RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 5 व्युत्क्रम आव्यूह एवंरैरिवक समीकरण Miscellaneous

Question 1. यदि \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \) हो, तो \( A^{-1} \) ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया आव्यूह है:
\( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \)
पहले \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( |A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-1)(2) = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5 \)
क्योंकि \( |A| = 5 \neq 0 \), इसलिए \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब \( A \) का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करते हैं। 2x2 आव्यूह के लिए, हम मुख्य विकर्ण के तत्वों को बदलते हैं और अन्य विकर्ण के तत्वों का चिह्न बदल देते हैं:
\( \text{adj} A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \)
अब, \( A^{-1} \) की गणना करते हैं, जिसका सूत्र \( A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{adj} A) \) है:
\( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \)
In simple words: सबसे पहले, हम आव्यूह का सारणिक निकालते हैं। अगर सारणिक शून्य नहीं है, तो उसका व्युत्क्रम मौजूद है। फिर हम आव्यूह का सहखंडज निकालते हैं, जो मुख्य विकर्ण के तत्वों को बदलकर और दूसरे विकर्ण के चिह्नों को बदलकर मिलता है। अंत में, व्युत्क्रम निकालने के लिए सहखंडज को सारणिक से भाग दे देते हैं।

🎯 Exam Tip: 2x2 आव्यूह के व्युत्क्रम को जल्दी से ज्ञात करने के लिए, मुख्य विकर्ण के तत्वों को आपस में बदलें और दूसरे विकर्ण के तत्वों के चिह्नों को बदलें, फिर पूरे आव्यूह को सारणिक से भाग दें।

Question 2. यदि \( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \) हो, तो \( A^{-1} \) ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया आव्यूह है:
\( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \)
पहले \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( |A| = 0 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \)
\( = 0(0 - 1) - 1(0 - 1) + 1(1 - 0) \)
\( = 0 + 1 + 1 = 2 \)
क्योंकि \( |A| = 2 \neq 0 \), इसलिए \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब \( A \) के सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( a_{11} = + \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 1) = -1 \)
\( a_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1 \)
\( a_{13} = + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 0) = 1 \)
\( a_{21} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1 \)
\( a_{22} = + \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 1) = -1 \)
\( a_{23} = - \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1 \)
\( a_{31} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 0) = 1 \)
\( a_{32} = - \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1 \)
\( a_{33} = + \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 1) = -1 \)
सहखंडों से निर्मित आव्यूह \( B \) है:
\( B = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \)
अब सहखंडज आव्यूह (adj \( A \)) ज्ञात करते हैं, जो \( B \) का परिवर्त (transpose) है:
\( \text{adj} A = B^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \)
अंत में, \( A^{-1} \) ज्ञात करते हैं, जिसका सूत्र \( A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{adj} A) \) है:
\( A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \)
In simple words: पहले हम आव्यूह का सारणिक निकालते हैं। यदि यह शून्य नहीं है, तो व्युत्क्रम संभव है। फिर हम आव्यूह के प्रत्येक तत्व के लिए सहखंड ज्ञात करते हैं। इन सहखंडों से एक नया आव्यूह बनाते हैं, फिर उसका परिवर्त (ट्रांसपोज़) लेते हैं, जिसे सहखंडज आव्यूह कहते हैं। अंत में, व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए सहखंडज आव्यूह को सारणिक से भाग देते हैं।

🎯 Exam Tip: 3x3 आव्यूह के सहखंडों की गणना करते समय, चिह्नों \( (+, -, +) \) का क्रम याद रखें और प्रत्येक सहखंड के लिए सही उप-सारणिक का उपयोग करें। परिवर्त (transpose) करते समय पंक्तियों को स्तंभों में बदलना न भूलें।

Question 3. यदि आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ x & 2 & -3 \end{bmatrix} \) अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तब \( x \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया आव्यूह है:
\( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ x & 2 & -3 \end{bmatrix} \)
चूँकि आव्यूह \( A \) अव्युत्क्रमणीय है, इसका मतलब है कि इसका सारणिक शून्य है, अर्थात \( |A| = 0 \)।
\( |A| = 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & -3 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ x & 2 \end{vmatrix} = 0 \)
\( \implies 1((2)(-3) - (1)(2)) + 2((1)(-3) - (1)(x)) + 3((1)(2) - (2)(x)) = 0 \)
\( \implies 1(-6 - 2) + 2(-3 - x) + 3(2 - 2x) = 0 \)
\( \implies -8 - 6 - 2x + 6 - 6x = 0 \)
\( \implies -8 - 8x = 0 \)
\( \implies -8x = 8 \)
\( \implies x = \frac{8}{-8} \)
\( \implies x = -1 \)
In simple words: एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय तब होता है जब उसका सारणिक (डिटरमिनेंट) शून्य होता है। हम दिए गए आव्यूह का सारणिक निकालते हैं और उसे शून्य के बराबर सेट करते हैं। फिर, समीकरण को हल करके अज्ञात चर \( x \) का मान ज्ञात करते हैं।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है यदि उसका सारणिक शून्य हो। सारणिक की गणना करते समय चिह्नों और गुणन का ध्यानपूर्वक पालन करें।

Question 4. क्रेमर नियम का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकाय हल कीजिए।
(i) \( 2x - y = 17 \)
\( x + 5y = 6 \)
(ii) \( 3x + ay = 4 \)
\( 2x + ay = 2 \), \( a \neq 0 \)
(iii) \( x + 2y + 3z = 6 \)
\( 2x + 4y + z = 7 \)
\( 3x + 2y + 9z = 14 \)
Answer:
(i) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( 2x - y = 17 \)
\( x + 5y = 6 \)
क्रेमर नियम का उपयोग करने के लिए, हम \( \Delta \), \( \Delta_1 \) और \( \Delta_2 \) ज्ञात करते हैं।
\( \Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = (2)(5) - (-1)(1) = 10 + 1 = 11 \)
\( \Delta_1 = \begin{vmatrix} 17 & -1 \\ 6 & 5 \end{vmatrix} = (17)(5) - (-1)(6) = 85 + 6 = 91 \)
\( \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 17 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} = (2)(6) - (17)(1) = 12 - 17 = -5 \)
क्रेमर नियम से, हल है:
\( x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{91}{11} \)
\( y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-5}{11} \)
यहाँ, \( \Delta \neq 0 \), इसलिए समीकरण निकाय संगत और स्वतंत्र है और इसका अद्वितीय हल है।

(ii) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( 3x + ay = 4 \)
\( 2x + ay = 2 \), \( a \neq 0 \)
क्रेमर नियम का उपयोग करने के लिए, हम \( \Delta \), \( \Delta_1 \) और \( \Delta_2 \) ज्ञात करते हैं।
\( \Delta = \begin{vmatrix} 3 & a \\ 2 & a \end{vmatrix} = (3)(a) - (a)(2) = 3a - 2a = a \)
\( \Delta_1 = \begin{vmatrix} 4 & a \\ 2 & a \end{vmatrix} = (4)(a) - (a)(2) = 4a - 2a = 2a \)
\( \Delta_2 = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (3)(2) - (4)(2) = 6 - 8 = -2 \)
चूँकि \( a \neq 0 \) (दिया गया है), \( \Delta \neq 0 \) है। इसलिए समीकरण निकाय संगत और स्वतंत्र है और इसका अद्वितीय हल है।
क्रेमर नियम से, हल है:
\( x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{2a}{a} = 2 \)
\( y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-2}{a} \)

