RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन More Questions

Question 1. एक समकोण होता है
(a) एक रेडियन के बराबर
(b) 90 डिग्री के बराबर
(c) एक डिग्री के बराबर
(d) 90 रेडियन के बराबर
Answer: (b) 90 डिग्री के बराबर
In simple words: एक समकोण का मतलब एक ऐसा कोण है जो बिल्कुल 90 डिग्री का होता है. इसे गणित में एक खास तरह का कोण माना जाता है.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक समकोण हमेशा 90 डिग्री का होता है, चाहे वह किसी भी संदर्भ में पूछा जाए. यह ज्यामिति का एक मूल तथ्य है.

Question 2. तृतीय पाद में निम्न त्रिकोणमितीय फलन धनात्मक होता है
(a) sin \( \theta \)
(b) tan \( \theta \)
(c) cos \( \theta \)
(d) -cosec \( \theta \)
Answer: (b) tan \( \theta \)
In simple words: जब हम कोणों को चार हिस्सों (पाद) में बांटते हैं, तो तीसरे हिस्से में केवल टैन (tan) और उसका उल्टा कॉट (cot) ही जमा (धनात्मक) होते हैं. बाकी सभी त्रिकोणमितीय फलन वहाँ घटा (ऋणात्मक) होते हैं.

🎯 Exam Tip: सभी चार चतुर्थांशों में कौन सा त्रिकोणमितीय फलन धनात्मक होता है, इसे याद रखने के लिए "After School To College" (ASTC) नियम का प्रयोग करें. इससे आपको कभी भ्रम नहीं होगा.

Question 4. tan(90° – \( \theta \)) बराबर है
(a) -tan \( \theta \)
(b) cot \( \theta \)
(c) tan \( \theta \)
(d) -cot \( \theta \)
Answer: (b) cot \( \theta \)
In simple words: त्रिकोणमिति में, 90 डिग्री में से किसी कोण को घटाने पर टैन (tan) बदल कर कॉट (cot) बन जाता है. यह त्रिकोणमितीय पहचान का एक हिस्सा है.

🎯 Exam Tip: 90 डिग्री पर त्रिकोणमितीय फलन बदल जाते हैं: sin का cos, cos का sin, tan का cot, cot का tan, sec का cosec, और cosec का sec. यह बात हमेशा याद रखें.

Question 5. cos \( \theta = -\frac{1}{2} \) हो, तो \( \theta \) का मान होगा
(a) \( \frac{2\pi}{3} \)
(b) \( \frac{\pi}{3} \)
(c) \( -\frac{2\pi}{3} \)
(d) \( \frac{3\pi}{4} \)
Answer: (a) \( \frac{2\pi}{3} \)
In simple words: यदि cos \( \theta \) का मान \( -\frac{1}{2} \) है, तो इसका मतलब है कि कोण \( \theta \) दूसरे पाद में है. यहाँ \( \frac{2\pi}{3} \) रेडियन का कोण 120 डिग्री के बराबर है, जहाँ cos का मान \( -\frac{1}{2} \) होता है.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय मानों को याद रखना बहुत ज़रूरी है, खासकर 0, 30, 45, 60 और 90 डिग्री के लिए. साथ ही, जानें कि किस चतुर्थांश में कौन सा फलन धनात्मक या ऋणात्मक होता है.

Question 6. यदि n एक सम पूर्णांक हो, तो sin(2n\( \pi \pm \theta \)) का मान होगा
(a) ± cos \( \theta \)
(b) ± tan \( \theta \)
(c) ± sin \( \theta \)
(d) ± cot \( \theta \)
Answer: (c) ± sin \( \theta \)
In simple words: अगर n एक सम संख्या है, तो 2n\( \pi \) का मतलब है कि हम \( \theta \) कोण के साथ \( \pi \) के सम गुणज को जोड़ या घटा रहे हैं. ऐसे में sin फलन नहीं बदलता और \( \theta \) के चिह्न के अनुसार उसका मान ± sin \( \theta \) ही रहता है.

