RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 7 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ More Ques

Objective Questions

Question 1. \( \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan ^{2} \theta}} \) बराबर है
(a) cos θ
(b) sin θ
(c) sec θ
(d) cot θ
Answer: (b) sin θ
In simple words: हम \( 1 + \tan^2 \theta \) को \( \sec^2 \theta \) लिख सकते हैं. फिर वर्गमूल लेने पर यह \( \sec \theta \) बन जाता है. \( \frac{\tan \theta}{\sec \theta} \) को \( \frac{\sin \theta / \cos \theta}{1 / \cos \theta} \) लिखा जा सकता है, जिससे यह \( \sin \theta \) के बराबर हो जाता है.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं \( 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \) और \( 1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta \) को याद रखना ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है.

Question 2. \( \frac {\sqrt {{cosec }^{ 2 }\theta -1 } }{ cosec\theta } \) बराबर है
(a) cos θ
(b) sec θ
(c) sin θ
(d) cosec
Answer: (a) cos θ
In simple words: \( \text{cosec}^2 \theta - 1 \) को \( \cot^2 \theta \) के रूप में लिखा जा सकता है. इसका वर्गमूल \( \cot \theta \) होता है. फिर \( \frac{\cot \theta}{\text{cosec } \theta} \) को \( \frac{\cos \theta / \sin \theta}{1 / \sin \theta} \) के रूप में बदलकर \( \cos \theta \) प्राप्त किया जाता है.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय व्यंजकों को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) में बदलना अक्सर उन्हें सरल बनाने का सबसे आसान तरीका होता है.

Question 3. \( \sin \theta \text{cosec } \theta + \cos \theta \sec \theta \) बराबर है
(a) 2
(b) 1
(c) \( \frac{1}{2} \)
(d) - 1
Answer: (a) 2
In simple words: क्योंकि \( \text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta} \) और \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \), इसलिए \( \sin \theta \cdot \text{cosec } \theta \) का मान 1 होता है और \( \cos \theta \cdot \sec \theta \) का मान भी 1 होता है. इस प्रकार, कुल योग \( 1+1=2 \) है.

🎯 Exam Tip: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय संबंधों जैसे \( \sin \theta \cdot \text{cosec } \theta = 1 \) और \( \cos \theta \cdot \sec \theta = 1 \) को याद रखना समय बचाता है.

Question 5. \( \frac {3\sec51^{\circ } }{ \text{cosec}{ 39 }^{\circ } } \) का मान है-
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 0
Answer: (c) 3
In simple words: हमें पता है कि \( \text{cosec } (90^\circ - \theta) = \sec \theta \) होता है. तो \( \text{cosec } 39^\circ \) को \( \sec (90^\circ - 39^\circ) \), यानी \( \sec 51^\circ \) लिखा जा सकता है. इस तरह, अंश और हर दोनों में \( \sec 51^\circ \) होता है और वे कट जाते हैं, जिससे केवल 3 बचता है.

🎯 Exam Tip: पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात, जैसे \( \sec (90^\circ - \theta) = \text{cosec } \theta \), का उपयोग करने से व्यंजक सरल हो जाते हैं.

Question 6. यदि \( \cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\frac{1}{2} \) हो तो \( \theta \) का मान होगा
(a) 90°
(b) 60°
(c) 45°
(d) 30°
Answer: (d) 30°
In simple words: हम जानते हैं कि \( \cos (90^\circ - \theta) \) का मतलब \( \sin \theta \) होता है. तो प्रश्न में दिया गया है कि \( \sin \theta = \frac{1}{2} \). \( \sin \) फलन का मान \( \frac{1}{2} \) तब होता है जब कोण \( 30^\circ \) होता है, इसलिए \( \theta = 30^\circ \).

🎯 Exam Tip: मानक कोणों (जैसे \( 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ \)) के लिए त्रिकोणमितीय मान याद रखना बहुत उपयोगी होता है.

Question 7. \( \sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ + 1 \) का मान बराबर है
(a) 2
(b) 1
(c) \( \frac{1}{2} \)
(d) 0
Answer: (a) 2
In simple words: त्रिकोणमिति की एक मुख्य पहचान यह है कि किसी भी कोण \( \theta \) के लिए \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \) हमेशा 1 के बराबर होता है. इसलिए, \( \sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ \) का मान 1 होगा. फिर उसमें 1 जोड़ने पर कुल मान 2 हो जाता है.

🎯 Exam Tip: पहचान \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) त्रिकोणमिति के सबसे महत्वपूर्ण सूत्रों में से एक है और इसे हमेशा याद रखना चाहिए.

