y } + \frac { 1 }{ z } = 2 \)।
Answer: दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \)।
पहले, हम आव्यूह \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\[ |A| = 1((1)(1) - (-3)(1)) - (-1)((2)(1) - (-3)(1)) + 1((2)(1) - (1)(1)) \]
\( = 1(1 + 3) + 1(2 + 3) + 1(2 - 1) \)
\( = 1(4) + 1(5) + 1(1) \)
\( = 4 + 5 + 1 = 10 \)
चूँकि \( |A| \neq 0 \) है, तो \( A^{-1} \) का अस्तित्व है। अब हम \( A \) के सहखण्ड ज्ञात करते हैं:
\( a_{11} = (1)(1) - (-3)(1) = 1 + 3 = 4 \)
\( a_{12} = -( (2)(1) - (-3)(1) ) = -(2 + 3) = -5 \)
\( a_{13} = (2)(1) - (1)(1) = 2 - 1 = 1 \)
\( a_{21} = -( (-1)(1) - (1)(1) ) = -( -1 - 1 ) = -(-2) = 2 \)
\( a_{22} = (1)(1) - (1)(1) = 1 - 1 = 0 \)
\( a_{23} = -( (1)(1) - (-1)(1) ) = -(1 + 1) = -2 \)
\( a_{31} = (-1)(-3) - (1)(1) = 3 - 1 = 2 \)
\( a_{32} = -( (1)(-3) - (1)(2) ) = -( -3 - 2 ) = -(-5) = 5 \)
\( a_{33} = (1)(1) - (-1)(2) = 1 + 2 = 3 \)
सहखण्डों से निर्मित आव्यूह \( C = \begin{bmatrix} 4 & -5 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix} \)।
अब, हम सहखण्डज आव्यूह (\( adj A \)) ज्ञात करते हैं:
\( adj A = C^T = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \)
इसके बाद, हम \( A^{-1} \) ज्ञात करते हैं:
\( A^{-1} = \frac { 1 }{ |A| } adj A = \frac { 1 }{ 10 } \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \)
दिए गए समीकरण निकाय को हल करने के लिए, हम पहले \( \frac { 1 }{ x } = a \), \( \frac { 1 }{ y } = b \) और \( \frac { 1 }{ z } = c \) मान लेते हैं। इससे समीकरण निकाय इस प्रकार होगा:
\( a - b + c = 4 \)
\( 2a + b - 3c = 0 \)
\( a + b + c = 2 \)
इस निकाय को आव्यूह रूप में \( AX' = B' \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां \( X' = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \) और \( B' = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \)। ध्यान दें कि \( A \) यहाँ मूल प्रश्न में दिया गया आव्यूह ही है।
समीकरण \( X' = A^{-1}B' \) का उपयोग करके हल ज्ञात करते हैं:
\[ \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 10 } \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 10 } \begin{bmatrix} (4)(4) + (2)(0) + (2)(2) \\ (-5)(4) + (0)(0) + (5)(2) \\ (1)(4) + (-2)(0) + (3)(2) \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 10 } \begin{bmatrix} 16 + 0 + 4 \\ -20 + 0 + 10 \\ 4 + 0 + 6 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \frac { 1 }{ 10 } \begin{bmatrix} 20 \\ -10 \\ 10 \end{bmatrix} \]
\[ \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \]
चूँकि \( a = \frac { 1 }{ x } \), \( b = \frac { 1 }{ y } \) और \( c = \frac { 1 }{ z } \) है, तो:
\( \frac { 1 }{ x } = 2 \implies x = \frac { 1 }{ 2 } \)
\( \frac { 1 }{ y } = -1 \implies y = -1 \)
\( \frac { 1 }{ z } = 1 \implies z = 1 \)
अतः \( x = \frac { 1 }{ 2 }, y = -1, z = 1 \)।
In simple words: हमने दिए गए आव्यूह का व्युत्क्रम (inverse) निकाला. फिर, समीकरणों को सरल बनाने के लिए \( \frac { 1 }{ x }, \frac { 1 }{ y }, \frac { 1 }{ z } \) को नए अक्षरों से बदल दिया. इस नए समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल करके, हमने \( x, y, z \) के अंतिम मान निकाले.

🎯 Exam Tip: ऐसे समीकरणों को हल करते समय जिनमें \( \frac { 1 }{ x }, \frac { 1 }{ y } \) आदि शामिल हों, प्रतिस्थापन (substitution) विधि का उपयोग करना हमेशा एक अच्छा प्रारंभिक कदम है।

Question 14. आव्यूह \( \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \) का व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात कीजिए तथा इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए। \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2y \\ 6z \\ -2x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
Answer:

सबसे पहले, हम दिए गए आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \) का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात करेंगे।

सारणिक \( |A| \) की गणना करें:
\( |A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \)
\( |A| = 1(1 \times 1 - (-3) \times 1) + 1(2 \times 1 - (-3) \times 1) + 1(2 \times 1 - 1 \times 1) \)
\( |A| = 1(1+3) + 1(2+3) + 1(2-1) \)
\( |A| = 1(4) + 1(5) + 1(1) \)
\( |A| = 4 + 5 + 1 = 10 \)
चूँकि \( |A| = 10 \neq 0 \), इसलिए व्युत्क्रम \( A^{-1} \) मौजूद है।

अब, सहखंडों (cofactors) की गणना करें:

\( A_{11} = + \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 - (-3)) = 1+3 = 4 \)
\( A_{12} = - \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - (-3)) = -(2+3) = -5 \)
\( A_{13} = + \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 - 1) = 1 \)

\( A_{21} = - \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 1) = -(-2) = 2 \)
\( A_{22} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 1) = 0 \)
\( A_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - (-1)) = -(1+1) = -2 \)

\( A_{31} = + \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = ((-1) \times (-3) - 1 \times 1) = (3-1) = 2 \)
\( A_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = -(1 \times (-3) - 1 \times 2) = -(-3-2) = -(-5) = 5 \)
\( A_{33} = + \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 \times 1 - (-1) \times 2) = (1+2) = 3 \)

सहखंडों से बना आव्यूह (Cofactor Matrix) \( C = \begin{bmatrix} 4 & -5 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix} \)

संलग्न आव्यूह (Adjoint Matrix) \( adj(A) = C^T \):
\( adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \)

व्युत्क्रम आव्यूह \( A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) \):
\( A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \)

अब, दिए गए समीकरण निकाय को हल करने के लिए, हम उस आव्यूह का उपयोग करेंगे जिसका हमने व्युत्क्रम ज्ञात किया है और दिए गए समीकरणों के दाहिने हाथ के पक्ष को स्थिरांक आव्यूह के रूप में लेंगे। यह तरीका अक्सर मैट्रिक्स समस्याओं में एक-दूसरे से संबंधित होता है। दिए गए समीकरणों को \( A \mathbf{x} = \mathbf{b} \) के रूप में मानकर, जहाँ \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \) और \( \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \) (जिसे हमने दिए गए समीकरणों के दाहिने हाथ के पक्ष से लिया है)।
\( \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} \)
\( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} (4 \times 2) + (2 \times 0) + (2 \times 1) \\ (-5 \times 2) + (0 \times 0) + (5 \times 1) \\ (1 \times 2) + (-2) \times 0 + (3 \times 1) \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 8 + 0 + 2 \\ -10 + 0 + 5 \\ 2 + 0 + 3 \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 10 \\ -5 \\ 5 \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1/2 \\ 1/2 \end{bmatrix} \)
इस प्रकार, \( x = 1, y = -\frac{1}{2}, z = \frac{1}{2} \).
In simple words: हमने पहले दिए गए मैट्रिक्स का उल्टा मैट्रिक्स निकाला. फिर, उस उल्टे मैट्रिक्स का उपयोग करके, हमने एक समीकरण सिस्टम को हल किया, जहाँ मैट्रिक्स खुद गुणा में थी और दिए गए सिस्टम का दाहिना हिस्सा परिणाम था. इससे हमें x, y, और z के मान मिले.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात करते समय सारणिक (determinant) और सहखंडों (cofactors) की गणना सही ढंग से करते हैं, क्योंकि एक छोटी सी गलती भी पूरे हल को गलत कर सकती है।

Question. सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 'a' हो और उसके शीर्ष \( (x_1, y_1), (x_2, y_2) \) तथा \( (x_3, y_3) \) हों, तो \( \left( 2 \times \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 2 \\ x_2 & y_2 & 2 \\ x_3 & y_3 & 2 \end{vmatrix} \right)^2 = 3a^4 \) होता है।
Answer:

हमें दिया गया है कि एक समबाहु त्रिभुज की भुजा \( a \) है, और उसके शीर्ष (vertices) \( (x_1, y_1), (x_2, y_2) \) और \( (x_3, y_3) \) हैं। त्रिभुज का मानक क्षेत्रफल (Standard Area) सारणिक विधि से \( \Delta = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \) होता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए यह क्षेत्रफल \( \Delta = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \) के बराबर होता है।

दिए गए व्यंजक का L.H.S. है:
\( \text{L.H.S.} = \left( 2 \times \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 2 \\ x_2 & y_2 & 2 \\ x_3 & y_3 & 2 \end{vmatrix} \right)^2 \)
पहले सारणिक को सरल करें:
\( \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 2 \\ x_2 & y_2 & 2 \\ x_3 & y_3 & 2 \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \times 2 \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \)
\( = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \)
यह मानक क्षेत्रफल का दोगुना है, यानी \( 2\Delta \)।

तो, प्रश्न में दिए गए व्यंजक का L.H.S. है:
\( \text{L.H.S.} = (2 \times (2\Delta))^2 = (4\Delta)^2 \)
अब, समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल \( \Delta \) का मान रखें:
\( \text{L.H.S.} = \left( 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \right)^2 \)
\( = \left( \sqrt{3}a^2 \right)^2 \)
\( = 3a^4 \)

यह R.H.S. के बराबर है।
इसलिए, \( \text{L.H.S.} = \text{R.H.S.} \). यह सिद्ध होता है।
In simple words: हमने त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग किया. दिए गए समीकरण के बाएं हिस्से को सरल करने पर हमें पता चला कि यह असल में '4 गुणा क्षेत्रफल' का वर्ग है. चूंकि समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \) होता है, तो '4 गुणा क्षेत्रफल' \( \sqrt{3}a^2 \) हो जाता है. इसका वर्ग करने पर \( 3a^4 \) मिलता है, जो दाहिने हिस्से से मेल खाता है.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, सबसे पहले यह सुनिश्चित करें कि दिया गया L.H.S. मानक क्षेत्रफल सूत्र के कितने गुना है, और फिर समबाहु त्रिभुज के विशिष्ट क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करें।