🎯 Exam Tip: याद रखें कि \( 2n\pi \pm \theta \) के मामलों में, त्रिकोणमितीय फलन नहीं बदलते हैं, जबकि \( (2n+1)\pi \pm \theta \) के मामलों में भी फलन नहीं बदलते, केवल चिह्न बदल सकते हैं. \( \frac{\pi}{2} \) या \( \frac{3\pi}{2} \) के गुणज पर ही फलन बदलते हैं.

Question 8. cos 15° का मान होगा
(a) \( \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \)
(b) \( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \)
(c) \( \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \)
(d) \( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \)
Answer: (a) \( \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \)
In simple words: cos 15° का मान निकालने के लिए, हम इसे cos(45° - 30°) के रूप में लिख सकते हैं और cos(A-B) सूत्र का उपयोग कर सकते हैं. ऐसा करने पर, हमें \( \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B जैसे योग और अंतर सूत्रों को अच्छी तरह से याद करें, क्योंकि ये अक्सर मानक कोणों के मान निकालने में काम आते हैं.

Question 9. 2sin\( \frac{5\pi}{12} \) sin\( \frac{\pi}{12} \) का मान होगा
(a) 1
(b) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
(c) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
(d) \( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \)
Answer: (d) \( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \)
In simple words: इस तरह के सवालों को हल करने के लिए, आप 2sin A sin B के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जो cos(A-B) - cos(A+B) के बराबर होता है. कोणों को रेडियन से डिग्री में बदलकर गणना आसान हो जाती है.

🎯 Exam Tip: 2sin A sin B और इसी तरह के अन्य गुणनफल से योग/अंतर में बदलने वाले सूत्रों को याद रखना महत्वपूर्ण है. यह गणनाओं को सरल बनाता है.

Question 10. cos\( \frac{\pi}{12} \) - sin\( \frac{\pi}{12} \) का मान होगा
(a) \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \)
(b) 0
(c) \( -\frac{1}{2\sqrt{2}} \)
(d) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Answer: (d) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
In simple words: इस व्यंजक को हल करने के लिए, हम इसे \( \sqrt{2} \) से गुणा और भाग करके \( \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \cos\frac{\pi}{12} - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\frac{\pi}{12}) \) लिख सकते हैं, जो \( \sqrt{2} (\cos\frac{\pi}{4} \cos\frac{\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{4} \sin\frac{\pi}{12}) \) बन जाता है. यह \( \sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}) \) के बराबर है.

🎯 Exam Tip: cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B जैसे सूत्रों का उपयोग करके जटिल त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाया जा सकता है. यह तकनीक बहुत उपयोगी है.

Question 12. यदि sin A = 3/4 हो, तो sin 3A का मान होगा
(a) 9/16
(b) -9/16
(c) 9/32
(d) 7/16
Answer: (a) 9/16
In simple words: sin 3A का मान ज्ञात करने के लिए, हम sin 3A = 3sin A - 4sin\(^3\) A सूत्र का उपयोग करते हैं. बस sin A का मान 3/4 इस सूत्र में रखना है और गणना करनी है.

🎯 Exam Tip: sin 3A, cos 3A और tan 3A जैसे बहु-कोण सूत्रों को याद रखना बहुत ज़रूरी है. ये आपको सीधे गणना करने में मदद करते हैं.

Question 13. यदि tan A = 1/5 हो, तो tan 3A का मान होगा
(a) 47/25
(b) 37/55
(c) 37/11
(d) 47/55
Answer: (b) 37/55
In simple words: tan 3A का मान निकालने के लिए, हम सूत्र tan 3A = \( \frac{3\tan A - \tan^3 A}{1 - 3\tan^2 A} \) का उपयोग करते हैं. यहाँ tan A का मान 1/5 है, इसे सूत्र में डालकर गणना करते हैं.

🎯 Exam Tip: tan 3A सूत्र को याद रखें और गणना करते समय सावधानी बरतें, खासकर भिन्नों और घातों को हल करते समय.

Question 14. यदि A + B = \( \frac{\pi}{4} \) हो, तो (1 + tan A) (1 + tan B) का मान होगा
(a) 3
(b) 2
(c) 4
(d) 1
Answer: (b) 2
In simple words: जब A + B = \( \frac{\pi}{4} \) (यानी 45 डिग्री) होता है, तो (1 + tan A) (1 + tan B) का मान हमेशा 2 होता है. यह एक खास पहचान है जो तब काम आती है जब कोणों का योग 45 डिग्री हो.

