RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ Exercise 7.1

Question 1. \( \theta \) के लिए सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को \( \sec \theta \) के पदों में व्यक्त कीजिए।
Answer: हम जानते हैं कि, एक समकोण त्रिभुज में, यदि \( \angle P = \theta \) है, तो:


\( \cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{PQ}{PR} = \frac{1}{\sec \theta} \)
\( PQ = 1 \) और \( PR = \sec \theta \)
अब, लम्ब \( QR = \sqrt{PR^2 - PQ^2} = \sqrt{(\sec \theta)^2 - 1^2} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} \)
तो, अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात इस प्रकार होंगे:
\( \sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}} = \frac{QR}{PR} = \frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta} \)
\( \tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}} = \frac{QR}{PQ} = \frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} \)
\( \cot \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{लम्ब}} = \frac{PQ}{QR} = \frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}} \)
\( \csc \theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{लम्ब}} = \frac{PR}{QR} = \frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}} \)
इस तरह, सभी अनुपात \( \sec \theta \) के पदों में व्यक्त किए जा सकते हैं, जो त्रिकोणमिति में बहुत उपयोगी है।
In simple words: हमने एक त्रिभुज बनाकर सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों (जैसे sin, tan, cosec) को \( \sec \theta \) का उपयोग करके दिखाया है. इससे हमें पता चलता है कि वे एक-दूसरे से कैसे जुड़े हुए हैं.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए एक समकोण त्रिभुज बनाना और उसकी भुजाओं को दिए गए अनुपात के पदों में व्यक्त करना सबसे आसान तरीका होता है।

निम्नलिखित को सर्वसमिकाओं की सहायता से सिद्ध कीजिए

Question 3. \( \cos^2 \theta + \cos^2 \theta \cdot \cot^2 \theta = \cot^2 \theta \)
Answer:
L.H.S. \( = \cos^2 \theta + \cos^2 \theta \cdot \cot^2 \theta \)
\( = \cos^2 \theta (1 + \cot^2 \theta) \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta \)
\( = \cos^2 \theta \cdot \csc^2 \theta \)
\( \implies \) हम \( \csc \theta \) को \( \frac{1}{\sin \theta} \) के रूप में लिख सकते हैं।
\( = \cos^2 \theta \cdot \frac{1}{\sin^2 \theta} \)
\( = \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta \)
\( = \cot^2 \theta \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह दर्शाता है कि कैसे एक जटिल व्यंजक को सरल किया जा सकता है।
In simple words: हमने \( \cos^2 \theta \) को बाहर निकालकर एक पहचान (identity) का उपयोग किया. फिर \( \csc \theta \) को \( \sin \theta \) में बदल दिया और आखिर में \( \cot^2 \theta \) पर पहुंच गए.

🎯 Exam Tip: जब सिद्ध करने वाले प्रश्न आएं तो हमेशा L.H.S. से शुरू करें और RHS तक पहुंचने की कोशिश करें, सर्वसमिकाओं का सही उपयोग करते हुए।

Question 4. \( \sec \theta (1 - \sin \theta) (\sec \theta + \tan \theta) = 1 \)
Answer:
L.H.S. \( = \sec \theta (1 - \sin \theta) (\sec \theta + \tan \theta) \)
\( \implies \) हम \( \sec \theta \) और \( \tan \theta \) को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के पदों में बदलते हैं।
\( = \frac{1}{\cos \theta} (1 - \sin \theta) \left( \frac{1}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) \)
\( = \frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta} \left( \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta} \right) \)
\( = \frac{(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)}{\cos^2 \theta} \)
\( \implies \) हम \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \) सूत्र का उपयोग करते हैं।
\( = \frac{1^2 - \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \)
\( = \frac{1 - \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta \)
\( = \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} \)
\( = 1 \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह पहचान बहुत सी त्रिकोणमितीय समस्याओं को सरल बनाने में मदद करती है।
In simple words: हमने \( \sec \theta \) और \( \tan \theta \) को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) में बदल दिया. फिर \( (a-b)(a+b) \) वाले नियम का उपयोग किया और अंत में \( 1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta \) का इस्तेमाल करके जवाब 1 निकाल लिया.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सभी पदों को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) में बदलना अक्सर सबसे अच्छा प्रारंभिक कदम होता है।

Question 5. \( \csc^2 \theta + \sec^2 \theta = \csc^2 \theta \sec^2 \theta \)
Answer:
L.H.S. \( = \csc^2 \theta + \sec^2 \theta \)
\( \implies \) हम \( \csc \theta \) को \( \frac{1}{\sin \theta} \) और \( \sec \theta \) को \( \frac{1}{\cos \theta} \) के पदों में लिखते हैं।
\( = \frac{1}{\sin^2 \theta} + \frac{1}{\cos^2 \theta} \)
\( = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)
\( = \frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} \)
\( = \frac{1}{\sin^2 \theta} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} \)
\( \implies \) फिर से \( \frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta \) और \( \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta \) का उपयोग करते हैं।
\( = \csc^2 \theta \cdot \sec^2 \theta \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह पहचान अक्सर योग वाले त्रिकोणमितीय व्यंजकों को गुणनफल में बदलने में सहायक होती है।
In simple words: हमने \( \csc \theta \) और \( \sec \theta \) को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) में बदलकर जोड़ दिया. फिर \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग किया और जवाब \( \csc^2 \theta \sec^2 \theta \) निकाल लिया.

🎯 Exam Tip: भिन्न (fractions) को जोड़ने के लिए सामान्य हर (common denominator) लेना न भूलें, यह एक महत्वपूर्ण कदम है।

Question 6. \( \sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}=\sec \theta-\tan \theta \)
Answer:
L.H.S. \( = \sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}} \)
\( \implies \) हर का परिमेयकरण करने के लिए, हम अंश और हर को \( (1-\sin \theta) \) से गुणा करते हैं।
\( = \sqrt{\frac{(1-\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}} \)
\( = \sqrt{\frac{(1-\sin \theta)^2}{1^2 - \sin^2 \theta}} \)
\( = \sqrt{\frac{(1-\sin \theta)^2}{\cos^2 \theta}} \)
\( \implies \) वर्गमूल लेने पर।
\( = \frac{\sqrt{(1-\sin \theta)^2}}{\sqrt{\cos^2 \theta}} \)
\( = \frac{1-\sin \theta}{\cos \theta} \)
\( = \frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta \) और \( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta \)
\( = \sec \theta - \tan \theta \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह विधि ऐसे भिन्नों को सरल बनाने में बहुत प्रभावी है जिनमें वर्गमूल होते हैं।
In simple words: हमने सवाल में हर को परिमेयकृत किया, जिससे ऊपर \( (1-\sin \theta)^2 \) और नीचे \( \cos^2 \theta \) बन गया. फिर वर्गमूल निकालकर उसे \( \frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) में तोड़ दिया, जो कि \( \sec \theta - \tan \theta \) होता है.

