RBSE Solutions Class 11 Maths Chapter 14 प्रायिकता Exercise 14.3

प्रश्न 1. घटना A की प्रायिकता \( \frac {2}{11} \) है तो घटना 'A नहीं' की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें पता है कि किसी घटना A के होने की प्रायिकता P(A) और उसके न होने की प्रायिकता P(A') का जोड़ हमेशा 1 होता है, यानी \( P(A) + P(A') = 1 \)। यहाँ, घटना A की प्रायिकता \( P(A) = \frac {2}{11} \) दी गई है। हमें 'घटना A नहीं' की प्रायिकता \( P(A') \) निकालनी है।
हम सूत्र में मान रखेंगे:
\( P(A') = 1 - P(A) \)
\( P(A') = 1 - \frac {2}{11} \)
\( P(A') = \frac {11-2}{11} \)
\( P(A') = \frac {9}{11} \)
तो, घटना 'A नहीं' की प्रायिकता \( \frac {9}{11} \) है। एक घटना के घटित न होने की प्रायिकता 1 में से उसके घटित होने की प्रायिकता घटाकर प्राप्त की जाती है।
In simple words: अगर कोई काम होने का मौका 2/11 है, तो उस काम के न होने का मौका 1 में से 2/11 घटाकर मिलेगा. इसका मतलब है 9/11.

🎯 Exam Tip: हमेशा याद रखें कि किसी घटना के होने और न होने की प्रायिकता का योगफल 1 होता है, यह प्रायिकता के बुनियादी नियमों में से एक है।

प्रश्न 2. ग्राम पंचायत में चार पुरुष व छः स्त्रियाँ सदस्य हैं। यदि एक समिति के लिए यादृच्छया एक सदस्य चुना जाता है, तो एक स्त्री के चुने जाने की कितनी सम्भावना है ?
Answer: ग्राम पंचायत में कुल सदस्य हैं: 4 पुरुष + 6 स्त्रियाँ = 10 सदस्य।
हमें एक समिति के लिए यादृच्छया एक सदस्य चुनना है और यह पता लगाना है कि वह सदस्य एक स्त्री हो।
कुल संभावित स्थितियाँ (कुल सदस्य) = 10
अनुकूल स्थितियाँ (स्त्रियों की संख्या) = 6
एक स्त्री के चुने जाने की प्रायिकता का सूत्र है:
\( P(\text{स्त्री}) = \frac{\text{अनुकूल स्थितियों की संख्या}}{\text{कुल स्थितियों की संख्या}} \)
\( P(\text{स्त्री}) = \frac {6}{10} \)
\( P(\text{स्त्री}) = \frac {3}{5} \)
तो, एक स्त्री के चुने जाने की प्रायिकता \( \frac {3}{5} \) है। इसका अर्थ है कि हर 5 में से 3 बार एक स्त्री को चुने जाने की संभावना है।
In simple words: पंचायत में 4 आदमी और 6 औरतें हैं, कुल 10 लोग. अगर एक आदमी को चुनना हो, तो औरत के चुने जाने का मौका 6/10 होगा, जिसे 3/5 भी कहते हैं.

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में, कुल संभावित परिणामों की संख्या और वांछित परिणामों की संख्या को ध्यान से पहचानें ताकि सही प्रायिकता निकाली जा सके।

प्रश्न 3. एक पासा उछाले जाने पर निम्नलिखित घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) एक अभाज्य संख्या का आना,
(ii) 1 या 1 से छोटी संख्या आना,
(iii) 6 से छोटी संख्या का आना।
Answer: जब एक पासा उछाला जाता है, तो कुल संभावित परिणाम {1, 2, 3, 4, 5, 6} होते हैं। इसलिए, कुल स्थितियों की संख्या = 6।

(i) **एक अभाज्य संख्या का आना:**
पासे पर अभाज्य संख्याएँ (जो केवल 1 और खुद से विभाजित होती हैं) हैं: {2, 3, 5}।
अनुकूल स्थितियों की संख्या = 3।
प्रायिकता \( P(\text{अभाज्य संख्या}) = \frac{\text{अनुकूल स्थितियों की संख्या}}{\text{कुल स्थितियों की संख्या}} = \frac {3}{6} = \frac {1}{2} \)

