RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ऊँचाई और दूरी

विविध प्रश्नमाला 8

Question 1. एक ऊर्ध्वाधर खम्भे की परछाईं, खम्भे की ऊँचाई के बराबर है, तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा
(a) 45°
(b) 30°
(c) 60°
(d) 50°
Answer: (a) 45°
In simple words: When the shadow of a vertical pole is equal to its height, the angle of elevation of the sun is 45 degrees. This is because the triangle formed by the pole, its shadow, and the sun's ray is a right-angled isosceles triangle.

🎯 Exam Tip: Remember that if the height and base (shadow length) are equal, the angle of elevation is always 45° as \( \tan \theta = \frac{\text{height}}{\text{base}} \).

Question 2. यदि एक मीनार के पाद बिन्दु से 100 मीटर की दूरी से उसके शिखर का उन्नयन कोण 60° है, तो मीनार की ऊँचाई है-
(a) \( 100\sqrt{3} \) मीटर
(b) 100 मीटर
(c) \( 50\sqrt{3} \) मीटर
(d) \( \frac{200}{\sqrt{3}} \) मीटर
Answer: (a) \( 100\sqrt{3} \) मीटर
In simple words: If you are 100 meters away from the base of a tower and look up at its top at a 60-degree angle, the tower's height is found by multiplying the distance by \( \tan(60^\circ) \). This helps find the height using simple trigonometry.

🎯 Exam Tip: For problems involving height and distance, always draw a right-angled triangle and use the tangent function (\( \tan \theta = \frac{\text{perpendicular}}{\text{base}} \)) to relate the angle of elevation, height, and distance.

Question 3. 15 मीटर लम्बी एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के शिखर तक पहुँचती है। यदि यह सीढ़ी दीवार के साथ 60° का कोण बनाती है, तो दीवार की ऊँचाई है
(a) \( 15\sqrt{3} \) मीटर
(b) \( \frac{15\sqrt{3}}{2} \) मीटर
(c) \( \frac{15}{2} \) मीटर
(d) 15 मीटर
Answer: (c) \( \frac{15}{2} \) मीटर
In simple words: When a 15-meter ladder leans against a wall and makes a 60-degree angle with the wall, we use the cosine function to find the height of the wall. Cosine relates the adjacent side (wall height) to the hypotenuse (ladder length).

🎯 Exam Tip: Always be careful to identify which angle is given (with the ground or with the wall) and use the correct trigonometric ratio (sine, cosine, or tangent) accordingly.

Question 4. 10 मीटर ऊँची मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिन्दु का अवनमन कोण 30° है। बिन्दु की मीनार के आधार से दूरी है-
(a) \( 10\sqrt{3} \) मीटर
(b) \( \frac{10}{\sqrt{3}} \) मीटर
Answer: (a) \( 10\sqrt{3} \) मीटर
In simple words: If a 10-meter tall tower has a 30-degree angle of depression from its top to a point on the ground, the distance from the base of the tower to that point is \( 10\sqrt{3} \) meters. The angle of depression is equal to the angle of elevation from the point.

🎯 Exam Tip: Remember that the angle of depression from the top of an object to a point on the ground is equal to the angle of elevation from that point to the top of the object. This helps simplify calculations.

Question 5. लम्बाई 150 मीटर हो तो नदी की चौड़ाई होगी-
(a) 75 मीटर
(b) \( 50\sqrt{2} \) मीटर
(c) 150 मीटर
(d) \( 75\sqrt{2} \) मीटर
Answer: (d) \( 75\sqrt{2} \) मीटर
In simple words: Without the full question, it's hard to explain, but this answer typically comes from a geometry problem involving angles and lengths to find the width of a river. It often uses trigonometric ratios.

🎯 Exam Tip: Always make sure to read the full question text, including any diagrams or context, as even a small missing detail can change the entire solution approach.

Question 6. दो खम्भों के शीर्ष, जिनकी ऊँचाई 20 मीटर तथा 14 मीटर है, एक तार से जुड़े हुए हैं। यदि तार क्षैतिज रेखा के साथ 30° का कोण बनाता है, तो तार की लम्बाई है
(a) 12 मीटर
(b) 10 मीटर
(c) 8 मीटर
(d) 6 मीटर
Answer: (a) 12 मीटर
In simple words: Imagine two poles of different heights, connected at the top by a wire. If the wire slopes up at a 30-degree angle from the shorter pole, its length can be found using trigonometry. The difference in pole heights creates a right-angled triangle, and the sine function helps us find the wire's length.

🎯 Exam Tip: When dealing with two objects of different heights connected by a wire or string, always consider the height difference as the perpendicular side of a right-angled triangle formed with the horizontal distance and the connecting wire.

Question 7. यदि किसी मीनार के आधार से a तथा b(a > b) दूरी पर उसी सरल रेखा पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° व 60° हों तो मीनार की ऊँचाई है-
(a) \( \sqrt{a+b} \)
(b) \( \sqrt{\frac{a}{b}} \)
(c) \( \sqrt{ab} \)
(d) \( \sqrt{\frac{b}{a}} \)
Answer: (c) \( \sqrt{ab} \)
In simple words: When two points on the same line from the base of a tower have angles of elevation that add up to 90 degrees (like 30 and 60), the height of the tower is the square root of the product of their distances from the base. This is a special property for complementary angles.

🎯 Exam Tip: Remember the property that if the angles of elevation from two points at distances x and y from the base of a tower are complementary (i.e., \( \theta \) and \( 90^\circ - \theta \)), then the height of the tower is given by \( h = \sqrt{xy} \).