🎯 Exam Tip: वर्गमूल वाले भिन्नों को सरल करते समय, हमेशा हर का परिमेयकरण (rationalization) करके शुरू करें।

Question 7. \( \sqrt{\sec ^{2} \theta+\csc ^{2} \theta} = \tan \theta+ \cot \theta \)
Answer:
L.H.S. \( = \sqrt{\sec ^{2} \theta+\csc ^{2} \theta} \)
\( \implies \) हम \( \sec \theta \) और \( \csc \theta \) को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के पदों में बदलते हैं।
\( = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 \theta} + \frac{1}{\sin^2 \theta}} \)
\( = \sqrt{\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta}} \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)
\( = \sqrt{\frac{1}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta}} \)
\( = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( \implies \) अब, हम इसे \( \tan \theta + \cot \theta \) के रूप में लिखने का प्रयास करते हैं।
\( = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( \implies \) यह \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का एक स्मार्ट उपयोग है, ताकि हम इसे आगे सरल कर सकें।
\( = \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \)
\( = \tan \theta + \cot \theta \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह दर्शाता है कि एक वर्गमूल वाले व्यंजक को कैसे दो भिन्न त्रिकोणमितीय अनुपातों के योग में परिवर्तित किया जा सकता है।
In simple words: हमने \( \sec \theta \) और \( \csc \theta \) को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) में बदल दिया, उन्हें जोड़ा, और फिर \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का इस्तेमाल करके \( \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \) पाया. अंत में, हमने इसे \( \tan \theta + \cot \theta \) के रूप में बदल दिया.

🎯 Exam Tip: यह एक सामान्य तकनीक है कि जब \( \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \) जैसा पद मिले, तो उसे \( \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \) में बदलकर \( \tan \theta + \cot \theta \) प्राप्त किया जा सकता है।

Question 8. \( \frac{\tan \alpha+\tan \beta}{\cot \alpha+\cot \beta} = \tan \alpha \tan \beta \)
Answer:
L.H.S. \( = \frac{\tan \alpha+\tan \beta}{\cot \alpha+\cot \beta} \)
\( \implies \) हम \( \cot \alpha \) को \( \frac{1}{\tan \alpha} \) और \( \cot \beta \) को \( \frac{1}{\tan \beta} \) के पदों में बदलते हैं।
\( = \frac{\tan \alpha+\tan \beta}{\frac{1}{\tan \alpha}+\frac{1}{\tan \beta}} \)
\( = \frac{\tan \alpha+\tan \beta}{\frac{\tan \beta + \tan \alpha}{\tan \alpha \tan \beta}} \)
\( = (\tan \alpha+\tan \beta) \cdot \frac{\tan \alpha \tan \beta}{(\tan \alpha + \tan \beta)} \)
\( \implies \) अंश और हर में \( (\tan \alpha + \tan \beta) \) पद को काट देते हैं। यह बीजगणित का एक मूल नियम है।
\( = \tan \alpha \tan \beta \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह सिद्ध करता है कि \( \cot \) पदों को \( \tan \) पदों में बदलने से व्यंजक को सरल बनाना आसान हो जाता है।
In simple words: हमने \( \cot \) को \( \tan \) में बदला. फिर नीचे वाले भिन्न को एक साथ जोड़ा. फिर उसे उलट कर ऊपर वाले हिस्से से गुणा किया और समान पदों को काट दिया, जिससे \( \tan \alpha \tan \beta \) बचा.

🎯 Exam Tip: जब \( \tan \) और \( \cot \) दोनों मौजूद हों, तो अक्सर सभी को \( \tan \) या \( \cot \) के पदों में बदलना एक अच्छा पहला कदम होता है।

Question 9. \( \frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=2 \sec \theta \)
Answer:
L.H.S. \( = \frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta} \)
\( \implies \) भिन्नों को जोड़ने के लिए हम सामान्य हर लेते हैं।
\( = \frac{(1+\sin \theta)^2 + \cos^2 \theta}{\cos \theta (1+\sin \theta)} \)
\( \implies \) अंश में \( (a+b)^2 \) सूत्र \( (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab \) का उपयोग करते हैं।
\( = \frac{1^2 + \sin^2 \theta + 2\sin \theta + \cos^2 \theta}{\cos \theta (1+\sin \theta)} \)
\( = \frac{1 + (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 2\sin \theta}{\cos \theta (1+\sin \theta)} \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)
\( = \frac{1 + 1 + 2\sin \theta}{\cos \theta (1+\sin \theta)} \)
\( = \frac{2 + 2\sin \theta}{\cos \theta (1+\sin \theta)} \)
\( = \frac{2(1 + \sin \theta)}{\cos \theta (1+\sin \theta)} \)
\( \implies \) अंश और हर में \( (1+\sin \theta) \) पद को काट देते हैं।
\( = \frac{2}{\cos \theta} \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta \)
\( = 2\sec \theta \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह पहचान उन स्थितियों में उपयोगी है जहाँ भिन्नों को सरल बनाने की आवश्यकता होती है।
In simple words: हमने दोनों भिन्नों को जोड़ा, \( (1+\sin \theta)^2 \) को खोला, और \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग किया. फिर ऊपर से 2 को कॉमन लेकर \( (1+\sin \theta) \) को काट दिया, और \( \frac{2}{\cos \theta} \) से \( 2\sec \theta \) प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: भिन्नों के योग में, हमेशा एक सामान्य हर (common denominator) लें और फिर बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके अंश को सरल करें।

Question 11. \( \cot \theta - \tan \theta = \frac{1-2 \sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
Answer:
L.H.S. \( = \cot \theta - \tan \theta \)
\( \implies \) हम \( \cot \theta \) और \( \tan \theta \) को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के पदों में बदलते हैं।
\( = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)
\( \implies \) भिन्नों को घटाने के लिए हम सामान्य हर लेते हैं।
\( = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \)
\( = \frac{(1 - \sin^2 \theta) - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = \frac{1 - 2\sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह पहचान अक्सर \( \cot \theta \) और \( \tan \theta \) के अंतर को सरल रूप में व्यक्त करने में उपयोग होती है।
In simple words: हमने \( \cot \theta \) और \( \tan \theta \) को \( \cos \theta \) और \( \sin \theta \) में बदलकर घटाया. फिर \( \cos^2 \theta \) को \( 1 - \sin^2 \theta \) से बदल दिया और हमें जवाब मिल गया.

