RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 8 अनुक्रम, श्रेढ़ी तथा श्रेणी Exercise 8.1

प्रश्न 1. निम्न अनुक्रमों में से कौनसे अनुक्रम स.श्रे. में हैं ?
(i) 2, 6, 11, 17,........
(ii) 1, 1.4, 1.8, 2.2,
(iii) -7, -5, -3, -1, ........
(iv) 1, 8, 27, 64, ........
Answer:
(i) यह एक समांतर श्रेढ़ी (AP) नहीं है। इसमें संख्याओं के बीच का अंतर बढ़ता जा रहा है, जैसे 6-2=4 और 11-6=5, जो कि समान नहीं है।
(ii) यह एक समांतर श्रेढ़ी है। इसमें प्रत्येक संख्या अपनी पिछली संख्या से 0.4 अधिक है। इसका मतलब है कि संख्याओं के बीच का अंतर हमेशा 0.4 रहता है।
(iii) यह एक समांतर श्रेढ़ी है। इसमें प्रत्येक संख्या अपनी पिछली संख्या से 2 अधिक है। यहाँ भी अंतर हमेशा 2 है।
(iv) यह एक समांतर श्रेढ़ी नहीं है। यहाँ सार्वअन्तर समान नहीं है। उदाहरण के लिए, 8-1=7 और 27-8=19 हैं।
In simple words: एक समांतर श्रेढ़ी वह होती है जिसमें हर अगली संख्या पिछली संख्या से एक निश्चित अंक अधिक या कम होती है। हमें हर अनुक्रम के अंकों के बीच का अंतर देखना होगा कि वह बराबर है या नहीं।

🎯 Exam Tip: समांतर श्रेढ़ी की पहचान करने के लिए, हमेशा लगातार दो पदों का अंतर (सार्वअन्तर) निकालें। यदि यह अंतर सभी जगह समान आता है, तभी वह समांतर श्रेढ़ी होगी।

प्रश्न 2. उन अनुक्रमों के प्रथम पद, सार्वअन्तर तथा 5 वें पद ज्ञात कीजिए, जिनके n वें पद निम्नलिखित हैं
(i) \( T_n = 3n + 7 \)
(ii) \( T_n = a + (n - 1)d \)
(iii) \( T_n = 5 - 3n \)
Answer:
(i) \( T_n = 3n + 7 \)
n = 1 रखने पर: \( T_1 = 3 \times 1 + 7 = 3 + 7 = 10 \)
n = 2 रखने पर: \( T_2 = 3 \times 2 + 7 = 6 + 7 = 13 \)
n = 3 रखने पर: \( T_3 = 3 \times 3 + 7 = 9 + 7 = 16 \)
प्रथम पद (a) = \( T_1 = 10 \)
सार्वअन्तर (d) = \( T_2 - T_1 = 13 - 10 = 3 \)
5वाँ पद: \( T_5 = 3 \times 5 + 7 = 15 + 7 = 22 \)
(ii) \( T_n = a + (n - 1)d \)
n = 1, 2, 3 रखने पर:
\( T_1 = a + (1 - 1)d = a + 0 = a \)
\( T_2 = a + (2 - 1)d = a + d \)
\( T_3 = a + (3 - 1)d = a + 2d \)
प्रथम पद (a) = \( a \)
सार्वअन्तर (d) = \( (a + d) - a = d \)
5वाँ पद (T_5) = \( a + 4d \)
(iii) \( T_n = 5 - 3n \)
n = 1, 2, 3 रखने पर:
\( T_1 = 5 - 3 \times 1 = 5 - 3 = 2 \)
\( T_2 = 5 - 3 \times 2 = 5 - 6 = -1 \)
\( T_3 = 5 - 3 \times 3 = 5 - 9 = -4 \)
प्रथम पद (a) = \( T_1 = 2 \)
सार्वअन्तर (d) = \( T_2 - T_1 = -1 - 2 = -3 \)
5वाँ पद (T_5) = \( 5 - 3 \times 5 = 5 - 15 = -10 \)
In simple words: n वें पद का सूत्र दिया होने पर, हम n की जगह 1, 2, 3 आदि रखकर अनुक्रम की संख्याएँ निकालते हैं। पहला पद T1 होता है, और दो लगातार पदों का अंतर सार्वअन्तर होता है। n की जगह 5 रखकर 5वाँ पद मिलता है।

🎯 Exam Tip: जब nवाँ पद दिया हो, तो प्रथम पद के लिए n=1 रखें, सार्वअन्तर के लिए T2-T1 निकालें, और किसी भी पद को ज्ञात करने के लिए n का सही मान सूत्र में रखें।