Question 8. 25 मीटर ऊँचे एक स्तम्भ के शीर्ष से एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण तथा मीनार के पाद का अवनमन कोण समान हो तो मीनार की ऊँचाई है-
(a) 25 मीटर
(b) 100 मीटर
(c) 75 मीटर
(d) 50 मीटर
Answer: (d) 50 मीटर
In simple words: When you stand on top of a 25-meter pillar and look up at a tower's top and down at its base with the same angle, it means the tower is exactly twice as tall as the pillar. This geometric relationship helps us find the tower's height easily.

🎯 Exam Tip: If the angle of elevation to the top of a tower and the angle of depression to its base from a point on top of another object (like a pillar) are equal, the height of the tower is double the height of that object.

Question 9. एक ऊर्ध्वाधर छड़ की लम्बाई तथा इसकी छाया की लम्बाई का अनुपात 1 : \( \sqrt{3} \) हो तो सूर्य का उन्नयन कोण है
(a) 30°
(b) 45°
Answer: (a) 30°
In simple words: If a vertical rod's height compared to its shadow is 1 to \( \sqrt{3} \), the sun's angle above the horizon is 30 degrees. This is a common trigonometric ratio for tangent.

🎯 Exam Tip: Recognize common trigonometric ratios: if \( \tan \theta = 1 \), then \( \theta = 45^\circ \); if \( \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \), then \( \theta = 30^\circ \); if \( \tan \theta = \sqrt{3} \), then \( \theta = 60^\circ \).

Question 10. तो पहाड़ी की ऊँचाई है-
(a) \( 500\sqrt{3} \) मीटर
(b) \( \frac{500}{\sqrt{3}} \) मीटर
(c) \( 250\sqrt{3} \) मीटर
(d) \( \frac{250}{\sqrt{3}} \) मीटर
Answer: (c) \( 250\sqrt{3} \) मीटर
In simple words: This question asks for the height of a hill. The answer \( 250\sqrt{3} \) meters suggests it's a trigonometry problem, likely using angles of elevation or depression to calculate the unknown height.

🎯 Exam Tip: When parts of the question are missing, carefully analyze the options and the context to infer the type of problem. For height and distance, the trigonometric ratios are key.

Question 11. एक मीनार क्षैतिज समतल पर ऊर्ध्वाधर खडी है। यदि सूर्य का उन्नयन कोण 30° हो और मीनार की छाया की लम्बाई 45 मीटर हो तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना कि मीनार की ऊँचाई PR \( = h \) मीटर है।
तथा मीनार की छाया QR की लम्बाई 45 मीटर है तथा सूर्य का उन्नयन कोण \( \angle RQP = 30^\circ \) है।
एक समकोण त्रिभुज PQR में, जहाँ P मीनार का शीर्ष और R आधार है:
\( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{PR}{QR} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{h}{45} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{45} \)
अब, क्रॉस-गुणा करने पर:
\( \implies \sqrt{3} \times h = 45 \)
\( \implies h = \frac{45}{\sqrt{3}} \)
हर का परिमेयकरण (Rationalizing the denominator) करने पर:
\( \implies h = \frac{45 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \)
\( \implies h = \frac{45\sqrt{3}}{3} \)
\( \implies h = 15\sqrt{3} \) मीटर
इसलिए, मीनार की ऊँचाई \( 15\sqrt{3} \) मीटर है।
In simple words: We use the tangent function to find the height of the tower. With the shadow length and the sun's angle, we can set up an equation and solve for the height. This shows how trigonometry helps measure heights indirectly.

🎯 Exam Tip: Always make sure to rationalize the denominator if your answer contains a square root in the bottom part of a fraction. This is a standard practice for simplifying expressions.

Question 12. आँधी के कारण एक वृक्ष का ऊपरी भाग टूटकर क्षैतिज तल पर 60° का कोण बनाता है। वृक्ष का शिखर से 10 मीटर की दूरी पर मिलता है। टूटने से पहले वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (\sqrt{3} = 1.732)
Answer:
माना कि वृक्ष की टूटने से पहले की कुल ऊँचाई BD \( = h \) मीटर थी।
वृक्ष का टूटा हुआ भाग AC है और खड़ा भाग AB है।
क्षैतिज तल पर बिन्दु C से आधार B की दूरी 10 मीटर है।
उन्नयन कोण \( \angle ACB = 60^\circ \) है।
एक समकोण त्रिभुज ABC में:
\( \tan 60^\circ = \frac{AB}{BC} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{h_1}{10} \)
\( \implies h_1 = 10\sqrt{3} \) मीटर (यह वृक्ष का खड़ा भाग है).
अब, टूटे हुए भाग की लम्बाई (हाइपोटेनस AC \( = h_2 \)) ज्ञात करते हैं:
\( \cos 60^\circ = \frac{BC}{AC} \)
\( \implies \frac{1}{2} = \frac{10}{h_2} \)
\( \implies h_2 = 2 \times 10 = 20 \) मीटर (यह वृक्ष का टूटा हुआ भाग है).
वृक्ष की कुल ऊँचाई टूटे हुए भाग और खड़े भाग का योग है:
कुल ऊँचाई \( h = h_1 + h_2 \)
\( \implies h = 10\sqrt{3} + 20 \)
\( \implies h = 10 \times 1.732 + 20 \)
\( \implies h = 17.32 + 20 \)
\( \implies h = 37.32 \) मीटर
इसलिए, टूटने से पहले वृक्ष की कुल ऊँचाई 37.32 मीटर थी।
In simple words: When a tree breaks and its top touches the ground, we can find its original height. We use trigonometry to calculate the height of the standing part and the length of the broken part, then add them together. This helps us measure objects even when they are damaged.

🎯 Exam Tip: For problems involving broken trees or poles, always identify the standing part and the broken part (which forms the hypotenuse) and then apply trigonometric ratios to each part to find their lengths before adding them for the total height.

