RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 2 सम्बन्ध एवं फलन Exercise 2.1

Question 1. यदि \( A = \{1, 2, 3\}, B = \{4, 5, 6\} \) तो निम्न में से कौन \( A \) से \( B \) में सम्बन्ध है? कारण सहित उत्तर दीजिए :
(i) \( \{(1, 4), (3, 5), (3, 6)\} \)
(ii) \( \{(1, 6), (2, 6), (3, 6)\} \)
(iii) \( \{(1, 5), (3, 4), (5, 1), (3, 6)\} \)
(iv) \( \{(2, 4), (2, 6), (3, 6), (4, 2)\} \)
(v) \( A \times B \)
Answer:
दिए गए समुच्चय हैं: \( A = \{1, 2, 3\} \) और \( B = \{4, 5, 6\} \).
सबसे पहले, हम \( A \times B \) कार्तीय गुणनफल ज्ञात करते हैं:
\( A \times B = \{(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)\} \)

(i) दिया गया सम्बन्ध है: \( R_1 = \{(1, 4), (3, 5), (3, 6)\} \)
यहाँ, \( R_1 \) के सभी क्रमित युग्म \( A \times B \) के सदस्य हैं.
\( \implies R_1 \subseteq A \times B \)
इसलिए, \( R_1, A \) से \( B \) में एक सम्बन्ध है।

(ii) दिया गया सम्बन्ध है: \( R_2 = \{(1, 6), (2, 6), (3, 6)\} \)
यहाँ, \( R_2 \) के सभी क्रमित युग्म \( A \times B \) के सदस्य हैं.
\( \implies R_2 \subseteq A \times B \)
इसलिए, \( R_2, A \) से \( B \) में एक सम्बन्ध है।

(iii) दिया गया सम्बन्ध है: \( R_3 = \{(1, 5), (3, 4), (5, 1), (3, 6)\} \)
यहाँ, क्रमित युग्म \( (5, 1) \) सदस्य \( (5 \notin A) \) के कारण \( A \times B \) का सदस्य नहीं है, और \( (5,1) \) में 1, B का सदस्य नहीं है.
\( \implies (5, 1) \notin A \times B \)
इसलिए, \( R_3, A \) से \( B \) में सम्बन्ध नहीं है।

(iv) दिया गया सम्बन्ध है: \( R_4 = \{(2, 4), (2, 6), (3, 6), (4, 2)\} \)
यहाँ, क्रमित युग्म \( (4, 2) \) के लिए \( 4 \notin A \) है, इसलिए \( (4, 2) \notin A \times B \).
\( \implies R_4 \not\subseteq A \times B \)
इसलिए, \( R_4, A \) से \( B \) में सम्बन्ध नहीं है।

(v) दिया गया सम्बन्ध है: \( R_5 = A \times B \)
\( R_5 = \{(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)\} \)
चूँकि \( R_5 \) सीधे \( A \times B \) के बराबर है, तो यह निश्चित रूप से \( A \times B \) का एक उपसमुच्चय है.
\( \implies R_5 \subseteq A \times B \)
इसलिए, \( R_5, A \) से \( B \) में एक सम्बन्ध है।
In simple words: हम पहले \( A \) और \( B \) के सभी संभावित युग्मों \( (A \times B) \) को देखते हैं। फिर, दिए गए प्रत्येक सम्बन्ध के युग्मों की जाँच करते हैं कि क्या वे \( A \times B \) में हैं। यदि सभी युग्म \( A \times B \) में हैं, तो वह सम्बन्ध है, अन्यथा नहीं।

🎯 Exam Tip: किसी भी सम्बन्ध R को A से B में सम्बन्ध होने के लिए, R को A × B का एक उपसमुच्चय होना चाहिए। प्रत्येक क्रमित युग्म (a, b) में, 'a' हमेशा समुच्चय A से और 'b' हमेशा समुच्चय B से होना चाहिए।