(iii) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( x + 2y + 3z = 6 \)
\( 2x + 4y + z = 7 \)
\( 3x + 2y + 9z = 14 \)
क्रेमर नियम का उपयोग करने के लिए, हम \( \Delta \), \( \Delta_1 \), \( \Delta_2 \) और \( \Delta_3 \) ज्ञात करते हैं।
\( \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 2 & 9 \end{vmatrix} \)
\( = 1(36 - 2) - 2(18 - 3) + 3(4 - 12) \)
\( = 1(34) - 2(15) + 3(-8) \)
\( = 34 - 30 - 24 = -20 \)
\( \Delta_1 = \begin{vmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 7 & 4 & 1 \\ 14 & 2 & 9 \end{vmatrix} \)
\( = 6(36 - 2) - 2(63 - 14) + 3(14 - 56) \)
\( = 6(34) - 2(49) + 3(-42) \)
\( = 204 - 98 - 126 = -20 \)
\( \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 14 & 9 \end{vmatrix} \)
\( = 1(63 - 14) - 6(18 - 3) + 3(28 - 21) \)
\( = 1(49) - 6(15) + 3(7) \)
\( = 49 - 90 + 21 = -20 \)
\( \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 2 & 4 & 7 \\ 3 & 2 & 14 \end{vmatrix} \)
\( = 1(56 - 14) - 2(28 - 21) + 6(4 - 12) \)
\( = 1(42) - 2(7) + 6(-8) \)
\( = 42 - 14 - 48 = -20 \)
चूँकि \( \Delta \neq 0 \), \( \Delta_1 \neq 0 \), \( \Delta_2 \neq 0 \) तथा \( \Delta_3 \neq 0 \), इसलिए समीकरण निकाय संगत और स्वतंत्र है और इसका अद्वितीय हल है।
क्रेमर नियम से, हल है:
\( x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-20}{-20} = 1 \)
\( y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-20}{-20} = 1 \)
\( z = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{-20}{-20} = 1 \)
अतः समीकरण निकाय का हल \( x = 1, y = 1, z = 1 \) है।In simple words: क्रेमर नियम का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के लिए, हम सबसे पहले तीन सारणिक (\( \Delta \), \( \Delta_1 \), \( \Delta_2 \)) की गणना करते हैं। \( \Delta \) गुणांकों का सारणिक है, जबकि \( \Delta_1 \) और \( \Delta_2 \) को \( \Delta \) में x-गुणांकों या y-गुणांकों को स्थिरांकों से बदलकर प्राप्त किया जाता है। यदि \( \Delta \) शून्य नहीं है, तो हमें \( x = \Delta_1/\Delta \) और \( y = \Delta_2/\Delta \) से अद्वितीय हल मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: क्रेमर नियम का उपयोग करते समय, सारणिक \( \Delta \) की गणना सबसे पहले करें। यदि \( \Delta = 0 \) है, तो क्रेमर नियम सीधे हल नहीं दे सकता है, और आपको संगतता के लिए \( \Delta_1, \Delta_2, \ldots \) की जांच करनी होगी।

Question 5. क्रेमर नियम का प्रयोग कर सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण निकाय असंगत है।
(i) \( 2x - y = 5 \)
\( 4x - 2y = 7 \)
(ii) \( x + y + z = 1 \)
\( x + 2y + 3z = 2 \)
\( 3x + 4y + 5z = 3 \)
Answer:
(i) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( 2x - y = 5 \)
\( 4x - 2y = 7 \)
क्रेमर नियम के लिए सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( \Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (-1)(4) = -4 + 4 = 0 \)
\( \Delta_1 = \begin{vmatrix} 5 & -1 \\ 7 & -2 \end{vmatrix} = (5)(-2) - (-1)(7) = -10 + 7 = -3 \)
\( \Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} = (2)(7) - (5)(4) = 14 - 20 = -6 \)
चूँकि \( \Delta = 0 \) और \( \Delta_1 \neq 0 \) (या \( \Delta_2 \neq 0 \)), इसलिए समीकरण निकाय असंगत है। इसका कोई हल नहीं है।

(ii) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( x + y + z = 1 \)
\( x + 2y + 3z = 2 \)
\( 3x + 4y + 5z = 3 \)
क्रेमर नियम के लिए सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} \)
\( = 1(10 - 12) - 1(5 - 9) + 1(4 - 6) \)
\( = 1(-2) - 1(-4) + 1(-2) \)
\( = -2 + 4 - 2 = 0 \)
अब \( \Delta_1 \) ज्ञात करते हैं (पहले स्तंभ को स्थिरांकों से बदलते हुए):
\( \Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} \)
\( = 1(10 - 12) - 1(10 - 9) + 1(8 - 6) \)
\( = 1(-2) - 1(1) + 1(2) \)
\( = -2 - 1 + 2 = -1 \)
अब \( \Delta_2 \) ज्ञात करते हैं (दूसरे स्तंभ को स्थिरांकों से बदलते हुए):
\( \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 5 \end{vmatrix} \)
\( = 1(10 - 9) - 1(5 - 9) + 1(3 - 6) \)
\( = 1(1) - 1(-4) + 1(-3) \)
\( = 1 + 4 - 3 = 2 \)
अब \( \Delta_3 \) ज्ञात करते हैं (तीसरे स्तंभ को स्थिरांकों से बदलते हुए):
\( \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 3 \end{vmatrix} \)
\( = 1(6 - 8) - 1(3 - 6) + 1(4 - 6) \)
\( = 1(-2) - 1(-3) + 1(-2) \)
\( = -2 + 3 - 2 = -1 \)
चूँकि \( \Delta = 0 \) और \( \Delta_1 \neq 0 \) (तथा \( \Delta_2 \neq 0 \) और \( \Delta_3 \neq 0 \)), इसलिए दिया गया समीकरण निकाय असंगत है। इसका कोई हल नहीं है।
In simple words: क्रेमर नियम का उपयोग करके यह साबित करने के लिए कि समीकरण निकाय असंगत है, हम सबसे पहले गुणांकों का सारणिक (\( \Delta \)) ज्ञात करते हैं। यदि \( \Delta \) शून्य है, तो हम प्रत्येक चर के लिए (\( \Delta_1 \), \( \Delta_2 \), आदि) सारणिक ज्ञात करते हैं। यदि \( \Delta \) शून्य है लेकिन इनमें से कोई भी \( \Delta_i \) गैर-शून्य है, तो समीकरण निकाय असंगत होता है, जिसका अर्थ है कि इसका कोई हल नहीं है।

🎯 Exam Tip: एक समीकरण निकाय असंगत होता है यदि \( \Delta = 0 \) हो और कम से कम एक \( \Delta_j \) (जहाँ \( j = 1, 2, 3 \ldots \)) गैर-शून्य हो। यह दिखाता है कि कोई भी मान समीकरणों के सभी सेटों को संतुष्ट नहीं करता है।

Question 6. एक द्वितीय क्रम की आव्यूह \( A \) ज्ञात कीजिए जहाँ \( B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \) और \( A = C B^{-1} \) है तथा \( C = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \)।
Answer: दिया गया आव्यूह \( B \) है:
\( B = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \)
पहले \( B \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( |B| = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (-2)(1) = 4 + 2 = 6 \)
क्योंकि \( |B| = 6 \neq 0 \), इसलिए \( B^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब \( B \) के सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( B_{11} = 4 \)
\( B_{12} = -1 \)
\( B_{21} = -(-2) = 2 \)
\( B_{22} = 1 \)
सहखंडों से निर्मित आव्यूह \( D \) है:
\( D = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \)
अब सहखंडज आव्यूह (adj \( B \)) ज्ञात करते हैं, जो \( D \) का परिवर्त (transpose) है:
\( \text{adj} B = D^T = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)
अब, \( B^{-1} \) की गणना करते हैं, जिसका सूत्र \( B^{-1} = \frac{1}{|B|} (\text{adj} B) \) है:
\( B^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)
हमें \( A = C B^{-1} \) ज्ञात करना है। दिया गया है \( C = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \)
\( A = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)
\( \implies A = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)
\( \implies A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)
\( \implies A = \begin{bmatrix} (1)(4)+(0)(-1) & (1)(2)+(0)(1) \\ (0)(4)+(1)(-1) & (0)(2)+(1)(1) \end{bmatrix} \)
\( \implies A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)
In simple words: आव्यूह \( A \) को ज्ञात करने के लिए, हमें पहले आव्यूह \( B \) का व्युत्क्रम \( (B^{-1}) \) ज्ञात करना होगा। इसके लिए, हम \( B \) का सारणिक निकालते हैं और फिर उसके सहखंडों से सहखंडज आव्यूह बनाते हैं। \( B^{-1} \) ज्ञात होने के बाद, हम \( C \) और \( B^{-1} \) को गुणा करते हैं। आव्यूह गुणन करते समय, पहली आव्यूह की पंक्तियों को दूसरी आव्यूह के स्तंभों से गुणा किया जाता है।

🎯 Exam Tip: आव्यूह गुणन करते समय, पहली आव्यूह के स्तंभों की संख्या दूसरी आव्यूह की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। हमेशा गुणन के क्रम का ध्यान रखें (अर्थात, \( CB^{-1} \neq B^{-1}C \))।