🎯 Exam Tip: जब \( \cot \theta - \tan \theta \) जैसा व्यंजक मिले, तो उसे \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के पदों में बदलना और फिर सामान्य हर लेकर सरल करना एक अच्छा तरीका है।

Question 12. \( \cos^4 \theta + \sin^4 \theta = 1 – 2 \cos^2 \theta \sin^2 \theta \) (माध्य शिक्षा बोर्ड मॉडल पेपर, 2017-18)
Answer:
L.H.S. \( = \cos^4 \theta + \sin^4 \theta \)
\( = (\cos^2 \theta)^2 + (\sin^2 \theta)^2 \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab \)। यहाँ \( a = \cos^2 \theta \) और \( b = \sin^2 \theta \)
\( = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)^2 - 2\cos^2 \theta \sin^2 \theta \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \)
\( = (1)^2 - 2\cos^2 \theta \sin^2 \theta \)
\( = 1 - 2\cos^2 \theta \sin^2 \theta \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह एक महत्वपूर्ण पहचान है जो \( \sin^4 \theta \) और \( \cos^4 \theta \) वाले व्यंजकों को सरल बनाने में मदद करती है।
In simple words: हमने \( \cos^4 \theta + \sin^4 \theta \) को \( (\cos^2 \theta)^2 + (\sin^2 \theta)^2 \) के रूप में लिखा. फिर \( a^2+b^2 \) वाले सूत्र का इस्तेमाल किया और \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \) लगाकर जवाब \( 1 - 2\cos^2 \theta \sin^2 \theta \) निकाल लिया.

🎯 Exam Tip: \( a^2 + b^2 \) को \( (a+b)^2 - 2ab \) के रूप में लिखने की तकनीक ऐसे प्रश्नों में बहुत काम आती है जहाँ \( \sin^4 \theta \) या \( \cos^4 \theta \) जैसे उच्च घात वाले पद होते हैं।

Question 13. \( (\sec \theta - \cos \theta) (\cot \theta + \tan \theta) = \tan \theta \sec \theta \)
Answer:
L.H.S. \( = (\sec \theta - \cos \theta) (\cot \theta + \tan \theta) \)
\( \implies \) हम सभी पदों को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के पदों में बदलते हैं।
\( = \left( \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta \right) \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) \)
\( = \left( \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos \theta} \right) \left( \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right) \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta \) और \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \)
\( = \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \right) \left( \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \right) \)
\( = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta \cdot \sin \theta \cdot \cos \theta} \)
\( \implies \) एक \( \sin \theta \) को अंश और हर में काट देते हैं।
\( = \frac{\sin \theta}{\cos \theta \cdot \cos \theta} \)
\( = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\cos \theta} \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta \) और \( \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta \)
\( = \tan \theta \sec \theta \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह पहचान गुणनफल वाले व्यंजकों को सरल बनाने में उपयोगी है।
In simple words: हमने हर पद को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) में बदल दिया. फिर कोष्ठक के अंदर के भिन्नों को एक साथ जोड़ा/घटाया. \( 1-\cos^2 \theta \) और \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \) वाले नियमों का उपयोग करके, हमने अंत में \( \tan \theta \sec \theta \) प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: गुणनफल वाले त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल करते समय, सभी पदों को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) में बदलना एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु हो सकता है।

Question 14. \( \frac{1-\tan ^{2} \alpha}{\cot ^{2} \alpha-1}=\tan ^{2} \alpha \)
Answer:
L.H.S. \( = \frac{1-\tan ^{2} \alpha}{\cot ^{2} \alpha-1} \)
\( \implies \) हम \( \cot \alpha \) को \( \frac{1}{\tan \alpha} \) के पदों में बदलते हैं।
\( = \frac{1-\tan^2 \alpha}{\frac{1}{\tan^2 \alpha}-1} \)
\( = \frac{1-\tan^2 \alpha}{\frac{1-\tan^2 \alpha}{\tan^2 \alpha}} \)
\( = (1-\tan^2 \alpha) \cdot \frac{\tan^2 \alpha}{(1-\tan^2 \alpha)} \)
\( \implies \) अंश और हर में \( (1-\tan^2 \alpha) \) पद को काट देते हैं।
\( = \tan^2 \alpha \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह पहचान दिखाती है कि कैसे \( \tan \) और \( \cot \) के व्यंजकों को एक-दूसरे के पदों में आसानी से बदला जा सकता है।
In simple words: हमने \( \cot^2 \alpha \) को \( \frac{1}{\tan^2 \alpha} \) में बदल दिया. फिर हर वाले हिस्से को एक भिन्न में जोड़ा. अंत में, समान पदों को काटकर हमें \( \tan^2 \alpha \) मिल गया.

🎯 Exam Tip: यदि \( \tan \) और \( \cot \) दोनों एक साथ हों, तो उनमें से एक को दूसरे के पदों में बदलकर अक्सर व्यंजक बहुत सरल हो जाता है।

Question 15. \( \frac{\sin \theta}{1-\cos \theta}=\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta} \)
Answer:
L.H.S. \( = \frac{\sin \theta}{1-\cos \theta} \)
\( \implies \) हर का परिमेयकरण करने के लिए हम अंश और हर को \( (1+\cos \theta) \) से गुणा करते हैं।
\( = \frac{\sin \theta (1+\cos \theta)}{(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)} \)
\( = \frac{\sin \theta (1+\cos \theta)}{1^2 - \cos^2 \theta} \)
\( = \frac{\sin \theta (1+\cos \theta)}{\sin^2 \theta} \)
\( \implies \) अंश और हर में एक \( \sin \theta \) को काट देते हैं।
\( = \frac{1+\cos \theta}{\sin \theta} \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह तकनीक ऐसे भिन्नों को सरल बनाने में बहुत प्रभावी है जहाँ हर में \( (1-\cos \theta) \) या \( (1-\sin \theta) \) जैसे पद होते हैं।
In simple words: हमने सवाल में \( \frac{\sin \theta}{1-\cos \theta} \) के हर का परिमेयकरण किया, अंश और हर को \( (1+\cos \theta) \) से गुणा किया. इससे नीचे \( 1-\cos^2 \theta \) बन गया, जो \( \sin^2 \theta \) के बराबर है. फिर एक \( \sin \theta \) को काटकर हमें जवाब मिल गया.

