RBSE Solutions Class 12 Maths Chapter 13 सदिश Exercise 13.1

प्रश्न 1. निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए :
\( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{b} = 2\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k} \)
\( \vec{c} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} - \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k} \)
Answer:
दिए गए सदिशों के परिमाण का परिकलन इस प्रकार है:
सदिश \( \vec{a} \) का परिमाण:
\( |\vec{a}| = |\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}| \)
\( = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \)
\( = \sqrt{1 + 1 + 1} \)
\( = \sqrt{3} \)
सदिश \( \vec{b} \) का परिमाण:
\( |\vec{b}| = |2\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}| \)
\( = \sqrt{2^2 + (-7)^2 + (-3)^2} \)
\( = \sqrt{4 + 49 + 9} \)
\( = \sqrt{62} \)
सदिश \( \vec{c} \) का परिमाण:
\( |\vec{c}| = |\frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} - \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}| \)
\( = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2} \)
\( = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} \)
\( = \sqrt{\frac{3}{3}} \)
\( = \sqrt{1} \)
\( = 1 \)
अतः दिए गए सदिशों के परिमाण क्रमशः \( \sqrt{3} \), \( \sqrt{62} \) तथा \( 1 \) हैं। प्रत्येक सदिश का परिमाण हमें उसकी लंबाई बताता है।
In simple words: हमें दिए गए सदिशों की लंबाई या परिमाण निकालना था। हमने हर सदिश के घटकों का वर्ग करके जोड़ा और फिर वर्गमूल लिया।

🎯 Exam Tip: किसी भी सदिश \( \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) का परिमाण \( |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \) सूत्र से ज्ञात किया जाता है। सभी घटकों के गुणांकों का वर्ग करके जोड़ना याद रखें।

प्रश्न 2. समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
Answer:
माना दो सदिश \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) हैं:
\( \vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k} \)
\( \vec{b} = 4\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k} \)
इनके परिमाण ज्ञात करते हैं:
\( |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-1)^2} \)
\( = \sqrt{9 + 16 + 1} \)
\( = \sqrt{26} \)
\( |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 3^2} \)
\( = \sqrt{16 + 1 + 9} \)
\( = \sqrt{26} \)
चूंकि \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = \sqrt{26} \) है, इसलिए \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश हैं। ये सदिश भले ही दिशा में अलग हों, पर उनकी लंबाई बराबर है।
In simple words: हमने दो अलग-अलग सदिश चुने और फिर उनकी लंबाई (परिमाण) निकाली। चूंकि दोनों की लंबाई बराबर थी, इसलिए वे समान परिमाण वाले सदिश हैं।

🎯 Exam Tip: समान परिमाण वाले विभिन्न सदिशों को लिखने के लिए, आप घटकों को बदल सकते हैं या उनके संकेतों को बदल सकते हैं, बस यह सुनिश्चित करें कि वर्ग का योग समान रहे।

प्रश्न 3. समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
Answer:
माना दो सदिश \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) हैं:
\( \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{b} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} \)
इनकी दिशाओं की तुलना करने के लिए हम इनके दिक-कोसाइन (direction cosines) ज्ञात करते हैं। दिक-कोसाइन एक सदिश की अक्षों के साथ बनने वाले कोणों के कोसाइन होते हैं, और वे सदिश की दिशा को दर्शाते हैं।
सदिश \( \vec{a} \) के दिक-कोसाइन \( l_1, m_1, n_1 \) हैं:
\( l_1 = \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( m_1 = \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( n_1 = \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
सदिश \( \vec{b} \) के दिक-कोसाइन \( l_2, m_2, n_2 \) हैं:
\( l_2 = \frac{3}{\sqrt{3^2+3^2+3^2}} = \frac{3}{\sqrt{9+9+9}} = \frac{3}{\sqrt{27}} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( m_2 = \frac{3}{\sqrt{3^2+3^2+3^2}} = \frac{3}{\sqrt{27}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( n_2 = \frac{3}{\sqrt{3^2+3^2+3^2}} = \frac{3}{\sqrt{27}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
इस प्रकार हम देखते हैं कि सदिश \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) के दिक-कोसाइन समान हैं, अर्थात् \( l_1 = l_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \), \( m_1 = m_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \) तथा \( n_1 = n_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \)।
अतः सदिश \( \vec{a} \) तथा \( \vec{b} \) समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश हैं। दूसरे शब्दों में, एक सदिश दूसरे का धनात्मक गुणज है।
In simple words: हमने दो सदिश चुने जहाँ एक सदिश दूसरे का तीन गुना था। चूंकि उनके दिक-कोसाइन समान थे, इसका मतलब है कि उनकी दिशा एक जैसी है, भले ही उनकी लंबाई अलग हो।