Question 7. यदि \( A = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \) हो, तो सिद्ध कीजिए कि \( A^2 + 4A - 42I = 0 \) तथा इसकी सहायता से \( A^{-1} \) भी ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया आव्यूह है:
\( A = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \)
पहले \( A^2 \) ज्ञात करते हैं:
\( A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (-8)(-8)+(5)(2) & (-8)(5)+(5)(4) \\ (2)(-8)+(4)(2) & (2)(5)+(4)(4) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 64+10 & -40+20 \\ -16+8 & 10+16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 74 & -20 \\ -8 & 26 \end{bmatrix} \)
अब \( 4A \) ज्ञात करते हैं:
\( 4A = 4 \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4(-8) & 4(5) \\ 4(2) & 4(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -32 & 20 \\ 8 & 16 \end{bmatrix} \)
और \( 42I \) ज्ञात करते हैं, जहाँ \( I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) 2x2 तत्समक आव्यूह है:
\( 42I = 42 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 42 & 0 \\ 0 & 42 \end{bmatrix} \)
अब \( A^2 + 4A - 42I \) की गणना करते हैं:
\( A^2 + 4A - 42I = \begin{bmatrix} 74 & -20 \\ -8 & 26 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -32 & 20 \\ 8 & 16 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 42 & 0 \\ 0 & 42 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 74 - 32 - 42 & -20 + 20 - 0 \\ -8 + 8 - 0 & 26 + 16 - 42 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0 \)
इस प्रकार, \( A^2 + 4A - 42I = 0 \) सिद्ध हुआ। यह केली-हैमिल्टन प्रमेय का एक उदाहरण है।
अब इसकी सहायता से \( A^{-1} \) ज्ञात करते हैं। समीकरण \( A^2 + 4A - 42I = 0 \) से, हम \( A^{-1} \) से गुणा करते हैं (दोनों पक्षों को):
\( A^{-1} (A^2 + 4A - 42I) = A^{-1} (0) \)
\( \implies A^{-1} A^2 + A^{-1} (4A) - A^{-1} (42I) = 0 \)
\( \implies (A^{-1} A) A + 4(A^{-1} A) - 42(A^{-1} I) = 0 \)
क्योंकि \( A^{-1} A = I \) और \( A^{-1} I = A^{-1} \):
\( \implies IA + 4I - 42A^{-1} = 0 \)
\( \implies A + 4I - 42A^{-1} = 0 \)
\( \implies 42A^{-1} = A + 4I \)
\( \implies A^{-1} = \frac{1}{42} (A + 4I) \)
अब \( A + 4I \) ज्ञात करते हैं:
\( A + 4I = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} + 4 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8+4 & 5+0 \\ 2+0 & 4+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 5 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} \)
तो, \( A^{-1} \) है:
\( A^{-1} = \frac{1}{42} \begin{bmatrix} -4 & 5 \\ 2 & 8 \end{bmatrix} \)
In simple words: पहले हम \( A^2 \) ज्ञात करते हैं, फिर \( 4A \) और \( 42I \) ज्ञात करते हैं। इन सभी को जोड़ने और घटाने पर, परिणाम शून्य आव्यूह आता है, जिससे समीकरण सिद्ध होता है। \( A^{-1} \) ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरण को \( A^{-1} \) से गुणा करते हैं और \( A^{-1}A = I \) का उपयोग करके उसे \( A^{-1} \) के लिए हल करते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( A^2 \) की गणना ध्यानपूर्वक करें। \( A^{-1} \) ज्ञात करने के लिए दिए गए समीकरण का उपयोग करते समय, \( A^{-1} A = I \) और \( AI = A \) जैसी आव्यूह पहचानों का सही ढंग से उपयोग करें।

Question 9. यदि \( A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \) हो, तो \( A^{-1} \) ज्ञात कीजिए तथा दिखाइये कि \( A^{-1} A = I_3 \)।
Answer: दिया गया आव्यूह है:
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \)
पहले \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( |A| = 1 \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \)
\( = 1(16 - 9) - 3(4 - 3) + 3(3 - 4) \)
\( = 1(7) - 3(1) + 3(-1) \)
\( = 7 - 3 - 3 = 1 \)
क्योंकि \( |A| = 1 \neq 0 \), इसलिए \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब \( A \) के सहखंड ज्ञात करते हैं:
\( a_{11} = + \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (16 - 9) = 7 \)
\( a_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -(4 - 3) = -1 \)
\( a_{13} = + \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (3 - 4) = -1 \)
\( a_{21} = - \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -(12 - 9) = -3 \)
\( a_{22} = + \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (4 - 3) = 1 \)
\( a_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 3) = 0 \)
\( a_{31} = + \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (9 - 12) = -3 \)
\( a_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 3) = 0 \)
\( a_{33} = + \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = (4 - 3) = 1 \)
सहखंडों से निर्मित आव्यूह \( B \) है:
\( B = \begin{bmatrix} 7 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
अब सहखंडज आव्यूह (adj \( A \)) ज्ञात करते हैं, जो \( B \) का परिवर्त (transpose) है:
\( \text{adj} A = B^T = \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
अब, \( A^{-1} \) ज्ञात करते हैं, जिसका सूत्र \( A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{adj} A) \) है:
\( A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
अब यह सिद्ध करना है कि \( A^{-1} A = I_3 \):
\( A^{-1} A = \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (7)(1)+(-3)(1)+(-3)(1) & (7)(3)+(-3)(4)+(-3)(3) & (7)(3)+(-3)(3)+(-3)(4) \\ (-1)(1)+(1)(1)+(0)(1) & (-1)(3)+(1)(4)+(0)(3) & (-1)(3)+(1)(3)+(0)(4) \\ (-1)(1)+(0)(1)+(1)(1) & (-1)(3)+(0)(4)+(1)(3) & (-1)(3)+(0)(3)+(1)(4) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 7-3-3 & 21-12-9 & 21-9-12 \\ -1+1+0 & -3+4+0 & -3+3+0 \\ -1+0+1 & -3+0+3 & -3+0+4 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I_3 \)
इस प्रकार, यह सिद्ध हुआ कि \( A^{-1} A = I_3 \)।
In simple words: हम पहले आव्यूह का सारणिक ज्ञात करते हैं। यदि यह शून्य नहीं है, तो हम प्रत्येक तत्व के सहखंडों की गणना करते हैं, एक सहखंड आव्यूह बनाते हैं, और फिर उसका परिवर्त (ट्रांसपोज़) लेते हैं, जो सहखंडज आव्यूह होता है। \( A^{-1} \) ज्ञात करने के लिए सहखंडज आव्यूह को सारणिक से भाग देते हैं। अंत में, यह दिखाने के लिए कि \( A^{-1}A = I_3 \) है, हम \( A^{-1} \) और \( A \) को गुणा करते हैं, और परिणाम तत्समक आव्यूह \( I_3 \) होना चाहिए।

🎯 Exam Tip: \( A^{-1} \) की गणना करते समय सहखंडों की गणना और परिवर्त (transpose) को ध्यान से करें। \( A^{-1} A = I \) की जाँच करने से आपके \( A^{-1} \) की शुद्धता की पुष्टि होती है और यह एक महत्वपूर्ण सत्यापन चरण है।