Question 2. \( N \) में परिभाषित निम्न सम्बन्धों को नियम रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) \( \{(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9), .......\} \)
(ii) \( \{(2, 3), (4, 2), (6, 1)\} \)
(iii) \( \{(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), .......\} \)
Answer:
(i) दिया गया सम्बन्ध है: \( R_1 = \{(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9), ....\} \)
इस सम्बन्ध में, हम देखते हैं कि दूसरा घटक (y) पहले घटक (x) के दुगुने से एक अधिक है।
जैसे: \( 3 = 2(1) + 1 \)
\( 5 = 2(2) + 1 \)
\( 7 = 2(3) + 1 \)
\( \implies y = 2x + 1 \)
इसलिए, सम्बन्ध को नियम रूप में ऐसे लिखा जा सकता है: \( R_1 = \{(x, y) \mid x, y \in N, y = 2x + 1\} \)

(ii) दिया गया सम्बन्ध है: \( R_2 = \{(2, 3), (4, 2), (6, 1)\} \)
इस सम्बन्ध में, हम देखते हैं कि पहले घटक (x) और दूसरे घटक (y) के दुगुने का योग 8 के बराबर है।
जैसे: \( 2 + 2(3) = 2+6 = 8 \)
\( 4 + 2(2) = 4+4 = 8 \)
\( 6 + 2(1) = 6+2 = 8 \)
\( \implies x + 2y = 8 \)
इसलिए, सम्बन्ध को नियम रूप में ऐसे लिखा जा सकता है: \( R_2 = \{(x, y) \mid x, y \in N, x + 2y = 8\} \)

(iii) दिया गया सम्बन्ध है: \( R_3 = \{(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), .......\} \)
इस सम्बन्ध में, हम देखते हैं कि पहला घटक (x) दूसरे घटक (y) से एक अधिक है।
जैसे: \( 2 = 1 + 1 \)
\( 3 = 2 + 1 \)
\( 4 = 3 + 1 \)
\( \implies x = y + 1 \) या \( y = x - 1 \)
इसलिए, सम्बन्ध को नियम रूप में ऐसे लिखा जा सकता है: \( R_3 = \{(x, y) \mid x, y \in N, y = x - 1\} \)
In simple words: हमें दिए गए युग्मों में एक पैटर्न ढूंढना है कि पहला नंबर (x) और दूसरा नंबर (y) एक-दूसरे से कैसे जुड़े हुए हैं। फिर उस पैटर्न को एक गणितीय सूत्र (नियम) के रूप में लिखना है।

🎯 Exam Tip: नियम-रूप में सम्बन्ध लिखने के लिए, क्रमित युग्मों (x, y) के बीच के गणितीय सम्बन्ध को पहचानें और इसे 'इस प्रकार है कि' (\( \mid \)) प्रतीक का उपयोग करके व्यक्त करें।

Question 3. समुच्चय \( A = \{2, 3, 4, 5\} \) से समुच्चय \( B = \{3, 6, 7, 10\} \) में एक सम्बन्ध \( R \) इस प्रकार परिभाषित है कि \( xRy \implies x,y \) के सापेक्ष अभाज्य है। सम्बन्ध \( R \) को क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में लिखिए तथा \( R \) के प्रान्त एवं परिसर भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए समुच्चय हैं: \( A = \{2, 3, 4, 5\} \) और \( B = \{3, 6, 7, 10\} \)
सम्बन्ध \( R \) इस प्रकार परिभाषित है कि \( xRy \) यदि \( x \) और \( y \) सापेक्ष अभाज्य (coprime) हैं।
सापेक्ष अभाज्य का मतलब है कि \( x \) और \( y \) में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) नहीं है।

