RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Exercise 3.1

प्रश्न 1. निम्रलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए
(i) 25°
(ii) - 47°30
(iii) 520°
Answer:
हम जानते हैं कि \( 1^\circ = \frac { \pi }{ 180 } \) रेडियन
(i) \( 25^\circ = 25 \times \frac { \pi }{ 180 } \) रेडियन
\( = \frac { 5\pi }{ 36 } \) रेडियन

(ii) \( -47^\circ 30' \)
पहले मिनट को डिग्री में बदलें:
\( 30' = \left( \frac { 30 }{ 60 } \right)^\circ = \left( \frac { 1 }{ 2 } \right)^\circ \)
इसलिए, \( -47^\circ 30' = -\left( 47 + \frac { 1 }{ 2 } \right)^\circ \)
\( = -\left( \frac { 94 + 1 }{ 2 } \right)^\circ = -\left( \frac { 95 }{ 2 } \right)^\circ \)
अब इसे रेडियन में बदलें:
\( -\left( \frac { 95 }{ 2 } \right)^\circ = -\frac { 95 }{ 2 } \times \frac { \pi }{ 180 } \) रेडियन
\( = -\frac { 19\pi }{ 72 } \) रेडियन

(iii) \( 520^\circ = 520 \times \frac { \pi }{ 180 } \) रेडियन
\( = \frac { 26\pi }{ 9 } \) रेडियन
In simple words: डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए, डिग्री माप को \( \frac{\pi}{180} \) से गुणा करते हैं। यदि मिनट दिए गए हों, तो पहले उन्हें डिग्री में बदलकर जोड़ें, फिर रेडियन में बदलें।

🎯 Exam Tip: डिग्री को रेडियन में बदलते समय, \( \pi \) का मान अक्सर \( \frac{22}{7} \) की जगह सिर्फ \( \pi \) के रूप में ही रखा जाता है जब तक कि प्रश्न में विशेष रूप से बदलने के लिए न कहा जाए।

प्रश्न 2. निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए ( \( \pi = \frac {22}{7} \) का प्रयोग करें)
(i) \( \frac { 11 }{ 16 } \)
(iii) \( \frac { 5\pi }{ 3 } \)
Answer:
हम जानते हैं कि \( 1 \) रेडियन \( = \frac { 180^\circ }{ \pi } \)

(i) \( \frac { 11 }{ 16 } \) रेडियन \( = \frac { 11 }{ 16 } \times \frac { 180^\circ }{ \pi } \)
यहां \( \pi = \frac { 22 }{ 7 } \) का प्रयोग करें:
\( = \frac { 11 }{ 16 } \times \frac { 180 }{ \frac { 22 }{ 7 } } \) डिग्री
\( = \frac { 11 }{ 16 } \times \frac { 180 \times 7 }{ 22 } \) डिग्री
\( = \frac { 1 }{ 16 } \times \frac { 180 \times 7 }{ 2 } \) डिग्री
\( = \frac { 1 }{ 4 } \times \frac { 45 \times 7 }{ 2 } \) डिग्री
\( = \frac { 315 }{ 8 } \) डिग्री
\( = 39\frac { 3 }{ 8 } \) डिग्री
\( = 39^\circ + \left( \frac { 3 }{ 8 } \right)^\circ \)
\( = 39^\circ + \left( \frac { 3 }{ 8 } \times 60 \right)' \) (क्योंकि \( 1^\circ = 60' \))
\( = 39^\circ + \left( \frac { 180 }{ 8 } \right)' \)
\( = 39^\circ + \left( \frac { 45 }{ 2 } \right)' \)
\( = 39^\circ + 22\frac { 1 }{ 2 }' \)
\( = 39^\circ + 22' + \left( \frac { 1 }{ 2 } \right)' \)
\( = 39^\circ + 22' + \left( \frac { 1 }{ 2 } \times 60 \right)'' \) (क्योंकि \( 1' = 60'' \))
\( = 39^\circ + 22' + 30'' \)
\( = 39^\circ 22' 30'' \)