(ii) **1 या 1 से छोटी संख्या आना:**
पासे पर 1 या 1 से छोटी संख्या केवल {1} है।
अनुकूल स्थितियों की संख्या = 1।
प्रायिकता \( P(\text{1 या 1 से छोटी}) = \frac {1}{6} \)

(iii) **6 से छोटी संख्या का आना:**
पासे पर 6 से छोटी संख्याएँ हैं: {1, 2, 3, 4, 5}।
अनुकूल स्थितियों की संख्या = 5।
प्रायिकता \( P(\text{6 से छोटी}) = \frac {5}{6} \)
इस प्रकार, हम पासे के अलग-अलग परिणामों की प्रायिकताओं की गणना कर सकते हैं।
In simple words: जब एक पासा फेंका जाता है, तो कुल 6 नतीजे आ सकते हैं. (i) अभाज्य संख्या (2, 3, 5) आने का मौका 3/6 यानी 1/2 है. (ii) 1 या 1 से छोटी संख्या (सिर्फ 1) आने का मौका 1/6 है. (iii) 6 से छोटी संख्या (1, 2, 3, 4, 5) आने का मौका 5/6 है.

🎯 Exam Tip: पासे से संबंधित प्रश्नों में, सभी संभावित परिणामों (जैसे 1 से 6 तक) को सूचीबद्ध करें और फिर हर घटना के लिए अनुकूल परिणामों की पहचान करें।

प्रश्न 4. एक सिक्का चार बार उछाला जाता है। इन उछालों में से कम से कम तीन बार चित्त आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: जब एक सिक्का चार बार उछाला जाता है, तो हर उछाल में 2 संभावित परिणाम (चित्त या पट) होते हैं।
इसलिए, 4 उछालों में कुल संभावित परिणाम \( = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \)।
हमें कम से कम तीन बार चित्त (Head) आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। "कम से कम तीन बार चित्त" का मतलब है या तो 3 चित्त या 4 चित्त।
कम से कम तीन बार चित्त आने के अनुकूल तरीके निम्न हैं:
1. **3 चित्त और 1 पट (HHHT, HHTH, HTHH, THHH):** इसे \( \text{4C3} \) तरीकों से चुना जा सकता है, जो 4 के बराबर है।
2. **4 चित्त और 0 पट (HHHH):** इसे \( \text{4C4} \) तरीकों से चुना जा सकता है, जो 1 के बराबर है।
कुल अनुकूल स्थितियाँ \( = 4C3 + 4C4 = 4 + 1 = 5 \)।
अब, प्रायिकता का सूत्र है:
\( P(\text{कम से कम 3 चित्त}) = \frac{\text{अनुकूल स्थितियों की संख्या}}{\text{कुल स्थितियों की संख्या}} \)
\( P(\text{कम से कम 3 चित्त}) = \frac {5}{16} \)
तो, कम से कम तीन बार चित्त आने की प्रायिकता \( \frac {5}{16} \) है।
In simple words: जब एक सिक्का चार बार उछाला जाता है, तो 16 अलग-अलग नतीजे आ सकते हैं. अगर हमें कम से कम तीन बार हेड (चित्त) चाहिए, तो या तो 3 हेड या 4 हेड आ सकते हैं. ऐसे 5 तरीके हैं. तो, इसका मौका 5/16 होगा.

🎯 Exam Tip: "कम से कम" वाले प्रश्नों में, आपको दी गई संख्या से शुरू करके अधिकतम संभव संख्या तक के सभी मामलों को जोड़ना होता है।

प्रश्न 5. यदि एक सिक्के तथा एक पासे को एक साथ उछाला जाये, तो सिक्के पर चित्त तथा पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता क्या होगी ?
Answer: जब एक सिक्का और एक पासा एक साथ उछाला जाता है, तो कुल संभावित परिणाम निम्न होते हैं: {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}।
कुल स्थितियों की संख्या = 12।

हमें सिक्के पर चित्त आने और पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। ये दोनों घटनाएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं।