🎯 Exam Tip: समान दिशा वाले दो सदिश हमेशा एक दूसरे के समांतर होते हैं। यदि \( \vec{b} = \lambda \vec{a} \) जहाँ \( \lambda \) एक धनात्मक अचर है, तो \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) समान दिशा वाले सदिश होते हैं।

प्रश्न 4. यदि सदिश \( 2\hat{i} + 3\hat{j} \) और \( x\hat{i} + y\hat{j} \) समान हों, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हमें दिया गया है कि दो सदिश समान हैं:
\( \vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} \)
\( \vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} \)
यदि दो सदिश समान होते हैं, तो उनके संगत घटक भी समान होते हैं। यह सदिशों की समानता का मूल सिद्धांत है।
इसलिए, \( 2\hat{i} + 3\hat{j} = x\hat{i} + y\hat{j} \)
\( \implies x = 2 \)
\( \implies y = 3 \)
अतः, x और y के मान क्रमशः 2 और 3 हैं।
In simple words: जब दो सदिश बिल्कुल एक जैसे होते हैं, तो उनके 'आई', 'जे' और 'के' के साथ वाले अंक भी एक जैसे होने चाहिए। इसलिए x का मान 2 और y का मान 3 होगा।

🎯 Exam Tip: दो सदिशों की समानता का अर्थ है कि उनके संगत घटक (i, j, k के गुणांक) बिल्कुल समान होने चाहिए।

प्रश्न 5. एक सदिश का प्रारम्भिक बिन्दु (2, 1) है और अन्तिम विन्दु (-5, 7) है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना सदिश के प्रारम्भिक बिन्दु को A और अंतिम बिन्दु को B कहते हैं।
बिन्दु A के निर्देशांक \( (x_1, y_1) = (2, 1) \)
बिन्दु B के निर्देशांक \( (x_2, y_2) = (-5, 7) \)
बिन्दु A से बिन्दु B तक जाने वाले सदिश \( \vec{AB} \) को ज्ञात करने के लिए, हम अंतिम बिन्दु के घटकों में से प्रारम्भिक बिन्दु के घटकों को घटाते हैं।
सदिश \( \vec{AB} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} \)
\( \implies \vec{AB} = (-5 - 2)\hat{i} + (7 - 1)\hat{j} \)
\( \implies \vec{AB} = -7\hat{i} + 6\hat{j} \)
सदिश के अदिश घटक (scalar components) \( \hat{i} \) और \( \hat{j} \) के गुणांक होते हैं, जबकि सदिश घटक (vector components) पूरे पद होते हैं।
इसलिए, \( \vec{AB} \) के अदिश घटक -7 तथा 6 हैं। यह संख्याएं सदिश की दिशा में कितना 'खिसकाव' हुआ है, उसे बताती हैं।
और \( \vec{AB} \) के सदिश घटक \( -7\hat{i} \) तथा \( 6\hat{j} \) हैं।
In simple words: एक बिन्दु से दूसरे बिन्दु तक के सदिश को खोजने के लिए, हम दूसरे बिन्दु के x-मान से पहले बिन्दु के x-मान को घटाते हैं, और ऐसे ही y-मानों के लिए भी। जो संख्याएँ आती हैं वे अदिश घटक हैं, और î और ĵ के साथ वे सदिश घटक हैं।