(ii) (The OCR text for the question skipped (ii), but the solution provided calculation for it, so we include it as part of the overall answer for Q2 based on what was worked out. The problem was likely to convert \( -4 \) रेडियन to degree measure, as seen in the steps)
\( -4 \) रेडियन \( = -4 \times \frac { 180^\circ }{ \pi } \)
\( = -4 \times \frac { 180 }{ \frac { 22 }{ 7 } } \) डिग्री
\( = -4 \times \frac { 180 \times 7 }{ 22 } \) डिग्री
\( = -4 \times \frac { 90 \times 7 }{ 11 } \) डिग्री
\( = -\frac { 2520 }{ 11 } \) डिग्री
\( = -229\frac { 1 }{ 11 } \) डिग्री
\( = -(229^\circ + \left( \frac { 1 }{ 11 } \times 60 \right)') \)
\( = -(229^\circ + \frac { 60 }{ 11 }') \)
\( = -(229^\circ + 5\frac { 5 }{ 11 }') \)
\( = -(229^\circ + 5' + \left( \frac { 5 }{ 11 } \times 60 \right)'') \)
\( = -(229^\circ + 5' + \frac { 300 }{ 11 }'') \)
\( = -(229^\circ + 5' + 27.27'') \)
\( = -229^\circ 5' 27'' \) (लगभग)

(iii) \( \frac { 5\pi }{ 3 } \) रेडियन \( = \frac { 5\pi }{ 3 } \times \frac { 180^\circ }{ \pi } \)
\( = 5 \times 60^\circ \)
\( = 300^\circ \)
In simple words: रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए, रेडियन माप को \( \frac{180^\circ}{\pi} \) से गुणा करते हैं। यदि उत्तर में दशमलव या भिन्न आता है, तो उसे मिनट (' ) और सेकंड ('' ) में बदलें ताकि डिग्री, मिनट और सेकंड में सही माप मिल सके।

🎯 Exam Tip: रेडियन को डिग्री में बदलते समय, \( \pi \) को हमेशा \( \frac{22}{7} \) या \( 3.14 \) के रूप में बदलें, जैसा प्रश्न में दिया हो, ताकि डिग्री में एक निश्चित संख्यात्मक मान प्राप्त हो सके।

प्रश्न 3. एक पहिया एक मिनट में 360° परिक्रमण करता है तो एक सेकण्ड में कितने रेडियन माप का कोण बनाएगा?
Answer:
पहिया 1 मिनट में 360 परिक्रमण करता है.
हम जानते हैं कि 1 परिक्रमण में पहिया \( 2\pi \) रेडियन का कोण बनाता है.
तो, 360 परिक्रमण में पहिया द्वारा बनाया गया कुल कोण \( = 360 \times 2\pi \) रेडियन.
यह कोण 1 मिनट (या 60 सेकंड) में बनता है.
इसलिए, 1 सेकंड में पहिया द्वारा बनाया गया कोण \( = \frac { 360 \times 2\pi }{ 60 } \) रेडियन
\( = 6 \times 2\pi \) रेडियन
\( = 12\pi \) रेडियन.
In simple words: यदि एक पहिया एक मिनट में 360 बार घूमता है, तो एक सेकंड में यह \( 12\pi \) रेडियन का कोण बनाता है. हर एक चक्कर \( 2\pi \) रेडियन होता है.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, पहले कुल परिक्रमण से कुल रेडियन कोण ज्ञात करें, फिर समय इकाई (मिनट से सेकंड) में बदलें और प्रति सेकंड कोण की गणना करें।