प्रश्न 3. दर्शाइए कि निम्नलिखित n वें पदों वाले अनुक्रम स. श्रे. नहीं है।
(i) \( \frac {n}{n+1} \)
(ii) \( n^2 + 1 \)
Answer:
(i) अनुक्रम के स. श्रे. में होने के लिए, लगातार पदों का अंतर (Tn+1 - Tn) एक स्थिर संख्या होनी चाहिए, न कि n पर निर्भर।
यहाँ, \( T_n = \frac {n}{n+1} \)
तो, \( T_{n+1} = \frac {(n+1)}{(n+1)+1} = \frac {(n+1)}{n+2} \)
अब अंतर निकालते हैं:
\( T_{n+1} - T_n = \frac {n+1}{n+2} - \frac {n}{n+1} \)
\( = \frac {(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} \)
\( = \frac {n^2 + 2n + 1 - n^2 - 2n}{(n+2)(n+1)} \)
\( = \frac {1}{(n+1)(n+2)} \)
यह अंतर n पर निर्भर करता है, क्योंकि n बदलने पर इसका मान बदल जाएगा। इसलिए, यह अनुक्रम समांतर श्रेढ़ी नहीं है।
(ii) यहाँ, \( T_n = n^2 + 1 \)
n के स्थान पर \( (n + 1) \) रखने पर:
\( T_{n+1} = (n+1)^2 + 1 \)
\( = n^2 + 2n + 1 + 1 \)
\( = n^2 + 2n + 2 \)
अब अंतर निकालते हैं:
\( T_{n+1} - T_n = (n^2 + 2n + 2) - (n^2 + 1) \)
\( = n^2 + 2n + 2 - n^2 - 1 \)
\( = 2n + 1 \)
यह अंतर \( 2n + 1 \) भी n पर निर्भर करता है। n का मान बदलने पर अंतर बदल जाएगा। इसलिए, यह अनुक्रम भी समांतर श्रेढ़ी नहीं है।
In simple words: किसी अनुक्रम को समांतर श्रेढ़ी होने के लिए, उसके हर अगले पद और पिछले पद का अंतर हमेशा एक ही संख्या होना चाहिए। अगर यह अंतर n (पद संख्या) पर निर्भर करता है और n बदलने पर बदल जाता है, तो वह समांतर श्रेढ़ी नहीं होता।

🎯 Exam Tip: किसी अनुक्रम को समांतर श्रेढ़ी सिद्ध करने या न करने के लिए, हमेशा \( T_{n+1} - T_n \) निकालें। यदि यह परिणाम एक स्थिर संख्या (जो n पर निर्भर न करे) आता है, तो वह AP है, अन्यथा नहीं।

प्रश्न 4. समान्तर श्रेढ़ी \( 2 + 5 + 8 + 11 +......... \) का कौनसा पद 65 है?
Answer:
दी गयी समान्तर श्रेढ़ी है: \( 2, 5, 8, 11, \ldots \)
यहाँ, प्रथम पद \( a = 2 \)
सार्वअन्तर \( d = 5 - 2 = 3 \)
मान लीजिए nवाँ पद 65 है, यानी \( T_n = 65 \)
समान्तर श्रेढ़ी के nवें पद का सूत्र है: \( T_n = a + (n - 1)d \)
मान रखने पर:
\( 65 = 2 + (n - 1) \times 3 \)
पहले 2 को दूसरी तरफ घटाएँ:
\( 65 - 2 = (n - 1) \times 3 \)
\( 63 = (n - 1) \times 3 \)
अब दोनों तरफ 3 से भाग दें:
\( \frac {63}{3} = n - 1 \)
\( 21 = n - 1 \)
n का मान ज्ञात करने के लिए 1 को दूसरी तरफ जोड़ें:
\( n = 21 + 1 \)
\( n = 22 \)
अतः, समान्तर श्रेढ़ी का 22वाँ पद 65 है।
In simple words: हमें यह पता लगाना है कि 65, इस संख्याओं की सूची में कौन से नंबर पर आता है। इसके लिए, हम पहले पद (शुरुआत की संख्या) और हर दो संख्याओं के बीच के अंतर को जानते हैं। फिर हम एक सूत्र का उपयोग करके वह नंबर (n) पता लगाते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, आपको दिए गए AP के लिए 'a' (प्रथम पद) और 'd' (सार्वअन्तर) को सही ढंग से पहचानना चाहिए, फिर \( T_n = a + (n - 1)d \) सूत्र का उपयोग करके अज्ञात पद संख्या 'n' की गणना करें।