Question 13. किसी अपूर्ण मीनार के आधार से 120 मीटर दूर किसी बिन्दु से। मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। ज्ञात कीजिए कि मीनार को और कितना ऊँचा बनाया जाये जिससे उसी स्थान पर उसका उन्नयन कोण 60° हो।
Answer:
माना कि अपूर्ण मीनार की वर्तमान ऊँचाई AB \( = h_1 \) है।
माना कि मीनार को और ऊँचा करने के बाद कुल ऊँचाई DC \( = h \) हो जाती है।
बिन्दु A से मीनार के आधार B तक की दूरी 120 मीटर है।
प्रारंभिक उन्नयन कोण \( \angle CAB = 30^\circ \) है।
बढ़ाने के बाद नया उन्नयन कोण \( \angle DAB = 60^\circ \) हो जाता है।
एक समकोण त्रिभुज ABC में:
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{AC} = \frac{h_1}{120} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h_1}{120} \)
\( \implies \sqrt{3} \times h_1 = 120 \)
\( \implies h_1 = \frac{120}{\sqrt{3}} \)
हर का परिमेयकरण करने पर:
\( \implies h_1 = \frac{120 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{120\sqrt{3}}{3} = 40\sqrt{3} \)
\( \implies h_1 = 40 \times 1.732 \)
\( \implies h_1 = 69.28 \) मीटर (i)
अब, बड़े हुए मीनार के लिए समकोण त्रिभुज ADC में:
\( \tan 60^\circ = \frac{DC}{AC} = \frac{h}{120} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{h}{120} \)
\( \implies h = 120\sqrt{3} \)
\( \implies h = 120 \times 1.732 \)
\( \implies h = 207.84 \) मीटर (ii)
मीनार को और ऊँचा बनाया जाने वाली ऊँचाई \( h_2 = h - h_1 \) होगी।
\( \implies h_2 = 207.84 - 69.28 \)
\( \implies h_2 = 138.56 \) मीटर
अतः, मीनार को 138.56 मीटर तक और ऊँचा किया जाना चाहिये।
In simple words: This problem shows how much more a tower needs to be built to change the angle of elevation from one point on the ground. We calculate the initial and final heights using trigonometry and then find the difference to get the required extra height. This is useful in construction planning.

🎯 Exam Tip: When dealing with incomplete structures or changes in height, clearly define the initial and final heights and use separate trigonometric equations for each scenario. The difference between these heights will give the required extension.

Question 14. मीनार के आधार B से 100 मीटर की दूरी पर स्थित C से मीनार के शिखर को उन्नयन कोण 30° है। तब \( \angle BCA = 30^\circ \) है।
Answer:
माना कि मीनार AB की ऊँचाई \( h \) मीटर है।
मीनार के आधार B से बिन्दु C तक की दूरी 100 मीटर है।
बिन्दु C से मीनार के शिखर A का उन्नयन कोण \( \angle BCA = 30^\circ \) है।
एक समकोण त्रिभुज ABC में:
\( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC} \)
\( \implies \tan 30^\circ = \frac{h}{100} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{100} \)
\( \implies \sqrt{3} \times h = 100 \)
\( \implies h = \frac{100}{\sqrt{3}} \)
हर का परिमेयकरण करने पर:
\( \implies h = \frac{100 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{100\sqrt{3}}{3} \)
\( \implies h = \frac{100 \times 1.732}{3} = \frac{173.2}{3} \)
\( \implies h = 57.73 \) मीटर
अतः, मीनार की ऊँचाई 57.73 मीटर है।
In simple words: To find the height of a tower when you know the distance from its base and the angle of elevation, use the tangent function. This mathematical tool helps us measure tall structures without needing to climb them.

🎯 Exam Tip: Always draw a clear diagram for height and distance problems. Label the known values (angles, distances) and the unknown value (height or distance) to easily set up the correct trigonometric equation.

Question 15. किसी स्तम्भ की चोटी का उन्नयन कोण समतल पर स्थित एक बिन्दु से 15° है। स्तम्भ की ओर 100 मीटर चलने पर उन्नयन कोण 30° हो जाता है, तो स्तम्भ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (जहाँ tan 15 = 2 - \( \sqrt{3} \) है।)
Answer:
माना कि स्तम्भ की ऊँचाई AB \( = h \) मीटर है।
माना कि प्रारंभिक बिन्दु D है, और 100 मीटर चलने के बाद बिन्दु C पर पहुँचते हैं।
\( CD = 100 \) मीटर।
प्रारंभिक उन्नयन कोण \( \angle ADB = 15^\circ \) है।
100 मीटर चलने के बाद उन्नयन कोण \( \angle ACB = 30^\circ \) हो जाता है।
एक समकोण त्रिभुज ABC में:
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x} \)
\( \implies x = h\sqrt{3} \) (i)
अब, समकोण त्रिभुज ABD में:
\( \tan 15^\circ = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{100+x} \)
\( \implies 2 - \sqrt{3} = \frac{h}{100+x} \) (दिया गया है)
समीकरण (i) से \( x \) का मान रखने पर:
\( 2 - \sqrt{3} = \frac{h}{100+h\sqrt{3}} \)
\( \implies h = (2 - \sqrt{3})(100 + h\sqrt{3}) \)
\( \implies h = 200 + 2h\sqrt{3} - 100\sqrt{3} - h(\sqrt{3})^2 \)
\( \implies h = 200 + 2h\sqrt{3} - 100\sqrt{3} - 3h \)
\( \implies h + 3h - 2h\sqrt{3} = 200 - 100\sqrt{3} \)
\( \implies 4h - 2h\sqrt{3} = 100(2 - \sqrt{3}) \)
\( \implies 2h(2 - \sqrt{3}) = 100(2 - \sqrt{3}) \)
\( \implies 2h = 100 \)
\( \implies h = 50 \) मीटर
अतः, स्तम्भ की ऊँचाई 50 मीटर है।
In simple words: When you walk closer to an object and the angle of elevation changes, you can use two trigonometric equations to find its height. By solving these equations together, we can find unknown distances and heights, even if we move.