प्रश्न 4. एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या 100 सेमी. है, की 22 सेमी. लम्बाई की चाप वृत्त के केन्द्र पर कितने डिग्री माप का कोण बनाएगी। ( \( \pi = \frac {22}{7} \) प्रयोग कीजिए।)
Answer:
दिया है:
वृत्त की त्रिज्या \( r = 100 \) सेमी.
चाप की लम्बाई \( l = 22 \) सेमी.
चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण \( \theta = \frac { l }{ r } \) रेडियन
\( \theta = \frac { 22 }{ 100 } \) रेडियन
अब इस रेडियन माप को डिग्री में बदलें:
\( \theta = \frac { 22 }{ 100 } \times \frac { 180^\circ }{ \pi } \)
यहां \( \pi = \frac { 22 }{ 7 } \) का प्रयोग करें:
\( \theta = \frac { 22 }{ 100 } \times \frac { 180 }{ \frac { 22 }{ 7 } } \) डिग्री
\( = \frac { 22 }{ 100 } \times \frac { 180 \times 7 }{ 22 } \) डिग्री
\( = \frac { 1 }{ 100 } \times 180 \times 7 \) डिग्री
\( = \frac { 1260 }{ 100 } \) डिग्री
\( = \frac { 63 }{ 5 } \) डिग्री
\( = 12\frac { 3 }{ 5 } \) डिग्री
\( = 12^\circ + \left( \frac { 3 }{ 5 } \times 60 \right)' \) (क्योंकि \( 1^\circ = 60' \))
\( = 12^\circ + 36' \)
\( = 12^\circ 36' \)
In simple words: हमें चाप की लम्बाई और त्रिज्या दी गई है. पहले हम \( \frac{l}{r} \) सूत्र से कोण को रेडियन में निकालते हैं, फिर उस रेडियन मान को डिग्री में बदलने के लिए \( \frac{180^\circ}{\pi} \) से गुणा करते हैं, और \( \pi \) का मान \( \frac{22}{7} \) का उपयोग करते हैं.

🎯 Exam Tip: चाप की लम्बाई, त्रिज्या और केंद्र पर बने कोण के बीच संबंध को याद रखें: \( l = r\theta \), जहाँ \( \theta \) हमेशा रेडियन में होता है। यदि उत्तर डिग्री में मांगा जाए, तो रेडियन मान को डिग्री में बदलना न भूलें।

प्रश्न 5. एक वृत्त, जिसका व्यास 40 सेमी. है, की एक जीवा 20 सेमी. लम्बाई की है तो इसके संगत छोटे चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया है, वृत्त का व्यास \( = 40 \) सेमी.
अतः, वृत्त की त्रिज्या \( r = \frac { 40 }{ 2 } = 20 \) सेमी.
जीवा की लम्बाई \( = 20 \) सेमी.
मान लीजिए जीवा AB है, और O वृत्त का केंद्र है.
तो, \( OA = OB = r = 20 \) सेमी. (त्रिज्याएँ)
और \( AB = 20 \) सेमी. (जीवा)
इस प्रकार, \( \triangle OAB \) एक समबाहु त्रिभुज है (सभी भुजाएँ 20 सेमी.)
इसलिए, केंद्र पर बना कोण \( \theta = \angle AOB = 60^\circ \).
अब, कोण को रेडियन में बदलें:
\( \theta = 60^\circ \times \frac { \pi }{ 180^\circ } = \frac { \pi }{ 3 } \) रेडियन
चाप की लम्बाई \( l = r\theta \)
\( l = 20 \times \frac { \pi }{ 3 } \) सेमी.
\( = \frac { 20\pi }{ 3 } \) सेमी.
यदि \( \pi = \frac { 22 }{ 7 } \) लें:
\( l = \frac { 20 }{ 3 } \times \frac { 22 }{ 7 } = \frac { 440 }{ 21 } \approx 20.95 \) सेमी.
In simple words: वृत्त का व्यास 40 सेमी. है, इसलिए त्रिज्या 20 सेमी. है. जीवा की लम्बाई भी 20 सेमी. है, जिससे केंद्र पर एक समबाहु त्रिभुज बनता है. इससे केंद्र पर बना कोण 60° होता है, जिसे रेडियन में बदलकर \( \frac{\pi}{3} \) प्राप्त करते हैं. फिर \( l = r\theta \) सूत्र से चाप की लम्बाई निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: जब जीवा की लम्बाई त्रिज्या के बराबर होती है, तो केंद्र पर बनने वाला कोण हमेशा \( 60^\circ \) (एक समबाहु त्रिभुज) होता है. इस संबंध को याद रखना गणना को सरल बनाता है.