\( A \) के प्रत्येक तत्व \( x \) के लिए, हम \( B \) में ऐसे तत्व \( y \) ढूंढते हैं जो \( x \) के साथ सापेक्ष अभाज्य हों:
1. जब \( x = 2 \):
- \( 2 \) और \( 3 \) सापेक्ष अभाज्य हैं (GCD(2,3) = 1). \( (2, 3) \in R \)
- \( 2 \) और \( 6 \) सापेक्ष अभाज्य नहीं हैं (GCD(2,6) = 2).
- \( 2 \) और \( 7 \) सापेक्ष अभाज्य हैं (GCD(2,7) = 1). \( (2, 7) \in R \)
- \( 2 \) और \( 10 \) सापेक्ष अभाज्य नहीं हैं (GCD(2,10) = 2).
2. जब \( x = 3 \):
- \( 3 \) और \( 3 \) सापेक्ष अभाज्य नहीं हैं (GCD(3,3) = 3).
- \( 3 \) और \( 6 \) सापेक्ष अभाज्य नहीं हैं (GCD(3,6) = 3).
- \( 3 \) और \( 7 \) सापेक्ष अभाज्य हैं (GCD(3,7) = 1). \( (3, 7) \in R \)
- \( 3 \) और \( 10 \) सापेक्ष अभाज्य हैं (GCD(3,10) = 1). \( (3, 10) \in R \)
3. जब \( x = 4 \):
- \( 4 \) और \( 3 \) सापेक्ष अभाज्य हैं (GCD(4,3) = 1). \( (4, 3) \in R \)
- \( 4 \) और \( 6 \) सापेक्ष अभाज्य नहीं हैं (GCD(4,6) = 2).
- \( 4 \) और \( 7 \) सापेक्ष अभाज्य हैं (GCD(4,7) = 1). \( (4, 7) \in R \)
- \( 4 \) और \( 10 \) सापेक्ष अभाज्य नहीं हैं (GCD(4,10) = 2).
4. जब \( x = 5 \):
- \( 5 \) और \( 3 \) सापेक्ष अभाज्य हैं (GCD(5,3) = 1). \( (5, 3) \in R \)
- \( 5 \) और \( 6 \) सापेक्ष अभाज्य हैं (GCD(5,6) = 1). \( (5, 6) \in R \)
- \( 5 \) और \( 7 \) सापेक्ष अभाज्य हैं (GCD(5,7) = 1). \( (5, 7) \in R \)
- \( 5 \) और \( 10 \) सापेक्ष अभाज्य नहीं हैं (GCD(5,10) = 5).

इसलिए, सम्बन्ध \( R \) क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में है:
\( R = \{(2, 3), (2, 7), (3, 7), (3, 10), (4, 3), (4, 7), (5, 3), (5, 6), (5, 7)\} \)

सम्बन्ध \( R \) का प्रान्त (Domain of \( R \)): पहले घटकों का समुच्चय जो \( A \) से हैं.
प्रान्त \( R = \{2, 3, 4, 5\} \)
जो समुच्चय \( A \) के बराबर है.

सम्बन्ध \( R \) का परिसर (Range of \( R \)): दूसरे घटकों का समुच्चय जो \( B \) से हैं.
परिसर \( R = \{3, 6, 7, 10\} \)
जो समुच्चय \( B \) के बराबर है.
In simple words: हमें ऐसे युग्म \( (x, y) \) ढूंढने हैं जहाँ \( x \) और \( y \) के बीच कोई भी समान गुणनखंड 1 के अलावा न हो। फिर, उन युग्मों के पहले नंबरों का सेट 'प्रान्त' होता है और दूसरे नंबरों का सेट 'परिसर' होता है।

🎯 Exam Tip: 'सापेक्ष अभाज्य' (coprime) का अर्थ है कि दो संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड (GCD) 1 होता है। प्रान्त सम्बन्ध के पहले तत्वों का सेट है, और परिसर दूसरे तत्वों का सेट है।

Question 4. यदि पूर्णांकों के समुच्चय \( Z \) में एक सम्बन्ध \( R \) इस प्रकार परिभाषित हो कि \( xRy \iff x^2 + y^2 = 25 \) तब \( R \) तथा \( R^{-1} \) को क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में लिखिए तथा उनके प्रान्त भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिया गया सम्बन्ध पूर्णांकों के समुच्चय \( Z \) में परिभाषित है:
\( xRy \iff x^2 + y^2 = 25 \)
हमें ऐसे पूर्णांक \( x \) और \( y \) के युग्म ढूंढने हैं जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हों।

\( y^2 = 25 - x^2 \)
\( \implies y = \pm\sqrt{25 - x^2} \)