🎯 Exam Tip: For problems involving changes in the angle of elevation due to movement, set up two right-angled triangles and two trigonometric equations. Solve these simultaneous equations to find the unknown height or distance.

Question 16. एक समतल जमीन पर खडी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मीटर अधिक लम्बी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नतांश कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना कि मीनार की ऊँचाई AB \( = h \) मीटर है।
जब उन्नयन कोण 60° है, तो छाया की लम्बाई BC \( = x \) मीटर है।
जब उन्नयन कोण 30° हो जाता है, तो छाया की लम्बाई BD \( = (x+40) \) मीटर है।
एक समकोण त्रिभुज ABC में (जब उन्नयन कोण 60° है):
\( \tan 60^\circ = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \)
\( \implies h = x\sqrt{3} \) (i)
अब, समकोण त्रिभुज ABD में (जब उन्नयन कोण 30° है):
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{x+40} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+40} \)
\( \implies x+40 = h\sqrt{3} \) (ii)
समीकरण (i) से \( h \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( x+40 = (x\sqrt{3})\sqrt{3} \)
\( \implies x+40 = 3x \)
\( \implies 40 = 3x - x \)
\( \implies 40 = 2x \)
\( \implies x = 20 \) मीटर
अब, \( h = x\sqrt{3} \) में \( x \) का मान रखने पर:
\( h = 20\sqrt{3} \)
\( \implies h = 20 \times 1.732 \)
\( \implies h = 34.64 \) मीटर
अतः, मीनार की ऊँचाई 34.64 मीटर है।
In simple words: This problem shows how the length of a shadow changes when the sun's angle changes. By using two angles and two related shadow lengths, we can set up and solve equations to find the height of the tower. This helps us understand how shadows are related to the sun's position.

🎯 Exam Tip: When a problem involves two different angles of elevation or depression for the same object, create two right-angled triangles and form two equations. Solve these equations simultaneously to find the unknown height or distance.

Question 17. समुद्र तल से 60 मीटर ऊँचे लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° व 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो जहाजों के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना कि PQ एक लाइट हाउस की ऊँचाई है, जहाँ PQ \( = 60 \) मीटर।
माना कि O और R दो जहाजों की स्थितियाँ हैं जो लाइट हाउस के एक ही ओर हैं।
प्रेक्षक P पर है।
जहाज R का अवनमन कोण \( \angle RPQ = 45^\circ \) है, तो \( \angle PRQ = 45^\circ \) (एकांतर कोण).
जहाज O का अवनमन कोण \( \angle OPQ = 30^\circ \) है, तो \( \angle POQ = 30^\circ \) (एकांतर कोण).
माना कि QR \( = x_2 \) मीटर है और OR \( = x_1 \) मीटर है।
जहाजों के बीच की दूरी \( = x_1 \) मीटर है।
अब, समकोण त्रिभुज PQR में:
\( \tan 45^\circ = \frac{PQ}{QR} = \frac{60}{x_2} \)
\( \implies 1 = \frac{60}{x_2} \)
\( \implies x_2 = 60 \) मीटर (यह पहले जहाज की लाइट हाउस से दूरी है).
अब, समकोण त्रिभुज PQO में:
\( \tan 30^\circ = \frac{PQ}{OQ} = \frac{60}{OR+RQ} = \frac{60}{x_1+x_2} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60}{x_1+x_2} \)
\( \implies x_1+x_2 = 60\sqrt{3} \)
समीकरण से \( x_2 \) का मान रखने पर:
\( x_1 + 60 = 60\sqrt{3} \)
\( \implies x_1 = 60\sqrt{3} - 60 \)
\( \implies x_1 = 60(\sqrt{3} - 1) \)
\( \implies x_1 = 60(1.732 - 1) \)
\( \implies x_1 = 60 \times 0.732 \)
\( \implies x_1 = 43.92 \) मीटर
अतः, दोनों जहाजों के बीच की दूरी 43.92 मीटर है।
In simple words: To find the distance between two ships seen from a lighthouse, we use angles of depression and trigonometry. By creating two right-angled triangles, we can calculate the distance of each ship from the lighthouse and then find the difference to get the distance between them. This helps in navigation.

🎯 Exam Tip: When objects are on the same side of the observation point, you'll often subtract distances. If they are on opposite sides, you'll add distances. Always convert angles of depression to angles of elevation for easier triangle calculations.

Question 18. 1.5 मीटर लम्बा एक लड़का 30 मीटर ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा हो जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है?
Answer:
माना कि भवन की कुल ऊँचाई ED \( = 30 \) मीटर है।
लड़के की ऊँचाई EC \( = 1.5 \) मीटर है।
लड़के की आँख का स्तर भवन से \( DE - EC = 30 - 1.5 = 28.5 \) मीटर की ऊँचाई पर है। इसे DC कहेंगे।
प्रारंभिक स्थिति में लड़के की आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण \( \angle DAC = 30^\circ \) है।
कुछ दूरी चलने के बाद, नया उन्नयन कोण \( \angle DBC = 60^\circ \) हो जाता है।
माना कि लड़का भवन से \( x+y \) दूरी पर खड़ा था और \( x \) दूरी चलकर \( y \) दूरी पर पहुँच गया।
समकोण त्रिभुज BCD में:
\( \tan 60^\circ = \frac{DC}{BC} = \frac{28.5}{y} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{28.5}{y} \)
\( \implies y = \frac{28.5}{\sqrt{3}} \)
हर का परिमेयकरण करने पर:
\( \implies y = \frac{28.5\sqrt{3}}{3} = 9.5\sqrt{3} \) (i)
अब, समकोण त्रिभुज ACD में:
\( \tan 30^\circ = \frac{DC}{AC} = \frac{28.5}{x+y} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{28.5}{x+y} \)
\( \implies x+y = 28.5\sqrt{3} \) (ii)
समीकरण (i) से \( y \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( x + 9.5\sqrt{3} = 28.5\sqrt{3} \)
\( \implies x = 28.5\sqrt{3} - 9.5\sqrt{3} \)
\( \implies x = (28.5 - 9.5)\sqrt{3} \)
\( \implies x = 19\sqrt{3} \) मीटर
अतः, लड़का भवन की ओर \( 19\sqrt{3} \) मीटर दूरी तक चलकर गया है।
In simple words: This problem involves a boy moving towards a building, causing his observation angle to change. We adjust for the boy's height and use trigonometry twice to find the distances from two different points. The difference between these distances tells us how far the boy walked.