Question 8. \( \frac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}} \) बराबर होगा
(a) sin θ
(b) cose
(c) 1-sin
(d) 1+sin θ
Answer: (b) sec θ
In simple words: हमें पता है कि \( 1 - \sin^2 \theta \) का मतलब \( \cos^2 \theta \) होता है. जब हम इसका वर्गमूल लेते हैं, तो यह \( \cos \theta \) हो जाता है. फिर \( \frac{1}{\cos \theta} \) का मान \( \sec \theta \) होता है.

🎯 Exam Tip: \( 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta \) पहचान का उपयोग करके व्यंजकों को सरल बनाना एक सामान्य विधि है. ध्यान रहे कि ऑप्शन में 'cose' लिखा है, लेकिन गणितीय रूप से सही उत्तर 'sec θ' है, जो कि 'b' विकल्प के अनुरूप है.

Question 9. \( \text{cosec}^2 \theta - 1 \) बराबर है
(a) tan²θ
(b) cot²θ
(c) - tan²θ
(d) - cot²θ
Answer: (b) cot²θ
In simple words: यह एक मानक त्रिकोणमितीय पहचान है. \( 1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta \) होता है. अगर हम इस पहचान को दोबारा व्यवस्थित करें, तो \( \text{cosec}^2 \theta - 1 \) का मान \( \cot^2 \theta \) होता है.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमिति की तीन मुख्य पहचानें \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), \( 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \) और \( 1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta \) को हमेशा कंठस्थ रखना चाहिए.

Very Short Answer Type Questions

Question 1. यदि \( \sin 3A = \cos (A - 26^\circ) \) हो, जहाँ \( 3A \) एक न्यून कोण है। तो \( A \) का मान ज्ञात कीजिये।
Answer: दिया गया है कि \( \sin 3A = \cos (A - 26^\circ) \).
हम जानते हैं कि \( \sin \theta = \cos (90^\circ - \theta) \). इसलिए, \( \sin 3A \) को \( \cos (90^\circ - 3A) \) के रूप में लिख सकते हैं.
\( \implies \cos (90^\circ - 3A) = \cos (A - 26^\circ) \)
चूंकि \( 3A \) एक न्यून कोण है, तो \( 90^\circ - 3A \) और \( A - 26^\circ \) दोनों न्यून कोण होंगे, इसलिए हम कोणों की तुलना कर सकते हैं:
\( 90^\circ - 3A = A - 26^\circ \)
अब, \( A \) वाले पदों को एक तरफ और संख्या वाले पदों को दूसरी तरफ ले जाते हैं:
\( 90^\circ + 26^\circ = A + 3A \)
\( 116^\circ = 4A \)
\( \implies A = \frac{116^\circ}{4} = 29^\circ \).
इस प्रकार, \( A \) का मान \( 29^\circ \) है.
In simple words: हम \( \sin \) को \( \cos \) में बदलने के लिए \( 90^\circ - \theta \) का नियम लगाते हैं. फिर दोनों तरफ \( \cos \) होने पर हम कोणों को बराबर रख देते हैं. समीकरण हल करने पर \( A \) का मान \( 29^\circ \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, पूरक कोणों के संबंधों का उपयोग करके दोनों पक्षों को एक ही त्रिकोणमितीय अनुपात में बदलना पहला कदम होता है. सुनिश्चित करें कि समीकरण हल करते समय कोणों को सही ढंग से जोड़ें या घटाएं.

Question 2. \( \cot 85^\circ + \cos 75^\circ \) को (0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिये ।
Answer: हमें \( \cot 85^\circ + \cos 75^\circ \) को \( 0^\circ \) और \( 45^\circ \) के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त करना है.
पूरक कोणों के सूत्रों का उपयोग करते हैं:
\( \cot (90^\circ - \theta) = \tan \theta \)
\( \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta \)
सबसे पहले \( \cot 85^\circ \) को बदलते हैं:
\( \cot 85^\circ = \cot (90^\circ - 5^\circ) = \tan 5^\circ \).
अब \( \cos 75^\circ \) को बदलते हैं:
\( \cos 75^\circ = \cos (90^\circ - 15^\circ) = \sin 15^\circ \).
अतः, \( \cot 85^\circ + \cos 75^\circ = \tan 5^\circ + \sin 15^\circ \).
यहां, \( 5^\circ \) और \( 15^\circ \) दोनों \( 0^\circ \) और \( 45^\circ \) के बीच में हैं.
In simple words: हमें बड़े कोणों को \( 90^\circ \) में से घटाकर छोटे कोणों में बदलना है. \( \cot 85^\circ \) को \( \tan 5^\circ \) और \( \cos 75^\circ \) को \( \sin 15^\circ \) के रूप में लिखते हैं, जो \( 0^\circ \) से \( 45^\circ \) के बीच में हैं.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में हमेशा यह सुनिश्चित करें कि अंतिम कोण \( 0^\circ \) और \( 45^\circ \) के बीच में हों. पूरक कोणों के सूत्र सही ढंग से लागू करना महत्वपूर्ण है.