🎯 Exam Tip: सदिश घटक (जैसे \( -7\hat{i} \)) में दिशा भी शामिल होती है, जबकि अदिश घटक (जैसे -7) केवल परिमाण को दर्शाता है। यह एक महत्वपूर्ण अंतर है।

प्रश्न 6. सदिश \( \vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \), \( \vec{b} = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k} \) तथा \( \vec{c} = \hat{i} - 6\hat{j} - 7\hat{k} \) का योगफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
सदिशों का योगफल ज्ञात करने के लिए, हम उनके संगत घटकों को जोड़ते हैं। यह बिल्कुल बीजगणित में समान पदों को जोड़ने जैसा है।
\( \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) + (-2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}) + (\hat{i} - 6\hat{j} - 7\hat{k}) \)
\( \implies \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (1 - 2 + 1)\hat{i} + (-2 + 4 - 6)\hat{j} + (1 + 5 - 7)\hat{k} \)
\( \implies \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (0)\hat{i} + (-4)\hat{j} + (-1)\hat{k} \)
\( \implies \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k} \)
\( \implies \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = -4\hat{j} - \hat{k} \)
अतः दिए गए सदिशों का योगफल \( -4\hat{j} - \hat{k} \) है। सदिशों को जोड़ने से उनकी परिणामी स्थिति या बल का पता चलता है।
In simple words: हमने सभी सदिशों के 'आई' वाले हिस्सों को एक साथ जोड़ा, फिर 'जे' वाले हिस्सों को और अंत में 'के' वाले हिस्सों को जोड़ा।

🎯 Exam Tip: सदिशों को जोड़ते या घटाते समय, हमेशा सुनिश्चित करें कि आप केवल संगत घटकों (î वाले को î वाले से, ĵ वाले को ĵ वाले से, आदि) को ही जोड़ें या घटाएँ।

प्रश्न 7. सदिश \( \vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} \) के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
Answer:
किसी सदिश के अनुदिश मात्रक सदिश (unit vector) एक ऐसा सदिश होता है जिसका परिमाण 1 होता है और इसकी दिशा मूल सदिश के समान होती है। इसे ज्ञात करने के लिए, हम मूल सदिश को उसके परिमाण से भाग देते हैं।
दिया गया सदिश है: \( \vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} \)
सबसे पहले, हम सदिश \( \vec{c} \) का परिमाण ज्ञात करते हैं:
\( |\vec{c}| = |\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}| \)
\( = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} \)
\( = \sqrt{1 + 1 + 4} \)
\( = \sqrt{6} \)
अब, सदिश \( \vec{c} \) के अनुदिश मात्रक सदिश \( \hat{c} \) है:
\( \hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} \)
\( = \frac{\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{6}} \)
\( = \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{6}}\hat{j} + \frac{2}{\sqrt{6}}\hat{k} \)
यह सदिश \( \vec{c} \) के अनुदिश अभीष्ट मात्रक सदिश है। यह सदिश केवल मूल सदिश की दिशा को दर्शाता है।
In simple words: हमने पहले दिए गए सदिश की लंबाई निकाली। फिर, उस सदिश को उसकी लंबाई से भाग दिया। इससे हमें एक ऐसा नया सदिश मिला जिसकी लंबाई 1 है, पर दिशा वही पुरानी वाली है।

🎯 Exam Tip: मात्रक सदिश का उपयोग किसी भी सदिश की दिशा को दर्शाने के लिए किया जाता है, बिना उसके परिमाण को बदले। इसका परिमाण हमेशा 1 होता है।