चूँकि \( y \) एक पूर्णांक होना चाहिए, \( 25 - x^2 \) एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए और गैर-ऋणात्मक होना चाहिए।
यदि \( x = 0 \), \( y^2 = 25 \implies y = \pm5 \)
यदि \( x = \pm3 \), \( y^2 = 25 - (\pm3)^2 = 25 - 9 = 16 \implies y = \pm4 \)
यदि \( x = \pm4 \), \( y^2 = 25 - (\pm4)^2 = 25 - 16 = 9 \implies y = \pm3 \)
यदि \( x = \pm5 \), \( y^2 = 25 - (\pm5)^2 = 25 - 25 = 0 \implies y = 0 \)

अन्य पूर्णांक मानों के लिए, \( 25 - x^2 \) या तो ऋणात्मक होगा (जैसे \( x=\pm6 \Rightarrow 25-36=-11 \)) या पूर्ण वर्ग नहीं होगा (जैसे \( x=\pm1 \Rightarrow 25-1=24 \)).
इसलिए, \( x \) के संभावित मान \( 0, \pm3, \pm4, \pm5 \) हैं।

सम्बन्ध \( R \) को क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में:
\( R = \{(0, 5), (0, -5), (3, 4), (3, -4), (-3, 4), (-3, -4), (4, 3), (4, -3), (-4, 3), (-4, -3), (5, 0), (-5, 0)\} \)

सम्बन्ध \( R^{-1} \) को क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में (केवल प्रत्येक युग्म के घटकों को पलटकर):
\( R^{-1} = \{(5, 0), (-5, 0), (4, 3), (-4, 3), (4, -3), (-4, -3), (3, 4), (-3, 4), (3, -4), (-3, -4), (0, 5), (0, -5)\} \)

सम्बन्ध \( R \) का प्रान्त (Domain of \( R \)): \( R \) के पहले घटकों का समुच्चय।
प्रान्त \( R = \{0, 3, -3, 4, -4, 5, -5\} \)

सम्बन्ध \( R^{-1} \) का प्रान्त (Domain of \( R^{-1} \)): \( R^{-1} \) के पहले घटकों का समुच्चय। (यह \( R \) का परिसर भी होता है).
प्रान्त \( R^{-1} = \{5, -5, 4, -4, 3, -3, 0\} \)
यहाँ, प्रान्त \( R \) और प्रान्त \( R^{-1} \) समान हैं, क्योंकि \( x^2+y^2=25 \) एक सममित सम्बन्ध है।
In simple words: हमें ऐसे पूर्णांकों \( (x, y) \) के जोड़े ढूंढने हैं जो \( x^2 + y^2 = 25 \) समीकरण को सही बनाते हैं। सभी ऐसे जोड़ों को \( R \) में लिखते हैं। \( R^{-1} \) पाने के लिए, हम बस \( R \) के हर जोड़े \( (x, y) \) को \( (y, x) \) में बदल देते हैं। 'प्रान्त' \( R \) के पहले नंबरों का सेट है, और 'प्रान्त' \( R^{-1} \) \( R^{-1} \) के पहले नंबरों का सेट है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, \( x \) के संभावित मानों को परीक्षण करके \( y \) के पूर्णांक मानों को ढूंढें। \( R^{-1} \) के लिए बस \( R \) के सभी क्रमित युग्मों को उलट दें। प्रान्त पहले घटकों का समुच्चय होता है।

Question 5. यदि सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय से वास्तविक संख्याओं के समुच्चय \( R \) में एक सम्बन्ध \( \Phi \) इस प्रकार परिभाषित किया जाए \( x \Phi y \iff |x| = y \) कारण सहित बताइए कि निम्नलिखित में से कौनसे सत्य अथवा असत्य हैं :
(i) \( (1 + i) \Phi 3 \)
(ii) \( 3 \Phi (-3) \)
(iii) \( (2 + 3i) \Phi 13 \)
(iv) \( (1 + i) \Phi 1 \)
Answer:
दिया गया सम्बन्ध है: \( x \Phi y \iff |x| = y \). यहाँ \( x \) एक सम्मिश्र संख्या है और \( y \) एक वास्तविक संख्या है।