**घटना A: सिक्के पर चित्त (H) आना**
सिक्के पर चित्त आने की प्रायिकता \( P(A) = \frac {1}{2} \)।

**घटना B: पासे पर सम संख्या आना**
पासे पर सम संख्याएँ {2, 4, 6} होती हैं। कुल 3 सम संख्याएँ हैं।
कुल संभावित पासे के परिणाम = 6।
पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता \( P(B) = \frac {3}{6} = \frac {1}{2} \)।

चूँकि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, इसलिए दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता (गुणन प्रमेय से) होगी:
\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
\( P(A \cap B) = \frac {1}{2} \times \frac {1}{2} \)
\( P(A \cap B) = \frac {1}{4} \)
तो, सिक्के पर चित्त और पासे पर सम संख्या आने की प्रायिकता \( \frac {1}{4} \) है।
In simple words: सिक्का उछालने पर हेड आने का मौका 1/2 है, और पासा फेंकने पर सम संख्या आने का मौका भी 1/2 है. क्योंकि ये दोनों काम एक-दूसरे से जुड़े नहीं हैं, इसलिए दोनों के एक साथ होने का मौका इन दोनों मौकों को गुणा करके मिलेगा, जो कि 1/4 है.

🎯 Exam Tip: जब दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं, तो उनके एक साथ होने की प्रायिकता उन दोनों की अलग-अलग प्रायिकताओं को गुणा करके निकाली जाती है।

प्रश्न 6. 20 मनुष्यों की कम्पनी में 5 स्नातक हैं। यदि यादृच्छिक रूप में 3 मनुष्य चुने जाये तो क्या प्रायिकता है कि उनमें से एक स्नातक हैं।
Answer: कुल मनुष्य = 20
स्नातक मनुष्य = 5
गैर-स्नातक मनुष्य = 20 - 5 = 15

हमें 20 मनुष्यों में से 3 मनुष्यों को चुनना है। कुल 3 मनुष्य चुनने के तरीके \( = 20C3 \)
\( 20C3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 19 \times 6 = 1140 \)

अब, हमें प्रायिकता ज्ञात करनी है कि चुने गए 3 मनुष्यों में से कम से कम एक स्नातक हो। "कम से कम एक स्नातक" का अर्थ है:
1. एक स्नातक और दो गैर-स्नातक
2. दो स्नातक और एक गैर-स्नातक
3. तीन स्नातक और शून्य गैर-स्नातक

इन अनुकूल स्थितियों की गणना इस प्रकार होगी:
1. एक स्नातक और दो गैर-स्नातक चुनने के तरीके \( = 5C1 \times 15C2 \)
\( = 5 \times \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 5 \times 105 = 525 \)
2. दो स्नातक और एक गैर-स्नातक चुनने के तरीके \( = 5C2 \times 15C1 \)
\( = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 15 = 10 \times 15 = 150 \)
3. तीन स्नातक और शून्य गैर-स्नातक चुनने के तरीके \( = 5C3 \times 15C0 \)
\( = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \times 1 = 10 \times 1 = 10 \)

कुल अनुकूल स्थितियाँ \( = 525 + 150 + 10 = 685 \)

कम से कम एक स्नातक होने की प्रायिकता \( = \frac{\text{कुल अनुकूल स्थितियाँ}}{\text{कुल चुनने के तरीके}} = \frac {685}{1140} \)
\( = \frac {137 \times 5}{228 \times 5} = \frac {137}{228} \)
अतः, चुने गए 3 मनुष्यों में से कम से कम एक स्नातक होने की प्रायिकता \( \frac {137}{228} \) है। यह दर्शाती है कि चुने गए समूह में कम से कम एक स्नातक होने की काफी संभावना है।
In simple words: 20 लोगों की कंपनी में 5 ग्रेजुएट हैं. अगर हम 3 लोगों को चुनें, तो इस बात का क्या मौका है कि उनमें से कम से कम एक ग्रेजुएट हो? इसका मौका 137/228 है.