Question 10. यदि \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \) हो, तो सिद्ध कीजिए कि \( A^2 - 4A - 5I = 0 \)।
Answer: दिया गया आव्यूह है:
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
पहले \( A^2 \) ज्ञात करते हैं:
\( A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (1)(1)+(2)(2)+(2)(2) & (1)(2)+(2)(1)+(2)(2) & (1)(2)+(2)(2)+(2)(1) \\ (2)(1)+(1)(2)+(2)(2) & (2)(2)+(1)(1)+(2)(2) & (2)(2)+(1)(2)+(2)(1) \\ (2)(1)+(2)(2)+(1)(2) & (2)(2)+(2)(1)+(1)(2) & (2)(2)+(2)(2)+(1)(1) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 1+4+4 & 2+2+4 & 2+4+2 \\ 2+2+4 & 4+1+4 & 4+2+2 \\ 2+4+2 & 4+2+2 & 4+4+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)
अब \( 4A \) ज्ञात करते हैं:
\( 4A = 4 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4(1) & 4(2) & 4(2) \\ 4(2) & 4(1) & 4(2) \\ 4(2) & 4(2) & 4(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix} \)
और \( 5I \) ज्ञात करते हैं, जहाँ \( I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 3x3 तत्समक आव्यूह है:
\( 5I = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \)
अब \( A^2 - 4A - 5I \) की गणना करते हैं:
\( A^2 - 4A - 5I = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 9-4-5 & 8-8-0 & 8-8-0 \\ 8-8-0 & 9-4-5 & 8-8-0 \\ 8-8-0 & 8-8-0 & 9-4-5 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0 \)
इस प्रकार, \( A^2 - 4A - 5I = 0 \) सिद्ध हुआ। यह आव्यूह बीजगणित में एक मौलिक परिणाम है।
In simple words: इस समस्या को हल करने के लिए, हम पहले \( A \) को \( A \) से गुणा करके \( A^2 \) ज्ञात करते हैं। फिर, हम \( A \) को 4 से गुणा करके \( 4A \) ज्ञात करते हैं और तत्समक आव्यूह \( I \) को 5 से गुणा करके \( 5I \) ज्ञात करते हैं। अंत में, हम \( A^2 \) से \( 4A \) और \( 5I \) को घटाते हैं। यदि अंतिम परिणाम शून्य आव्यूह है, तो समीकरण सिद्ध हो जाता है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के proofs में, आव्यूह गुणन और आव्यूह घटाव में त्रुटियों से बचने के लिए प्रत्येक चरण को सावधानीपूर्वक करें। तत्समक आव्यूह \( I \) का सही आयाम (जैसे 2x2 या 3x3) उपयोग करना सुनिश्चित करें।

प्रश्न 11. आव्यूह सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए :
(i) \( 5x - 7y = 2 \)
\( 7x - 5y = 3 \)
(ii) \( 3x + y + z = 3 \)
\( 2x - y - z = 2 \)
\( -x-y+z= 1 \)
(iii) \( x + 2y - 2z + 5 = 0 \)
\( - x + 3y + 4 = 0 \)
\( - 2y + z - 4 = 0 \)
Answer:
(i) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( 5x - 7y = 2 \)
\( 7x - 5y = 3 \)
इसे आव्यूह रूप में \( AX = B \) लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ 7 & -5 \end{bmatrix} \), \( X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \).
सबसे पहले, \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( |A| = \begin{vmatrix} 5 & -7 \\ 7 & -5 \end{vmatrix} = (5)(-5) - (-7)(7) = -25 - (-49) = -25 + 49 = 24 \).
चूँकि \( |A| = 24 \neq 0 \), इसलिए \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब, \( A \) के सहखण्ड ज्ञात करते हैं:
\( a_{11} = -5 \)
\( a_{12} = -7 \)
\( a_{21} = 7 \)
\( a_{22} = 5 \)
इन सहखण्डों से निर्मित आव्यूह है:
\( C = \begin{bmatrix} -5 & -7 \\ 7 & 5 \end{bmatrix} \).
तब, \( \text{adj}.A = C^T = \begin{bmatrix} -5 & 7 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} \).
अब, \( A^{-1} \) ज्ञात करते हैं:
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}.A = \frac{1}{24} \begin{bmatrix} -5 & 7 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} \).
समीकरण \( X = A^{-1}B \) से, हम \( X \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( X = \frac{1}{24} \begin{bmatrix} -5 & 7 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)
\( \implies X = \frac{1}{24} \begin{bmatrix} (-5)(2) + (7)(3) \\ (-7)(2) + (5)(3) \end{bmatrix} \)
\( \implies X = \frac{1}{24} \begin{bmatrix} -10 + 21 \\ -14 + 15 \end{bmatrix} \)
\( \implies X = \frac{1}{24} \begin{bmatrix} 11 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11/24 \\ 1/24 \end{bmatrix} \).
इसलिए, \( x = \frac{11}{24} \) और \( y = \frac{1}{24} \). यह विधि जटिल समीकरणों को हल करने में बहुत उपयोगी है.
In simple words: हमने दिए गए समीकरणों को आव्यूह के रूप में लिखा. फिर हमने सारणिक और सहखण्डों का उपयोग करके \( A \) का व्युत्क्रम निकाला. अंत में, व्युत्क्रम को स्थिरांक आव्यूह से गुणा करके \( x \) और \( y \) के मान ज्ञात किए.
(ii) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( 3x + y + z = 3 \)
\( 2x - y - z = 2 \)
\( -x-y+z= 1 \)
इसे आव्यूह रूप में \( AX = B \) लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \), \( X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \).
सबसे पहले, \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( |A| = 3 \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} \)
\( \implies |A| = 3((-1)(1) - (-1)(-1)) - 1((2)(1) - (-1)(-1)) + 1((2)(-1) - (-1)(-1)) \)
\( \implies |A| = 3(-1 - 1) - 1(2 - 1) + 1(-2 - 1) \)
\( \implies |A| = 3(-2) - 1(1) + 1(-3) \)
\( \implies |A| = -6 - 1 - 3 = -10 \).
चूँकि \( |A| = -10 \neq 0 \), इसलिए \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब, \( A \) के सहखण्ड ज्ञात करते हैं:
\( a_{11} = + \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(1) - (-1)(-1) = -1 - 1 = -2 \)
\( a_{12} = - \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -((2)(1) - (-1)(-1)) = -(2 - 1) = -1 \)
\( a_{13} = + \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = ((2)(-1) - (-1)(-1)) = -2 - 1 = -3 \)
\( a_{21} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -((1)(1) - (1)(-1)) = -(1 + 1) = -2 \)
\( a_{22} = + \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = ((3)(1) - (1)(-1)) = 3 + 1 = 4 \)
\( a_{23} = - \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = -((3)(-1) - (1)(-1)) = -(-3 + 1) = -(-2) = 2 \)
\( a_{31} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} = ((1)(-1) - (1)(-1)) = -1 + 1 = 0 \)
\( a_{32} = - \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -((3)(-1) - (1)(2)) = -(-3 - 2) = -(-5) = 5 \)
\( a_{33} = + \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = ((3)(-1) - (1)(2)) = -3 - 2 = -5 \)
इन सहखण्डों से निर्मित आव्यूह है:
\( C = \begin{bmatrix} -2 & -1 & -3 \\ -2 & 4 & 2 \\ 0 & 5 & -5 \end{bmatrix} \).
तब, \( \text{adj}.A = C^T = \begin{bmatrix} -2 & -2 & 0 \\ -1 & 4 & 5 \\ -3 & 2 & -5 \end{bmatrix} \).
अब, \( A^{-1} \) ज्ञात करते हैं:
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}.A = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} -2 & -2 & 0 \\ -1 & 4 & 5 \\ -3 & 2 & -5 \end{bmatrix} \).
समीकरण \( X = A^{-1}B \) से, हम \( X \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( X = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} -2 & -2 & 0 \\ -1 & 4 & 5 \\ -3 & 2 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \)
\( \implies X = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} (-2)(3) + (-2)(2) + (0)(1) \\ (-1)(3) + (4)(2) + (5)(1) \\ (-3)(3) + (2)(2) + (-5)(1) \end{bmatrix} \)
\( \implies X = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} -6 - 4 + 0 \\ -3 + 8 + 5 \\ -9 + 4 - 5 \end{bmatrix} \)
\( \implies X = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} -10 \\ 10 \\ -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \).
इसलिए, \( x = 1, y = -1, z = 1 \).
In simple words: हमने 3x3 आव्यूह के लिए भी वही प्रक्रिया दोहराई. पहले हमने सारणिक और सहखण्ड ज्ञात किए, फिर व्युत्क्रम आव्यूह प्राप्त किया. अंत में, समीकरणों को हल करने के लिए आव्यूह गुणन का उपयोग किया.
(iii) दिया गया समीकरण निकाय है:
\( x + 2y - 2z + 5 = 0 \)
\( - x + 3y + 4 = 0 \)
\( - 2y + z - 4 = 0 \)
इस समीकरण निकाय को पुनर्व्यवस्थित करके लिखा जा सकता है:
\( x + 2y - 2z = -5 \)
\( -x + 3y + 0z = -4 \)
\( 0x - 2y + z = 4 \)
इसे आव्यूह रूप में \( AX = B \) लिखा जा सकता है, जहाँ
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} \), \( X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} -5 \\ -4 \\ 4 \end{bmatrix} \).
सबसे पहले, \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( |A| = 1 \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \)
\( \implies |A| = 1((3)(1) - (0)(-2)) - 2((-1)(1) - (0)(0)) - 2((-1)(-2) - (3)(0)) \)
\( \implies |A| = 1(3 - 0) - 2(-1 - 0) - 2(2 - 0) \)
\( \implies |A| = 3 - 2(-1) - 2(2) \)
\( \implies |A| = 3 + 2 - 4 = 1 \).
चूँकि \( |A| = 1 \neq 0 \), इसलिए \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब, \( A \) के सहखण्ड ज्ञात करते हैं:
\( a_{11} = + \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = (3)(1) - (0)(-2) = 3 - 0 = 3 \)
\( a_{12} = - \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -((-1)(1) - (0)(0)) = -(-1) = 1 \)
\( a_{13} = + \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = ((-1)(-2) - (3)(0)) = 2 - 0 = 2 \)
\( a_{21} = - \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -((2)(1) - (-2)(-2)) = -(2 - 4) = -(-2) = 2 \)
\( a_{22} = + \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = ((1)(1) - (-2)(0)) = 1 - 0 = 1 \)
\( a_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -((1)(-2) - (2)(0)) = -(-2 - 0) = -(-2) = 2 \)
\( a_{31} = + \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = ((2)(0) - (-2)(3)) = 0 - (-6) = 6 \)
\( a_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -((1)(0) - (-2)(-1)) = -(0 - 2) = -(-2) = 2 \)
\( a_{33} = + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = ((1)(3) - (2)(-1)) = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5 \)
इन सहखण्डों से निर्मित आव्यूह है:
\( C = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 5 \end{bmatrix} \).
तब, \( \text{adj}.A = C^T = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{bmatrix} \).
अब, \( A^{-1} \) ज्ञात करते हैं:
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}.A = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{bmatrix} \).
समीकरण \( X = A^{-1}B \) से, हम \( X \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( X = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -5 \\ -4 \\ 4 \end{bmatrix} \)
\( \implies X = \begin{bmatrix} (3)(-5) + (2)(-4) + (6)(4) \\ (1)(-5) + (1)(-4) + (2)(4) \\ (2)(-5) + (2)(-4) + (5)(4) \end{bmatrix} \)
\( \implies X = \begin{bmatrix} -15 - 8 + 24 \\ -5 - 4 + 8 \\ -10 - 8 + 20 \end{bmatrix} \)
\( \implies X = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \).
इसलिए, \( x = 1, y = -1, z = 2 \). एक सारणिक का मान शून्य न होना यह सुनिश्चित करता है कि समीकरण निकाय का एक अद्वितीय हल मौजूद है.
In simple words: हमने दिए गए समीकरणों को मानक रूप में बदला. फिर हमने आव्यूह \( A \) का सारणिक और सहखण्ड ज्ञात किए. व्युत्क्रम आव्यूह प्राप्त करने के बाद, हमने \( X = A^{-1}B \) का उपयोग करके \( x, y, z \) के मान निकाले.