🎯 Exam Tip: Always account for the observer's height when calculating angles of elevation to the top of an object. The height for trigonometric calculations should be from the observer's eye level to the object's top.

Question 19. 7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद (Foot) का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना कि AE एक भवन की ऊँचाई है, जहाँ AE \( = 7 \) मीटर।
माना कि BD एक टॉवर की ऊँचाई है।
भवन के शिखर E से टॉवर के शिखर D का उन्नयन कोण \( \angle DEC = 60^\circ \) है।
भवन के शिखर E से टॉवर के पाद B का अवनमन कोण \( \angle XEB = 45^\circ \) है, जहाँ EX क्षैतिज रेखा है।
चूँकि EX और AB समानांतर हैं, \( \angle EBA = \angle XEB = 45^\circ \) (एकांतर कोण).
समकोण त्रिभुज EAB में (जहाँ E पर कोण 45° है):
\( \tan 45^\circ = \frac{AE}{AB} \)
\( \implies 1 = \frac{7}{AB} \)
\( \implies AB = 7 \) मीटर
अब, चूँकि AB \( = EC \), तो EC \( = 7 \) मीटर।
समकोण त्रिभुज DEC में:
\( \tan 60^\circ = \frac{DC}{EC} \)
\( \implies \sqrt{3} = \frac{DC}{7} \)
\( \implies DC = 7\sqrt{3} \) मीटर
टॉवर की कुल ऊँचाई BD \( = BC + CD \) है।
चूँकि BC \( = AE = 7 \) मीटर है।
तो, BD \( = 7 + 7\sqrt{3} = 7(1 + \sqrt{3}) \)
\( \implies BD = 7(1 + 1.732) \)
\( \implies BD = 7(2.732) \)
\( \implies BD = 19.124 \) मीटर
अतः, टॉवर की ऊँचाई 19.124 मीटर है।
In simple words: When observing a tower from a building, we use both angles of elevation and depression to find its total height. We first calculate the horizontal distance using the depression angle, then use the elevation angle to find the height above the building. Adding these parts gives the tower's full height.

🎯 Exam Tip: When angles of elevation and depression are given from the same point, draw a horizontal line through that point. This creates two right-angled triangles that share a common side (the horizontal distance), allowing for easy calculation.

Question 20. एक पर्वत के शिखर से पूर्व की ओर स्थित दो बिन्दुओं से शिखर के अवनमन कोण 30° वे 45° हैं। यदि बिन्दुओं के बीच की दूरी 1 किमी. हो तो पर्वत की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना कि RS पर्वत की ऊँचाई \( = h \) किमी. है।
माना कि P और Q दो बिन्दु हैं जो पर्वत के पूर्व में स्थित हैं।
बिन्दुओं के बीच की दूरी \( PQ = 1 \) किमी. है।
बिन्दु P से पर्वत के शिखर R का अवनमन कोण \( \angle PRS = 30^\circ \) है, तो \( \angle RPS = 30^\circ \) (एकांतर कोण).
बिन्दु Q से पर्वत के शिखर R का अवनमन कोण \( \angle QRS = 45^\circ \) है, तो \( \angle RQS = 45^\circ \) (एकांतर कोण).
माना कि QS \( = x \) किमी. है। तब PS \( = x+1 \) किमी. होगा।
एक समकोण त्रिभुज RSQ में:
\( \tan 45^\circ = \frac{RS}{QS} = \frac{h}{x} \)
\( \implies 1 = \frac{h}{x} \)
\( \implies h = x \) (i)
अब, समकोण त्रिभुज RSP में:
\( \tan 30^\circ = \frac{RS}{PS} = \frac{h}{x+1} \)
\( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+1} \)
\( \implies x+1 = h\sqrt{3} \) (ii)
समीकरण (i) से \( x = h \) का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
\( h+1 = h\sqrt{3} \)
\( \implies 1 = h\sqrt{3} - h \)
\( \implies 1 = h(\sqrt{3} - 1) \)
\( \implies h = \frac{1}{\sqrt{3} - 1} \)
हर का परिमेयकरण करने पर:
\( \implies h = \frac{1}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} \)
\( \implies h = \frac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} \)
\( \implies h = \frac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \)
\( \implies h = \frac{1.732 + 1}{2} = \frac{2.732}{2} \)
\( \implies h = 1.366 \) किमी.
अतः, पर्वत की ऊँचाई 1.366 किमी. है।
In simple words: To find the height of a mountain from two points on the ground, we use two angles of depression and the distance between the points. By setting up a system of equations, we can calculate the unknown height. This method helps in surveying and mapping.

🎯 Exam Tip: Always remember to rationalize the denominator if your final answer has a radical in the denominator. This ensures the answer is in its simplest and most accepted form.