Question 3. \( \sin 25^\circ \cdot \cos 65^\circ + \cos 25^\circ \cdot \sin 65^\circ + \sin^2 25^\circ + \sin^2 65^\circ \) का मान ज्ञात कीजिये ।
Answer: हमें \( \sin 25^\circ \cdot \cos 65^\circ + \cos 25^\circ \cdot \sin 65^\circ + \sin^2 25^\circ + \sin^2 65^\circ \) का मान ज्ञात करना है.
इस व्यंजक को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:
पहला भाग: \( \sin 25^\circ \cdot \cos 65^\circ + \cos 25^\circ \cdot \sin 65^\circ \)
यह \( \sin(A+B) \) सूत्र है, जहां \( A = 25^\circ \) और \( B = 65^\circ \).
\( \implies \sin(25^\circ + 65^\circ) = \sin 90^\circ = 1 \).
दूसरा भाग: \( \sin^2 25^\circ + \sin^2 65^\circ \)
हम जानते हैं कि \( \sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta \). तो \( \sin 65^\circ = \sin(90^\circ - 25^\circ) = \cos 25^\circ \).
इसलिए, \( \sin^2 65^\circ = \cos^2 25^\circ \).
दूसरा भाग \( = \sin^2 25^\circ + \cos^2 25^\circ \).
त्रिकोणमितीय पहचान \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करते हुए, इसका मान 1 है.
पूरे व्यंजक का मान पहले और दूसरे भाग का योग है:
\( = 1 + 1 = 2 \).
In simple words: व्यंजक के पहले हिस्से में \( \sin(A+B) \) का सूत्र लगता है, जिससे उसका मान \( \sin 90^\circ \) यानी 1 हो जाता है. दूसरे हिस्से में, हम \( \sin 65^\circ \) को \( \cos 25^\circ \) में बदलते हैं, जिससे यह \( \sin^2 25^\circ + \cos^2 25^\circ \) बन जाता है, जिसका मान भी 1 होता है. आखिर में, दोनों हिस्सों को जोड़ने पर कुल मान 2 मिलता है.

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय व्यंजकों को हल करते समय, उन्हें पहचानने की कोशिश करें जो मानक सूत्रों जैसे \( \sin(A+B) \) या \( \cos(A+B) \) का पालन करते हैं. साथ ही, पूरक कोणों और वर्ग पहचानों का उपयोग करने के लिए हमेशा तैयार रहें.

Question 4. यदि \( \sin \theta = \cos \theta \) तो \( \theta \) का मान ज्ञात कीजिये।
Answer: दिया गया है कि \( \sin \theta = \cos \theta \).
हम जानते हैं कि \( \cos \theta = \sin (90^\circ - \theta) \). इस मान को समीकरण में रखते हैं:
\( \implies \sin \theta = \sin (90^\circ - \theta) \)
चूंकि दोनों पक्ष \( \sin \) फलन के रूप में हैं, हम कोणों को बराबर कर सकते हैं (न्यून कोण के लिए):
\( \theta = 90^\circ - \theta \)
\( \implies \theta + \theta = 90^\circ \)
\( \implies 2\theta = 90^\circ \)
\( \implies \theta = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \).
इस प्रकार, \( \theta \) का मान \( 45^\circ \) है.
In simple words: जब \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) बराबर होते हैं, तो इसका मतलब है कि \( \tan \theta = 1 \). \( \tan \) का मान 1 तब होता है जब कोण \( 45^\circ \) होता है.

🎯 Exam Tip: \( \sin \theta = \cos \theta \) की स्थिति में \( \tan \theta = 1 \) का उपयोग करके हल करना सबसे सीधा तरीका है. \( \theta \) के मान को हमेशा रेडियन या डिग्री में स्पष्ट रूप से बताएं.