प्रश्न 6. यदि दो वृत्तों के समान लम्बाई वाले चाप अपने केन्द्रों पर क्रमशः 60° तथा 75° के कोण बनाते हों, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer:
मान लीजिए पहले वृत्त की त्रिज्या \( r_1 \) और दूसरे वृत्त की त्रिज्या \( r_2 \) है.
दिए गए हैं कि दोनों वृत्तों के चाप की लम्बाई समान है, मान लीजिए \( l \).
पहले वृत्त के लिए, केंद्र पर बना कोण \( \theta_1 = 60^\circ \)
रेडियन में \( \theta_1 = 60 \times \frac { \pi }{ 180 } = \frac { \pi }{ 3 } \) रेडियन
चाप की लम्बाई \( l = r_1 \theta_1 \)
\( l = r_1 \left( \frac { \pi }{ 3 } \right) \) ... (i)

दूसरे वृत्त के लिए, केंद्र पर बना कोण \( \theta_2 = 75^\circ \)
रेडियन में \( \theta_2 = 75 \times \frac { \pi }{ 180 } = \frac { 5\pi }{ 12 } \) रेडियन
चाप की लम्बाई \( l = r_2 \theta_2 \)
\( l = r_2 \left( \frac { 5\pi }{ 12 } \right) \) ... (ii)

चूँकि दोनों चापों की लम्बाई समान है, इसलिए समीकरण (i) और (ii) को बराबर रखने पर:
\( r_1 \left( \frac { \pi }{ 3 } \right) = r_2 \left( \frac { 5\pi }{ 12 } \right) \)
दोनों तरफ \( \pi \) से भाग दें:
\( r_1 \frac { 1 }{ 3 } = r_2 \frac { 5 }{ 12 } \)
त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए \( r_1 \) और \( r_2 \) को पुनर्व्यवस्थित करें:
\( \frac { r_1 }{ r_2 } = \frac { 5/12 }{ 1/3 } \)
\( = \frac { 5 }{ 12 } \times \frac { 3 }{ 1 } \)
\( = \frac { 5 }{ 4 } \)
इसलिए, \( r_1 : r_2 = 5 : 4 \)
In simple words: दोनों वृत्तों के चापों की लम्बाई बराबर है. हमने दोनों कोणों को डिग्री से रेडियन में बदला. फिर, \( l = r\theta \) सूत्र का उपयोग करके, हमने दोनों समीकरणों को बराबर रखा और त्रिज्याओं का अनुपात \( 5:4 \) प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले सभी कोणों को रेडियन में बदलना महत्वपूर्ण है क्योंकि \( l = r\theta \) सूत्र में \( \theta \) हमेशा रेडियन में होता है। फिर समान चाप की लम्बाई की स्थिति का उपयोग करके अनुपात ज्ञात करें।

प्रश्न 7. 75 सेमी. लम्बाई वाले एक दोलायमान दोलक का एक सिरे से दूसरे सिरे तक दोलन करने से जो कोण बनता है, उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके नोक द्वारा बनाए गए चाप की लम्बाई निम्नलिखित हैं
(i) 10 सेमी.
(ii) 21 सेमी.
Answer:
दोलायमान दोलक की लम्बाई \( l \) त्रिज्या \( r \) के बराबर होती है.
यहाँ, दोलक की लम्बाई \( r = 75 \) सेमी. है.
चाप की लम्बाई \( s \) है.
कोण \( \theta = \frac { s }{ r } \) रेडियन

(i) चाप की लम्बाई \( s = 10 \) सेमी.
कोण \( \theta = \frac { 10 }{ 75 } \) रेडियन
\( = \frac { 2 }{ 15 } \) रेडियन

(ii) चाप की लम्बाई \( s = 21 \) सेमी.
कोण \( \theta = \frac { 21 }{ 75 } \) रेडियन
\( = \frac { 7 }{ 25 } \) रेडियन
In simple words: दोलक की लम्बाई को त्रिज्या मानते हुए और दिए गए चाप की लम्बाई का उपयोग करके, हम \( \theta = \frac{\text{चाप की लम्बाई}}{\text{त्रिज्या}} \) सूत्र से रेडियन में कोण का माप निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: दोलक के प्रश्न में, दोलक की लम्बाई को वृत्त की त्रिज्या के रूप में माना जाता है, और दोलन से बनी दूरी चाप की लम्बाई होती है। कोण हमेशा रेडियन में ही मापा जाता है।