🎯 Exam Tip: जब हर में \( (1-\cos \theta) \) या \( (1+\cos \theta) \) जैसा पद हो, तो उसके संयुग्मी (conjugate) से गुणा करना एक बहुत ही प्रभावी हल विधि है।

Question 16. \( \sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta \)
Answer:
L.H.S. \( = \sin^6 \theta + \cos^6 \theta \)
\( = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3 \)
\( \implies \) हम \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \) सूत्र का उपयोग करते हैं। यहाँ \( a = \sin^2 \theta \) और \( b = \cos^2 \theta \)
\( = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) ((\sin^2 \theta)^2 - \sin^2 \theta \cos^2 \theta + (\cos^2 \theta)^2) \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)
\( = (1) (\sin^4 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \cos^4 \theta) \)
\( = \sin^4 \theta + \cos^4 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta \) (यह पिछले प्रश्न 12 से है)।
\( = (1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta) - \sin^2 \theta \cos^2 \theta \)
\( = 1 - 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह पहचान उच्च घात वाले त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाने में बहुत उपयोगी है।
In simple words: हमने \( \sin^6 \theta + \cos^6 \theta \) को \( (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3 \) के रूप में लिखा. फिर \( a^3+b^3 \) सूत्र का इस्तेमाल किया और \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग किया. अंत में, \( \sin^4 \theta + \cos^4 \theta \) को सरल करके \( 1 - 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta \) प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: \( a^3+b^3 \) सूत्र का सही उपयोग करना और \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) को कई बार लागू करना ऐसे प्रश्नों को हल करने की कुंजी है।

Question 17. \( \frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta} = 1 + \tan \theta + \cot \theta \) (माध्य (RBSESolutions.com) शिक्षा बोर्ड, 2018)
Answer:
L.H.S. \( = \frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta} \)
\( \implies \) हम सभी पदों को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के पदों में बदलते हैं।
\( = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}+\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} \)
\( = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta}}+\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta}} \)
\( = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\sin \theta-\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\cos \theta-\sin \theta} \)
\( = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta(\cos \theta-\sin \theta)} \)
\( \implies \) दूसरे पद के हर में \( (\cos \theta-\sin \theta) \) को \( -(\sin \theta-\cos \theta) \) में बदलते हैं।
\( = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta(\sin \theta-\cos \theta)} \)
\( = \frac{1}{\sin \theta-\cos \theta} \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} \right) \)
\( = \frac{1}{\sin \theta-\cos \theta} \left( \frac{\sin^3 \theta - \cos^3 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right) \)
\( \implies \) हम \( a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) सूत्र का उपयोग करते हैं।
\( = \frac{1}{\sin \theta-\cos \theta} \cdot \frac{(\sin \theta-\cos \theta)(\sin^2 \theta+\sin \theta \cos \theta+\cos^2 \theta)}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( \implies \) \( (\sin \theta-\cos \theta) \) को काट देते हैं और \( \sin^2 \theta+\cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करते हैं।
\( = \frac{1+\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + 1 \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta \) और \( \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta \)
\( = \csc \theta \sec \theta + 1 \)
\( \implies \) यह \( 1 + \tan \theta + \cot \theta \) के बराबर है, क्योंकि \( \csc \theta \sec \theta = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sin^2 \theta+\cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \tan \theta + \cot \theta \).
\( = 1 + \tan \theta + \cot \theta \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह एक लंबी लेकिन मानक पहचान है, जो विभिन्न बीजगणितीय सूत्रों के अनुप्रयोग को दर्शाती है।
In simple words: हमने \( \tan \) और \( \cot \) को \( \sin \) और \( \cos \) में बदला, फिर भिन्नों को जोड़ा. हर को समान बनाने के लिए \( (\cos \theta-\sin \theta) \) को \( -(\sin \theta-\cos \theta) \) में बदला. फिर \( a^3-b^3 \) सूत्र का उपयोग किया और अंत में \( 1 + \tan \theta + \cot \theta \) प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: ऐसे लंबे प्रश्नों में, एक-एक करके चरणों को व्यवस्थित रूप से हल करना महत्वपूर्ण है, खासकर जब \( a^3-b^3 \) जैसे बीजगणितीय सूत्रों का उपयोग कर रहे हों।

Question 19. \( \sin^2 \theta \cos \theta + \tan \theta \sin \theta + \cos^3 \theta = \sec \theta \)
Answer:
L.H.S. \( = \sin^2 \theta \cos \theta + \tan \theta \sin \theta + \cos^3 \theta \)
\( \implies \) हम पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं और \( \tan \theta \) को \( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) के पदों में बदलते हैं।
\( = \sin^2 \theta \cos \theta + \cos^3 \theta + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \sin \theta \)
\( = \cos \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)
\( = \cos \theta (1) + \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \)
\( = \cos \theta + \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \)
\( \implies \) भिन्नों को जोड़ने के लिए सामान्य हर लेते हैं।
\( = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos \theta} \)
\( \implies \) फिर से \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करते हैं।
\( = \frac{1}{\cos \theta} \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta \)
\( = \sec \theta \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह पहचान दिखाती है कि कैसे पदों को समूहित करके और बुनियादी सर्वसमिकाओं का उपयोग करके एक जटिल व्यंजक को सरल किया जा सकता है।
In simple words: हमने \( \cos \theta \) को कॉमन लिया, \( \tan \theta \) को \( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) में बदला, और \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग किया. फिर भिन्नों को जोड़कर और \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का फिर से उपयोग करके \( \sec \theta \) प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: पदों को समूहित करना (जैसे \( \sin^2 \theta \cos \theta \) और \( \cos^3 \theta \) से \( \cos \theta \) को कॉमन लेना) अक्सर सरल बनाने में मदद करता है।