🎯 Exam Tip: आव्यूह विधि से रैखिक समीकरणों को हल करते समय, \( |A| \neq 0 \) की जाँच करना महत्वपूर्ण है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि एक अद्वितीय हल मौजूद है और \( A^{-1} \) का अस्तित्व है.

प्रश्न 12. त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि शीर्ष निम्नलिखित हों :
(i) A(-3, 5), B(3,- 6), C(7, 2)
(ii) A(2, 7), B(2, 2), C(10, 8)
Answer:
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सारणिक सूत्र का उपयोग करते हैं:
क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \right| \).
(i) दिए गए शीर्ष हैं: A(-3, 5), B(3, -6), C(7, 2).
\( = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} -3 & 5 & 1 \\ 3 & -6 & 1 \\ 7 & 2 & 1 \end{vmatrix} \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| -3 \begin{vmatrix} -6 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 3 & -6 \\ 7 & 2 \end{vmatrix} \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| -3((-6)(1) - (1)(2)) - 5((3)(1) - (1)(7)) + 1((3)(2) - (-6)(7)) \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| -3(-6 - 2) - 5(3 - 7) + 1(6 - (-42)) \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| -3(-8) - 5(-4) + 1(6 + 42) \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| 24 + 20 + 48 \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| 92 \right| = 46 \) वर्ग इकाई.
(ii) दिए गए शीर्ष हैं: A(2, 7), B(2, 2), C(10, 8).
\( = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} 2 & 7 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 10 & 8 & 1 \end{vmatrix} \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} - 7 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 10 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 10 & 8 \end{vmatrix} \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| 2((2)(1) - (1)(8)) - 7((2)(1) - (1)(10)) + 1((2)(8) - (2)(10)) \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| 2(2 - 8) - 7(2 - 10) + 1(16 - 20) \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| 2(-6) - 7(-8) + 1(-4) \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| -12 + 56 - 4 \right| \)
\( = \frac{1}{2} \left| 40 \right| = 20 \) वर्ग इकाई.
त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए सारणिक के निरपेक्ष मान का उपयोग किया जाता है.
In simple words: हमने त्रिभुज के शीर्षों का उपयोग करके एक सारणिक बनाया. फिर सारणिक का मान ज्ञात करके उसे \( \frac{1}{2} \) से गुणा किया. हमें हमेशा क्षेत्रफल का धनात्मक मान लेना चाहिए.

🎯 Exam Tip: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि क्षेत्रफल हमेशा एक धनात्मक राशि होती है, इसलिए सूत्र में निरपेक्ष मान (absolute value) का उपयोग करें.

प्रश्न 13. यदि बिन्दु (2,-3), \( (\lambda,-2) \) तथा (0, 5) संरेख हो, तो \( \lambda \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
यदि तीन बिन्दु संरेख होते हैं, तो उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है.
दिए गए बिन्दु हैं: (2, -3), \( (\lambda, -2) \) तथा (0, 5).
क्षेत्रफल को शून्य के बराबर रखते हैं:
\( \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ \lambda & -2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{vmatrix} \right| = 0 \)
\( \implies 2 \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} \lambda & -2 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 0 \)
\( \implies 2((-2)(1) - (1)(5)) + 3((\lambda)(1) - (1)(0)) + 1((\lambda)(5) - (-2)(0)) = 0 \)
\( \implies 2(-2 - 5) + 3(\lambda - 0) + 1(5\lambda - 0) = 0 \)
\( \implies 2(-7) + 3\lambda + 5\lambda = 0 \)
\( \implies -14 + 8\lambda = 0 \)
\( \implies 8\lambda = 14 \)
\( \implies \lambda = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} \).
इसलिए, \( \lambda \) का मान \( \frac{7}{4} \) है ताकि बिन्दु संरेख हों. संरेख बिन्दु एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं.
In simple words: हमने तीन बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज के क्षेत्रफल को शून्य के बराबर रखा, क्योंकि संरेख बिन्दु एक ही रेखा पर होते हैं. सारणिक को हल करके हमने \( \lambda \) का मान ज्ञात किया.

🎯 Exam Tip: संरेखता के प्रश्नों में, हमेशा ध्यान रखें कि तीन बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है, और सारणिक का मान सटीक रूप से गणना करें.