प्रश्न 5. समान्तर श्रेढ़ी \( 4+9+14+19+.......+ 124 \) का अंत से 13वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer:
दी गयी समान्तर श्रेढ़ी है: \( 4, 9, 14, 19, \ldots, 124 \)
यहाँ, प्रथम पद \( a = 4 \)
सार्वअन्तर \( d = 9 - 4 = 5 \)
अंतिम पद \( l = 124 \)
अंत से nवें पद का सूत्र है: \( T_n' = l - (n - 1)d \)
हमें अंत से 13वाँ पद ज्ञात करना है, इसलिए \( n = 13 \)
मान रखने पर:
अंत से 13वाँ पद \( = 124 - (13 - 1) \times 5 \)
\( = 124 - 12 \times 5 \)
\( = 124 - 60 \)
\( = 64 \)
अतः, समान्तर श्रेढ़ी का अंत से 13वाँ पद 64 है। यह तरीका उल्टी दिशा से गणना करने में बहुत आसान है।
In simple words: एक संख्याओं की सूची दी गई है, और हमें पीछे से गिनना शुरू करके 13वीं संख्या बतानी है। इसके लिए हम आखिरी संख्या में से, 13 में से 1 घटाकर उसे अंतर से गुणा करके घटा देते हैं।

🎯 Exam Tip: अंत से nवाँ पद ज्ञात करने के लिए, सूत्र \( T_n' = l - (n - 1)d \) का उपयोग करें, जहाँ \( l \) अंतिम पद है। या फिर, श्रेढ़ी को उल्टा करके उसके प्रथम पद को \( l \) और सार्वअन्तर को \( -d \) लेकर सामान्य सूत्र का उपयोग करें।

प्रश्न 6. यदि समान्तर श्रेढ़ी \( 2+5+8+11+\dots \) की अन्तिम पद 95 हो, तो श्रेढ़ी के पदों की संख्या ज्ञात कीजिये।
Answer:
दी गयी समान्तर श्रेढ़ी है: \( 2, 5, 8, 11, \ldots, 95 \)
यहाँ, प्रथम पद \( a = 2 \)
सार्वअन्तर \( d = 5 - 2 = 3 \)
अंतिम पद \( T_n = 95 \)
हमें पदों की संख्या \( n \) ज्ञात करनी है।
समान्तर श्रेढ़ी के nवें पद का सूत्र है: \( T_n = a + (n - 1)d \)
मान रखने पर:
\( 95 = 2 + (n - 1) \times 3 \)
पहले 2 को दूसरी तरफ घटाएँ:
\( 95 - 2 = (n - 1) \times 3 \)
\( 93 = (n - 1) \times 3 \)
अब दोनों तरफ 3 से भाग दें:
\( \frac {93}{3} = n - 1 \)
\( 31 = n - 1 \)
n का मान ज्ञात करने के लिए 1 को दूसरी तरफ जोड़ें:
\( n = 31 + 1 \)
\( n = 32 \)
अतः, समान्तर श्रेढ़ी में पदों की कुल संख्या 32 है। यह गणना हमें बताती है कि सूची में कितने अंक हैं।
In simple words: हमारे पास संख्याओं की एक सूची है जो एक क्रम में बढ़ रही है, और हमें पता है कि सूची की आखिरी संख्या क्या है। हमें यह बताना है कि इस पूरी सूची में कितनी संख्याएँ हैं।

🎯 Exam Tip: अंतिम पद \( T_n \) का मान दिए जाने पर, आपको \( T_n = a + (n - 1)d \) सूत्र का उपयोग करके n के लिए समीकरण हल करना होगा। गणनाएँ ध्यान से करें।