🎯 Exam Tip: "कम से कम" वाले प्रायिकता के प्रश्नों को हल करने का एक आसान तरीका यह है कि आप "कोई भी नहीं" की प्रायिकता की गणना करें और फिर उसे 1 में से घटा दें।

प्रश्न 7. किसी समस्या के हल करने के लिए A के विपक्ष में संयोगानुपात 4 : 3 है, B के पक्ष में संयोगानुपात 7 : 5 है। क्या सम्भावना है कि
(i) समस्या हल हो जायेगी ?
(ii) समस्या हल नहीं होगी?
(iii) केवल एक के द्वारा ही हल हो पायेगी ?
Answer: यहाँ, घटनाएँ स्वतंत्र मानी जाती हैं।

**A द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता:**
A के विपक्ष में संयोगानुपात 4 : 3 का मतलब है कि A के समस्या हल न करने की संभावना 4 है और हल करने की संभावना 3 है।
तो, \( P(A) = \frac {3}{4+3} = \frac {3}{7} \)
A के समस्या हल न करने की प्रायिकता \( P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac {3}{7} = \frac {4}{7} \)

**B द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता:**
B के पक्ष में संयोगानुपात 7 : 5 का मतलब है कि B के समस्या हल करने की संभावना 7 है और हल न करने की संभावना 5 है।
तो, \( P(B) = \frac {7}{7+5} = \frac {7}{12} \)
B के समस्या हल न करने की प्रायिकता \( P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac {7}{12} = \frac {5}{12} \)

(i) **समस्या हल हो जायेगी?**
समस्या तब हल होगी जब A हल करे या B हल करे या दोनों हल करें। इसे \( P(A \cup B) \) से दर्शाया जाता है।
\( P(A \cup B) = 1 - P(\text{कोई हल नहीं कर पाता}) \)
समस्या तब हल नहीं होगी जब A और B दोनों हल न कर पाएँ।
\( P(\text{कोई हल नहीं कर पाता}) = P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') \) (क्योंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं)
\( P(A' \cap B') = \frac {4}{7} \times \frac {5}{12} = \frac {20}{84} = \frac {5}{21} \)
तो, समस्या हल होने की प्रायिकता \( P(A \cup B) = 1 - \frac {5}{21} = \frac {21 - 5}{21} = \frac {16}{21} \)

(ii) **समस्या हल नहीं होगी?**
समस्या तब हल नहीं होगी जब A भी हल न करे और B भी हल न करे।
\( P(\text{समस्या हल नहीं होगी}) = P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac {4}{7} \times \frac {5}{12} = \frac {20}{84} = \frac {5}{21} \)

(iii) **केवल एक के द्वारा ही हल हो पायेगी?**
इसका मतलब है कि या तो A हल करे और B हल न करे, या B हल करे और A हल न करे।
\( P(\text{केवल एक द्वारा हल}) = P(A \cap B') + P(A' \cap B) \)
\( P(A \cap B') = P(A) \times P(B') = \frac {3}{7} \times \frac {5}{12} = \frac {15}{84} \)
\( P(A' \cap B) = P(A') \times P(B) = \frac {4}{7} \times \frac {7}{12} = \frac {28}{84} \)
\( P(\text{केवल एक द्वारा हल}) = \frac {15}{84} + \frac {28}{84} = \frac {43}{84} \)
इस प्रकार, हम विभिन्न परिस्थितियों में समस्या हल होने या न होने की प्रायिकता ज्ञात कर सकते हैं।
In simple words: A के समस्या न हल करने का मौका 4/7 है, और B के हल करने का मौका 7/12 है. (i) समस्या हल होने का मौका 16/21 है. (ii) समस्या हल न होने का मौका 5/21 है. (iii) केवल एक व्यक्ति द्वारा समस्या हल होने का मौका 43/84 है.

🎯 Exam Tip: "संयोगानुपात" (odds) को प्रायिकता में बदलते समय बहुत सावधानी बरतें। 'के विपक्ष में' और 'के पक्ष में' के अंतर को समझना महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 8. एक उपकरण तभी काम करेगा जबकि उसके तीनों घटक A, B और C काम कर रहे हों। एक वर्ष में A के खराब होने की प्रायिकता 0.15, B की 0.05 और C की 0.10 है। वर्ष के अन्त होने से पहले उपकरण के खराब होने की प्रायिकता क्या है ?
Answer: हमें घटकों A, B और C के खराब होने की प्रायिकताएँ दी गई हैं:
\( P(A_{\text{खराब}}) = 0.15 \)
\( P(B_{\text{खराब}}) = 0.05 \)
\( P(C_{\text{खराब}}) = 0.10 \)