प्रश्न 15. यदि \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \) हो, तो \( A^{-1} \) ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसकी सहायता से निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय को हल कीजिए: \( x + y + z = 2, x + 2y - 3z = 13, 2x - y + 3z = -7 \).
Answer:
दिया गया आव्यूह है: \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \).
सबसे पहले, \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( |A| = 1 \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} \)
\( \implies |A| = 1((2)(3) - (-3)(-1)) - 1((1)(3) - (-3)(2)) + 1((1)(-1) - (2)(2)) \)
\( \implies |A| = 1(6 - 3) - 1(3 + 6) + 1(-1 - 4) \)
\( \implies |A| = 1(3) - 1(9) + 1(-5) \)
\( \implies |A| = 3 - 9 - 5 = -11 \).
चूँकि \( |A| = -11 \neq 0 \), इसलिए \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब, \( A \) के सहखण्ड ज्ञात करते हैं:
\( a_{11} = + \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (2)(3) - (-3)(-1) = 6 - 3 = 3 \)
\( a_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -((1)(3) - (-3)(2)) = -(3 + 6) = -9 \)
\( a_{13} = + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = ((1)(-1) - (2)(2)) = -1 - 4 = -5 \)
\( a_{21} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -((1)(3) - (1)(-1)) = -(3 + 1) = -4 \)
\( a_{22} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = ((1)(3) - (1)(2)) = 3 - 2 = 1 \)
\( a_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -((1)(-1) - (1)(2)) = -(-1 - 2) = -(-3) = 3 \)
\( a_{31} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = ((1)(-3) - (1)(2)) = -3 - 2 = -5 \)
\( a_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -((1)(-3) - (1)(1)) = -(-3 - 1) = -(-4) = 4 \)
\( a_{33} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = ((1)(2) - (1)(1)) = 2 - 1 = 1 \)
इन सहखण्डों से निर्मित आव्यूह है:
\( C = \begin{bmatrix} 3 & -9 & -5 \\ -4 & 1 & 3 \\ -5 & 4 & 1 \end{bmatrix} \).
तब, \( \text{adj}.A = C^T = \begin{bmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -9 & 1 & 4 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \).
अब, \( A^{-1} \) ज्ञात करते हैं:
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}.A = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -9 & 1 & 4 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \).
अब दिया गया समीकरण निकाय है:
\( x + y + z = 2 \)
\( x + 2y - 3z = 13 \)
\( 2x - y + 3z = -7 \)
यह वही आव्यूह \( A \) है जिसके लिए हमने अभी \( A^{-1} \) ज्ञात किया है। इसे आव्यूह रूप में \( AX = B \) लिखा जा सकता है, जहाँ \( B = \begin{bmatrix} 2 \\ 13 \\ -7 \end{bmatrix} \).
समीकरण \( X = A^{-1}B \) से, हम \( X \) का मान ज्ञात करते हैं:
\( X = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -9 & 1 & 4 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 13 \\ -7 \end{bmatrix} \)
\( \implies X = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} (3)(2) + (-4)(13) + (-5)(-7) \\ (-9)(2) + (1)(13) + (4)(-7) \\ (-5)(2) + (3)(13) + (1)(-7) \end{bmatrix} \)
\( \implies X = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} 6 - 52 + 35 \\ -18 + 13 - 28 \\ -10 + 39 - 7 \end{bmatrix} \)
\( \implies X = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -11 \\ -33 \\ 22 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} \).
इसलिए, \( x = 1, y = 3, z = -2 \). यह विधि समीकरणों के बड़े प्रणालियों के लिए विशेष रूप से प्रभावी है.
In simple words: हमने पहले आव्यूह \( A \) का व्युत्क्रम निकाला. फिर उसी व्युत्क्रम आव्यूह का उपयोग करके दिए गए तीन समीकरणों को हल किया. \( x, y, z \) के मान प्राप्त करने के लिए आव्यूह गुणन किया गया.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( A^{-1} \) की गणना सही ढंग से करना और फिर उसे समीकरणों की प्रणाली को हल करने में सावधानी से उपयोग करना महत्वपूर्ण है.

प्रश्न 16. यदि \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & \frac{1+bc}{a} \end{bmatrix} \) हो, तो \( A^{-1} \) ज्ञात कीजिए तथा दिखाइये कि \( aA^{-1} = (a^2 + bc + 1)I - aA \).
Answer:
दिया गया आव्यूह है: \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & \frac{1+bc}{a} \end{bmatrix} \).
सबसे पहले, \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( |A| = (a)\left(\frac{1+bc}{a}\right) - (b)(c) \)
\( \implies |A| = (1+bc) - bc = 1 \).
In simple words: हमने दिए गए आव्यूह का सारणिक ज्ञात किया, जो 1 निकला. यह दिखाता है कि व्युत्क्रम आव्यूह का अस्तित्व है.

🎯 Exam Tip: \( A^{-1} \) ज्ञात करने से पहले, हमेशा सारणिक \( |A| \) की गणना करें। यदि \( |A| = 0 \) हो, तो \( A^{-1} \) का अस्तित्व नहीं होता है।

Question 16. यदि \( A= \begin{bmatrix} a & b \\ c & \frac{1+bc}{a} \end{bmatrix} \) हो, तो \( A^{-1} \) ज्ञात कीजिए तथा दिखाइये कि \( aA^{-1} = (a^2 + bc + 1)I - aA \).
Answer:
दिया गया आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & \frac{1+bc}{a} \end{bmatrix} \).
हम इस आव्यूह का सारणिक ज्ञात करते हैं:
\( |A| = a \left( \frac{1+bc}{a} \right) - bc = (1+bc) - bc = 1 \).
चूंकि \( |A| = 1 \neq 0 \), अतः \( A^{-1} \) का अस्तित्व है।
अब, \( A \) के सहखण्ड (cofactors) ज्ञात करने पर:
\( A_{11} = \frac{1+bc}{a} \)
\( A_{12} = -c \)
\( A_{21} = -b \)
\( A_{22} = a \)
तो, सहखण्ड आव्यूह (Cofactor Matrix) \( C = \begin{bmatrix} \frac{1+bc}{a} & -c \\ -b & a \end{bmatrix} \).
अब, सहखण्डज आव्यूह (adjoint matrix) \( adj.A \) है:
\( adj.A = C^T = \begin{bmatrix} \frac{1+bc}{a} & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \).
इसलिए, \( A^{-1} \) है:
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj.A = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \frac{1+bc}{a} & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1+bc}{a} & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \).
अब, हमें सिद्ध करना है कि \( aA^{-1} = (a^2 + bc + 1)I - aA \).
पहले, समीकरण के बाएँ पक्ष (L.H.S.) को हल करते हैं:
\( L.H.S. = aA^{-1} = a \begin{bmatrix} \frac{1+bc}{a} & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+bc & -ab \\ -ac & a^2 \end{bmatrix} \).
अब, समीकरण के दाएँ पक्ष (R.H.S.) को हल करते हैं:
\( R.H.S. = (a^2 + bc + 1)I - aA \)
\( = (a^2 + bc + 1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - a \begin{bmatrix} a & b \\ c & \frac{1+bc}{a} \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} a^2 + bc + 1 & 0 \\ 0 & a^2 + bc + 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a^2 & ab \\ ac & 1+bc \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} (a^2 + bc + 1) - a^2 & 0 - ab \\ 0 - ac & (a^2 + bc + 1) - (1+bc) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} bc + 1 & -ab \\ -ac & a^2 \end{bmatrix} \).
चूंकि L.H.S. = R.H.S., अतः यह सिद्ध हो जाता है कि \( aA^{-1} = (a^2 + bc + 1)I - aA \).
In simple words: पहले हम दिए गए आव्यूह का व्युत्क्रम निकालते हैं। उसके बाद, हम समीकरण के दोनों पक्षों को हल करते हैं। यदि दोनों पक्ष बराबर आते हैं, तो इसका मतलब है कि हमने सिद्ध कर दिया है कि वे एक ही चीज़ हैं।

🎯 Exam Tip: किसी भी मैट्रिक्स समीकरण को सिद्ध करते समय, हमेशा L.H.S. और R.H.S. को अलग-अलग हल करें और दिखाएँ कि वे समान हैं। यह सुनिश्चित करता है कि आपके सभी चरण स्पष्ट और सही हैं।