(i) \( (1 + i) \Phi 3 \)
परिभाषा के अनुसार, \( x \Phi y \iff |x| = y \).
यहाँ \( x = 1 + i \) और \( y = 3 \).
हमें \( |1 + i| \) का मान ज्ञात करना है:
\( |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)
अब, हमें जाँच करनी है कि क्या \( \sqrt{2} = 3 \) है।
\( \sqrt{2} \approx 1.414 \), जो \( 3 \) के बराबर नहीं है।
\( \implies |1 + i| \neq 3 \)
इसलिए, कथन \( (1 + i) \Phi 3 \) असत्य है।

(ii) \( 3 \Phi (-3) \)
परिभाषा के अनुसार, \( x \Phi y \iff |x| = y \).
यहाँ \( x = 3 \) (जिसे \( 3 + 0i \) के रूप में सम्मिश्र संख्या माना जा सकता है) और \( y = -3 \).
हमें \( |3| \) का मान ज्ञात करना है:
\( |3| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \)
अब, हमें जाँच करनी है कि क्या \( 3 = -3 \) है।
\( 3 \neq -3 \)
इसलिए, कथन \( 3 \Phi (-3) \) असत्य है।

(iii) \( (2 + 3i) \Phi 13 \)
परिभाषा के अनुसार, \( x \Phi y \iff |x| = y \).
यहाँ \( x = 2 + 3i \) और \( y = 13 \).
हमें \( |2 + 3i| \) का मान ज्ञात करना है:
\( |2 + 3i| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \)
अब, हमें जाँच करनी है कि क्या \( \sqrt{13} = 13 \) है।
\( \sqrt{13} \approx 3.606 \), जो \( 13 \) के बराबर नहीं है।
\( \implies |2 + 3i| \neq 13 \)
इसलिए, कथन \( (2 + 3i) \Phi 13 \) असत्य है।

(iv) \( (1 + i) \Phi 1 \)
परिभाषा के अनुसार, \( x \Phi y \iff |x| = y \).
यहाँ \( x = 1 + i \) और \( y = 1 \).
हमें \( |1 + i| \) का मान ज्ञात करना है:
\( |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
अब, हमें जाँच करनी है कि क्या \( \sqrt{2} = 1 \) है।
\( \sqrt{2} \approx 1.414 \), जो \( 1 \) के बराबर नहीं है।
\( \implies |1 + i| \neq 1 \)
इसलिए, कथन \( (1 + i) \Phi 1 \) असत्य है।
In simple words: सम्बन्ध का मतलब है कि \( x \) का परिमाण (absolute value) \( y \) के बराबर होना चाहिए। हमें दिए गए हर जोड़े में \( x \) का परिमाण निकालना है, फिर देखना है कि क्या यह \( y \) के मान के बराबर है। यदि हाँ, तो कथन सत्य है, नहीं तो असत्य है।

🎯 Exam Tip: सम्मिश्र संख्या \( a + bi \) का परिमाण \( |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \) होता है। इस सूत्र का उपयोग करके \( |x| \) की गणना करें और दिए गए \( y \) से तुलना करें।

Question 6. यदि समुच्चय \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) से समुच्चय \( B = \{1, 4, 5\} \) में एक सम्बन्ध \( R \) "x < y" द्वारा परिभाषित किया जाए तो \( R \) को क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में व्यक्त कीजिए। \( R^{-1} \) भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
दिए गए समुच्चय हैं: \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) और \( B = \{1, 4, 5\} \)
सम्बन्ध \( R \) इस प्रकार परिभाषित है कि \( x < y \), जहाँ \( x \in A \) और \( y \in B \).