चूँकि उपकरण तभी काम करता है जब उसके तीनों घटक A, B और C काम कर रहे हों, तो हमें पहले प्रत्येक घटक के सही ढंग से काम करने की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी:
\( P(A_{\text{सही}}) = 1 - P(A_{\text{खराब}}) = 1 - 0.15 = 0.85 \)
\( P(B_{\text{सही}}) = 1 - P(B_{\text{खराब}}) = 1 - 0.05 = 0.95 \)
\( P(C_{\text{सही}}) = 1 - P(C_{\text{खराब}}) = 1 - 0.10 = 0.90 \)

उपकरण के सही ढंग से काम करने की प्रायिकता (जब तीनों घटक स्वतंत्र रूप से काम करते हैं) होगी:
\( P(\text{उपकरण सही}) = P(A_{\text{सही}}) \times P(B_{\text{सही}}) \times P(C_{\text{सही}}) \)
\( P(\text{उपकरण सही}) = 0.85 \times 0.95 \times 0.90 \)
\( P(\text{उपकरण सही}) = 0.8075 \times 0.90 \)
\( P(\text{उपकरण सही}) = 0.72675 \)

वर्ष के अंत होने से पहले उपकरण के खराब होने की प्रायिकता होगी:
\( P(\text{उपकरण खराब}) = 1 - P(\text{उपकरण सही}) \)
\( P(\text{उपकरण खराब}) = 1 - 0.72675 \)
\( P(\text{उपकरण खराब}) = 0.27325 \)
तो, वर्ष के अंत होने से पहले उपकरण के खराब होने की प्रायिकता 0.27325 है। इसका मतलब है कि लगभग 27.325% संभावना है कि उपकरण खराब हो जाएगा।
In simple words: एक मशीन तब ही चलती है जब उसके तीनों हिस्से A, B और C सही हों. A के खराब होने का मौका 0.15 है, B का 0.05 और C का 0.10. तो, मशीन के एक साल के अंदर खराब होने का कुल मौका 0.27325 होगा.

🎯 Exam Tip: ऐसे 'सिस्टम' के प्रश्नों में, जहाँ सभी घटकों का काम करना आवश्यक हो, पहले हर घटक के सही होने की प्रायिकता निकालें, फिर उन्हें गुणा करके पूरे सिस्टम के सही होने की प्रायिकता ज्ञात करें।

प्रश्न 9. एक ताश की गड्डी में से दो बार में दो-दो पत्ते यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं। यदि पहली बार निकाले गये पत्ते गड्डी में वापस नहीं रखे जाते हैं, तो पहली बार में दो इक्के और दूसरी बार में दो राजा निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Answer: ताश की गड्डी में कुल 52 पत्ते होते हैं। इसमें 4 इक्के और 4 राजा होते हैं। क्योंकि निकाले गए पत्तों को वापस नहीं रखा जाता, यह निर्भर घटनाओं का मामला है।

**पहली बार दो इक्के निकालने की प्रायिकता (P1):**
कुल 52 पत्तों में से 2 पत्ते निकालने के कुल तरीके \( = 52C2 \)
\( 52C2 = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 26 \times 51 = 1326 \)
4 इक्कों में से 2 इक्के निकालने के अनुकूल तरीके \( = 4C2 \)
\( 4C2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \)
तो, पहली बार दो इक्के निकालने की प्रायिकता \( P1 = \frac {6}{1326} = \frac {1}{221} \)

**दूसरी बार दो राजा निकालने की प्रायिकता (P2):**
पहली बार 2 पत्ते (इक्के) निकाले जा चुके हैं और उन्हें वापस नहीं रखा गया है। इसलिए, गड्डी में अब \( 52 - 2 = 50 \) पत्ते बचे हैं।
4 राजाओं में से कोई राजा नहीं निकला है, इसलिए गड्डी में अभी भी 4 राजा मौजूद हैं।
अब 50 पत्तों में से 2 पत्ते निकालने के कुल तरीके \( = 50C2 \)
\( 50C2 = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 25 \times 49 = 1225 \)
4 राजाओं में से 2 राजा निकालने के अनुकूल तरीके \( = 4C2 = 6 \)
तो, दूसरी बार दो राजा निकालने की प्रायिकता \( P2 = \frac {6}{1225} \)