प्रश्न 7. यदि एक समान्तर श्रेढ़ी का 9वाँ पद शून्य है, तो सिद्ध कीजिए कि 29वाँ पद, 19वें पद का दुगुना होता है।
Answer:
दिया है कि एक समान्तर श्रेढ़ी का 9वाँ पद शून्य है।
हम जानते हैं कि nवें पद का सूत्र \( T_n = a + (n - 1)d \) है।
9वें पद के लिए \( n = 9 \):
\( T_9 = a + (9 - 1)d \)
\( 0 = a + 8d \)
\( \implies a = -8d \) ...(1)
अब 29वाँ पद ज्ञात करते हैं:
\( T_{29} = a + (29 - 1)d \)
\( T_{29} = a + 28d \)
समीकरण (1) से \( a \) का मान रखने पर:
\( T_{29} = (-8d) + 28d \)
\( T_{29} = 20d \) ...(2)
अब 19वाँ पद ज्ञात करते हैं:
\( T_{19} = a + (19 - 1)d \)
\( T_{19} = a + 18d \)
समीकरण (1) से \( a \) का मान रखने पर:
\( T_{19} = (-8d) + 18d \)
\( T_{19} = 10d \) ...(3)
अब हमें सिद्ध करना है कि \( T_{29} = 2 \times T_{19} \)
समीकरण (2) और (3) से मान रखने पर:
\( 20d = 2 \times (10d) \)
\( 20d = 20d \)
यह सत्य है। इस प्रकार, यह साबित होता है कि 29वाँ पद 19वें पद का दुगुना होता है।
In simple words: अगर किसी संख्याओं की सूची का 9वां अंक शून्य है, तो हमें दिखाना है कि उसका 29वां अंक उसके 19वें अंक से दोगुना बड़ा होगा। इसके लिए, हम पहले पद (a) और अंतर (d) के बीच संबंध निकालते हैं और फिर उसे 29वें और 19वें पद के सूत्रों में रखकर तुलना करते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, दिए गए शर्त से 'a' और 'd' के बीच संबंध ज्ञात करें। फिर जिन पदों को सिद्ध करना है, उनके लिए सूत्र लिखें और 'a' का मान प्रतिस्थापित करके तुलना करें।

प्रश्न 8. 3 से विभाज्य दो अंकों वाली प्राकृत संख्याएँ कितनी हैं ?
Answer:
दो अंकों वाली सबसे छोटी संख्या 10 है और सबसे बड़ी संख्या 99 है।
3 से विभाज्य दो अंकों वाली प्राकृत संख्याएँ एक समान्तर श्रेढ़ी बनाती हैं:
12, 15, 18, \ldots, 99
यहाँ, प्रथम पद \( a = 12 \)
सार्वअन्तर \( d = 15 - 12 = 3 \)
अंतिम पद \( T_n = 99 \)
हमें पदों की संख्या \( n \) ज्ञात करनी है।
समान्तर श्रेढ़ी के nवें पद का सूत्र है: \( T_n = a + (n - 1)d \)
मान रखने पर:
\( 99 = 12 + (n - 1) \times 3 \)
पहले 12 को दूसरी तरफ घटाएँ:
\( 99 - 12 = (n - 1) \times 3 \)
\( 87 = (n - 1) \times 3 \)
अब दोनों तरफ 3 से भाग दें:
\( \frac {87}{3} = n - 1 \)
\( 29 = n - 1 \)
n का मान ज्ञात करने के लिए 1 को दूसरी तरफ जोड़ें:
\( n = 29 + 1 \)
\( n = 30 \)
अतः, 3 से विभाज्य दो अंकों वाली 30 प्राकृत संख्याएँ हैं। यह हमें बताता है कि ऐसी कितनी संख्याएं हैं जो 3 से पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं।
In simple words: हमें यह पता लगाना है कि 10 से 99 तक की संख्याओं में से कितनी संख्याएँ ऐसी हैं जिन्हें 3 से भाग देने पर कोई शेष नहीं बचता। इसके लिए हम पहली और आखिरी ऐसी संख्या पहचानते हैं और फिर एक सूत्र का उपयोग करके कुल गिनती निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सबसे पहले यह सुनिश्चित करें कि आप सबसे पहली और सबसे आखिरी संख्या पहचान लें जो दी गई शर्त को पूरा करती हैं। फिर उन्हें AP के प्रथम और अंतिम पद मानकर n ज्ञात करें।