प्रश्न 8. सदिश \( \vec{PQ} \) के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दु P और Q क्रमशः (1, 2, 3) और (4, 5, 6) हैं।
Answer:
सबसे पहले, हम बिन्दु P और Q से बनने वाले सदिश \( \vec{PQ} \) को ज्ञात करते हैं। यदि P के निर्देशांक \( (x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3) \) और Q के निर्देशांक \( (x_2, y_2, z_2) = (4, 5, 6) \) हैं।
सदिश \( \vec{PQ} = (x_2 - x_1)\hat{i} + (y_2 - y_1)\hat{j} + (z_2 - z_1)\hat{k} \)
\( \implies \vec{PQ} = (4 - 1)\hat{i} + (5 - 2)\hat{j} + (6 - 3)\hat{k} \)
\( \implies \vec{PQ} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} \)
अब, हम इस सदिश \( \vec{PQ} \) का परिमाण ज्ञात करते हैं:
\( |\vec{PQ}| = |3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}| \)
\( = \sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2} \)
\( = \sqrt{9 + 9 + 9} \)
\( = \sqrt{27} \)
\( = 3\sqrt{3} \)
अंत में, सदिश \( \vec{PQ} \) के अनुदिश मात्रक सदिश \( \hat{PQ} \) ज्ञात करते हैं:
\( \hat{PQ} = \frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|} \)
\( = \frac{3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}}{3\sqrt{3}} \)
\( = \frac{3}{3\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{3}{3\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{3}{3\sqrt{3}}\hat{k} \)
\( = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k} \)
यह सदिश \( \vec{PQ} \) के अनुदिश अभीष्ट मात्रक सदिश है। यह उस दिशा में एक इकाई लंबाई का सदिश है।
In simple words: पहले हमने P से Q तक का सदिश बनाया। फिर उस सदिश की लंबाई निकाली। अंत में, हमने सदिश को उसकी लंबाई से भाग देकर मात्रक सदिश ज्ञात किया, जो केवल दिशा बताता है।

🎯 Exam Tip: दो बिन्दुओं से बनने वाले सदिश को हमेशा अंतिम बिन्दु के निर्देशांकों में से प्रारंभिक बिन्दु के निर्देशांकों को घटाकर प्राप्त किया जाता है।

प्रश्न 9. दिए हुए सदिश \( \vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \) और \( \vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \) के लिए सदिश \( \vec{a} + \vec{b} \) के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
Answer:
सबसे पहले, हम सदिश \( \vec{a} + \vec{b} \) ज्ञात करते हैं। इसमें हम दोनों सदिशों के संगत घटकों को जोड़ते हैं।
\( \vec{a} + \vec{b} = (2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + (-\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \)
\( = (2 - 1)\hat{i} + (-1 + 1)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k} \)
\( = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k} \)
\( = \hat{i} + \hat{k} \)
अब, हम इस नए सदिश \( (\vec{a} + \vec{b}) \) का परिमाण ज्ञात करते हैं:
\( |\vec{a} + \vec{b}| = |\hat{i} + \hat{k}| \)
\( = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} \)
\( = \sqrt{1 + 0 + 1} \)
\( = \sqrt{2} \)
अंत में, सदिश \( (\vec{a} + \vec{b}) \) के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात करते हैं:
\( \text{मात्रक सदिश} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}|} \)
\( = \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} \)
\( = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k} \)
यह सदिश \( (\vec{a} + \vec{b}) \) के अनुदिश अभीष्ट मात्रक सदिश है। यह हमें बताता है कि योगफल सदिश की दिशा क्या है।
In simple words: पहले हमने दिए गए दोनों सदिशों को जोड़ा। फिर, उस नए सदिश की लंबाई (परिमाण) निकाली। आखिर में, उस नए सदिश को उसकी लंबाई से भाग देकर मात्रक सदिश पता किया।

🎯 Exam Tip: यदि किसी सदिश में कोई घटक (जैसे \( \hat{j} \)) अनुपस्थित हो, तो उसका गुणांक शून्य माना जाता है, और वर्गमूल की गणना में उसे \( 0^2 \) के रूप में शामिल किया जाता है।