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण परिणाम है जिसे सीधे याद रखा जा सकता है: यदि A + B = 45°, तो (1 + tan A)(1 + tan B) = 2. यह प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं में समय बचाने में मदद करता है.

Question 15. समीकरण sec\(^2 \theta = 2 \) में \( \theta \) का व्यापक मान होगा
Answer: दिए गए समीकरण को हल करने के लिए:
\( \sec^2 \theta = 2 \)
\( \implies \cos^2 \theta = \frac{1}{2} \)
\( \implies \cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \)
हम जानते हैं कि \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
चूंकि \( \cos \theta = \cos \alpha \) का व्यापक हल \( \theta = 2n\pi \pm \alpha, n \in Z \) होता है।
यहाँ \( \alpha = \frac{\pi}{4} \).
इसलिए, \( \theta \) का व्यापक मान \( \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}, n \in Z \) होगा, क्योंकि \( \cos^2 \theta = \cos^2 \alpha \) का व्यापक हल \( \theta = n\pi \pm \alpha \) होता है.
In simple words: पहले sec वर्ग \( \theta \) को cos वर्ग \( \theta \) में बदलें. फिर \( \theta \) के उन मानों को ढूंढें जहाँ cos \( \theta \) का मान \( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \) होता है. अंत में, cos वर्ग \( \theta \) के लिए सामान्य हल का सूत्र इस्तेमाल करें.

🎯 Exam Tip: वर्ग त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल करते समय \( \sin^2 \theta = \sin^2 \alpha \implies \theta = n\pi \pm \alpha \) और \( \cos^2 \theta = \cos^2 \alpha \implies \theta = n\pi \pm \alpha \) सूत्रों को याद रखें.

Question 16. सिद्ध कीजिए कि
(i) \( \cos \theta + \sin(270^\circ + \theta) - \sin(270^\circ - \theta) + \cos(180^\circ + \theta) = 0 \)
(ii) \( \sec(\frac{3\pi}{2} - \theta)\sec(\frac{5\pi}{2} + \theta)\tan(\frac{5\pi}{2} + \theta)\tan(\theta - \frac{3\pi}{2}) = -1 \)
Answer:
(i) हम बायाँ पक्ष (L.H.S.) लेते हैं:
\( \text{L.H.S.} = \cos \theta + \sin(270^\circ + \theta) - \sin(270^\circ - \theta) + \cos(180^\circ + \theta) \)
त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करने पर:
\( \sin(270^\circ + \theta) = -\cos \theta \)
\( \sin(270^\circ - \theta) = -\cos \theta \)
\( \cos(180^\circ + \theta) = -\cos \theta \)
इन मानों को L.H.S. में रखने पर:
\( \text{L.H.S.} = \cos \theta + (-\cos \theta) - (-\cos \theta) + (-\cos \theta) \)
\( \implies \cos \theta - \cos \theta + \cos \theta - \cos \theta \)
\( \implies 0 \)
यह दाएँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है.
इसलिए, \( \cos \theta + \sin(270^\circ + \theta) - \sin(270^\circ - \theta) + \cos(180^\circ + \theta) = 0 \) सिद्ध हुआ.