Question 17. सारणिक की सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए- \( x + y + z = 1 \), \( ax + by + cz = k \), \( a^2x + b^2y + c^2z = k^2 \).
Answer:
दिया गया समीकरण निकाय है:
\( x + y + z = 1 \)
\( ax + by + cz = k \)
\( a^2x + b^2y + c^2z = k^2 \)
यहां, गुणांकों का सारणिक (Determinant of coefficients) \( \Delta \) है:
\[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \] \( C_1 \to C_1 - C_2 \) तथा \( C_2 \to C_2 - C_3 \) संक्रिया से (By operation \( C_1 \to C_1 - C_2 \) and \( C_2 \to C_2 - C_3 \)):
\[ \Delta = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a-b & b-c & c \\ a^2-b^2 & b^2-c^2 & c^2 \end{vmatrix} \] प्रथम पंक्ति के अनुदिश प्रसार करने पर (Expanding along the first row):
\( \Delta = 1 \left( (a-b)(b^2-c^2) - (b-c)(a^2-b^2) \right) \)
\( = (a-b)(b-c)(b+c) - (b-c)(a-b)(a+b) \)
\( = (a-b)(b-c) [ (b+c) - (a+b) ] \)
\( = (a-b)(b-c)(c-a) \).
अब, \( \Delta_1 \) ज्ञात करते हैं (Now, finding \( \Delta_1 \)):
\[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ k & b & c \\ k^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \] \( C_1 \to C_1 - C_2 \) तथा \( C_2 \to C_2 - C_3 \) संक्रिया से (By operation \( C_1 \to C_1 - C_2 \) and \( C_2 \to C_2 - C_3 \)):
\[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ k-b & b-c & c \\ k^2-b^2 & b^2-c^2 & c^2 \end{vmatrix} \] प्रथम पंक्ति के अनुदिश प्रसार करने पर (Expanding along the first row):
\( \Delta_1 = 1 \left( (k-b)(b^2-c^2) - (b-c)(k^2-b^2) \right) \)
\( = (k-b)(b-c)(b+c) - (b-c)(k-b)(k+b) \)
\( = (k-b)(b-c) [ (b+c) - (k+b) ] \)
\( = (k-b)(b-c)(c-k) \).
अब, \( \Delta_2 \) ज्ञात करते हैं (Now, finding \( \Delta_2 \)):
\[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & k & c \\ a^2 & k^2 & c^2 \end{vmatrix} \] \( C_1 \to C_1 - C_2 \) तथा \( C_2 \to C_2 - C_3 \) संक्रिया से (By operation \( C_1 \to C_1 - C_2 \) and \( C_2 \to C_2 - C_3 \)):
\[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a-k & k-c & c \\ a^2-k^2 & k^2-c^2 & c^2 \end{vmatrix} \] प्रथम पंक्ति के अनुदिश प्रसार करने पर (Expanding along the first row):
\( \Delta_2 = 1 \left( (a-k)(k^2-c^2) - (k-c)(a^2-k^2) \right) \)
\( = (a-k)(k-c)(k+c) - (k-c)(a-k)(a+k) \)
\( = (a-k)(k-c) [ (k+c) - (a+k) ] \)
\( = (a-k)(k-c)(c-a) \).
अब, \( \Delta_3 \) ज्ञात करते हैं (Now, finding \( \Delta_3 \)):
\[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & k \\ a^2 & b^2 & k^2 \end{vmatrix} \] \( C_1 \to C_1 - C_2 \) तथा \( C_2 \to C_2 - C_3 \) संक्रिया से (By operation \( C_1 \to C_1 - C_2 \) and \( C_2 \to C_2 - C_3 \)):
\[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a-b & b-k & k \\ a^2-b^2 & b^2-k^2 & k^2 \end{vmatrix} \] प्रथम पंक्ति के अनुदिश प्रसार करने पर (Expanding along the first row):
\( \Delta_3 = 1 \left( (a-b)(b^2-k^2) - (b-k)(a^2-b^2) \right) \)
\( = (a-b)(b-k)(b+k) - (b-k)(a-b)(a+b) \)
\( = (a-b)(b-k) [ (b+k) - (a+b) ] \)
\( = (a-b)(b-k)(k-a) \).
क्रेमर नियम से, समीकरण निकाय का हल इस प्रकार है (By Cramer's Rule, the solution for the system of equations is as follows):
\( x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{(k-b)(b-c)(c-k)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{(k-b)(c-k)}{(a-b)(c-a)} \)
\( y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{(a-k)(k-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{(a-k)(k-c)}{(a-b)(b-c)} \)
\( z = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{(a-b)(b-k)(k-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{(b-k)(k-a)}{(b-c)(c-a)} \).
In simple words: हम सारणिकों की गणना करके अज्ञातों (x, y, z) का मान ज्ञात करते हैं। इसमें गुणांकों और स्थिरांकों के अलग-अलग सारणिक निकाले जाते हैं, फिर क्रेमर के नियम का उपयोग करके विभाजन किया जाता है।

🎯 Exam Tip: क्रेमर के नियम का उपयोग करते समय, सुनिश्चित करें कि \( \Delta \) शून्य न हो। यदि \( \Delta = 0 \) है, तो या तो समीकरण निकाय का कोई हल नहीं होता या अनंत हल होते हैं, और क्रेमर का नियम सीधे लागू नहीं होता।

Question 15. यदि \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & -3 & -4 \end{bmatrix} \) हो, तो \( A^{-1} \) ज्ञात कीजिए। तत्पश्चात् इसकी सहायता से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए: \( x + 2y - 3z = -4 \), \( 2x + 3y + 2z = 2 \), \( 3x - 3y - 4z = 11 \).
Answer:
दिया गया आव्यूह है:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & -3 & -4 \end{bmatrix} \] आव्यूह का सारणिक ज्ञात करते हैं (Finding the determinant of the matrix):
\( |A| = 1 \left( (3)(-4) - (2)(-3) \right) - 2 \left( (2)(-4) - (2)(3) \right) + (-3) \left( (2)(-3) - (3)(3) \right) \)
\( = 1(-12 + 6) - 2(-8 - 6) - 3(-6 - 9) \)
\( = 1(-6) - 2(-14) - 3(-15) \)
\( = -6 + 28 + 45 = 67 \).
चूंकि \( |A| = 67 \neq 0 \), अतः \( A^{-1} \) का अस्तित्व है (Since \( |A| \neq 0 \), \( A^{-1} \) exists).
अब, \( A \) के सहखण्ड ज्ञात करने पर (Now, finding the cofactors of \( A \)):
\( A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -3 & -4 \end{vmatrix} = (-12 - (-6)) = -6 \)
\( A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = -(-8 - 6) = 14 \)
\( A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = (-6 - 9) = -15 \)
\( A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -3 & -4 \end{vmatrix} = -(-8 - 9) = 17 \)
\( A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = (-4 - (-9)) = 5 \)
\( A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = -(-3 - 6) = 9 \)
\( A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (4 - (-9)) = 13 \)
\( A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - (-6)) = -8 \)
\( A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (3 - 4) = -1 \).
सहखण्डों से निर्मित आव्यूह \( C \) है (The matrix formed by cofactors \( C \) is):
\[ C = \begin{bmatrix} -6 & 14 & -15 \\ 17 & 5 & 9 \\ 13 & -8 & -1 \end{bmatrix} \] अब, सहखण्डज आव्यूह \( adj.A \) है (Now, the adjoint matrix \( adj.A \) is):
\[ adj.A = C^T = \begin{bmatrix} -6 & 17 & 13 \\ 14 & 5 & -8 \\ -15 & 9 & -1 \end{bmatrix} \] इसलिए, \( A^{-1} \) है (Therefore, \( A^{-1} \) is):
\[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj.A = \frac{1}{67} \begin{bmatrix} -6 & 17 & 13 \\ 14 & 5 & -8 \\ -15 & 9 & -1 \end{bmatrix} \] अब, दिए गए समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर (Now, writing the given system of equations in matrix form):
\( AX = B' \), जहाँ \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & -3 & -4 \end{bmatrix} \), \( X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \), और \( B' = \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ 11 \end{bmatrix} \).
हमें \( X = A^{-1}B' \) हल करना है (We need to solve \( X = A^{-1}B' \)):
\[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{67} \begin{bmatrix} -6 & 17 & 13 \\ 14 & 5 & -8 \\ -15 & 9 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 \\ 2 \\ 11 \end{bmatrix} \] \[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{67} \begin{bmatrix} (-6)(-4) + (17)(2) + (13)(11) \\ (14)(-4) + (5)(2) + (-8)(11) \\ (-15)(-4) + (9)(2) + (-1)(11) \end{bmatrix} \] \[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{67} \begin{bmatrix} 24 + 34 + 143 \\ -56 + 10 - 88 \\ 60 + 18 - 11 \end{bmatrix} \] \[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \frac{1}{67} \begin{bmatrix} 201 \\ -134 \\ 67 \end{bmatrix} \] \[ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{201}{67} \\ \frac{-134}{67} \\ \frac{67}{67} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \] अतः, \( x = 3, y = -2, z = 1 \).
In simple words: पहले हम दिए गए आव्यूह का व्युत्क्रम (इनवर्स) निकालते हैं। फिर, इस व्युत्क्रम आव्यूह का उपयोग करके हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं, जिससे x, y और z के मान मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: आव्यूह व्युत्क्रम विधि से रैखिक समीकरणों को हल करते समय, \( |A| \) की गणना सावधानी से करें। यदि \( |A| = 0 \) है, तो \( A^{-1} \) मौजूद नहीं होगा, और आपको हल करने के लिए अन्य विधियों पर विचार करना होगा।

