RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Exercise 3.4

निम्नलिखित समीकरणों के मुख्य तथा व्यापक हल ज्ञात कीजिए

Question 1. tan x = \( \sqrt{3} \)
Answer: हमें समीकरण \( \text{tan x} = \sqrt{3} \) दिया गया है।
हम जानते हैं कि \( \text{tan} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \) होता है।
क्योंकि tan फलन पहले और तीसरे चतुर्थांश (quadrant) में धनात्मक होता है, इसलिए मुख्य मान \( 0 \) और \( 2\pi \) के बीच होंगे।
हमें \( \text{tan x} = \text{tan} \frac{\pi}{3} \) मिलता है।
पहला मुख्य हल \( x = \frac{\pi}{3} \) है।
तीसरे चतुर्थांश में, \( \text{tan}(\pi + \theta) = \text{tan} \theta \) होता है।
इसलिए, \( \text{tan} \left( \pi + \frac{\pi}{3} \right) = \text{tan} \frac{4\pi}{3} = \sqrt{3} \)
दूसरा मुख्य हल \( x = \frac{4\pi}{3} \) है।
अतः, मुख्य हल \( x = \frac{\pi}{3} \) तथा \( x = \frac{4\pi}{3} \) हैं।
tan फलन का व्यापक हल \( \text{tan x} = \text{tan y} \implies \text{x} = \text{n}\pi + \text{y} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) होता है।
इस प्रकार, \( \text{x} = \text{n}\pi + \frac{\pi}{3} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
In simple words: हमें tan x का मान \( \sqrt{3} \) दिया है। हमने इसके दो मुख्य मानों को \( 0 \) से \( 2\pi \) के बीच खोजा, जो \( \pi/3 \) और \( 4\pi/3 \) हैं। इसके बाद, हमने tan के व्यापक हल वाले सूत्र का उपयोग करके सामान्य हल \( \text{n}\pi + \pi/3 \) ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: मुख्य मान ज्ञात करते समय \( 0 \) से \( 2\pi \) के बीच के सभी संभव मानों को याद रखें। व्यापक हल के लिए सही सूत्र का प्रयोग करें।

Question 2. sec x = 2
Answer: हमें समीकरण \( \text{sec x} = 2 \) दिया गया है।
हम जानते हैं कि \( \text{sec x} = \frac{1}{\text{cos x}} \) होता है।
इसलिए, \( \text{cos x} = \frac{1}{2} \) होगा।
हम जानते हैं कि \( \text{cos} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) होता है।
क्योंकि cos फलन पहले और चौथे चतुर्थांश में धनात्मक होता है, इसलिए मुख्य मान \( 0 \) और \( 2\pi \) के बीच होंगे।
पहला मुख्य हल \( x = \frac{\pi}{3} \) है।
चौथे चतुर्थांश में, \( \text{cos}(2\pi - \theta) = \text{cos} \theta \) होता है।
इसलिए, \( \text{cos} \left( 2\pi - \frac{\pi}{3} \right) = \text{cos} \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} \)
दूसरा मुख्य हल \( x = \frac{5\pi}{3} \) है।
अतः, मुख्य हल \( x = \frac{\pi}{3} \) तथा \( x = \frac{5\pi}{3} \) हैं।
cos फलन का व्यापक हल \( \text{cos x} = \text{cos y} \implies \text{x} = 2\text{n}\pi \pm \text{y} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) होता है।
इस प्रकार, \( \text{x} = 2\text{n}\pi \pm \frac{\pi}{3} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
In simple words: हमने sec x = 2 को cos x = 1/2 में बदला। फिर, हमने \( 0 \) से \( 2\pi \) के बीच के मुख्य मानों \( \pi/3 \) और \( 5\pi/3 \) को ज्ञात किया। अंत में, हमने cos के व्यापक हल के सूत्र का उपयोग करके सामान्य हल \( 2\text{n}\pi \pm \pi/3 \) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों को एक दूसरे में बदलना, जैसे sec को cos में, अक्सर हल को आसान बनाता है।