Question 5. \( 4 \sin 18^\circ \sec 72^\circ \) का मान लिखिए।
Answer: हमें \( 4 \sin 18^\circ \sec 72^\circ \) का मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि \( \sec (90^\circ - \theta) = \text{cosec } \theta \).
\( \sec 72^\circ \) को पूरक कोण का उपयोग करके बदलेंगे:
\( \sec 72^\circ = \sec (90^\circ - 18^\circ) = \text{cosec } 18^\circ \).
अब इस मान को मूल व्यंजक में रखते हैं:
व्यंजक \( = 4 \sin 18^\circ \cdot \text{cosec } 18^\circ \).
हम यह भी जानते हैं कि \( \text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta} \).
\( \implies 4 \sin 18^\circ \cdot \frac{1}{\sin 18^\circ} \)
\( \implies 4 \cdot 1 = 4 \).
इस प्रकार, व्यंजक का मान 4 है.
In simple words: हम \( \sec 72^\circ \) को \( \text{cosec } 18^\circ \) में बदलते हैं क्योंकि \( 72^\circ \) और \( 18^\circ \) पूरक कोण हैं. फिर \( \sin 18^\circ \) और \( \text{cosec } 18^\circ \) एक दूसरे के उल्टे होते हैं, इसलिए उनका गुणा 1 होता है. इस प्रकार, पूरा व्यंजक \( 4 \times 1 = 4 \) हो जाता है.

🎯 Exam Tip: पूरक कोणों के संबंधों का उपयोग करने के बाद, \( \sin \theta \cdot \text{cosec } \theta = 1 \) और \( \cos \theta \cdot \sec \theta = 1 \) जैसी व्युत्क्रम पहचानों का उपयोग करना अक्सर व्यंजकों को सरल बनाने में मदद करता है.

Question 6. \( \cos^2 50^\circ + \cos^2 40^\circ \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \cos^2 50^\circ + \cos^2 40^\circ \) का मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि \( \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta \).
इसलिए, \( \cos 40^\circ \) को पूरक कोण के रूप में लिखा जा सकता है:
\( \cos 40^\circ = \cos (90^\circ - 50^\circ) = \sin 50^\circ \).
तो, \( \cos^2 40^\circ = \sin^2 50^\circ \).
अब इस मान को मूल व्यंजक में रखते हैं:
व्यंजक \( = \cos^2 50^\circ + \sin^2 50^\circ \).
त्रिकोणमितीय पहचान \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है:
व्यंजक \( = 1 \).
इस प्रकार, मान 1 है.
In simple words: हम \( \cos^2 40^\circ \) को \( \sin^2 50^\circ \) में बदल सकते हैं, क्योंकि 40 और 50 पूरक कोण हैं. फिर हमें \( \cos^2 50^\circ + \sin^2 50^\circ \) मिलता है, जो हमेशा 1 के बराबर होता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहां कोणों का योग \( 90^\circ \) होता है, पूरक कोण संबंधों का उपयोग करके उन्हें एक ही कोण के त्रिकोणमितीय अनुपातों में बदलें, जिससे \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग किया जा सके.

Question 7. \( \frac{\sqrt{1-\sin ^{2} 40^{\circ}}}{\cos 40^{\circ}} \) का सरलतम मान लिखिए।
Answer: हमें \( \frac{\sqrt{1-\sin ^{2} 40^{\circ}}}{\cos 40^{\circ}} \) का सरलतम मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय पहचान \( 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta \) होती है.
तो, अंश में \( 1 - \sin^2 40^\circ \) को \( \cos^2 40^\circ \) के रूप में लिखा जा सकता है.
व्यंजक \( = \frac{\sqrt{\cos^2 40^\circ}}{\cos 40^\circ} \).
वर्गमूल लेने पर, \( \sqrt{\cos^2 40^\circ} = \cos 40^\circ \) (क्योंकि \( 40^\circ \) एक न्यून कोण है, इसलिए \( \cos 40^\circ \) धनात्मक होगा).
व्यंजक \( = \frac{\cos 40^\circ}{\cos 40^\circ} \).
अंश और हर में समान पद को काटने पर:
व्यंजक \( = 1 \).
इस प्रकार, सरलतम मान 1 है.
In simple words: \( 1 - \sin^2 40^\circ \) को \( \cos^2 40^\circ \) में बदलें. फिर वर्गमूल लेने पर यह \( \cos 40^\circ \) हो जाता है. अंश और हर में \( \cos 40^\circ \) होने से, वे कट जाते हैं और उत्तर 1 आता है.

🎯 Exam Tip: वर्गमूल के अंदर \( 1 - \sin^2 \theta \) या \( 1 - \cos^2 \theta \) दिखने पर हमेशा उन्हें \( \cos^2 \theta \) या \( \sin^2 \theta \) में बदलकर सरल करें.