Question 19. यदि \( \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \). \( X = \begin{bmatrix} -16 & -6 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} \), हो, तो \( X \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना \( A = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \) और \( B = \begin{bmatrix} -16 & -6 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} \).
तो, दिया गया समीकरण \( AX = B \) है। हमें \( X = A^{-1}B \) ज्ञात करना है।
पहले, आव्यूह \( A \) का सारणिक ज्ञात करते हैं (First, finding the determinant of matrix \( A \)):
\( |A| = (1)(-2) - (-4)(3) = -2 - (-12) = -2 + 12 = 10 \).
चूंकि \( |A| = 10 \neq 0 \), अतः \( A^{-1} \) का अस्तित्व है (Since \( |A| \neq 0 \), \( A^{-1} \) exists).
अब, \( A \) के सहखण्ड ज्ञात करते हैं (Now, finding the cofactors of \( A \)):
\( A_{11} = -2 \)
\( A_{12} = -3 \)
\( A_{21} = -(-4) = 4 \)
\( A_{22} = 1 \).
सहखण्डों से निर्मित आव्यूह \( C \) है (The matrix formed by cofactors \( C \) is):
\[ C = \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \] अब, सहखण्डज आव्यूह \( adj.A \) है (Now, the adjoint matrix \( adj.A \) is):
\[ adj.A = C^T = \begin{bmatrix} -2 & 4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \] इसलिए, \( A^{-1} \) है (Therefore, \( A^{-1} \) is):
\[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj.A = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} -2 & 4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \] अब, \( X = A^{-1}B \) की गणना करते हैं (Now, calculating \( X = A^{-1}B \)):
\[ X = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} -2 & 4 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -16 & -6 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} \] \[ X = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} (-2)(-16) + (4)(7) & (-2)(-6) + (4)(2) \\ (-3)(-16) + (1)(7) & (-3)(-6) + (1)(2) \end{bmatrix} \] \[ X = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 32 + 28 & 12 + 8 \\ 48 + 7 & 18 + 2 \end{bmatrix} \] \[ X = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 60 & 20 \\ 55 & 20 \end{bmatrix} \] \[ X = \begin{bmatrix} \frac{60}{10} & \frac{20}{10} \\ \frac{55}{10} & \frac{20}{10} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ \frac{11}{2} & 2 \end{bmatrix} \].
In simple words: हम मैट्रिक्स \( A \) का व्युत्क्रम (इन्वर्स) ज्ञात करते हैं। फिर, \( A^{-1} \) को मैट्रिक्स \( B \) से गुणा करके मैट्रिक्स \( X \) का मान निकालते हैं। यह एक अज्ञात मैट्रिक्स को हल करने की सीधी विधि है।

🎯 Exam Tip: मैट्रिक्स गुणन करते समय, पंक्तियों और स्तंभों को सही ढंग से गुणा करना सुनिश्चित करें। छोटी सी गलती भी पूरे परिणाम को गलत कर सकती है।

Question 20. निम्नलिखित समीकरण निकाय के अनन्त हल हो, तो \( a \) तथा \( b \) का मान ज्ञात कीजिए- \( 2x + y + az = 4 \), \( bx - 2y + z = -2 \), \( 5x + 5y + z = -2 \).
Answer:
दिए गए समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में \( AX = B \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ:
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & a \\ b & -2 & 1 \\ 5 & 5 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{और} \quad B = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ -2 \end{bmatrix} \] समीकरण निकाय के अनन्त हल होने के लिए दो शर्तें पूरी होनी चाहिए:
1. \( |A| = 0 \) (गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए).
2. \( adj(A) \cdot B = \mathbf{0} \) (सहखण्डज आव्यूह का स्थिरांक आव्यूह से गुणनफल शून्य आव्यूह होना चाहिए).

पहले, \( |A| = 0 \) को हल करते हैं (First, solving \( |A| = 0 \)):
\( |A| = 2 \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} b & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} + a \begin{vmatrix} b & -2 \\ 5 & 5 \end{vmatrix} = 0 \)
\( 2((-2)(1) - (1)(5)) - 1((b)(1) - (1)(5)) + a((b)(5) - (-2)(5)) = 0 \)
\( 2(-2 - 5) - 1(b - 5) + a(5b + 10) = 0 \)
\( 2(-7) - b + 5 + 5ab + 10a = 0 \)
\( -14 - b + 5 + 5ab + 10a = 0 \)
\( 10a - b + 5ab - 9 = 0 \) --- (समीकरण 1)

अब, \( adj(A) \cdot B = \mathbf{0} \) की शर्त का उपयोग करते हैं (Now, using the condition \( adj(A) \cdot B = \mathbf{0} \)).
पहले, \( A \) के सहखण्ड ज्ञात करते हैं (First, finding the cofactors of \( A \)):
\( A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = -2 - 5 = -7 \)
\( A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} b & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = -(b - 5) = 5 - b \)
\( A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} b & -2 \\ 5 & 5 \end{vmatrix} = 5b - (-10) = 5b + 10 \)
\( A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & a \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 5a) = 5a - 1 \)
\( A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & a \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 5a \)
\( A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 5 \end{vmatrix} = -(10 - 5) = -5 \)
\( A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 1 & a \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2a) = 1 + 2a \)
\( A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & a \\ b & 1 \end{vmatrix} = -(2 - ab) = ab - 2 \)
\( A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ b & -2 \end{vmatrix} = -4 - b \)
तो, सहखण्ड आव्यूह (Cofactor Matrix) \( C \) है:
\[ C = \begin{bmatrix} -7 & 5-b & 5b+10 \\ 5a-1 & 2-5a & -5 \\ 1+2a & ab-2 & -4-b \end{bmatrix} \] इसलिए, \( adj(A) = C^T \) है:
\[ adj(A) = \begin{bmatrix} -7 & 5a-1 & 1+2a \\ 5-b & 2-5a & ab-2 \\ 5b+10 & -5 & -4-b \end{bmatrix} \].
अब, \( adj(A) \cdot B = \mathbf{0} \) की पहली पंक्ति को शून्य के बराबर करते हैं (Now, equating the first row of \( adj(A) \cdot B \) to zero):
\( (-7)(4) + (5a-1)(-2) + (1+2a)(-2) = 0 \)
\( -28 - 10a + 2 - 2 - 4a = 0 \)
\( -28 - 14a = 0 \)
\( -14a = 28 \)
\( a = -2 \).

अब \( a = -2 \) का मान समीकरण 1 में रखते हैं (Now, substituting \( a = -2 \) into Equation 1):
\( 10(-2) - b + 5(-2)b - 9 = 0 \)
\( -20 - b - 10b - 9 = 0 \)
\( -29 - 11b = 0 \)
\( 11b = -29 \)
\( b = -\frac{29}{11} \).
हमने यह भी सत्यापित किया कि \( a = -2 \) और \( b = -\frac{29}{11} \) के मान \( adj(A) \cdot B = \mathbf{0} \) की अन्य पंक्तियों को भी संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार, समीकरण निकाय के अनन्त हल होंगे।
अतः, \( a = -2 \) और \( b = -\frac{29}{11} \).
In simple words: किसी भी समीकरण प्रणाली के अनन्त हल तभी होते हैं जब गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य हो और उसका सहखण्डज आव्यूह स्थिरांक आव्यूह से गुणा करने पर शून्य आव्यूह दे। इन दो शर्तों का उपयोग करके हम \( a \) और \( b \) के मान ज्ञात करते हैं।

🎯 Exam Tip: अनन्त हल या कोई हल न होने की स्थिति में, \( |A| = 0 \) होना आवश्यक है। अनन्त हल के लिए, \( adj(A) \cdot B = \mathbf{0} \) भी होना चाहिए, जबकि कोई हल न होने के लिए \( adj(A) \cdot B \neq \mathbf{0} \) होता है। इस अंतर को याद रखें।