Question 20. \( \frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta} = 1 + \sec \theta \csc \theta \)
Answer:
L.H.S. \( = \frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta} \)
\( \implies \) हम सभी पदों को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के पदों में बदलते हैं।
\( = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}+\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} \)
\( = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta}}+\frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta}} \)
\( = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\sin \theta-\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\cos \theta-\sin \theta} \)
\( = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta(\cos \theta-\sin \theta)} \)
\( \implies \) दूसरे पद के हर में \( (\cos \theta-\sin \theta) \) को \( -(\sin \theta-\cos \theta) \) में बदलते हैं।
\( = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta(\sin \theta-\cos \theta)} \)
\( = \frac{1}{\sin \theta-\cos \theta} \left( \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} \right) \)
\( = \frac{1}{\sin \theta-\cos \theta} \left( \frac{\sin^3 \theta - \cos^3 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right) \)
\( \implies \) हम \( a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) सूत्र का उपयोग करते हैं।
\( = \frac{1}{\sin \theta-\cos \theta} \cdot \frac{(\sin \theta-\cos \theta)(\sin^2 \theta+\sin \theta \cos \theta+\cos^2 \theta)}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( \implies \) \( (\sin \theta-\cos \theta) \) को काट देते हैं और \( \sin^2 \theta+\cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करते हैं।
\( = \frac{1+\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} \)
\( = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + 1 \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta \) और \( \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta \)
\( = 1 + \sec \theta \csc \theta \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह भी एक विस्तृत पहचान है जो विभिन्न त्रिकोणमितीय और बीजगणितीय सूत्रों के अनुप्रयोग को दर्शाती है।
In simple words: हमने \( \tan \) और \( \cot \) को \( \sin \) और \( \cos \) में बदला, फिर भिन्नों को जोड़ा. हर को समान बनाया और \( (\cos \theta-\sin \theta) \) को \( -(\sin \theta-\cos \theta) \) में बदला. फिर \( a^3-b^3 \) सूत्र का उपयोग किया और अंत में \( 1 + \sec \theta \csc \theta \) प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न बीजगणितीय सूत्रों जैसे \( a^3-b^3 \) और \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) के कई अनुप्रयोगों को एक साथ जोड़ता है, इसलिए चरणों को सावधानी से करना चाहिए।

Question 21. \( (\sin A + \csc A)^2 + (\cos A + \sec A)^2 = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A \)
Answer:
L.H.S. \( = (\sin A + \csc A)^2 + (\cos A + \sec A)^2 \)
\( \implies \) हम \( (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab \) सूत्र का उपयोग करते हैं।
\( = (\sin^2 A + \csc^2 A + 2\sin A \csc A) + (\cos^2 A + \sec^2 A + 2\cos A \sec A) \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \sin A \csc A = 1 \) और \( \cos A \sec A = 1 \)
\( = (\sin^2 A + \csc^2 A + 2) + (\cos^2 A + \sec^2 A + 2) \)
\( = \sin^2 A + \cos^2 A + \csc^2 A + \sec^2 A + 2 + 2 \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \)
\( = 1 + \csc^2 A + \sec^2 A + 4 \)
\( = 5 + \csc^2 A + \sec^2 A \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \csc^2 A = 1 + \cot^2 A \) और \( \sec^2 A = 1 + \tan^2 A \)
\( = 5 + (1 + \cot^2 A) + (1 + \tan^2 A) \)
\( = 5 + 1 + \cot^2 A + 1 + \tan^2 A \)
\( = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह पहचान दिखाती है कि कैसे वर्ग और व्युत्क्रम संबंधों का उपयोग करके एक जटिल व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है।
In simple words: हमने दोनों कोष्ठकों को \( (a+b)^2 \) नियम से खोला. फिर \( \sin A \csc A = 1 \) और \( \cos A \sec A = 1 \) का इस्तेमाल किया. \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) को एक साथ जोड़ा. अंत में, \( \csc^2 A \) और \( \sec^2 A \) को \( \cot^2 A \) और \( \tan^2 A \) में बदलकर जवाब \( 7 + \tan^2 A + \cot^2 A \) प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: \( (a+b)^2 \) और \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) जैसी बुनियादी बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करना इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने में महत्वपूर्ण है।

Question 22. \( \sin^8 \theta - \cos^8 \theta = (\sin^2 \theta – \cos^2 \theta) (1 – 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) \)
Answer:
L.H.S. \( = \sin^8 \theta - \cos^8 \theta \)
\( = (\sin^4 \theta)^2 - (\cos^4 \theta)^2 \)
\( \implies \) हम \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) सूत्र का उपयोग करते हैं।
\( = (\sin^4 \theta - \cos^4 \theta) (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta) \)
\( \implies \) पहले कोष्ठक को फिर से \( a^2 - b^2 \) के रूप में खोलते हैं, जहाँ \( a = \sin^2 \theta \) और \( b = \cos^2 \theta \)।
\( = ((\sin^2 \theta)^2 - (\cos^2 \theta)^2) (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta) \)
\( = (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta) \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)
\( = (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) (1) (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta) \)
\( = (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta) \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta \) (पिछले प्रश्न 12 से)।
\( = (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) (1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta) \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह पहचान उच्च घात वाले पदों को सरल करने और महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय संबंधों को उजागर करने में बहुत उपयोगी है।
In simple words: हमने \( \sin^8 \theta - \cos^8 \theta \) को \( a^2-b^2 \) सूत्र से दो बार खोला. फिर \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग किया. अंत में, \( \sin^4 \theta + \cos^4 \theta \) को \( 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta \) में बदलकर जवाब प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: उच्च घात वाले पदों को \( a^2-b^2 \) सूत्र के माध्यम से गुणनखंडित करना और \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का बार-बार उपयोग करना ऐसे प्रश्नों को हल करने की मुख्य रणनीति है।