प्रश्न 9. यदि किसी स. श्रेणी का pवाँ पद q तथा qवाँ पद p हो, तो (p + q)वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है कि समान्तर श्रेढ़ी का pवाँ पद \( T_p = q \) और qवाँ पद \( T_q = p \)।
हम जानते हैं कि nवें पद का सूत्र \( T_n = a + (n - 1)d \) है।
तो, \( T_p = a + (p - 1)d = q \) ...(1)
और \( T_q = a + (q - 1)d = p \) ...(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर:
\( (a + (p - 1)d) - (a + (q - 1)d) = q - p \)
\( a + pd - d - a - qd + d = q - p \)
\( pd - qd = q - p \)
\( d(p - q) = -(p - q) \)
यदि \( p \neq q \) तो दोनों तरफ \( (p - q) \) से भाग देने पर:
\( d = -1 \)
अब \( d = -1 \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + (p - 1)(-1) = q \)
\( a - p + 1 = q \)
\( a = q + p - 1 \)
हमें \( (p + q) \)वाँ पद ज्ञात करना है:
\( T_{p+q} = a + ( (p+q) - 1 )d \)
\( a \) और \( d \) के मान रखने पर:
\( T_{p+q} = (q + p - 1) + (p + q - 1)(-1) \)
\( T_{p+q} = (q + p - 1) - (p + q - 1) \)
\( T_{p+q} = q + p - 1 - p - q + 1 \)
\( T_{p+q} = 0 \)
अतः, \( (p + q) \)वाँ पद 0 होगा। यह एक विशेष स्थिति है जहाँ पदों के मान का योग शून्य होता है।
In simple words: अगर किसी संख्याओं की सूची में pवें नंबर की संख्या q है और qवें नंबर की संख्या p है, तो हमें बताना है कि \( (p+q) \)वें नंबर पर कौन सी संख्या होगी। हम पहले 'a' (पहला पद) और 'd' (अंतर) निकालते हैं और फिर उनसे \( (p+q) \)वें पद का मान ज्ञात करते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहाँ \( T_p = q \) और \( T_q = p \) दिया हो, सार्वअन्तर हमेशा -1 होता है। इस संबंध को याद रखना समय बचा सकता है। फिर 'a' का मान ज्ञात करके किसी भी पद को निकाल सकते हैं।

प्रश्न 10. यदि किसी स. श्रे. का pवाँ पद \( \frac {1}{q} \) तथा qवाँ पद \( \frac {1}{p} \) हो, तो सिद्ध कीजिए pqवाँ पद इकाई है।
Answer:
दिया है कि समान्तर श्रेढ़ी का pवाँ पद \( T_p = \frac {1}{q} \) और qवाँ पद \( T_q = \frac {1}{p} \)
हम जानते हैं कि nवें पद का सूत्र \( T_n = a + (n - 1)d \) है।
तो, \( T_p = a + (p - 1)d = \frac {1}{q} \) ...(1)
और \( T_q = a + (q - 1)d = \frac {1}{p} \) ...(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर:
\( (a + (p - 1)d) - (a + (q - 1)d) = \frac {1}{q} - \frac {1}{p} \)
\( pd - d - qd + d = \frac {p - q}{pq} \)
\( d(p - q) = \frac {p - q}{pq} \)
यदि \( p \neq q \) तो दोनों तरफ \( (p - q) \) से भाग देने पर:
\( d = \frac {1}{pq} \)
अब \( d = \frac {1}{pq} \) का मान समीकरण (1) में रखने पर:
\( a + (p - 1)\left(\frac {1}{pq}\right) = \frac {1}{q} \)
\( a + \frac {p}{pq} - \frac {1}{pq} = \frac {1}{q} \)
\( a + \frac {1}{q} - \frac {1}{pq} = \frac {1}{q} \)
\( a = \frac {1}{pq} \)
अब हमें \( pq \)वाँ पद ज्ञात करना है:
\( T_{pq} = a + (pq - 1)d \)
\( a \) और \( d \) के मान रखने पर:
\( T_{pq} = \frac {1}{pq} + (pq - 1)\left(\frac {1}{pq}\right) \)
\( T_{pq} = \frac {1}{pq} + \frac {pq}{pq} - \frac {1}{pq} \)
\( T_{pq} = \frac {1}{pq} + 1 - \frac {1}{pq} \)
\( T_{pq} = 1 \)
अतः, \( pq \)वाँ पद इकाई (1) है। यह सिद्ध हो गया। यह एक महत्वपूर्ण परिणाम है जो अक्सर परीक्षाओं में पूछा जाता है।
In simple words: हमें यह साबित करना है कि अगर एक संख्याओं की सूची में pवें नंबर की संख्या \( \frac {1}{q} \) है और qवें नंबर की संख्या \( \frac {1}{p} \) है, तो उसका \( pq \)वें नंबर की संख्या 1 होगी। हम पहले 'a' और 'd' के मान निकालते हैं और फिर उन्हें \( pq \)वें पद के सूत्र में रखकर परिणाम देखते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( d = \frac{1}{pq} \) और \( a = \frac{1}{pq} \) संबंध को याद रखना सहायक होता है। ये मान ज्ञात करने के बाद, \( T_{pq} \) को आसानी से 1 सिद्ध किया जा सकता है।