RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Exercise 3.2

निम्नलिखित प्रश्नों में पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए

Question 1. यदि \( \cos x = -\frac{1}{2} \) है और x तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, तो अन्य पाँच त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि \( \cos x = -\frac{1}{2} \) है और x तीसरे चतुर्थांश में है।
हम जानते हैं कि \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
इसलिए, \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \)
\( \sin x = \pm \sqrt{1 - \cos^2 x} \)
अब, हम \( \cos x \) का मान सूत्र में डालेंगे:
\( \sin x = \pm \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \)
\( = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{4}} \)
\( = \pm \sqrt{\frac{4-1}{4}} \)
\( = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} \)
\( = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)
चूंकि x तीसरे चतुर्थांश में है, इसलिए \( \sin x \) ऋणात्मक होगा।
अतः, \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
अब हम अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के मान निकालेंगे:
\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)
\( = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} \)
\( = \sqrt{3} \)
\( \cot x = \frac{1}{\tan x} \)
\( = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \sec x = \frac{1}{\cos x} \)
\( = \frac{1}{-\frac{1}{2}} \)
\( = -2 \)
\( \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x} \)
\( = \frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} \)
\( = -\frac{2}{\sqrt{3}} \)
In simple words: हमें \( \cos x \) का मान और x का चतुर्थांश दिया गया है। हमने \( \sin x \) निकालने के लिए \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) सूत्र का उपयोग किया। तीसरे चतुर्थांश में \( \sin x \) और \( \cos x \) दोनों ऋणात्मक होते हैं, जबकि \( \tan x \) और \( \cot x \) धनात्मक होते हैं। इसी जानकारी का उपयोग करके हमने बाकी के त्रिकोणमितीय फलनों के मान निकाले।

🎯 Exam Tip: चतुर्थांश के अनुसार सही चिह्न (धनात्मक या ऋणात्मक) चुनना बहुत महत्वपूर्ण है। प्रत्येक चतुर्थांश में कौन से फलन धनात्मक होते हैं, इसे याद रखें (उदाहरण के लिए, "ASTC" नियम)।

Question 2. यदि \( \cot x = \frac{3}{2} \) है और x तृतीय चतुर्थांश में स्थित है, तो अन्य पाँच त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि \( \cot x = \frac{3}{2} \) है और x तीसरे चतुर्थांश में है।
हम जानते हैं कि \( \operatorname{cosec}^2 x = 1 + \cot^2 x \).
इसलिए, \( \operatorname{cosec} x = \pm \sqrt{1 + \cot^2 x} \)
अब, हम \( \cot x \) का मान सूत्र में डालेंगे:
\( \operatorname{cosec} x = \pm \sqrt{1 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} \)
\( = \pm \sqrt{1 + \frac{9}{4}} \)
\( = \pm \sqrt{\frac{4+9}{4}} \)
\( = \pm \sqrt{\frac{13}{4}} \)
\( = \pm \frac{\sqrt{13}}{2} \)
चूंकि x तीसरे चतुर्थांश में है, इसलिए \( \operatorname{cosec} x \) ऋणात्मक होगा।
अतः, \( \operatorname{cosec} x = -\frac{\sqrt{13}}{2} \)
अब हम अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के मान निकालेंगे:
\( \sin x = \frac{1}{\operatorname{cosec} x} \)
\( = \frac{1}{-\frac{\sqrt{13}}{2}} \)
\( = -\frac{2}{\sqrt{13}} \)
\( \tan x = \frac{1}{\cot x} \)
\( = \frac{1}{\frac{3}{2}} \)
\( = \frac{2}{3} \)
\( \cos x = \cot x \times \sin x \)
\( = \frac{3}{2} \times \left(-\frac{2}{\sqrt{13}}\right) \)
\( = -\frac{3}{\sqrt{13}} \)
\( \sec x = \frac{1}{\cos x} \)
\( = \frac{1}{-\frac{3}{\sqrt{13}}} \)
\( = -\frac{\sqrt{13}}{3} \)
In simple words: हमने \( \cot x \) का उपयोग करके पहले \( \operatorname{cosec} x \) का मान निकाला, फिर चतुर्थांश के नियम से उसका चिह्न तय किया। इसके बाद, हमने \( \sin x \), \( \tan x \), \( \cos x \) और \( \sec x \) के मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: \( \cot x \) और \( \tan x \) तीसरे चतुर्थांश में धनात्मक होते हैं, जबकि \( \sin x \), \( \cos x \), \( \sec x \) और \( \operatorname{cosec} x \) ऋणात्मक होते हैं। यह नियम सभी गणनाओं के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 3. यदि \( \sec x = \frac{13}{5} \) है और x चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है, तो अन्य पाँच त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें दिया गया है कि \( \sec x = \frac{13}{5} \) है और x चौथे चतुर्थांश में है।
हम जानते हैं कि \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \).
इसलिए, \( \tan x = \pm \sqrt{\sec^2 x - 1} \)
अब, हम \( \sec x \) का मान सूत्र में डालेंगे:
\( \tan x = \pm \sqrt{\left(\frac{13}{5}\right)^2 - 1} \)
\( = \pm \sqrt{\frac{169}{25} - 1} \)
\( = \pm \sqrt{\frac{169-25}{25}} \)
\( = \pm \sqrt{\frac{144}{25}} \)
\( = \pm \frac{12}{5} \)
चूंकि x चौथे चतुर्थांश में है, इसलिए \( \tan x \) ऋणात्मक होगा।
अतः, \( \tan x = -\frac{12}{5} \)
अब हम अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के मान निकालेंगे:
\( \cos x = \frac{1}{\sec x} \)
\( = \frac{1}{\frac{13}{5}} \)
\( = \frac{5}{13} \)
\( \cot x = \frac{1}{\tan x} \)
\( = \frac{1}{-\frac{12}{5}} \)
\( = -\frac{5}{12} \)
\( \sin x = \tan x \times \cos x \)
\( = \left(-\frac{12}{5}\right) \times \frac{5}{13} \)
\( = -\frac{12}{13} \)
\( \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x} \)
\( = \frac{1}{-\frac{12}{13}} \)
\( = -\frac{13}{12} \)
In simple words: हमने \( \sec x \) का मान इस्तेमाल करके \( \tan x \) का मान निकाला। चूंकि x चौथे चतुर्थांश में है, \( \tan x \) ऋणात्मक होगा। फिर, हमने बाकी सभी त्रिकोणमितीय फलनों के मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: चौथे चतुर्थांश में \( \cos x \) और \( \sec x \) धनात्मक होते हैं, जबकि अन्य सभी फलन ऋणात्मक होते हैं। गणना करते समय इस नियम को ध्यान में रखें।