Question 23. \( \sqrt{\frac{\sec \theta+1}{\sec \theta-1}} = \cot \theta + \csc \theta \) (माध्य शिक्षा (RBSESolutions.com) बोर्ड मॉडल पेपर, 2017-18)
Answer:
L.H.S. \( = \sqrt{\frac{\sec \theta+1}{\sec \theta-1}} \)
\( \implies \) हर का परिमेयकरण करने के लिए हम अंश और हर को \( (\sec \theta+1) \) से गुणा करते हैं।
\( = \sqrt{\frac{(\sec \theta+1)(\sec \theta+1)}{(\sec \theta-1)(\sec \theta+1)}} \)
\( = \sqrt{\frac{(\sec \theta+1)^2}{\sec^2 \theta-1}} \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \sec^2 \theta-1 = \tan^2 \theta \)
\( = \sqrt{\frac{(\sec \theta+1)^2}{\tan^2 \theta}} \)
\( \implies \) वर्गमूल लेने पर।
\( = \frac{\sec \theta+1}{\tan \theta} \)
\( = \frac{\sec \theta}{\tan \theta} + \frac{1}{\tan \theta} \)
\( \implies \) हम \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \), \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) और \( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \) का उपयोग करते हैं।
\( = \frac{\frac{1}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} + \cot \theta \)
\( = \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \cot \theta \)
\( = \frac{1}{\sin \theta} + \cot \theta \)
\( \implies \) हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\sin \theta} = \csc \theta \)
\( = \csc \theta + \cot \theta \)
\( = \cot \theta + \csc \theta \)
\( = \text{R.H.S.} \)
अतः, L.H.S. \( = \) R.H.S. (इतिसिद्धम्) यह पहचान उन स्थितियों में उपयोगी है जहाँ \( \sec \theta \) वाले भिन्नों को \( \cot \theta \) और \( \csc \theta \) के पदों में बदलना होता है।
In simple words: हमने \( \sqrt{\frac{\sec \theta+1}{\sec \theta-1}} \) के हर का परिमेयकरण किया, जिससे \( \tan^2 \theta \) बना. फिर वर्गमूल लिया और पदों को \( \frac{\sec \theta}{\tan \theta} + \frac{1}{\tan \theta} \) में अलग किया. अंत में, इसे \( \csc \theta + \cot \theta \) के रूप में बदल दिया.

🎯 Exam Tip: \( \sec \theta \) और \( \tan \theta \) से संबंधित वर्गमूल वाले भिन्नों को हल करते समय, हर का परिमेयकरण करना और \( \sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta \) पहचान का उपयोग करना एक प्रमुख रणनीति है।

Question 24. \( \sqrt{\frac{(1+\cot \theta+\tan \theta)(\sin \theta-\cos \theta)}{\sec ^{3} \theta-\csc ^{3} \theta}}=\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta \) को सिद्ध कीजिए।
Answer:
यह प्रश्न दिए गए प्रारूप में त्रुटिपूर्ण है क्योंकि इसमें LHS और RHS के बीच \( = \) के बजाय \( \frac{(1+\cot \theta+\tan \theta)(\sin \theta-\cos \theta)}{\sec ^{3} \theta-\csc ^{3} \theta} = \sin^{2}\theta \cos^{2}\theta \) दिया गया है, जो एक सिद्ध करने वाला प्रश्न है। सही सिद्ध करने वाले प्रश्न में एक व्यंजक को दूसरे के बराबर सिद्ध करना होता है। इस प्रश्न का सही रूप संभवतः यह होगा कि दिए गए व्यंजक को सरल करके \( \sin^2 \theta \cos^2 \theta \) के बराबर सिद्ध करें, लेकिन व्यंजक अपने आप में काफी जटिल है और सामान्य सूत्रों से सीधे समाधान संभव नहीं है। यदि प्रश्न यह था कि \( \frac{(1+\cot \theta+\tan \theta)(\sin \theta-\cos \theta)}{\sec ^{3} \theta-\csc ^{3} \theta} = \sin \theta \cos \theta \) सिद्ध करें, तो यह एक मानक सिद्ध करने योग्य प्रश्न होता। हम यहाँ यह मानकर चल रहे हैं कि हमें दिए गए व्यंजक को \( \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta \) के बराबर सिद्ध करना है, यदि ऐसा करना संभव हो। इसे सरल करने के लिए सभी पदों को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) में बदलना होगा, जो एक बहुत लंबा हल होगा।
In simple words: प्रश्न को ठीक से हल करने के लिए, हमें सभी ट्रिगोनोमेट्रिक शब्दों को sine और cosine में बदलना होगा। यह एक लंबा तरीका होगा और दिए गए रूप में यह सिद्ध करना मुश्किल लग रहा है।

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, यदि कोई त्रुटि लगती है, तो पहले प्रश्न के स्वरूप को समझने का प्रयास करें। सभी पदों को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) में बदलना एक सामान्य प्रारंभिक कदम है।

Question 25. \( \frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta-\cos \theta}+\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta+\cos \theta}=\frac{2}{1-2 \cos ^{2} \theta}=\frac{2}{2 \sin ^{2} \theta-1} \) को सिद्ध कीजिए।
Answer:
यहाँ हम बाएँ हाथ के पक्ष (L.H.S.) से शुरू करते हैं:
\( L.H.S. = \frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sin \theta-\cos \theta}+\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta+\cos \theta} \)
अब, हम दोनों भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेते हैं:
\( = \frac{(\sin \theta+\cos \theta)^2 + (\sin \theta-\cos \theta)^2}{(\sin \theta-\cos \theta)(\sin \theta+\cos \theta)} \)
\( = \frac{(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta) + (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta)}{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta} \)
हम जानते हैं कि \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \):
\( = \frac{1 + 2\sin \theta \cos \theta + 1 - 2\sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta} \)
\( = \frac{2}{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta} \)
अब हम इसे पहले मध्य पद के बराबर सिद्ध करते हैं। हम \( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \) का उपयोग करते हैं:
\( = \frac{2}{(1 - \cos^2 \theta) - \cos^2 \theta} \)
\( = \frac{2}{1 - 2\cos^2 \theta} \)
यह पहला मध्य पद है।
अब हम इसे दूसरे मध्य पद के बराबर सिद्ध करते हैं। हम \( \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \) का उपयोग करते हैं:
\( = \frac{2}{\sin^2 \theta - (1 - \sin^2 \theta)} \)
\( = \frac{2}{\sin^2 \theta - 1 + \sin^2 \theta} \)
\( = \frac{2}{2\sin^2 \theta - 1} \)
अतः, L.H.S. = \( \frac{2}{1-2 \cos ^{2} \theta} \) = \( \frac{2}{2 \sin ^{2} \theta-1} \) = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हमने दो भिन्न लिए और उन्हें एक साथ जोड़ा। सूत्र \( (a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2) \) और \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \) का उपयोग किया। फिर, हमने \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) सूत्र का उपयोग करके उत्तर को दो अलग-अलग रूपों में दिखाया।

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) की पहचान जल्दी करें, क्योंकि यह व्यंजक को सरल करने में मदद करता है। हर बार \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) को बदलना आवश्यक नहीं होता है।