Question 8. \( \sin \theta \cdot \text{cosec } \theta - \cos \theta \cdot \sec \theta \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \sin \theta \cdot \text{cosec } \theta - \cos \theta \cdot \sec \theta \) का मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि \( \text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta} \) और \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \).
इन व्युत्क्रम संबंधों को मूल व्यंजक में रखते हैं:
पहला पद: \( \sin \theta \cdot \text{cosec } \theta = \sin \theta \cdot \frac{1}{\sin \theta} = 1 \).
दूसरा पद: \( \cos \theta \cdot \sec \theta = \cos \theta \cdot \frac{1}{\cos \theta} = 1 \).
अब दोनों पदों को घटाते हैं:
व्यंजक \( = 1 - 1 = 0 \).
इस प्रकार, मान 0 है.
In simple words: \( \sin \theta \) और \( \text{cosec } \theta \) एक दूसरे के उल्टे होते हैं, इसलिए उनका गुणा 1 होता है. ऐसे ही \( \cos \theta \) और \( \sec \theta \) का गुणा भी 1 होता है. तो 1 में से 1 घटाने पर उत्तर 0 आता है.

🎯 Exam Tip: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय संबंधों जैसे \( \sin \theta \cdot \text{cosec } \theta = 1 \) और \( \cos \theta \cdot \sec \theta = 1 \) को सीधे लागू करने से जटिल दिखने वाले व्यंजक तुरंत सरल हो जाते हैं.

Question 10. \( \frac {1}{\sqrt {{ cosec }^{2}\theta -1 }} \) का मान लिखिए।
Answer: हमें \( \frac {1}{\sqrt {{ \text{cosec} }^{2}\theta -1 }} \) का मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय पहचान \( \text{cosec}^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta \) होती है.
तो, हर में \( \text{cosec}^2 \theta - 1 \) को \( \cot^2 \theta \) के रूप में लिखा जा सकता है.
व्यंजक \( = \frac{1}{\sqrt{\cot^2 \theta}} \).
वर्गमूल लेने पर, \( \sqrt{\cot^2 \theta} = \cot \theta \).
व्यंजक \( = \frac{1}{\cot \theta} \).
हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\cot \theta} = \tan \theta \).
इस प्रकार, व्यंजक का मान \( \tan \theta \) है.
In simple words: \( \text{cosec}^2 \theta - 1 \) को \( \cot^2 \theta \) में बदलें. फिर उसका वर्गमूल \( \cot \theta \) होता है. \( \frac{1}{\cot \theta} \) का मतलब \( \tan \theta \) होता है.

🎯 Exam Tip: हमेशा \( \text{cosec}^2 \theta - 1 \) को \( \cot^2 \theta \) में बदलने पर ध्यान दें, और फिर \( \frac{1}{\cot \theta} = \tan \theta \) संबंध का उपयोग करें.

Question 11. \( \frac{\tan 49^{\circ}}{\cot 41^{\circ}} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \frac{\tan 49^{\circ}}{\cot 41^{\circ}} \) का मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए \( \tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta \) होता है.
अंश में \( \tan 49^\circ \) को बदलते हैं:
\( \tan 49^\circ = \tan (90^\circ - 41^\circ) = \cot 41^\circ \).
अब इस मान को मूल व्यंजक में रखते हैं:
व्यंजक \( = \frac{\cot 41^\circ}{\cot 41^\circ} \).
अंश और हर में समान पद को काटने पर:
व्यंजक \( = 1 \).
इस प्रकार, मान 1 है.
In simple words: हम \( \tan 49^\circ \) को \( \cot 41^\circ \) में बदल सकते हैं, क्योंकि 49 और 41 का योग 90 है. जब अंश और हर बराबर हो जाते हैं, तो उनका भाग 1 आता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में जहां कोणों का योग \( 90^\circ \) होता है, किसी एक त्रिकोणमितीय अनुपात को पूरक कोण संबंध का उपयोग करके दूसरे में बदलें, जिससे व्यंजक का मान 1 (या -1) हो जाता है.

Question 12. \( \sin^2 50^\circ + \sin^2 40^\circ \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \sin^2 50^\circ + \sin^2 40^\circ \) का मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए \( \sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta \) होता है.
हम \( \sin 40^\circ \) को बदलेंगे:
\( \sin 40^\circ = \sin (90^\circ - 50^\circ) = \cos 50^\circ \).
तो, \( \sin^2 40^\circ = \cos^2 50^\circ \).
अब इस मान को मूल व्यंजक में रखते हैं:
व्यंजक \( = \sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ \).
त्रिकोणमितीय पहचान \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है:
व्यंजक \( = 1 \).
इस प्रकार, मान 1 है.
In simple words: हम \( \sin^2 40^\circ \) को \( \cos^2 50^\circ \) में बदल सकते हैं, क्योंकि 40 और 50 का योग 90 है. फिर हमें \( \sin^2 50^\circ + \cos^2 50^\circ \) मिलता है, जिसका मान हमेशा 1 होता है.