**कुल प्रायिकता:**
चूँकि ये निर्भर घटनाएँ हैं, कुल प्रायिकता P1 और P2 का गुणनफल होगा:
\( P(\text{दोनों घटनाएँ}) = P1 \times P2 \)
\( P(\text{दोनों घटनाएँ}) = \frac {6}{1326} \times \frac {6}{1225} \)
\( P(\text{दोनों घटनाएँ}) = \frac {1}{221} \times \frac {6}{1225} \)
\( P(\text{दोनों घटनाएँ}) = \frac {6}{270725} \)
तो, पहली बार दो इक्के और दूसरी बार दो राजा निकलने की कुल प्रायिकता \( \frac {6}{270725} \) है। यह एक बहुत ही कम संभावना वाली घटना है।
In simple words: ताश की गड्डी से पहले दो इक्के निकाले जाते हैं, फिर उन्हें वापस नहीं रखते. फिर दो राजा निकाले जाते हैं. पहले दो इक्के निकालने का मौका 6/1326 है. फिर बचे 50 पत्तों में से दो राजा निकालने का मौका 6/1225 है. कुल मौका इन दोनों को गुणा करके 6/270725 होगा.

🎯 Exam Tip: जब पत्ते या वस्तुएँ 'बिना प्रतिस्थापन' के निकाली जाती हैं, तो हर बार निकालने के बाद कुल वस्तुओं और अनुकूल वस्तुओं की संख्या बदल जाती है। इस बात का ध्यान रखें।

प्रश्न 11. कल्पना करें कि पुरुष व बच्चों का अनुपात 1: 2 है, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक परिवार में 5 बच्चों में
(i) सभी लड़के होंगे
(ii) उनमें से तीन लड़के एवं दो लड़कियाँ होंगी।
Answer: यहाँ, हम मान लेते हैं कि एक बच्चे के लड़का होने की प्रायिकता (P(B)) और लड़की होने की प्रायिकता (P(G)) बराबर हैं, यानी \( \frac {1}{2} \)। यह आमतौर पर बच्चे के लिंग जन्म की मानक प्रायिकता है।

(i) **सभी लड़के होंगे (5 लड़के):**
चूँकि प्रत्येक बच्चे का लिंग स्वतंत्र होता है, 5 बच्चों के सभी लड़के होने की प्रायिकता इन सभी की व्यक्तिगत प्रायिकताओं का गुणनफल होगी।
\( P(\text{सभी 5 लड़के}) = P(B) \times P(B) \times P(B) \times P(B) \times P(B) \)
\( P(\text{सभी 5 लड़के}) = \frac {1}{2} \times \frac {1}{2} \times \frac {1}{2} \times \frac {1}{2} \times \frac {1}{2} \)
\( P(\text{सभी 5 लड़के}) = \frac {1}{32} \)

(ii) **उनमें से तीन लड़के एवं दो लड़कियाँ होंगी:**
यह द्विपद प्रायिकता वितरण का मामला है। हमें 5 बच्चों में से 3 लड़के और 2 लड़कियाँ चुननी हैं।
तरीकों की संख्या \( = 5C3 \)
\( 5C3 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
प्रत्येक विशिष्ट क्रम (जैसे BBBGG) की प्रायिकता \( = (\frac {1}{2})^3 \times (\frac {1}{2})^2 = \frac {1}{8} \times \frac {1}{4} = \frac {1}{32} \)
तो, तीन लड़के और दो लड़कियाँ होने की कुल प्रायिकता \( = 5C3 \times (\frac {1}{2})^3 \times (\frac {1}{2})^2 \)
\( = 10 \times \frac {1}{32} = \frac {10}{32} = \frac {5}{16} \)
इस प्रकार, हम परिवार में बच्चों के लिंग संयोजन की प्रायिकता की गणना कर सकते हैं।
In simple words: मान लीजिए लड़का होने का मौका 1/2 है और लड़की होने का मौका भी 1/2 है. अगर एक परिवार में 5 बच्चे हैं: (i) सभी 5 लड़कों के होने का मौका 1/32 है. (ii) तीन लड़के और दो लड़कियों के होने का मौका 5/16 है.