प्रश्न 10. सदिश \( 5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \) के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।
Answer:
हमें एक सदिश चाहिए जिसकी दिशा दिए गए सदिश के समान हो लेकिन उसका परिमाण 8 इकाई हो। इसके लिए, हम पहले दिए गए सदिश के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात करेंगे और फिर उसे वांछित परिमाण (8) से गुणा करेंगे।
माना दिया गया सदिश \( \vec{a} = 5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \) है।
पहले सदिश \( \vec{a} \) का परिमाण ज्ञात करते हैं:
\( |\vec{a}| = |5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}| \)
\( = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 2^2} \)
\( = \sqrt{25 + 1 + 4} \)
\( = \sqrt{30} \)
अब, सदिश \( \vec{a} \) के अनुदिश मात्रक सदिश \( \hat{a} \) ज्ञात करते हैं:
\( \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{30}} \)
\( = \frac{5}{\sqrt{30}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{30}}\hat{j} + \frac{2}{\sqrt{30}}\hat{k} \)
एक ऐसा सदिश जिसका परिमाण 8 इकाई हो और जो \( \vec{a} \) के अनुदिश हो, उसे \( 8\hat{a} \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह किसी भी सदिश की दिशा को बनाए रखते हुए उसकी लंबाई को बदलने का तरीका है।
अभीष्ट सदिश \( = 8\hat{a} \)
\( = 8 \left( \frac{5}{\sqrt{30}}\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{30}}\hat{j} + \frac{2}{\sqrt{30}}\hat{k} \right) \)
\( = \frac{40}{\sqrt{30}}\hat{i} - \frac{8}{\sqrt{30}}\hat{j} + \frac{16}{\sqrt{30}}\hat{k} \)
अतः, अभीष्ट सदिश \( \frac{8}{\sqrt{30}}(5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \) है।
In simple words: हमें एक सदिश चाहिए जिसकी लंबाई 8 हो और दिशा दिए गए सदिश जैसी हो। हमने पहले दिए गए सदिश की दिशा निकाली (मात्रक सदिश), और फिर उसे 8 से गुणा कर दिया।

🎯 Exam Tip: किसी दिए गए सदिश \( \vec{v} \) के अनुदिश \( k \) परिमाण वाला सदिश ज्ञात करने के लिए, सूत्र \( k \cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \) का उपयोग करें। यह सुनिश्चित करता है कि दिशा समान रहे और नया परिमाण \( k \) हो।

प्रश्न 11. दर्शाइए कि सदिश \( 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k} \) और \( -4\hat{i} + 6\hat{j} - 8\hat{k} \) संरेख हैं।
Answer:
दो सदिश संरेख (collinear) होते हैं यदि वे एक-दूसरे के समांतर हों। सदिशों को संरेख दिखाने का एक तरीका यह है कि एक सदिश को दूसरे सदिश के अदिश गुणज (scalar multiple) के रूप में व्यक्त किया जा सके।
माना दिया गया सदिश \( \vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k} \) है।
और दूसरा सदिश \( \vec{b} = -4\hat{i} + 6\hat{j} - 8\hat{k} \) है।
हम सदिश \( \vec{b} \) को \( \vec{a} \) के गुणज के रूप में लिखने का प्रयास करते हैं:
\( \vec{b} = -4\hat{i} + 6\hat{j} - 8\hat{k} \)
इसमें से हम -2 को उभयनिष्ठ (common) लेते हैं:
\( \vec{b} = -2(2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) \)
हम देख सकते हैं कि कोष्ठक के अंदर का व्यंजक सदिश \( \vec{a} \) है।
\( \implies \vec{b} = -2\vec{a} \)
चूंकि सदिश \( \vec{b} \) को सदिश \( \vec{a} \) के एक अदिश गुणज (यहाँ \( \lambda = -2 \)) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए दोनों सदिश संरेख हैं। इसका मतलब है कि वे एक ही रेखा पर हैं या एक दूसरे के समांतर हैं।
In simple words: हमने देखा कि एक सदिश दूसरे सदिश का कुछ गुना है। अगर ऐसा होता है, तो वे दोनों सदिश एक ही दिशा में होते हैं या एक दूसरे के बिल्कुल समांतर होते हैं, जिसका मतलब है कि वे संरेख हैं।

🎯 Exam Tip: दो सदिश \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) संरेख होते हैं यदि \( \vec{b} = \lambda \vec{a} \) जहाँ \( \lambda \) कोई अदिश (scalar) संख्या है। यदि \( \lambda \) धनात्मक है, तो वे समान दिशा में होते हैं; यदि \( \lambda \) ऋणात्मक है, तो वे विपरीत दिशा में होते हैं।