Question 4. \( \sin 765^\circ \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम \( \sin 765^\circ \) का मान ज्ञात करेंगे।
हम जानते हैं कि \( \sin (2n\pi + \theta) = \sin \theta \) या \( \sin (n \times 360^\circ + \theta) = \sin \theta \).
\( 765^\circ \) को \( 360^\circ \) के गुणज के रूप में लिखने पर:
\( 765^\circ = 2 \times 360^\circ + 45^\circ \)
इसलिए, \( \sin 765^\circ = \sin (2 \times 360^\circ + 45^\circ) \)
\( = \sin 45^\circ \)
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
In simple words: \( \sin \) फलन हर \( 360^\circ \) के बाद खुद को दोहराता है। हमने \( 765^\circ \) में से \( 360^\circ \) के पूरे चक्करों को हटा दिया, जिससे \( 45^\circ \) बचा, और फिर \( \sin 45^\circ \) का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: बड़े कोणों के लिए, \( 360^\circ \) के गुणकों को घटाकर कोण को \( 0^\circ \) से \( 360^\circ \) के बीच लाना याद रखें। इससे गणना आसान हो जाती है।

Question 6. \( \sin \left(-\frac{11\pi}{3}\right) \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम \( \sin \left(-\frac{11\pi}{3}\right) \) का मान ज्ञात करेंगे।
हम जानते हैं कि \( \sin (-\theta) = -\sin \theta \).
इसलिए, \( \sin \left(-\frac{11\pi}{3}\right) = -\sin \left(\frac{11\pi}{3}\right) \)
अब, हम \( \frac{11\pi}{3} \) को \( 2\pi \) के गुणज के रूप में लिखेंगे:
\( \frac{11\pi}{3} = \frac{12\pi - \pi}{3} = 4\pi - \frac{\pi}{3} \)
तो, \( -\sin \left(\frac{11\pi}{3}\right) = -\sin \left(4\pi - \frac{\pi}{3}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \sin (2n\pi - \theta) = -\sin \theta \).
इसलिए, \( -\sin \left(4\pi - \frac{\pi}{3}\right) = - \left(-\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \)
\( = \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
In simple words: सबसे पहले, हमने \( \sin(-\theta) = -\sin\theta \) का उपयोग करके ऋण चिह्न को बाहर निकाला। फिर, \( \frac{11\pi}{3} \) को \( 2\pi \) के गुणज में से घटाकर लिखा। अंत में, हमने सूत्र \( \sin(2n\pi - \theta) = -\sin\theta \) लगाकर मान निकाला।

🎯 Exam Tip: रेडियन में दिए गए कोणों को सरल करते समय \( 2\pi \) (या \( 360^\circ \)) के गुणकों को जोड़ना या घटाना याद रखें। यह प्रक्रिया कोण को \( 0 \) से \( 2\pi \) के बीच लाने में मदद करती है।

Question 7. \( \cot \left(-\frac{15\pi}{4}\right) \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हम \( \cot \left(-\frac{15\pi}{4}\right) \) का मान ज्ञात करेंगे।
हम जानते हैं कि \( \cot (-\theta) = -\cot \theta \).
इसलिए, \( \cot \left(-\frac{15\pi}{4}\right) = -\cot \left(\frac{15\pi}{4}\right) \)
अब, हम \( \frac{15\pi}{4} \) को \( 2\pi \) के गुणज के रूप में लिखेंगे:
\( \frac{15\pi}{4} = \frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4} \)
तो, \( -\cot \left(\frac{15\pi}{4}\right) = -\cot \left(4\pi - \frac{\pi}{4}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \cot (2n\pi - \theta) = -\cot \theta \).
इसलिए, \( -\cot \left(4\pi - \frac{\pi}{4}\right) = - \left(-\cot \left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \)
\( = \cot \left(\frac{\pi}{4}\right) \)
\( = 1 \)
In simple words: हमने \( \cot(-\theta) = -\cot\theta \) सूत्र का इस्तेमाल करके ऋण चिह्न को बाहर निकाला। फिर \( \frac{15\pi}{4} \) को \( 2\pi \) के गुणज से घटाकर लिखा। अंत में, \( \cot(2n\pi - \theta) = -\cot\theta \) का उपयोग करके हमने मान निकाला, जो \( \cot \left(\frac{\pi}{4}\right) \) के बराबर आया।

🎯 Exam Tip: \( \cot(-\theta) = -\cot\theta \) और \( \cot(2n\pi - \theta) = -\cot\theta \) जैसे सूत्रों को याद रखें। कोणों को सरल करते समय यह समझना महत्वपूर्ण है कि कौन सा सूत्र कहाँ लागू होगा।