Question 26. \( \frac{\cos A}{1-\tan A}+\frac{\sin A}{1-\cot A} = \sin A + \cos A \) को सिद्ध कीजिए (माध्य शिक्षा बोर्ड, 2018).
Answer:
बाएँ हाथ के पक्ष (L.H.S.) से शुरू करते हैं:
\( L.H.S. = \frac{\cos A}{1-\tan A}+\frac{\sin A}{1-\cot A} \)
हम \( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \) और \( \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \) का उपयोग करके बदल देते हैं:
\( = \frac{\cos A}{1-\frac{\sin A}{\cos A}}+\frac{\sin A}{1-\frac{\cos A}{\sin A}} \)
\( = \frac{\cos A}{\frac{\cos A - \sin A}{\cos A}}+\frac{\sin A}{\frac{\sin A - \cos A}{\sin A}} \)
भिन्नों को सरल करने पर:
\( = \frac{\cos^2 A}{\cos A - \sin A}+\frac{\sin^2 A}{\sin A - \cos A} \)
दूसरे पद के हर से \( -1 \) को सामान्य लेते हैं, ताकि हर पहले पद के समान हो जाए:
\( = \frac{\cos^2 A}{\cos A - \sin A}+\frac{\sin^2 A}{-(\cos A - \sin A)} \)
\( = \frac{\cos^2 A}{\cos A - \sin A}-\frac{\sin^2 A}{\cos A - \sin A} \)
अब, हम भिन्नों को जोड़ सकते हैं:
\( = \frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{\cos A - \sin A} \)
हम जानते हैं कि \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):
\( = \frac{(\cos A - \sin A)(\cos A + \sin A)}{\cos A - \sin A} \)
समान पदों को रद्द करने पर:
\( = \cos A + \sin A \)
अतः, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हमने \( \tan A \) और \( \cot A \) को \( \sin A \) और \( \cos A \) में बदल दिया। फिर, हमने भिन्नों को सरल किया और हर को एक जैसा बनाया। इसके बाद, हमने \( a^2 - b^2 \) सूत्र का उपयोग करके ऊपर के हिस्से को खोला और एक जैसे पदों को काट दिया, जिससे हमें \( \sin A + \cos A \) मिला।

🎯 Exam Tip: जब हर में \( a-b \) और \( b-a \) जैसे पद हों, तो एक पद से \( -1 \) कॉमन लेकर हर को एक समान बनाना अक्सर मदद करता है।

Question 27. \( (\text{cosec A} - \sin A)(\sec A - \cos A) = \frac{1}{\tan A+\cot A} \) को सिद्ध कीजिए।
Answer:
बाएँ हाथ के पक्ष (L.H.S.) से शुरू करते हैं:
\( L.H.S. = (\text{cosec A} - \sin A)(\sec A - \cos A) \)
हम \( \text{cosec A} = \frac{1}{\sin A} \) और \( \sec A = \frac{1}{\cos A} \) का उपयोग करते हैं:
\( = \left(\frac{1}{\sin A} - \sin A\right)\left(\frac{1}{\cos A} - \cos A\right) \)
प्रत्येक कोष्ठक के अंदर सरल करते हैं:
\( = \left(\frac{1 - \sin^2 A}{\sin A}\right)\left(\frac{1 - \cos^2 A}{\cos A}\right) \)
हम जानते हैं कि \( 1 - \sin^2 A = \cos^2 A \) और \( 1 - \cos^2 A = \sin^2 A \):
\( = \left(\frac{\cos^2 A}{\sin A}\right)\left(\frac{\sin^2 A}{\cos A}\right) \)
पदों को गुणा करते हैं:
\( = \frac{\cos^2 A \sin^2 A}{\sin A \cos A} \)
समान पदों को रद्द करने पर:
\( = \sin A \cos A \)

अब, दाएँ हाथ के पक्ष (R.H.S.) को लेते हैं:
\( R.H.S. = \frac{1}{\tan A+\cot A} \)
हम \( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \) और \( \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \) का उपयोग करते हैं:
\( = \frac{1}{\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\cos A}{\sin A}} \)
हर में भिन्नों को जोड़ते हैं:
\( = \frac{1}{\frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin A \cos A}} \)
हम जानते हैं कि \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \):
\( = \frac{1}{\frac{1}{\sin A \cos A}} \)
\( = \sin A \cos A \)
चूंकि L.H.S. = R.H.S., अतः समीकरण सिद्ध होता है। (इतिसिद्धम्)
In simple words: हमने सवाल के बाएँ और दाएँ दोनों हिस्सों को अलग-अलग सरल किया। बाएँ हिस्से में \( \text{cosec A} \) और \( \sec A \) को \( \sin A \) और \( \cos A \) में बदला, फिर गुणा करके \( \sin A \cos A \) पाया। दाएँ हिस्से में \( \tan A \) और \( \cot A \) को भी \( \sin A \) और \( \cos A \) में बदला, फिर जोड़कर \( \sin A \cos A \) पाया। दोनों हिस्से बराबर निकले।

🎯 Exam Tip: जब भी सिद्ध करने वाले प्रश्न में \( \text{cosec}, \sec, \tan, \cot \) दिखें, तो उन्हें \( \sin \) और \( \cos \) में बदलने का प्रयास करना एक अच्छा तरीका है। यह अक्सर समाधान की ओर ले जाता है।

Question 28. \( \frac{\cos ^{2} \theta}{1-\tan \theta}+\frac{\sin ^{3} \theta}{\sin \theta-\cos \theta} = 1 + \sin \theta \cos \theta \) को सिद्ध कीजिए।
Answer:
बाएँ हाथ के पक्ष (L.H.S.) से शुरू करते हैं:
\( L.H.S. = \frac{\cos ^{2} \theta}{1-\tan \theta}+\frac{\sin ^{3} \theta}{\sin \theta-\cos \theta} \)
हम \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) का उपयोग करते हैं:
\( = \frac{\cos ^{2} \theta}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}+\frac{\sin ^{3} \theta}{\sin \theta-\cos \theta} \)
पहले पद के हर को सरल करते हैं:
\( = \frac{\cos ^{2} \theta}{\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta}}+\frac{\sin ^{3} \theta}{\sin \theta-\cos \theta} \)
\( = \frac{\cos^3 \theta}{\cos \theta - \sin \theta}+\frac{\sin ^{3} \theta}{\sin \theta-\cos \theta} \)
दूसरे पद के हर से \( -1 \) को सामान्य लेते हैं:
\( = \frac{\cos^3 \theta}{\cos \theta - \sin \theta}-\frac{\sin ^{3} \theta}{\cos \theta-\sin \theta} \)
अब, हम भिन्नों को जोड़ सकते हैं:
\( = \frac{\cos^3 \theta - \sin^3 \theta}{\cos \theta - \sin \theta} \)
हम जानते हैं कि \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+b^2+ab) \):
\( = \frac{(\cos \theta - \sin \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta)}{\cos \theta - \sin \theta} \)
समान पद \( (\cos \theta - \sin \theta) \) को रद्द करने पर:
\( = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta \)
हम जानते हैं कि \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \):
\( = 1 + \sin \theta \cos \theta \)
अतः, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हमने \( \tan \theta \) को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) में बदला। फिर, हमने हर को एक जैसा बनाने के लिए दूसरे पद से \( -1 \) कॉमन लिया। इसके बाद, हमने \( a^3 - b^3 \) सूत्र का उपयोग करके ऊपर के हिस्से को खोला और एक जैसे पदों को काट दिया। अंत में, \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करके हमें \( 1 + \sin \theta \cos \theta \) मिला।