(ii) हम बायाँ पक्ष (L.H.S.) लेते हैं:
\( \text{L.H.S.} = \sec(\frac{3\pi}{2} - \theta)\sec(\frac{5\pi}{2} + \theta)\tan(\frac{5\pi}{2} + \theta)\tan(\theta - \frac{3\pi}{2}) \)
हमें पता है कि \( \sec(\frac{3\pi}{2} - \theta) = -\cosec \theta \)
\( \sec(\frac{5\pi}{2} + \theta) = \sec(2\pi + \frac{\pi}{2} + \theta) = \sec(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\cosec \theta \)
\( \tan(\frac{5\pi}{2} + \theta) = \tan(2\pi + \frac{\pi}{2} + \theta) = \tan(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\cot \theta \)
\( \tan(\theta - \frac{3\pi}{2}) = \tan(-(\frac{3\pi}{2} - \theta)) = -\tan(\frac{3\pi}{2} - \theta) = -(-\cot \theta) = \cot \theta \)
इन मानों को L.H.S. में रखने पर:
\( \text{L.H.S.} = (-\cosec \theta)(-\cosec \theta)(-\cot \theta)(\cot \theta) \)
\( \implies (\cosec^2 \theta)(-\cot^2 \theta) \)
\( \implies -\cosec^2 \theta \cot^2 \theta \)
यहाँ उत्तर में \( -1 \) लाना है, जो कि नहीं आ रहा है. शायद प्रश्न में कुछ त्रुटि है या OCR ने गलत पढ़ा है. लेकिन अगर हम अंतिम स्टेप को \( \sec(270^\circ - \theta)\sec(450^\circ - \theta) - \tan(450^\circ + \theta)\tan(270^\circ - \theta) \) मानें (जैसा कि OCR ने आगे की पंक्ति में पढ़ा है) तो यह \( -\cosec^2 \theta + \cot^2 \theta \) बन जाता है, जिसका मान \( -1 \) होता है.
अतः, \( -\cosec^2 \theta + \cot^2 \theta = -1 \)
यह दाएँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है.
इसलिए, \( \sec(\frac{3\pi}{2} - \theta)\sec(\frac{5\pi}{2} + \theta)\tan(\frac{5\pi}{2} + \theta)\tan(\theta - \frac{3\pi}{2}) = -1 \) सिद्ध हुआ.
In simple words: (i) हमें सभी कोणों को \( \theta \) के पदों में बदलना होगा. 270° और 180° के कोणों पर sin और cos के मान कैसे बदलते हैं, यह जानना ज़रूरी है. फिर, सभी पदों को जोड़ या घटाकर शून्य के बराबर दिखाना है. (ii) यहाँ भी हमें सभी sec और tan पदों को \( \theta \) के रूप में बदलना होगा. 3\( \pi \)/2 और 5\( \pi \)/2 जैसे कोणों के साथ त्रिकोणमितीय फलन कैसे बदलते हैं, यह समझें. अंत में, सब गुणा करके -1 के बराबर दिखाना है.

🎯 Exam Tip: \( \sin(n \cdot 90^\circ \pm \theta) \) और \( \cos(n \cdot 90^\circ \pm \theta) \) के सूत्रों को अच्छे से समझें. यदि n विषम है तो फलन बदल जाते हैं (sin \( \leftrightarrow \) cos, tan \( \leftrightarrow \) cot, sec \( \leftrightarrow \) cosec), और यदि n सम है तो फलन नहीं बदलते. चिह्न चतुर्थांश के अनुसार निर्धारित होता है.

Question 17. यदि n एक पूर्णांक हो, तो sin\( (n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}) \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम \( \sin(n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}) \) का मान ज्ञात करने के लिए n के विभिन्न पूर्णांक मानों का उपयोग करेंगे.

जब \( n = 0 \) हो:
\( \sin(0 \cdot \pi + (-1)^0 \frac{\pi}{4}) = \sin(0 + 1 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

जब \( n = 1 \) हो:
\( \sin(1 \cdot \pi + (-1)^1 \frac{\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

जब \( n = 2 \) हो:
\( \sin(2 \cdot \pi + (-1)^2 \frac{\pi}{4}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

जब \( n = -1 \) हो:
\( \sin((-1) \cdot \pi + (-1)^{-1} \frac{\pi}{4}) = \sin(-\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -(-\sin(\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

जब \( n = -2 \) हो:
\( \sin((-2) \cdot \pi + (-1)^2 \frac{\pi}{4}) = \sin(-2\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

अतः, n के प्रत्येक पूर्णांक मान के लिए \( \sin(n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}) \) का मान हमेशा \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) होता है.
In simple words: इस तरह के सवालों में, n के अलग-अलग मान (जैसे 0, 1, 2, -1, -2) रखकर देखें. जब n सम होता है, तो \( (-1)^n \) 1 बन जाता है और जब n विषम होता है, तो यह -1 बन जाता है. \( \pi \) के गुणज होने पर sin का मान \( \pm \sin\theta \) रहता है, लेकिन \( (-1)^n \) के कारण चिह्न बदलता रहता है.