🎯 Exam Tip: जब दो कोणों का योग \( 90^\circ \) होता है, तो \( \sin^2 A + \sin^2 B = 1 \) या \( \cos^2 A + \cos^2 B = 1 \) जैसे संबंध लागू होते हैं. इसे पहचानने से गणना आसान हो जाती है.

Question 13. \( \tan 39^\circ - \cot 51^\circ \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \tan 39^\circ - \cot 51^\circ \) का मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए \( \tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta \) होता है.
हम \( \tan 39^\circ \) को बदलते हैं:
\( \tan 39^\circ = \tan (90^\circ - 51^\circ) = \cot 51^\circ \).
अब इस मान को मूल व्यंजक में रखते हैं:
व्यंजक \( = \cot 51^\circ - \cot 51^\circ \).
घटाने पर, हमें मिलता है:
व्यंजक \( = 0 \).
इस प्रकार, मान 0 है.
In simple words: हम \( \tan 39^\circ \) को \( \cot 51^\circ \) में बदल सकते हैं, क्योंकि 39 और 51 का योग 90 है. जब दोनों पद बराबर हो जाते हैं, तो एक में से दूसरे को घटाने पर उत्तर 0 आता है.

🎯 Exam Tip: यदि दो कोणों का योग \( 90^\circ \) है, और व्यंजक में \( \tan A - \cot B \) या \( \sec A - \text{cosec } B \) जैसे पद हैं, तो मान अक्सर 0 होता है. एक पद को दूसरे में बदलकर इसे सत्यापित करें.

Question 14. \( \sec 50^\circ \sin 40^\circ + \cos 40^\circ \text{cosec } 50^\circ \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \sec 50^\circ \sin 40^\circ + \cos 40^\circ \text{cosec } 50^\circ \) का मान ज्ञात करना है.
हम पूरक कोणों के सूत्रों का उपयोग करते हैं:
\( \sec 50^\circ = \sec (90^\circ - 40^\circ) = \text{cosec } 40^\circ \)
\( \text{cosec } 50^\circ = \text{cosec } (90^\circ - 40^\circ) = \sec 40^\circ \)
इन मानों को मूल व्यंजक में रखते हैं:
व्यंजक \( = (\text{cosec } 40^\circ)(\sin 40^\circ) + (\cos 40^\circ)(\sec 40^\circ) \).
हम जानते हैं कि \( \text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta} \) और \( \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} \).
\( \implies \left(\frac{1}{\sin 40^\circ}\right) (\sin 40^\circ) + (\cos 40^\circ) \left(\frac{1}{\cos 40^\circ}\right) \)
\( \implies 1 + 1 = 2 \).
इस प्रकार, व्यंजक का मान 2 है.
In simple words: हम \( \sec 50^\circ \) को \( \text{cosec } 40^\circ \) में और \( \text{cosec } 50^\circ \) को \( \sec 40^\circ \) में बदलते हैं. फिर \( \text{cosec } 40^\circ \cdot \sin 40^\circ \) का मान 1 होता है और \( \cos 40^\circ \cdot \sec 40^\circ \) का मान भी 1 होता है. दोनों को जोड़ने पर उत्तर 2 आता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में पूरक कोणों और व्युत्क्रम संबंधों दोनों का उपयोग करने से व्यंजक सरल होकर एक संख्यात्मक मान देते हैं.

Question 15. यदि \( \tan 2A = \cot (A - 18^\circ) \) हो तो \( A \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया गया है कि \( \tan 2A = \cot (A - 18^\circ) \).
हम जानते हैं कि \( \cot \theta = \tan (90^\circ - \theta) \). इसलिए, \( \cot (A - 18^\circ) \) को \( \tan (90^\circ - (A - 18^\circ)) \) के रूप में लिख सकते हैं.
\( \implies \tan 2A = \tan (90^\circ - A + 18^\circ) \)
\( \implies \tan 2A = \tan (108^\circ - A) \)
अब कोणों की तुलना करते हैं (न्यून कोण के लिए):
\( 2A = 108^\circ - A \)
\( \implies 2A + A = 108^\circ \)
\( \implies 3A = 108^\circ \)
\( \implies A = \frac{108^\circ}{3} = 36^\circ \).
इस प्रकार, \( A \) का मान \( 36^\circ \) है.
In simple words: हम \( \cot \) को \( \tan \) में बदलने के लिए \( 90^\circ \) में से कोण को घटाते हैं. फिर दोनों तरफ \( \tan \) होने पर कोणों को बराबर कर देते हैं. समीकरण को हल करने पर \( A \) का मान \( 36^\circ \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: \( \cot \) को \( \tan \) में या \( \tan \) को \( \cot \) में बदलने के लिए \( 90^\circ - \theta \) सूत्र का उपयोग करते समय, कोणों को घटाते समय चिह्नों का ध्यान रखें.