Question 22. एक नदी के पुल के एक बिन्दु से नदी के सम्मुख किनारों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि पुल किनारों से 4 मीटर की ऊँचाई पर हो, तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि पुल के ऊपर का बिंदु P है और नदी के किनारे A और B हैं। पुल की ऊँचाई DP = 4 मीटर है।
समकोण त्रिभुज \( \triangle APD \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{PD}{AD} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{AD} \)
\( AD = 4\sqrt{3} \) मीटर
समकोण त्रिभुज \( \triangle BPD \) में:
\( \angle B = 45^\circ \) (एकान्तर कोण)
\( \tan 45^\circ = \frac{PD}{BD} \)
\( 1 = \frac{4}{BD} \)
\( BD = 4 \) मीटर
नदी की चौड़ाई \( AB = AD + DB \)
\( AB = 4\sqrt{3} + 4 \)
\( AB = 4(1 + \sqrt{3}) \)
\( AB = 4(1 + 1.732) \)
\( AB = 4 \times 2.732 \)
\( AB = 10.928 \) मीटर
तो, नदी की चौड़ाई लगभग 10.93 मीटर है। यह एक महत्वपूर्ण भूमितीय अनुप्रयोग है जो हमें वास्तविक दूरियों को मापने में मदद करता है।
In simple words: पुल के ऊपर से नदी के दोनों किनारों को देखने पर जो कोण बनते हैं, उनकी मदद से हम नदी की चौड़ाई निकालते हैं। चूंकि पुल 4 मीटर ऊँचा है, इसलिए नदी की कुल चौड़ाई लगभग 10.93 मीटर आती है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, हमेशा एक सही चित्र बनाना महत्वपूर्ण है और दूरियों को आधार से मानना चाहिए। त्रिकोणमितीय अनुपातों का सही उपयोग करें।

Question 23. एक व्यक्ति एक जहाज के डैक जो पानी की सतह से 10 मीटर ऊँचा है, पर खड़ा है। यदि वह पहाड़ी के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के आधार का अवनमन कोण 30° देखता हो, तो जहाज से पहाड़ी की दूरी तथा पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि जहाज का डैक पानी की सतह से 10 मीटर ऊँचा है। व्यक्ति डैक पर बिंदु B पर खड़ा है। पहाड़ी का शिखर C और आधार E है।
माना पहाड़ी की ऊँचाई CE = h मीटर है और जहाज से पहाड़ी की दूरी AE = x मीटर है।
डैक की ऊँचाई से पहाड़ी के आधार तक की दूरी DE = 10 मीटर है।
इसलिए, CD = CE - DE = \( h - 10 \) मीटर।
समकोण त्रिभुज \( \triangle BDE \) में, अवनमन कोण \( \angle EBD = 30^\circ \).
इसलिए, \( \angle BDE = 30^\circ \) (एकान्तर कोण).
\( \tan 30^\circ = \frac{DE}{BD} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{x} \)
\( x = 10\sqrt{3} \) मीटर
अब समकोण त्रिभुज \( \triangle CBD \) में, उन्नयन कोण \( \angle CBD = 60^\circ \).
\( \tan 60^\circ = \frac{CD}{BD} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h-10}{x} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h-10}{10\sqrt{3}} \)
\( 10\sqrt{3} \times \sqrt{3} = h-10 \)
\( 10 \times 3 = h-10 \)
\( 30 = h-10 \)
\( h = 30 + 10 \)
\( h = 40 \) मीटर
तो, पहाड़ी की ऊँचाई 40 मीटर है और जहाज से पहाड़ी की दूरी \( 10\sqrt{3} \) मीटर है। यह त्रिकोणमिति का उपयोग करके वास्तविक दुनिया की ऊँचाइयों और दूरियों को मापने का एक अच्छा उदाहरण है।
In simple words: एक व्यक्ति जहाज पर 10 मीटर ऊँचाई पर खड़ा है। वह पहाड़ी को देखता है। पहाड़ी के ऊपर का कोण 60 डिग्री है और आधार का कोण 30 डिग्री है। गणित का उपयोग करके, पहाड़ी की कुल ऊँचाई 40 मीटर और जहाज से पहाड़ी की दूरी लगभग 17.32 मीटर है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, अवनमन और उन्नयन कोणों को सही ढंग से दर्शाने के लिए एक स्पष्ट चित्र बनाएं। एकान्तर कोणों के नियम का पालन करें और सही त्रिकोणमितीय अनुपात चुनें।

Question 24. एक 12 मीटर ऊँचा पेड़ तेज हवा से इस प्रकार टूट जाता है कि उसका शीर्ष जमीन को छूने लगता है और जमीन के साथ 60° का कोण बनाता है। ज्ञात करें कि तेज हवा से पेड़ जमीन से कितनी ऊँचाई से टूटा है। (\(\sqrt{3} = 1.732\))
Answer: माना कि पूरा पेड़ BD है जिसकी ऊँचाई 12 मीटर है। पेड़ C बिंदु से टूट जाता है और उसका ऊपरी भाग (CD) जमीन को A बिंदु पर छूता है। टूटा हुआ भाग AC की लंबाई पेड़ के बचे हुए भाग BC की लंबाई से संबंधित है।
माना पेड़ जमीन से h मीटर ऊँचाई पर टूटा है, तो BC = h मीटर।
तो, टूटा हुआ भाग AC = \( (12 - h) \) मीटर।
समकोण त्रिभुज \( \triangle ABC \) में, पेड़ का शीर्ष जमीन के साथ \( 60^\circ \) का कोण बनाता है।
\( \sin 60^\circ = \frac{BC}{AC} \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{12-h} \)
\( \sqrt{3}(12-h) = 2h \)
\( 12\sqrt{3} - h\sqrt{3} = 2h \)
\( 12\sqrt{3} = 2h + h\sqrt{3} \)
\( 12\sqrt{3} = h(2 + \sqrt{3}) \)
\( h = \frac{12\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \)
हर का परिमेयकरण करने पर:
\( h = \frac{12\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \)
\( h = \frac{12\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} \)
\( h = \frac{24\sqrt{3} - 12 \times 3}{4 - 3} \)
\( h = \frac{24\sqrt{3} - 36}{1} \)
\( h = 24 \times 1.732 - 36 \)
\( h = 41.568 - 36 \)
\( h = 5.568 \) मीटर
इसलिए, पेड़ जमीन से लगभग 5.57 मीटर की ऊँचाई से टूटा है। यह हमें बताता है कि पेड़ कितना लचीला था और कैसे उसकी ऊँचाई ज्ञात की जा सकती है।
In simple words: एक 12 मीटर ऊँचा पेड़ टूट गया और उसका ऊपरी हिस्सा जमीन को 60 डिग्री के कोण पर छूने लगा। गणित के हिसाब से, पेड़ जमीन से लगभग 5.57 मीटर ऊँचाई से टूटा था।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पेड़ का पूरा भाग और टूटा हुआ भाग मिलकर मूल ऊँचाई बनाते हैं, इस बात का ध्यान रखना चाहिए। हमेशा एक स्पष्ट चित्र बनाएं और सही त्रिकोणमितीय संबंध का उपयोग करें।