🎯 Exam Tip: बच्चों के लिंग-निर्धारण के प्रश्नों में, प्रत्येक बच्चे के लिंग को स्वतंत्र घटना मानें, और यदि अनुपात नहीं दिया गया है तो लड़का/लड़की की प्रायिकता 1/2 लें।

प्रश्न 12. A एक निशाने को 6 में से 3 बार सही लगा सकता है, B, 4 में से 2 बार सही लगा सकता है तथा C, 4 में से एक बार सही लगा सकता है। वे एक साथ निशाना लगाते हैं। बताइये कि कम से कम दो व्यक्तियों द्वारा सही निशाना लगाये जाने की प्रायिकता क्या होगी?
Answer: पहले हम प्रत्येक व्यक्ति द्वारा निशाना सही लगाने और चूकने की प्रायिकता ज्ञात करते हैं:

**A के लिए:**
निशाना सही लगाने की प्रायिकता \( P(A) = \frac {3}{6} = \frac {1}{2} \)
निशाना चूकने की प्रायिकता \( P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac {1}{2} = \frac {1}{2} \)

**B के लिए:**
निशाना सही लगाने की प्रायिकता \( P(B) = \frac {2}{4} = \frac {1}{2} \)
निशाना चूकने की प्रायिकता \( P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac {1}{2} = \frac {1}{2} \)

**C के लिए:**
निशाना सही लगाने की प्रायिकता \( P(C) = \frac {1}{4} \)
निशाना चूकने की प्रायिकता \( P(C') = 1 - P(C) = 1 - \frac {1}{4} = \frac {3}{4} \)

हमें कम से कम दो व्यक्तियों द्वारा सही निशाना लगाने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। इसका मतलब है कि या तो ठीक दो व्यक्ति सही निशाना लगाएँ या तीनों व्यक्ति सही निशाना लगाएँ।
ये स्थितियाँ स्वतंत्र घटनाओं के रूप में इस प्रकार होंगी:
1. A और B सही, C गलत \( P(A \cap B \cap C') = P(A) \times P(B) \times P(C') = \frac {1}{2} \times \frac {1}{2} \times \frac {3}{4} = \frac {3}{16} \)
2. A और C सही, B गलत \( P(A \cap C \cap B') = P(A) \times P(C) \times P(B') = \frac {1}{2} \times \frac {1}{4} \times \frac {1}{2} = \frac {1}{16} \)
3. B और C सही, A गलत \( P(B \cap C \cap A') = P(B) \times P(C) \times P(A') = \frac {1}{2} \times \frac {1}{4} \times \frac {1}{2} = \frac {1}{16} \)
4. A, B और C तीनों सही \( P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C) = \frac {1}{2} \times \frac {1}{2} \times \frac {1}{4} = \frac {1}{16} \)

इन सभी संभावनाओं को जोड़ने पर हमें कम से कम दो व्यक्तियों द्वारा सही निशाना लगाने की कुल प्रायिकता मिलेगी:
\( P(\text{कम से कम दो सही}) = \frac {3}{16} + \frac {1}{16} + \frac {1}{16} + \frac {1}{16} \)
\( P(\text{कम से कम दो सही}) = \frac {3+1+1+1}{16} = \frac {6}{16} = \frac {3}{8} \)
तो, कम से कम दो व्यक्तियों द्वारा सही निशाना लगाने की प्रायिकता \( \frac {3}{8} \) है।
In simple words: A का निशाना सही लगाने का मौका 1/2, B का 1/2 और C का 1/4 है. अगर वे सब एक साथ निशाना लगाते हैं, तो कम से कम दो लोगों के सही निशाना लगाने का मौका 3/8 होगा. इसमें वो सारे तरीके जोड़े जाते हैं जब 2 लोग सही मारें या तीनों सही मारें.

🎯 Exam Tip: "कम से कम दो" वाले प्रायिकता के प्रश्नों में सभी संभावित संयोजनों को ध्यान से सूचीबद्ध करें जहाँ दो या अधिक घटनाएँ होती हैं, और फिर उनकी प्रायिकताओं को जोड़ दें।