Question 16. \( \tan 52^\circ \tan 38^\circ \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \tan 52^\circ \tan 38^\circ \) का मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए \( \tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta \) होता है.
हम \( \tan 38^\circ \) को बदलते हैं:
\( \tan 38^\circ = \tan (90^\circ - 52^\circ) = \cot 52^\circ \).
अब इस मान को मूल व्यंजक में रखते हैं:
व्यंजक \( = \tan 52^\circ \cdot \cot 52^\circ \).
हम जानते हैं कि \( \tan \theta \cdot \cot \theta = 1 \).
\( \implies \tan 52^\circ \cdot \cot 52^\circ = 1 \).
इस प्रकार, व्यंजक का मान 1 है.
In simple words: हम \( \tan 38^\circ \) को \( \cot 52^\circ \) में बदलते हैं. फिर \( \tan \) और \( \cot \) जब एक ही कोण के होते हैं, तो उनका गुणा हमेशा 1 होता है.

🎯 Exam Tip: जब गुणनफल में ऐसे कोण शामिल हों जिनका योग \( 90^\circ \) हो (जैसे \( \tan A \tan B \) जहाँ \( A+B=90^\circ \)), तो उनमें से एक को \( \cot \) में बदलें ताकि \( \tan \theta \cot \theta = 1 \) का उपयोग किया जा सके.

Question 17. \( \cos 50^\circ \text{cosec } 40^\circ \) का मान लिखिए।
Answer: हमें \( \cos 50^\circ \text{cosec } 40^\circ \) का मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए \( \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta \) होता है.
हम \( \cos 50^\circ \) को बदलते हैं:
\( \cos 50^\circ = \cos (90^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ \).
अब इस मान को मूल व्यंजक में रखते हैं:
व्यंजक \( = \sin 40^\circ \cdot \text{cosec } 40^\circ \).
हम जानते हैं कि \( \sin \theta \cdot \text{cosec } \theta = 1 \).
\( \implies \sin 40^\circ \cdot \text{cosec } 40^\circ = 1 \).
इस प्रकार, व्यंजक का मान 1 है.
In simple words: हम \( \cos 50^\circ \) को \( \sin 40^\circ \) में बदलते हैं. फिर \( \sin 40^\circ \) और \( \text{cosec } 40^\circ \) एक दूसरे के उल्टे होते हैं, इसलिए उनका गुणा 1 होता है.

🎯 Exam Tip: पूरक कोणों के संबंधों को लागू करने के बाद, \( \sin \theta \cdot \text{cosec } \theta = 1 \) या \( \cos \theta \cdot \sec \theta = 1 \) जैसे व्युत्क्रम संबंधों का उपयोग करने की संभावना तलाशें.

Short Answer Type Questions

Question 1. \( \sec^2 65^\circ - \cot^2 25^\circ - 2 \sin 30^\circ \cos 60^\circ \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \sec^2 65^\circ - \cot^2 25^\circ - 2 \sin 30^\circ \cos 60^\circ \) का मान ज्ञात करना है.
इस व्यंजक को दो भागों में हल करेंगे:
पहला भाग: \( \sec^2 65^\circ - \cot^2 25^\circ \).
हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए \( \cot (90^\circ - \theta) = \tan \theta \) होता है.
तो, \( \cot 25^\circ = \cot (90^\circ - 65^\circ) = \tan 65^\circ \).
इसलिए, \( \cot^2 25^\circ = \tan^2 65^\circ \).
पहला भाग \( = \sec^2 65^\circ - \tan^2 65^\circ \).
त्रिकोणमितीय पहचान \( \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \) का उपयोग करते हुए, इसका मान 1 है.
दूसरा भाग: \( -2 \sin 30^\circ \cos 60^\circ \).
हम मानक मान जानते हैं: \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) और \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).
दूसरा भाग \( = -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -2 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} \).
पूरे व्यंजक का मान दोनों भागों का योग है:
व्यंजक \( = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).
इस प्रकार, मान \( \frac{1}{2} \) है.
In simple words: पहले, \( \cot 25^\circ \) को \( \tan 65^\circ \) में बदलें. फिर \( \sec^2 65^\circ - \tan^2 65^\circ \) का मान 1 होता है. इसके बाद, \( \sin 30^\circ \) और \( \cos 60^\circ \) के मान (\( \frac{1}{2} \) ) रखकर दूसरे हिस्से को हल करें, जो \( -\frac{1}{2} \) आता है. अंत में, \( 1 - \frac{1}{2} \) करने पर उत्तर \( \frac{1}{2} \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे व्यंजकों में हमेशा अलग-अलग हिस्सों को सरल बनाने पर ध्यान दें. मानक त्रिकोणमितीय मानों और पहचानों, विशेषकर \( \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \) का सही उपयोग महत्वपूर्ण है.