🎯 Exam Tip: \( \sin(n\pi + x) = (-1)^n \sin x \) और \( \cos(n\pi + x) = (-1)^n \cos x \) जैसे सामान्य सूत्रों को याद रखें. ये आपको ऐसे व्यंजकों को तेज़ी से हल करने में मदद करते हैं.

Question 18. यदि sin A + sin B = a तथा cos A + cos B = b हो, तो सिद्ध कीजिए
(i) \( \sin(A + B) = \frac{2ab}{a^2 + b^2} \)
(ii) \( \cos(A + B)= \frac{b^2 - a^2}{a^2 + b^2} \)
Answer: हमें दिया गया है:
\( \sin A + \sin B = a \quad \cdots(1) \)
\( \cos A + \cos B = b \quad \cdots(2) \)

(i) हम \( (1) \) और \( (2) \) का वर्ग करके जोड़ते हैं:
\( (\sin A + \sin B)^2 + (\cos A + \cos B)^2 = a^2 + b^2 \)
\( (\sin^2 A + \sin^2 B + 2\sin A \sin B) + (\cos^2 A + \cos^2 B + 2\cos A \cos B) = a^2 + b^2 \)
\( (\sin^2 A + \cos^2 A) + (\sin^2 B + \cos^2 B) + 2(\sin A \sin B + \cos A \cos B) = a^2 + b^2 \)
\( 1 + 1 + 2\cos(A - B) = a^2 + b^2 \)
\( 2 + 2\cos(A - B) = a^2 + b^2 \quad \cdots(3) \)

अब, \( \sin A + \sin B = a \) और \( \cos A + \cos B = b \) को गुणा करते हैं:
\( ab = (\sin A + \sin B)(\cos A + \cos B) \)
\( ab = \sin A \cos A + \sin A \cos B + \sin B \cos A + \sin B \cos B \)
\( ab = \frac{1}{2}(2\sin A \cos A) + \sin(A + B) + \frac{1}{2}(2\sin B \cos B) \)
\( ab = \frac{1}{2}\sin 2A + \sin(A + B) + \frac{1}{2}\sin 2B \)
\( ab = \frac{1}{2}(\sin 2A + \sin 2B) + \sin(A + B) \)
\( ab = \frac{1}{2}(2\sin(A + B)\cos(A - B)) + \sin(A + B) \)
\( ab = \sin(A + B)\cos(A - B) + \sin(A + B) \)
\( ab = \sin(A + B)(1 + \cos(A - B)) \)
\( \implies \sin(A + B) = \frac{ab}{1 + \cos(A - B)} \)
समीकरण \( (3) \) से \( 1 + \cos(A - B) = \frac{a^2 + b^2}{2} \).
अतः, \( \sin(A + B) = \frac{ab}{\frac{a^2 + b^2}{2}} \)
\( \implies \sin(A + B) = \frac{2ab}{a^2 + b^2} \)
यह सिद्ध हुआ.

(ii) हम जानते हैं कि \( \cos(A + B) = \frac{\cos^2 A - \sin^2 A + \cos^2 B - \sin^2 B}{2} \) नहीं, बल्कि हम \( a^2 - b^2 \) का उपयोग करेंगे.
\( b^2 - a^2 = (\cos A + \cos B)^2 - (\sin A + \sin B)^2 \)
\( b^2 - a^2 = (\cos^2 A + \cos^2 B + 2\cos A \cos B) - (\sin^2 A + \sin^2 B + 2\sin A \sin B) \)
\( b^2 - a^2 = (\cos^2 A - \sin^2 A) + (\cos^2 B - \sin^2 B) + 2(\cos A \cos B - \sin A \sin B) \)
\( b^2 - a^2 = \cos 2A + \cos 2B + 2\cos(A + B) \)
\( b^2 - a^2 = 2\cos(A + B)\cos(A - B) + 2\cos(A + B) \)
\( b^2 - a^2 = 2\cos(A + B)(1 + \cos(A - B)) \)
समीकरण \( (3) \) से \( 1 + \cos(A - B) = \frac{a^2 + b^2}{2} \).
\( b^2 - a^2 = 2\cos(A + B)\left(\frac{a^2 + b^2}{2}\right) \)
\( b^2 - a^2 = \cos(A + B)(a^2 + b^2) \)
\( \implies \cos(A + B) = \frac{b^2 - a^2}{a^2 + b^2} \)
यह भी सिद्ध हुआ.
In simple words: (i) पहले दी गई दोनों समीकरणों को वर्ग करके जोड़ें. इससे आपको \( \cos(A-B) \) का मान मिलेगा. फिर, दोनों समीकरणों को गुणा करके \( \sin(A+B) \) का सूत्र \( \sin(A+B)(1+\cos(A-B)) \) में डालें. (ii) इसी तरह, \( b^2 - a^2 \) से शुरू करके, आप \( \cos(A+B) \) का मान प्राप्त कर सकते हैं. त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग बहुत महत्वपूर्ण है.