Question 3. cot x = \( -\sqrt{3} \)
Answer: हमें समीकरण \( \text{cot x} = -\sqrt{3} \) दिया गया है।
हम जानते हैं कि \( \text{cot x} = \frac{1}{\text{tan x}} \) होता है।
इसलिए, \( \text{tan x} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) होगा।
हम जानते हैं कि \( \text{tan} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \) होता है।
क्योंकि tan फलन दूसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है, इसलिए मुख्य मान \( 0 \) और \( 2\pi \) के बीच होंगे।
दूसरे चतुर्थांश में, \( \text{tan}(\pi - \theta) = -\text{tan} \theta \) होता है।
इसलिए, \( \text{tan} \left( \pi - \frac{\pi}{6} \right) = \text{tan} \frac{5\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
पहला मुख्य हल \( x = \frac{5\pi}{6} \) है।
चौथे चतुर्थांश में, \( \text{tan}(2\pi - \theta) = -\text{tan} \theta \) होता है।
इसलिए, \( \text{tan} \left( 2\pi - \frac{\pi}{6} \right) = \text{tan} \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)
दूसरा मुख्य हल \( x = \frac{11\pi}{6} \) है।
अतः, मुख्य हल \( x = \frac{5\pi}{6} \) तथा \( x = \frac{11\pi}{6} \) हैं।
tan फलन का व्यापक हल \( \text{tan x} = \text{tan y} \implies \text{x} = \text{n}\pi + \text{y} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) होता है।
इस प्रकार, \( \text{x} = \text{n}\pi + \frac{5\pi}{6} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
In simple words: हमने cot x = \( -\sqrt{3} \) को tan x = \( -1/\sqrt{3} \) में बदला। इसके बाद, हमने \( 0 \) से \( 2\pi \) के बीच के मुख्य मानों \( 5\pi/6 \) और \( 11\pi/6 \) को ज्ञात किया। अंत में, हमने tan के व्यापक हल के सूत्र का उपयोग करके सामान्य हल \( \text{n}\pi + 5\pi/6 \) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब मान ऋणात्मक हो, तो ध्यान दें कि त्रिकोणमितीय फलन किस चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है, ताकि सही मुख्य मान मिल सकें।

Question 4. cosec x = -2
Answer: हमें समीकरण \( \text{cosec x} = -2 \) दिया गया है।
हम जानते हैं कि \( \text{cosec x} = \frac{1}{\text{sin x}} \) होता है।
इसलिए, \( \text{sin x} = -\frac{1}{2} \) होगा।
हम जानते हैं कि \( \text{sin} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \) होता है।
क्योंकि sin फलन तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है, इसलिए मुख्य मान \( 0 \) और \( 2\pi \) के बीच होंगे।
तीसरे चतुर्थांश में, \( \text{sin}(\pi + \theta) = -\text{sin} \theta \) होता है।
इसलिए, \( \text{sin} \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) = \text{sin} \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2} \)
पहला मुख्य हल \( x = \frac{7\pi}{6} \) है।
चौथे चतुर्थांश में, \( \text{sin}(2\pi - \theta) = -\text{sin} \theta \) होता है।
इसलिए, \( \text{sin} \left( 2\pi - \frac{\pi}{6} \right) = \text{sin} \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2} \)
दूसरा मुख्य हल \( x = \frac{11\pi}{6} \) है।
अतः, मुख्य हल \( x = \frac{7\pi}{6} \) तथा \( x = \frac{11\pi}{6} \) हैं।
sin फलन का व्यापक हल \( \text{sin x} = \text{sin y} \implies \text{x} = \text{n}\pi + (-1)^\text{n} \text{y} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) होता है।
इस प्रकार, \( \text{x} = \text{n}\pi + (-1)^\text{n} \frac{7\pi}{6} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
In simple words: हमने cosec x = -2 को sin x = -1/2 में बदला। फिर, हमने \( 0 \) से \( 2\pi \) के बीच के मुख्य मानों \( 7\pi/6 \) और \( 11\pi/6 \) को ज्ञात किया। अंत में, हमने sin के व्यापक हल के सूत्र का उपयोग करके सामान्य हल \( \text{n}\pi + (-1)^\text{n} (7\pi/6) \) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: व्यापक हल के लिए sin के सूत्र में \( (-1)^\text{n} \) का ध्यान रखना बहुत ज़रूरी है; इसे अक्सर छात्र भूल जाते हैं।