हम \( A \) के प्रत्येक तत्व \( x \) के लिए \( B \) में ऐसे तत्व \( y \) ढूंढते हैं जो \( x < y \) शर्त को पूरा करते हों:
1. जब \( x = 1 \): \( B \) में \( 1 < y \) के लिए \( y = 4, 5 \). युग्म: \( (1, 4), (1, 5) \).
2. जब \( x = 2 \): \( B \) में \( 2 < y \) के लिए \( y = 4, 5 \). युग्म: \( (2, 4), (2, 5) \).
3. जब \( x = 3 \): \( B \) में \( 3 < y \) के लिए \( y = 4, 5 \). युग्म: \( (3, 4), (3, 5) \).
4. जब \( x = 4 \): \( B \) में \( 4 < y \) के लिए \( y = 5 \). युग्म: \( (4, 5) \).
5. जब \( x = 5 \): \( B \) में \( 5 < y \) के लिए कोई \( y \) नहीं है।

इसलिए, सम्बन्ध \( R \) क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में है:
\( R = \{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)\} \)

सम्बन्ध \( R^{-1} \) ज्ञात करने के लिए, हम \( R \) के प्रत्येक क्रमित युग्म के घटकों को पलट देते हैं।
\( R^{-1} = \{(4, 1), (5, 1), (4, 2), (5, 2), (4, 3), (5, 3), (5, 4)\} \)
In simple words: हमें \( A \) से एक नंबर (x) और \( B \) से एक नंबर (y) चुनना है ताकि \( x \) हमेशा \( y \) से छोटा हो। ऐसे सभी जोड़ों को \( R \) में लिखते हैं। \( R^{-1} \) निकालने के लिए, बस हर जोड़े \( (x, y) \) को पलट कर \( (y, x) \) कर देते हैं।

🎯 Exam Tip: सम्बन्ध \( R \) में युग्म बनाते समय, सुनिश्चित करें कि \( x \) पहले समुच्चय से और \( y \) दूसरे समुच्चय से हो। \( R^{-1} \) ज्ञात करने के लिए, \( R \) के प्रत्येक क्रमित युग्म \((x, y)\) को \((y, x)\) में बदल दें।

Question 7. निम्न सम्बन्धों को क्रमित युग्मों के समुच्चयों के रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) \( R_1 \), समुच्चय \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) से समुच्चय \( B = \{1, 2, 3\} \) में \( x = 2y \) से परिभाषित सम्बन्ध है।
(ii) \( R_2 \), समुच्चय \( A = \{8, 9, 10, 11\} \) से समुच्चय \( B = \{5, 6, 7, 8\} \) में \( y = x - 2 \) से परिभाषित सम्बन्ध है।
(iii) \( R_3 \), समुच्चय \( A = \{0, 1, 2,......, 10\} \) में \( 2x + 3y = 12 \) से परिभाषित सम्बन्ध है।
(iv) \( R_4 \), समुच्चय \( A = \{5, 6, 7, 8\} \) से समुच्चय \( B = \{10, 12, 15, 16, 18\} \) में "x, y का भाजक" से परिभाषित है।
Answer:
(i) दिए गए समुच्चय हैं: \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) और \( B = \{1, 2, 3\} \)
सम्बन्ध \( R_1 \) इस प्रकार परिभाषित है कि \( x = 2y \), जहाँ \( x \in A \) और \( y \in B \).
हम \( B \) के प्रत्येक तत्व \( y \) के लिए \( x \) का मान ज्ञात करते हैं, फिर जाँचते हैं कि क्या \( x \in A \) है:
- यदि \( y = 1 \), तब \( x = 2(1) = 2 \). \( 2 \in A \). युग्म: \( (2, 1) \).
- यदि \( y = 2 \), तब \( x = 2(2) = 4 \). \( 4 \in A \). युग्म: \( (4, 2) \).
- यदि \( y = 3 \), तब \( x = 2(3) = 6 \). \( 6 \in A \). युग्m: \( (6, 3) \).
इसलिए, सम्बन्ध \( R_1 \) क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में है:
\( R_1 = \{(2, 1), (4, 2), (6, 3)\} \)