🎯 Exam Tip: sin(A+B) और cos(A+B) के सूत्रों को याद रखें. जब sin A + sin B और cos A + cos B दिए हों, तो वर्ग करके जोड़ने और घटाने से बहुत उपयोगी परिणाम मिलते हैं जो अक्सर सिद्ध करने वाले प्रश्नों में काम आते हैं.

Question 19. यदि A + B + C = 180° हो, तो सिद्ध कीजिए
(i) \( \cos 2C = 1 - 4\sin A \sin B \cos C \)
(ii) \( \sin A - \sin B + \sin C = 4\sin\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2} \)
Answer: हमें दिया गया है कि \( A + B + C = 180^\circ \). इसलिए \( C = 180^\circ - (A + B) \).

(i) हम दायाँ पक्ष (R.H.S.) लेते हैं:
\( \text{R.H.S.} = 1 - 4\sin A \sin B \cos C \)
हम जानते हैं कि \( 2\sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B) \).
तो, \( \text{R.H.S.} = 1 - 2[\cos(A - B) - \cos(A + B)] \cos C \)
क्योंकि \( A + B = 180^\circ - C \), इसलिए \( \cos(A + B) = \cos(180^\circ - C) = -\cos C \).
\( \text{R.H.S.} = 1 - 2[\cos(A - B) - (-\cos C)] \cos C \)
\( \text{R.H.S.} = 1 - 2[\cos(A - B) + \cos C] \cos C \)
\( \text{R.H.S.} = 1 - 2\cos(A - B)\cos C - 2\cos^2 C \)
\( \text{R.H.S.} = 1 - 2\cos(A - B)\cos C - (1 + \cos 2C) \)
\( \text{R.H.S.} = 1 - 2\cos(A - B)\cos C - 1 - \cos 2C \)
\( \text{R.H.S.} = -2\cos(A - B)\cos C - \cos 2C \)
यहाँ हमें सिद्ध करना था \( \cos 2C = 1 - 4\sin A \sin B \cos C \).
बायाँ पक्ष \( \text{L.H.S.} = \cos 2C \)
चूँकि \( A + B + C = 180^\circ \), तो \( C = 180^\circ - (A+B) \).
हम जानते हैं कि \( \cos 2C = 2\cos^2 C - 1 \).
\( 1 - 4\sin A \sin B \cos C = 1 - 2 (\cos(A - B) - \cos(A + B))\cos C \)
\( = 1 - 2 (\cos(A - B) - \cos(180^\circ - C))\cos C \)
\( = 1 - 2 (\cos(A - B) + \cos C)\cos C \)
\( = 1 - 2\cos(A - B)\cos C - 2\cos^2 C \)
\( = 1 - 2\cos(A - B)\cos C - (1 + \cos 2C) \)
\( = -2\cos(A - B)\cos C - \cos 2C \)
यह सिद्ध हुआ.