Question 5. cos 4x = cos 2x
Answer: हमें समीकरण \( \text{cos 4x} = \text{cos 2x} \) दिया गया है।
cos फलन का व्यापक हल \( \text{cos}\theta = \text{cos}\alpha \implies \theta = 2\text{n}\pi \pm \alpha \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) होता है।
इसलिए, \( 4\text{x} = 2\text{n}\pi \pm 2\text{x} \)
पहला स्थिति: जब हम धनात्मक चिह्न (+) लेते हैं:
\( 4\text{x} = 2\text{n}\pi + 2\text{x} \)
\( 4\text{x} - 2\text{x} = 2\text{n}\pi \)
\( 2\text{x} = 2\text{n}\pi \)
\( \text{x} = \text{n}\pi \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
दूसरा स्थिति: जब हम ऋणात्मक चिह्न (-) लेते हैं:
\( 4\text{x} = 2\text{n}\pi - 2\text{x} \)
\( 4\text{x} + 2\text{x} = 2\text{n}\pi \)
\( 6\text{x} = 2\text{n}\pi \)
\( \text{x} = \frac{2\text{n}\pi}{6} \)
\( \text{x} = \frac{\text{n}\pi}{3} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
अतः, व्यापक हल \( \text{x} = \text{n}\pi \) या \( \text{x} = \frac{\text{n}\pi}{3} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
In simple words: हमने cos 4x = cos 2x समीकरण को हल करने के लिए cos के व्यापक हल के सूत्र का उपयोग किया। हमने दो स्थितियों पर विचार किया, एक बार धनात्मक चिह्न के साथ और एक बार ऋणात्मक चिह्न के साथ, और दोनों से x के मान प्राप्त किए।

🎯 Exam Tip: \( \text{cos}\theta = \text{cos}\alpha \) जैसे समीकरणों को हल करते समय \( \pm \) चिह्न के साथ दोनों स्थितियों पर विचार करना महत्वपूर्ण है।

Question 6. cos 3x + cos x - cos 2x = 0
Answer: हमें समीकरण \( \text{cos 3x} + \text{cos x} - \text{cos 2x} = 0 \) दिया गया है।
हम सूत्र \( \text{cos A} + \text{cos B} = 2\text{cos}\left(\frac{\text{A}+\text{B}}{2}\right)\text{cos}\left(\frac{\text{A}-\text{B}}{2}\right) \) का उपयोग करेंगे।
\( 2\text{cos}\left(\frac{3\text{x}+\text{x}}{2}\right)\text{cos}\left(\frac{3\text{x}-\text{x}}{2}\right) - \text{cos 2x} = 0 \)
\( 2\text{cos 2x cos x} - \text{cos 2x} = 0 \)
अब, \( \text{cos 2x} \) को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
\( \text{cos 2x} (2\text{cos x} - 1) = 0 \)
इसका मतलब है कि या तो \( \text{cos 2x} = 0 \) या \( 2\text{cos x} - 1 = 0 \) होगा।
स्थिति 1: \( \text{cos 2x} = 0 \)
cos \( \theta = 0 \) का व्यापक हल \( \theta = (2\text{n}+1)\frac{\pi}{2} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) होता है।
इसलिए, \( 2\text{x} = (2\text{n}+1)\frac{\pi}{2} \)
\( \text{x} = (2\text{n}+1)\frac{\pi}{4} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
स्थिति 2: \( 2\text{cos x} - 1 = 0 \)
\( 2\text{cos x} = 1 \)
\( \text{cos x} = \frac{1}{2} \)
हम जानते हैं कि \( \text{cos} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) होता है।
cos \( \theta = \text{cos}\alpha \) का व्यापक हल \( \theta = 2\text{n}\pi \pm \alpha \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) होता है।
इसलिए, \( \text{x} = 2\text{n}\pi \pm \frac{\pi}{3} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
अतः, व्यापक हल \( \text{x} = (2\text{n}+1)\frac{\pi}{4} \) या \( \text{x} = 2\text{n}\pi \pm \frac{\pi}{3} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
In simple words: हमने \( \text{cos 3x} + \text{cos x} \) को एक सूत्र का उपयोग करके सरल किया। फिर, हमने \( \text{cos 2x} \) को उभयनिष्ठ लिया, जिससे हमें दो अलग-अलग समीकरण मिले। इन दोनों समीकरणों को हमने अलग-अलग हल किया ताकि x के व्यापक मान प्राप्त हो सकें।

🎯 Exam Tip: योग को गुणन में बदलने वाले (sum-to-product) सूत्रों का उपयोग करके जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों को सरल बनाया जा सकता है।