(ii) दिए गए समुच्चय हैं: \( A = \{8, 9, 10, 11\} \) और \( B = \{5, 6, 7, 8\} \)
सम्बन्ध \( R_2 \) इस प्रकार परिभाषित है कि \( y = x - 2 \), जहाँ \( x \in A \) और \( y \in B \).
हम \( A \) के प्रत्येक तत्व \( x \) के लिए \( y \) का मान ज्ञात करते हैं, फिर जाँचते हैं कि क्या \( y \in B \) है:
- यदि \( x = 8 \), तब \( y = 8 - 2 = 6 \). \( 6 \in B \). युग्म: \( (8, 6) \).
- यदि \( x = 9 \), तब \( y = 9 - 2 = 7 \). \( 7 \in B \). युग्म: \( (9, 7) \).
- यदि \( x = 10 \), तब \( y = 10 - 2 = 8 \). \( 8 \in B \). युग्म: \( (10, 8) \).
- यदि \( x = 11 \), तब \( y = 11 - 2 = 9 \). \( 9 \notin B \).
इसलिए, सम्बन्ध \( R_2 \) क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में है:
\( R_2 = \{(8, 6), (9, 7), (10, 8)\} \)

(iii) दिया गया समुच्चय है: \( A = \{0, 1, 2, ......, 10\} \)
सम्बन्ध \( R_3 \) इस प्रकार परिभाषित है कि \( 2x + 3y = 12 \), जहाँ \( x, y \in A \).
समीकरण से \( x \) को \( y \) के पदों में व्यक्त करते हैं: \( x = \frac{12 - 3y}{2} \)
हम \( A \) के प्रत्येक तत्व \( y \) के लिए \( x \) का मान ज्ञात करते हैं, फिर जाँचते हैं कि क्या \( x \in A \) है और एक पूर्णांक है:
- यदि \( y = 0 \), तब \( x = \frac{12 - 3(0)}{2} = \frac{12}{2} = 6 \). \( 6 \in A \). युग्म: \( (6, 0) \).
- यदि \( y = 1 \), तब \( x = \frac{12 - 3(1)}{2} = \frac{9}{2} \). यह पूर्णांक नहीं है।
- यदि \( y = 2 \), तब \( x = \frac{12 - 3(2)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). \( 3 \in A \). युग्म: \( (3, 2) \).
- यदि \( y = 3 \), तब \( x = \frac{12 - 3(3)}{2} = \frac{3}{2} \). यह पूर्णांक नहीं है।
- यदि \( y = 4 \), तब \( x = \frac{12 - 3(4)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \). \( 0 \in A \). युग्म: \( (0, 4) \).
- यदि \( y = 5 \), तब \( x = \frac{12 - 3(5)}{2} = \frac{-3}{2} \). यह \( A \) का सदस्य नहीं है (ऋणात्मक)।
\( y \ge 5 \) के लिए, \( x \) ऋणात्मक या \( A \) से बाहर होगा।
इसलिए, सम्बन्ध \( R_3 \) क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में है:
\( R_3 = \{(6, 0), (3, 2), (0, 4)\} \)

(iv) दिए गए समुच्चय हैं: \( A = \{5, 6, 7, 8\} \) और \( B = \{10, 12, 15, 16, 18\} \)
सम्बन्ध \( R_4 \) इस प्रकार परिभाषित है कि \( x, y \) का भाजक है (अर्थात् \( x \) से \( y \) पूर्णतः विभाजित होता है), जहाँ \( x \in A \) और \( y \in B \).
हम \( A \) के प्रत्येक तत्व \( x \) के लिए \( B \) में ऐसे तत्व \( y \) ढूंढते हैं जो \( y/x \) एक पूर्णांक हो:
- यदि \( x = 5 \): \( B \) में \( y \) जो 5 से विभाजित होता है: \( 10, 15 \). युग्म: \( (5, 10), (5, 15) \).
- यदि \( x = 6 \): \( B \) में \( y \) जो 6 से विभाजित होता है: \( 12, 18 \). युग्म: \( (6, 12), (6, 18) \).
- यदि \( x = 7 \): \( B \) में \( y \) जो 7 से विभाजित होता है: कोई नहीं।
- यदि \( x = 8 \): \( B \) में \( y \) जो 8 से विभाजित होता है: \( 16 \). युग्म: \( (8, 16) \).
इसलिए, सम्बन्ध \( R_4 \) क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में है:
\( R_4 = \{(5, 10), (5, 15), (6, 12), (6, 18), (8, 16)\} \)
In simple words: हमें हर भाग में दिए गए नियम के अनुसार \( x \) और \( y \) के जोड़े बनाने हैं। \( x \) पहले सेट से होगा और \( y \) दूसरे सेट से होगा, और वे नियम को पूरा करने चाहिए।