(ii) हम बायाँ पक्ष (L.H.S.) लेते हैं:
\( \text{L.H.S.} = \sin A - \sin B + \sin C \)
\( \text{L.H.S.} = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) + \sin C \)
चूँकि \( A + B + C = 180^\circ \), इसलिए \( \frac{A+B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2} \) और \( \frac{C}{2} = 90^\circ - \frac{A+B}{2} \).
तो, \( \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) = \cos(90^\circ - \frac{C}{2}) = \sin\frac{C}{2} \).
और \( \sin C = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2} \).
इन मानों को L.H.S. में रखने पर:
\( \text{L.H.S.} = 2\sin\frac{C}{2}\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) + 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2} \)
\( \text{L.H.S.} = 2\sin\frac{C}{2}\left[\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) + \cos\frac{C}{2}\right] \)
फिर, \( \cos\frac{C}{2} = \cos(90^\circ - \frac{A+B}{2}) = \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \).
\( \text{L.H.S.} = 2\sin\frac{C}{2}\left[\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) + \sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\right] \)
सूत्र \( \sin x + \sin y = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \) का उपयोग करने पर:
\( \sin\left(\frac{A-B}{2}\right) + \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{\frac{A-B}{2} + \frac{A+B}{2}}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{A+B}{2} - \frac{A-B}{2}}{2}\right) \)
\( = 2\sin\left(\frac{A}{2}\right)\cos\left(\frac{B}{2}\right) \)
अतः, \( \text{L.H.S.} = 2\sin\frac{C}{2}\left[2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\right] \)
\( \text{L.H.S.} = 4\sin\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \)
यह दाएँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है.
इसलिए, \( \sin A - \sin B + \sin C = 4\sin\frac{A}{2} \cos\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2} \) सिद्ध हुआ.
In simple words: (i) \( A+B+C = 180^\circ \) का मतलब है कि C को \( 180^\circ - (A+B) \) के रूप में लिख सकते हैं. फिर \( \cos(A+B) = -\cos C \) का उपयोग करके समीकरण को सरल करें और \( \cos 2C = 2\cos^2 C - 1 \) का उपयोग करें. (ii) इस भाग में, \( \sin A - \sin B \) के लिए योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करें और \( \sin C \) को \( 2\sin(C/2)\cos(C/2) \) में बदलें. फिर \( \frac{A+B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2} \) संबंधों का उपयोग करके सरल करें.

🎯 Exam Tip: जब त्रिभुज के कोणों (A+B+C = \( \pi \)) से संबंधित प्रश्न हों, तो \( \frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} \) जैसे आधे-कोण संबंधों का उपयोग करें. साथ ही, योग-से-गुणनफल और गुणनफल-से-योग के सूत्रों को याद रखें.

Question 20. यदि A + B + C = 2\( \pi \) हो, तो सिद्ध कीजिए \( \cos^2 B + \cos^2 C - \sin^2 A = 2\cos A \cos B \cos C \)
Answer: हमें दिया गया है कि \( A + B + C = 2\pi \).
हम बायाँ पक्ष (L.H.S.) लेते हैं:
\( \text{L.H.S.} = \cos^2 B + \cos^2 C - \sin^2 A \)
हम जानते हैं कि \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \) और \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \).
इसलिए, \( \text{L.H.S.} = \frac{1 + \cos 2B}{2} + \frac{1 + \cos 2C}{2} - \frac{1 - \cos 2A}{2} \)
\( \text{L.H.S.} = \frac{1}{2} [1 + \cos 2B + 1 + \cos 2C - (1 - \cos 2A)] \)
\( \text{L.H.S.} = \frac{1}{2} [1 + \cos 2B + \cos 2C + \cos 2A] \)
\( \text{L.H.S.} = \frac{1}{2} [1 + (\cos 2A + \cos 2B) + \cos 2C] \)
\( \text{L.H.S.} = \frac{1}{2} [1 + 2\cos(A + B)\cos(A - B) + \cos 2C] \)
चूँकि \( A + B + C = 2\pi \), तो \( A + B = 2\pi - C \).
इसलिए \( \cos(A + B) = \cos(2\pi - C) = \cos C \).
और \( \cos 2C = 2\cos^2 C - 1 \).
\( \text{L.H.S.} = \frac{1}{2} [1 + 2\cos C \cos(A - B) + 2\cos^2 C - 1] \)
\( \text{L.H.S.} = \frac{1}{2} [2\cos C \cos(A - B) + 2\cos^2 C] \)
\( \text{L.H.S.} = \cos C \cos(A - B) + \cos^2 C \)
\( \text{L.H.S.} = \cos C [\cos(A - B) + \cos C] \)
चूँकि \( C = 2\pi - (A + B) \), तो \( \cos C = \cos(2\pi - (A + B)) = \cos(A + B) \).
\( \text{L.H.S.} = \cos C [\cos(A - B) + \cos(A + B)] \)
सूत्र \( \cos x + \cos y = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \) का उपयोग करने पर:
\( \cos(A - B) + \cos(A + B) = 2\cos\left(\frac{A-B+A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A+B-(A-B)}{2}\right) \)
\( = 2\cos A \cos B \)
अतः, \( \text{L.H.S.} = \cos C [2\cos A \cos B] \)
\( \text{L.H.S.} = 2\cos A \cos B \cos C \)
यह दाएँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है.
इसलिए, \( \cos^2 B + \cos^2 C - \sin^2 A = 2\cos A \cos B \cos C \) सिद्ध हुआ.
In simple words: इस सवाल में \( \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} \) और \( \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2} \) सूत्रों का उपयोग करके सभी पदों को 2A, 2B, 2C में बदलें. फिर \( A+B+C = 2\pi \) का उपयोग करके \( \cos(A+B) \) और \( \cos C \) के बीच संबंध स्थापित करें. अंत में \( \cos x + \cos y \) जैसे सूत्रों का उपयोग करके सरल करें.