Question 7. sin 2x + cos x = 0
Answer: हमें समीकरण \( \text{sin 2x} + \text{cos x} = 0 \) दिया गया है।
हम जानते हैं कि \( \text{sin 2x} = 2\text{sin x cos x} \) होता है।
इसलिए, समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\( 2\text{sin x cos x} + \text{cos x} = 0 \)
अब, \( \text{cos x} \) को उभयनिष्ठ लेने पर:
\( \text{cos x} (2\text{sin x} + 1) = 0 \)
इसका मतलब है कि या तो \( \text{cos x} = 0 \) या \( 2\text{sin x} + 1 = 0 \) होगा।
स्थिति 1: \( \text{cos x} = 0 \)
cos \( \theta = 0 \) का व्यापक हल \( \theta = (2\text{n}+1)\frac{\pi}{2} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) होता है।
इसलिए, \( \text{x} = (2\text{n}+1)\frac{\pi}{2} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
स्थिति 2: \( 2\text{sin x} + 1 = 0 \)
\( 2\text{sin x} = -1 \)
\( \text{sin x} = -\frac{1}{2} \)
हम जानते हैं कि \( \text{sin} \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \) होता है।
चूंकि sin x ऋणात्मक है, इसलिए x तीसरे या चौथे चतुर्थांश में होगा।
हम \( \text{sin} \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) = \text{sin} \frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2} \) का उपयोग करेंगे।
sin \( \theta = \text{sin}\alpha \) का व्यापक हल \( \theta = \text{n}\pi + (-1)^\text{n}\alpha \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) होता है।
इसलिए, \( \text{x} = \text{n}\pi + (-1)^\text{n} \frac{7\pi}{6} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
अतः, व्यापक हल \( \text{x} = (2\text{n}+1)\frac{\pi}{2} \) या \( \text{x} = \text{n}\pi + (-1)^\text{n} \frac{7\pi}{6} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
In simple words: हमने \( \text{sin 2x} \) को \( 2\text{sin x cos x} \) में बदला। फिर, \( \text{cos x} \) को उभयनिष्ठ लेकर दो अलग-अलग समीकरण बनाए। इन दोनों समीकरणों को हमने अलग-अलग हल करके x के व्यापक मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: \( \text{sin 2x} \) और \( \text{cos 2x} \) जैसे दोगुने कोण (double angle) के सूत्रों का उपयोग करना ऐसे समीकरणों को हल करने की कुंजी है।

Question 8. sec² 2x = 1 - tan 2x
Answer: हमें समीकरण \( \text{sec}^2 \text{2x} = 1 - \text{tan 2x} \) दिया गया है।
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \( \text{sec}^2 \theta = 1 + \text{tan}^2 \theta \) का उपयोग करेंगे।
तो, समीकरण बन जाता है:
\( 1 + \text{tan}^2 \text{2x} = 1 - \text{tan 2x} \)
दोनों तरफ से 1 घटाने पर:
\( \text{tan}^2 \text{2x} = -\text{tan 2x} \)
\( \text{tan}^2 \text{2x} + \text{tan 2x} = 0 \)
अब, \( \text{tan 2x} \) को उभयनिष्ठ लेने पर:
\( \text{tan 2x} (\text{tan 2x} + 1) = 0 \)
इसका मतलब है कि या तो \( \text{tan 2x} = 0 \) या \( \text{tan 2x} + 1 = 0 \) होगा।
स्थिति 1: \( \text{tan 2x} = 0 \)
tan \( \theta = 0 \) का व्यापक हल \( \theta = \text{n}\pi \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) होता है।
इसलिए, \( 2\text{x} = \text{n}\pi \)
\( \text{x} = \frac{\text{n}\pi}{2} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
स्थिति 2: \( \text{tan 2x} + 1 = 0 \)
\( \text{tan 2x} = -1 \)
हम जानते हैं कि \( \text{tan} \frac{\pi}{4} = 1 \) होता है।
चूंकि tan 2x ऋणात्मक है, इसलिए 2x दूसरे या चौथे चतुर्थांश में होगा।
हम \( \text{tan} \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right) = \text{tan} \frac{3\pi}{4} = -1 \) का उपयोग करेंगे।
tan \( \theta = \text{tan}\alpha \) का व्यापक हल \( \theta = \text{n}\pi + \alpha \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) होता है।
इसलिए, \( 2\text{x} = \text{n}\pi + \frac{3\pi}{4} \)
\( \text{x} = \frac{\text{n}\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
अतः, व्यापक हल \( \text{x} = \frac{\text{n}\pi}{2} \) या \( \text{x} = \frac{\text{n}\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
In simple words: हमने \( \text{sec}^2 \text{2x} \) को \( 1 + \text{tan}^2 \text{2x} \) में बदलकर समीकरण को सरल किया। इससे हमें \( \text{tan 2x} \) के रूप में एक द्विघात समीकरण मिला। हमने \( \text{tan 2x} \) को उभयनिष्ठ लिया और दो अलग-अलग समीकरणों को हल करके x के व्यापक मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का सही उपयोग ऐसे समीकरणों को \( \text{tan}^2 \theta + \text{tan} \theta = 0 \) जैसे आसान रूपों में बदलने में मदद करता है।