प्रश्न 12. दो बिन्दुओं P और Q को मिलाने वाली रेखा को 2:1 के अनुपात में अन्तः और बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु R की स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए, जहाँ P का स्थिति सदिश \( \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) और Q का स्थिति सदिश \( -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \) है।
Answer:
माना मूलबिन्दु O है, तब बिन्दु P और Q के स्थिति सदिश क्रमशः \( \vec{OP} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) तथा \( \vec{OQ} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \) हैं। रेखाखण्ड PQ को अनुपात \( m:n = 2:1 \) में विभाजित करना है।

**1. अन्तः विभाजन (Internal Division):**
अन्तः विभाजन के लिए स्थिति सदिश \( \vec{OR} \) का सूत्र है:
\( \vec{OR} = \frac{m\vec{OQ} + n\vec{OP}}{m+n} \)
यहाँ \( m = 2 \) और \( n = 1 \) है।
\( \implies \vec{OR} = \frac{2(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + 1(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})}{2+1} \)
\( = \frac{-2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} + \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{3} \)
\( = \frac{(-2 + 1)\hat{i} + (2 + 2)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k}}{3} \)
\( = \frac{-\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}}{3} \)
\( = -\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k} \)
यह वह बिन्दु है जो PQ को अंदर से 2:1 के अनुपात में बांटता है।

**2. बाह्य विभाजन (External Division):**
बाह्य विभाजन के लिए स्थिति सदिश \( \vec{OR} \) का सूत्र है:
\( \vec{OR} = \frac{m\vec{OQ} - n\vec{OP}}{m-n} \)
यहाँ \( m = 2 \) और \( n = 1 \) है।
\( \implies \vec{OR} = \frac{2(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 1(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})}{2-1} \)
\( = \frac{-2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} - \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}}{1} \)
\( = (-2 - 1)\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (2 + 1)\hat{k} \)
\( = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k} \)
\( = -3\hat{i} + 3\hat{k} \)
यह वह बिन्दु है जो PQ को बाहर से 2:1 के अनुपात में बांटता है।
अतः, बिन्दु R का स्थिति सदिश अन्तः विभाजन के लिए \( -\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k} \) और बाह्य विभाजन के लिए \( -3\hat{i} + 3\hat{k} \) है। ये सूत्र ज्यामिति में बिन्दुओं की स्थिति ज्ञात करने में मदद करते हैं।
In simple words: हमने दो बिन्दुओं के बीच की रेखा को 2:1 के अनुपात में दो तरीकों से बांटा - एक बार अंदर से और एक बार बाहर से। इसके लिए हमने खास सूत्र लगाए और बिन्दु R की जगह (स्थिति सदिश) निकाली।

🎯 Exam Tip: अन्तः विभाजन और बाह्य विभाजन के सूत्रों को याद रखें। अन्तः विभाजन में \( m+n \) हर में होता है और \( m\vec{OQ} + n\vec{OP} \) अंश में, जबकि बाह्य विभाजन में \( m-n \) हर में और \( m\vec{OQ} - n\vec{OP} \) अंश में होता है।