Question 25. एक राजमार्ग एक मीनार के नीचे से होकर गुजरता है। एक आदमी मीनार के शिखर से एक कार को अवनमन कोण 30° पर देखता है। वह कार एक समान गति से मीनार के नजदीक आ रही है। 6 सेकण्ड के पश्चात् कार का अवनमन कोण 60° हो जाता है। कार कितने समय में मीनार के नीचे से गुजर जायेगी ?
Answer: माना कि मीनार की ऊँचाई CD = h मीटर है। कार पहले बिंदु A पर थी, फिर 6 सेकंड बाद बिंदु B पर आ गई।
माना कार की चाल v मीटर प्रति सेकंड है।
तो, AB = दूरी = चाल × समय = \( 6v \) मीटर।
माना कार को B से D तक पहुँचने में n सेकंड लगते हैं, तो BD = \( nv \) मीटर।
समकोण त्रिभुज \( \triangle CBD \) में:
अवनमन कोण \( \angle CBB' = 60^\circ \), इसलिए \( \angle CDB = 60^\circ \) (एकान्तर कोण).
\( \tan 60^\circ = \frac{CD}{BD} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h}{nv} \)
\( h = nv\sqrt{3} \) .....(i)
समकोण त्रिभुज \( \triangle CAD \) में:
अवनमन कोण \( \angle CAA' = 30^\circ \), इसलिए \( \angle CDA = 30^\circ \) (एकान्तर कोण).
\( AD = AB + BD = 6v + nv \)
\( \tan 30^\circ = \frac{CD}{AD} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{6v + nv} \)
\( h = \frac{6v + nv}{\sqrt{3}} \) .....(ii)
समीकरण (i) और (ii) से:
\( nv\sqrt{3} = \frac{6v + nv}{\sqrt{3}} \)
दोनों ओर \( \sqrt{3} \) से गुणा करने पर:
\( nv \times 3 = 6v + nv \)
\( 3nv = 6v + nv \)
\( 3nv - nv = 6v \)
\( 2nv = 6v \)
दोनों ओर \( 2v \) से भाग देने पर (चूंकि \( v \neq 0 \)):
\( n = \frac{6v}{2v} \)
\( n = 3 \) सेकण्ड
तो, कार मीनार के नीचे से गुजरने में 3 सेकंड और लेगी। यह हमें बताता है कि स्थिर गति से चलने पर समय और दूरी कैसे संबंधित होते हैं।
In simple words: एक कार एक मीनार की तरफ आ रही है। पहले उसका अवनमन कोण 30 डिग्री था, 6 सेकंड बाद वह 60 डिग्री हो गया। अब कार को मीनार तक पहुंचने में सिर्फ 3 सेकंड और लगेंगे।

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में, अवनमन कोणों को उन्नयन कोणों में बदलने के लिए एकान्तर कोणों का प्रयोग करें और चाल, दूरी, समय के संबंध का उपयोग करें। चित्र बनाते समय सभी दूरियों और कोणों को स्पष्ट रूप से लेबल करें।

Question 26. मीनार के आधार से और एक सरल रेखा में 4 मीटर तथा 9 मीटर की दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से मीनार के शिखरे के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है।
Answer: माना कि मीनार की ऊँचाई CD = h मीटर है। मीनार के आधार से दो बिंदु B और A एक सीधी रेखा में हैं।
बिंदु B, मीनार से 4 मीटर की दूरी पर है (BC = 4 मीटर)।
बिंदु A, मीनार से 9 मीटर की दूरी पर है (AC = 9 मीटर)।
माना बिंदु B से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण \( \theta \) है।
तो, बिंदु A से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण \( (90^\circ - \theta) \) होगा क्योंकि कोण पूरक हैं।
समकोण त्रिभुज \( \triangle BCD \) में:
\( \tan \theta = \frac{CD}{BC} \)
\( \tan \theta = \frac{h}{4} \) .....(i)
समकोण त्रिभुज \( \triangle ACD \) में:
\( \tan (90^\circ - \theta) = \frac{CD}{AC} \)
\( \cot \theta = \frac{h}{9} \) .....(ii)
अब समीकरण (i) और (ii) को गुणा करने पर:
\( (\tan \theta) \times (\cot \theta) = \left(\frac{h}{4}\right) \times \left(\frac{h}{9}\right) \)
हम जानते हैं कि \( \tan \theta \times \cot \theta = 1 \).
\( 1 = \frac{h^2}{36} \)
\( h^2 = 36 \)
\( h = \sqrt{36} \)
\( h = 6 \) मीटर
इस प्रकार, मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है। यह दिखाता है कि कैसे पूरक कोणों का उपयोग करके ऊँचाई को आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।
In simple words: मीनार से अलग-अलग दूरी पर दो जगहों से मीनार को देखने पर जो कोण बनते हैं, वे एक-दूसरे के पूरक हैं। गणित से यह साबित होता है कि मीनार की ऊँचाई 6 मीटर है।