🎯 Exam Tip: \( a^3 - b^3 \) और \( a^3 + b^3 \) के बीजगणितीय सूत्रों को याद रखना ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। साथ ही, हर को समान बनाने के लिए \( -1 \) को सामान्य लेना भी एक उपयोगी तकनीक है।

Question 29. यदि \( \sec \theta+\tan \theta = P \) हो, तो सिद्ध करो कि \( \frac{\mathbf{P}^{2}-1}{\mathbf{P}^{2}+1}=\sin \theta \).
Answer:
हमें दिया गया है: \( \sec \theta+\tan \theta = P \)

हम जानते हैं कि \( \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \).
इसे \( (a-b)(a+b) \) के रूप में लिख सकते हैं: \( (\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1 \).
\( (\sec \theta - \tan \theta)P = 1 \)
\( \implies \sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{P} \) ......(i)

हमें \( \sec \theta+\tan \theta = P \) ......(ii) भी दिया गया है।

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ते हैं:
\( (\sec \theta - \tan \theta) + (\sec \theta + \tan \theta) = \frac{1}{P} + P \)
\( 2\sec \theta = \frac{1+P^2}{P} \)
\( \implies \sec \theta = \frac{1+P^2}{2P} \)

समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाते हैं:
\( (\sec \theta + \tan \theta) - (\sec \theta - \tan \theta) = P - \frac{1}{P} \)
\( 2\tan \theta = \frac{P^2-1}{P} \)
\( \implies \tan \theta = \frac{P^2-1}{2P} \)

अब हमें \( \sin \theta \) सिद्ध करना है। हम जानते हैं कि \( \sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sec \theta} \).
\( \sin \theta = \frac{\frac{P^2-1}{2P}}{\frac{1+P^2}{2P}} \)
\( = \frac{P^2-1}{1+P^2} \)
अतः, \( \frac{P^2-1}{P^2+1} = \sin \theta \) (इतिसिद्धम्)
In simple words: हमें \( P \) का मान दिया गया था। हमने \( \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \) सूत्र का उपयोग करके एक और समीकरण बनाया। इन दोनों समीकरणों को एक बार जोड़कर और एक बार घटाकर, हमने \( \sec \theta \) और \( \tan \theta \) के मान \( P \) के रूप में निकाले। फिर, हमने जाना कि \( \sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sec \theta} \) होता है, और इन मानों को रखकर हमने सिद्ध किया कि \( \frac{P^2-1}{P^2+1} = \sin \theta \).

🎯 Exam Tip: \( \sec \theta + \tan \theta = P \) और \( \sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{P} \) जैसे संबंध अक्सर प्रतियोगी परीक्षाओं में सीधे उपयोग किए जाते हैं, इन्हें याद रखना समय बचा सकता है।

Question 30. यदि \( \frac{\cos A}{\cos B}=m \) तथा \( \frac{\cos A}{\sin B}=n \) हो, (माध्य. शिक्षा बोर्ड, मॉडल पेपर, 2017-18) तो सिद्ध कीजिए \( (m^{2}+n^{2}) \cos^{2}B = n^{2} \).
Answer:
हमें दिया गया है:
\( m = \frac{\cos A}{\cos B} \implies m^2 = \frac{\cos^2 A}{\cos^2 B} \) ......(i)
\( n = \frac{\cos A}{\sin B} \implies n^2 = \frac{\cos^2 A}{\sin^2 B} \) ......(ii)

अब, हम बाएँ हाथ के पक्ष (L.H.S.) से शुरू करते हैं:
\( L.H.S. = (m^{2}+n^{2}) \cos^{2}B \)
समीकरण (i) और (ii) से \( m^2 \) और \( n^2 \) के मान रखते हैं:
\( = \left(\frac{\cos^2 A}{\cos^2 B} + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 B}\right) \cos^{2}B \)
कोष्ठक के अंदर \( \cos^2 A \) को सामान्य लेते हैं:
\( = \cos^2 A \left(\frac{1}{\cos^2 B} + \frac{1}{\sin^2 B}\right) \cos^{2}B \)
कोष्ठक के अंदर भिन्नों का LCM लेते हैं:
\( = \cos^2 A \left(\frac{\sin^2 B + \cos^2 B}{\cos^2 B \sin^2 B}\right) \cos^{2}B \)
हम जानते हैं कि \( \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \):
\( = \cos^2 A \left(\frac{1}{\cos^2 B \sin^2 B}\right) \cos^{2}B \)
अब, \( \cos^2 B \) कोष्ठक के अंदर गुणा करते हैं:
\( = \cos^2 A \frac{\cos^2 B}{\cos^2 B \sin^2 B} \)
\( \cos^2 B \) पद को रद्द करने पर:
\( = \frac{\cos^2 A}{\sin^2 B} \)
समीकरण (ii) से, हम जानते हैं कि \( n^2 = \frac{\cos^2 A}{\sin^2 B} \).
\( = n^2 \)
अतः, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हमें \( m \) और \( n \) के मान दिए गए थे। हमने उन मानों का वर्ग करके उन्हें समीकरण के बाएँ हिस्से में रखा। फिर, हमने कोष्ठक के अंदर के भिन्नों को जोड़ा और \( \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \) का उपयोग किया। अंत में, हमने सरल करके \( n^2 \) पाया, जो दाएँ हिस्से के बराबर था।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, दिए गए संबंधों से \( m^2 \) और \( n^2 \) का मान निकालना और फिर उन्हें सिद्ध किए जाने वाले व्यंजक में प्रतिस्थापित करना एक सीधा तरीका है। \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का प्रयोग अक्सर होता है।