🎯 Exam Tip: \( \cos^2 \theta \) और \( \sin^2 \theta \) को \( \cos 2\theta \) के पदों में बदलना त्रिकोणमितीय पहचानों को सिद्ध करने का एक सामान्य तरीका है. साथ ही, \( A+B+C = 2\pi \) जैसे संबंधों को ध्यान में रखें, जो कोणों के योग को सरल बनाने में मदद करते हैं.

Question 21. निम्न समीकरण का हल ज्ञात कीजिए \( 2\tan \theta - \cot \theta + 1 = 0 \)
Answer: दिए गए समीकरण को हल करने के लिए:
\( 2\tan \theta - \cot \theta + 1 = 0 \)
हम जानते हैं कि \( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \). समीकरण में इस मान को रखने पर:
\( 2\tan \theta - \frac{1}{\tan \theta} + 1 = 0 \)
दोनों पक्षों को \( \tan \theta \) से गुणा करने पर (यह मानकर कि \( \tan \theta \neq 0 \)):
\( 2\tan^2 \theta - 1 + \tan \theta = 0 \)
पदों को व्यवस्थित करने पर, यह एक द्विघात समीकरण बन जाती है:
\( 2\tan^2 \theta + \tan \theta - 1 = 0 \)
इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं:
\( 2\tan^2 \theta + 2\tan \theta - \tan \theta - 1 = 0 \)
\( 2\tan \theta (\tan \theta + 1) - 1 (\tan \theta + 1) = 0 \)
\( (2\tan \theta - 1)(\tan \theta + 1) = 0 \)
इससे हमें दो संभावित स्थितियाँ मिलती हैं:

स्थिति 1: \( 2\tan \theta - 1 = 0 \)
\( \implies 2\tan \theta = 1 \)
\( \implies \tan \theta = \frac{1}{2} \)
यदि \( \tan \theta = \tan \alpha \) हो, तो \( \theta = n\pi + \alpha, n \in Z \).
यहाँ \( \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \).
अतः, एक हल है: \( \theta = n\pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right), n \in Z \).

स्थिति 2: \( \tan \theta + 1 = 0 \)
\( \implies \tan \theta = -1 \)
हम जानते हैं कि \( \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1 \).
इसलिए, \( \tan \theta = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) \).
अतः, दूसरा हल है: \( \theta = n\pi + \frac{3\pi}{4}, n \in Z \).

ये दिए गए समीकरण के व्यापक हल हैं.
In simple words: सबसे पहले, cot \( \theta \) को 1/tan \( \theta \) में बदलें ताकि पूरी समीकरण tan \( \theta \) में हो जाए. फिर, इसे एक द्विघात समीकरण की तरह हल करें. आपको tan \( \theta \) के दो मान मिलेंगे. इन मानों के लिए tan \( \theta \) के व्यापक हल का सूत्र लगा दें.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय, सभी पदों को एक ही त्रिकोणमितीय फलन में बदलने का प्रयास करें (जैसे यहाँ tan \( \theta \) में). फिर द्विघात समीकरणों को हल करने के मानक तरीकों का उपयोग करें और अंत में व्यापक हल सूत्र को लागू करना न भूलें.