🎯 Exam Tip: पूरक कोणों के गुणों का उपयोग करें, जैसे \( \tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta \), जो इस प्रकार के प्रमाणों में बहुत उपयोगी होता है। चित्र बनाते समय दूरियों और कोणों को सही ढंग से लेबल करें।

Question 27. सड़क के एक ओर एक मीनार तथा दूसरी ओर एक मकान स्थित है। मीनार के शिखर से मकान की छत और आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° व 60° हों और यदि मकान की ऊँचाई 12 मीटर हो, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (\(\sqrt{3} = 1.732\))
Answer: माना कि मीनार PC है और मकान AB है। मकान की ऊँचाई AB = 12 मीटर है।
मीनार के शिखर P से मकान की छत B का अवनमन कोण \( 45^\circ \) है।
मीनार के शिखर P से मकान के आधार A का अवनमन कोण \( 60^\circ \) है।
एक सीधी रेखा AC खींचते हैं जो मकान के आधार से मीनार के आधार तक जाती है।
एक बिंदु D मीनार पर इस प्रकार है कि PD = \( h - 12 \) मीटर (जहाँ PC = h मीटर)।
त्रिभुज \( \triangle PAC \) में:
\( \tan 60^\circ = \frac{PC}{AC} = \frac{h}{AC} \)
\( \sqrt{3} = \frac{h}{AC} \)
\( AC = \frac{h}{\sqrt{3}} \) .....(i)
त्रिभुज \( \triangle PDB \) में:
\( \tan 45^\circ = \frac{PD}{DB} \)
चूंकि AB और DC समानांतर हैं, AC = DB।
\( 1 = \frac{h - 12}{AC} \)
\( AC = h - 12 \) .....(ii)
समीकरण (i) और (ii) से:
\( \frac{h}{\sqrt{3}} = h - 12 \)
\( h = \sqrt{3}(h - 12) \)
\( h = h\sqrt{3} - 12\sqrt{3} \)
\( 12\sqrt{3} = h\sqrt{3} - h \)
\( 12\sqrt{3} = h(\sqrt{3} - 1) \)
\( h = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \)
हर का परिमेयकरण करने पर:
\( h = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} \)
\( h = \frac{12\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} \)
\( h = \frac{12 \times 3 + 12\sqrt{3}}{3 - 1} \)
\( h = \frac{36 + 12\sqrt{3}}{2} \)
\( h = 18 + 6\sqrt{3} \)
\( h = 18 + 6 \times 1.732 \)
\( h = 18 + 10.392 \)
\( h = 28.392 \) मीटर
तो, मीनार की ऊँचाई लगभग 28.39 मीटर है। यह एक व्यावहारिक समस्या है जहाँ आप कोणों का उपयोग करके ऊँचाई का अनुमान लगा सकते हैं।
In simple words: एक मीनार के ऊपर से एक मकान को देखने पर, उसकी छत का कोण 45 डिग्री और आधार का कोण 60 डिग्री है। अगर मकान 12 मीटर ऊँचा है, तो मीनार की कुल ऊँचाई लगभग 28.39 मीटर होगी।

🎯 Exam Tip: अवनमन कोणों को उन्नयन कोणों में परिवर्तित करने के लिए सही ज्यामितीय संबंध बनाएं। ध्यान दें कि मीनार के शिखर से मकान के शीर्ष तक की दूरी क्षैतिज दूरी के बराबर होती है।

Question 28. एक 15 मीटर ऊँचे खम्भे के शिखर का उन्नयन कोण एक बिंदु से 30° है। जब वह बिंदु खम्भे की ओर कुछ दूर चलता है, तो उन्नयन कोण 60° हो जाता है। इन दोनों बिन्दुओं के बीच की दूरी का अंतर ज्ञात कीजिए।
Answer: माना कि खम्भे की ऊँचाई CB = 15 मीटर है।
माना बिंदु A से खम्भे के शिखर का उन्नयन कोण \( 30^\circ \) है, और बिंदु D से उन्नयन कोण \( 60^\circ \) है।
बिंदु A से खम्भे के आधार तक की दूरी CA = x है।
बिंदु D से खम्भे के आधार तक की दूरी CD = y है।
समकोण त्रिभुज \( \triangle CDB \) में:
\( \tan 60^\circ = \frac{CB}{CD} = \frac{15}{y} \)
\( \sqrt{3} = \frac{15}{y} \)
\( y = \frac{15}{\sqrt{3}} \)
\( y = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \) मीटर
\( y = 5 \times 1.732 = 8.66 \) मीटर
समकोण त्रिभुज \( \triangle CAB \) में:
\( \tan 30^\circ = \frac{CB}{CA} = \frac{15}{x} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{15}{x} \)
\( x = 15\sqrt{3} \) मीटर
\( x = 15 \times 1.732 = 25.98 \) मीटर
दोनों बिन्दुओं के बीच की दूरी का अंतर \( = x - y \)
\( = 25.98 - 8.66 \)
\( = 17.32 \) मीटर
इसलिए, दोनों बिन्दुओं के बीच की दूरी में 17.32 मीटर का अंतर है। यह हमें बताता है कि वस्तु के करीब जाने पर कोण कैसे बदलता है।
In simple words: एक 15 मीटर ऊँचे खम्भे को दूर से देखने पर 30 डिग्री का कोण बनता है, और पास से देखने पर 60 डिग्री का कोण बनता है। इन दोनों देखने की जगहों के बीच की दूरी 17.32 मीटर है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के सवालों में, एक ही ऊँचाई के लिए दो अलग-अलग आधार दूरियों को निकालने और फिर उनका अंतर ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। चित्र को स्पष्ट रूप से बनाएं और प्रत्येक चरण को सही ढंग से लेबल करें।