Question 9. sin x + sin 3x + sin 5x = 0
Answer: हमें समीकरण \( \text{sin x} + \text{sin 3x} + \text{sin 5x} = 0 \) दिया गया है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\( (\text{sin x} + \text{sin 5x}) + \text{sin 3x} = 0 \)
हम सूत्र \( \text{sin A} + \text{sin B} = 2\text{sin}\left(\frac{\text{A}+\text{B}}{2}\right)\text{cos}\left(\frac{\text{A}-\text{B}}{2}\right) \) का उपयोग करेंगे।
\( 2\text{sin}\left(\frac{\text{x}+5\text{x}}{2}\right)\text{cos}\left(\frac{\text{x}-5\text{x}}{2}\right) + \text{sin 3x} = 0 \)
\( 2\text{sin 3x cos(-2x)} + \text{sin 3x} = 0 \)
चूंकि \( \text{cos}(-\theta) = \text{cos}\theta \) होता है:
\( 2\text{sin 3x cos 2x} + \text{sin 3x} = 0 \)
अब, \( \text{sin 3x} \) को उभयनिष्ठ लेने पर:
\( \text{sin 3x} (2\text{cos 2x} + 1) = 0 \)
इसका मतलब है कि या तो \( \text{sin 3x} = 0 \) या \( 2\text{cos 2x} + 1 = 0 \) होगा।
स्थिति 1: \( \text{sin 3x} = 0 \)
sin \( \theta = 0 \) का व्यापक हल \( \theta = \text{n}\pi \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) होता है।
इसलिए, \( 3\text{x} = \text{n}\pi \)
\( \text{x} = \frac{\text{n}\pi}{3} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
स्थिति 2: \( 2\text{cos 2x} + 1 = 0 \)
\( 2\text{cos 2x} = -1 \)
\( \text{cos 2x} = -\frac{1}{2} \)
हम जानते हैं कि \( \text{cos} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) होता है।
चूंकि cos 2x ऋणात्मक है, इसलिए 2x दूसरे या तीसरे चतुर्थांश में होगा।
हम \( \text{cos} \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = \text{cos} \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \) का उपयोग करेंगे।
cos \( \theta = \text{cos}\alpha \) का व्यापक हल \( \theta = 2\text{n}\pi \pm \alpha \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) होता है।
इसलिए, \( 2\text{x} = 2\text{n}\pi \pm \frac{2\pi}{3} \)
\( \text{x} = \text{n}\pi \pm \frac{\pi}{3} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
अतः, व्यापक हल \( \text{x} = \frac{\text{n}\pi}{3} \) या \( \text{x} = \text{n}\pi \pm \frac{\pi}{3} \), जहाँ \( \text{n} \in \text{I} \) है।
In simple words: हमने \( \text{sin x} \) और \( \text{sin 5x} \) को एक साथ समूहित किया और योग को गुणन में बदलने वाले सूत्र का उपयोग किया। इससे हमें \( \text{sin 3x} \) को उभयनिष्ठ लेने का मौका मिला, जिससे दो सरल समीकरण बने। इन दोनों समीकरणों को हल करके हमने x के व्यापक मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: जब तीन त्रिकोणमितीय पद हों, तो दो पदों को एक साथ समूहबद्ध करके एक सामान्य गुणनखंड बनाने का प्रयास करें, जैसे \( \text{sin A} + \text{sin C} \) को \( \text{sin B} \) के साथ करें।