प्रश्न 13. दो बिन्दुओं P(2, 3, 4) और Q(4, 1, -2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना मूलबिन्दु O के सापेक्ष बिन्दु P और Q के स्थिति सदिश क्रमशः \( \vec{OP} \) तथा \( \vec{OQ} \) हैं।
बिन्दु P के निर्देशांक \( (2, 3, 4) \) से \( \vec{OP} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k} \)
बिन्दु Q के निर्देशांक \( (4, 1, -2) \) से \( \vec{OQ} = 4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} \)
दो बिन्दुओं को मिलाने वाले सदिश का मध्य-बिन्दु (mid-point) ज्ञात करने के लिए, हम उनके स्थिति सदिशों को जोड़कर 2 से भाग देते हैं। यह एक औसत मान निकालने जैसा है।
माना मध्य-बिन्दु R है, तो R का स्थिति सदिश \( \vec{OR} \) होगा:
\( \vec{OR} = \frac{\vec{OP} + \vec{OQ}}{2} \)
\( = \frac{(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) + (4\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})}{2} \)
\( = \frac{(2 + 4)\hat{i} + (3 + 1)\hat{j} + (4 - 2)\hat{k}}{2} \)
\( = \frac{6\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}}{2} \)
\( = \frac{6}{2}\hat{i} + \frac{4}{2}\hat{j} + \frac{2}{2}\hat{k} \)
\( = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \)
अतः, अभीष्ट मध्य-बिन्दु \( 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \) है। यह बिन्दु रेखाखंड PQ के ठीक बीच में स्थित है।
In simple words: हमने बिन्दु P और Q के सदिशों को जोड़ा और फिर उन्हें 2 से भाग दिया। इससे हमें वह सदिश मिला जो उन दोनों बिन्दुओं के ठीक बीच में स्थित मध्य-बिन्दु की जगह बताता है।

🎯 Exam Tip: मध्य-बिन्दु सूत्र वास्तव में 1:1 के अनुपात में अन्तः विभाजन सूत्र का एक विशेष मामला है। यदि आपको बिन्दु P और Q दिए गए हों, तो मध्य-बिन्दु के निर्देशांक \( \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2} \right) \) होते हैं।

प्रश्न 14. दर्शाइए कि सदिश \( \vec{a} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k} \), \( \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \) और \( \vec{c} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k} \) एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
Answer:
हमें यह दिखाने के लिए कि दिए गए सदिश एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं, हमें त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करनी होगी। फिर हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके जांच करेंगे कि क्या एक भुजा के वर्ग का योग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है।
माना मूलबिन्दु O है, और दिए गए सदिश बिन्दुओं A, B, C के स्थिति सदिश हैं:
\( \vec{OA} = \vec{a} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k} \)
\( \vec{OB} = \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{OC} = \vec{c} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k} \)

अब, भुजाओं के सदिश ज्ञात करते हैं:
**भुजा \( \vec{AB} \):**
\( \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a} \)
\( = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}) \)
\( = (2 - 3)\hat{i} + (-1 - (-4))\hat{j} + (1 - (-4))\hat{k} \)
\( = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k} \)
परिमाण \( |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35} \)
\( |\vec{AB}|^2 = 35 \)

**भुजा \( \vec{BC} \):**
\( \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \vec{c} - \vec{b} \)
\( = (\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}) - (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \)
\( = (1 - 2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (-5 - 1)\hat{k} \)
\( = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k} \)
परिमाण \( |\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41} \)
\( |\vec{BC}|^2 = 41 \)

**भुजा \( \vec{CA} \):**
\( \vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} = \vec{a} - \vec{c} \)
\( = (3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}) - (\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}) \)
\( = (3 - 1)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-4 - (-5))\hat{k} \)
\( = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \)
परिमाण \( |\vec{CA}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \)
\( |\vec{CA}|^2 = 6 \)

अब हम पाइथागोरस प्रमेय की जांच करते हैं: \( |\vec{AB}|^2 + |\vec{CA}|^2 = 35 + 6 = 41 \)
और \( |\vec{BC}|^2 = 41 \)
चूंकि \( |\vec{AB}|^2 + |\vec{CA}|^2 = |\vec{BC}|^2 \) है, इसलिए दिए गए सदिश A, B तथा C एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं। इसमें \( \vec{BC} \) कर्ण है और \( \angle BAC \) समकोण है।
In simple words: हमने पहले तीन सदिशों (बिन्दुओं) से त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई निकाली। फिर, हमने देखा कि सबसे लंबी भुजा की लंबाई का वर्ग, बाकी दोनों भुजाओं की लंबाई के वर्गों के जोड़ के बराबर है। इसका मतलब है कि यह एक समकोण त्रिभुज है।

🎯 Exam Tip: किसी त्रिभुज को समकोण सिद्ध करने के लिए, तीनों भुजाओं की लंबाई का वर्ग करें। यदि किन्हीं दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर हो, तो त्रिभुज समकोण होगा।