🎯 Exam Tip: सम्बन्धों को क्रमित युग्मों के रूप में व्यक्त करते समय, दिए गए नियमों का ध्यानपूर्वक पालन करें और सुनिश्चित करें कि \( x \) और \( y \) दोनों परिभाषित समुच्चयों के सदस्य हों।

Question 8. निम्न में से प्रत्येक सम्बन्ध का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए :
(i) \( R = \{(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 2), (4, 2)\} \)
(ii) \( R = \{(x, y) \mid x, y \in N ; x < y\} \)
(iii) \( R \), समुच्चय \( A = \{0, 1, 2, ......, 10\} \) में \( 2x + 3y = 12 \) से परिभाषित सम्बन्ध है।
Answer:
(i) दिया गया सम्बन्ध है: \( R = \{(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 2), (4, 2)\} \)
प्रतिलोम सम्बन्ध \( R^{-1} \) ज्ञात करने के लिए, हम \( R \) के प्रत्येक क्रमित युग्म के घटकों को पलट देते हैं।
\( R^{-1} = \{(3, 2), (4, 2), (3, 3), (2, 3), (2, 4)\} \)

(ii) दिया गया सम्बन्ध है: \( R = \{(x, y) \mid x, y \in N ; x < y\} \)
प्रतिलोम सम्बन्ध \( R^{-1} \) में, यदि \( (x, y) \in R \), तो \( (y, x) \in R^{-1} \).
सम्बन्ध \( R \) की शर्त \( x < y \) है। जब हम घटकों को पलटते हैं, तो यह \( y < x \) हो जाती है।
इसलिए, प्रतिलोम सम्बन्ध \( R^{-1} \) को नियम रूप में ऐसे लिखा जा सकता है:
\( R^{-1} = \{(y, x) \mid x, y \in N, x > y\} \)
(या, इसे \( R^{-1} = \{(x, y) \mid x, y \in N, y < x\} \) भी लिख सकते हैं, जहाँ हमने केवल अक्षरों को बदला है).

(iii) सम्बन्ध \( R \), समुच्चय \( A = \{0, 1, 2, ......, 10\} \) में \( 2x + 3y = 12 \) से परिभाषित है।
पहले हमें सम्बन्ध \( R \) को क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में लिखना होगा। (जैसा कि प्रश्न 7 (iii) में किया गया था).
\( x = \frac{12 - 3y}{2} \)
\( y \) के मानों के लिए \( x \in A \) के संगत मान ढूंढते हैं:
- यदि \( y = 0 \), तब \( x = 6 \). युग्म: \( (6, 0) \).
- यदि \( y = 2 \), तब \( x = 3 \). युग्म: \( (3, 2) \).
- यदि \( y = 4 \), तब \( x = 0 \). युग्म: \( (0, 4) \).
तो, सम्बन्ध \( R = \{(6, 0), (3, 2), (0, 4)\} \)
प्रतिलोम सम्बन्ध \( R^{-1} \) ज्ञात करने के लिए, हम \( R \) के प्रत्येक क्रमित युग्म के घटकों को पलट देते हैं।
\( R^{-1} = \{(0, 6), (2, 3), (4, 0)\} \)
In simple words: किसी सम्बन्ध का प्रतिलोम (उल्टा) ज्ञात करने के लिए, हमें उसके हर जोड़े \( (x, y) \) को पलट कर \( (y, x) \) कर देना होता है। यदि सम्बन्ध को नियम से बताया गया है, तो नियम में \( x \) और \( y \) की जगह बदल देते हैं।

🎯 Exam Tip: प्रतिलोम सम्बन्ध \((R^{-1})\) के लिए, \((x, y) \in R \) होने पर \((y, x) \in R^{-1}\) होता है। यदि सम्बन्ध नियम-रूप में दिया गया है, तो नियम में \(x\) और \(y\) के पदों को बदल दें।