Question 2. \( 5 \frac{\sin 17^{\circ}}{\cos 73^{\circ}}+2 \frac{\cos 67^{\circ}}{\sin 23^{\circ}}-6 \frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( 5 \frac{\sin 17^{\circ}}{\cos 73^{\circ}}+2 \frac{\cos 67^{\circ}}{\sin 23^{\circ}}-6 \frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}} \) का मान ज्ञात करना है.
पूरक कोणों के सूत्रों का उपयोग करते हैं:
\( \sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta \)
\( \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta \)
पहला पद: \( 5 \frac{\sin 17^\circ}{\cos 73^\circ} \). यहाँ \( \sin 17^\circ = \sin (90^\circ - 73^\circ) = \cos 73^\circ \).
इसलिए, \( 5 \frac{\cos 73^\circ}{\cos 73^\circ} = 5 \cdot 1 = 5 \).
दूसरा पद: \( 2 \frac{\cos 67^\circ}{\sin 23^\circ} \). यहाँ \( \cos 67^\circ = \cos (90^\circ - 23^\circ) = \sin 23^\circ \).
इसलिए, \( 2 \frac{\sin 23^\circ}{\sin 23^\circ} = 2 \cdot 1 = 2 \).
तीसरा पद: \( -6 \frac{\sin 15^\circ}{\cos 75^\circ} \). यहाँ \( \sin 15^\circ = \sin (90^\circ - 75^\circ) = \cos 75^\circ \).
इसलिए, \( -6 \frac{\cos 75^\circ}{\cos 75^\circ} = -6 \cdot 1 = -6 \).
अब इन मानों को जोड़ते और घटाते हैं:
व्यंजक \( = 5 + 2 - 6 \).
\( = 7 - 6 = 1 \).
इस प्रकार, व्यंजक का मान 1 है.
In simple words: प्रत्येक भिन्न में, हम अंश को बदलते हैं ताकि वह हर के बराबर हो जाए. \( \sin 17^\circ \) को \( \cos 73^\circ \) में, \( \cos 67^\circ \) को \( \sin 23^\circ \) में और \( \sin 15^\circ \) को \( \cos 75^\circ \) में बदला जाता है. इससे प्रत्येक भिन्न का मान 1 हो जाता है. फिर \( 5 \times 1 + 2 \times 1 - 6 \times 1 \) की गणना करने पर उत्तर 1 आता है.

🎯 Exam Tip: जब अंश और हर में कोणों का योग \( 90^\circ \) हो, तो पूरक कोणों के सूत्रों का उपयोग करके उन्हें एक ही त्रिकोणमितीय अनुपात में बदलें. इससे भिन्न का मान 1 हो जाता है, जिससे गणना बहुत सरल हो जाती है.

Question 3. सिद्ध कीजिये कि \( \sec A (1 - \sin A) (\sec A + \tan A) = 1 \).
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( \sec A (1 - \sin A) (\sec A + \tan A) = 1 \).
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = \sec A (1 - \sin A) (\sec A + \tan A) \).
हम \( \sec A \) और \( \tan A \) को \( \sin A \) और \( \cos A \) के पदों में लिखते हैं:
\( \sec A = \frac{1}{\cos A} \)
\( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \)
इन मानों को L.H.S. में रखते हैं:
L.H.S. \( = \frac{1}{\cos A} (1 - \sin A) \left( \frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} \right) \)
L.H.S. \( = \frac{1 - \sin A}{\cos A} \left( \frac{1 + \sin A}{\cos A} \right) \)
L.H.S. \( = \frac{(1 - \sin A)(1 + \sin A)}{\cos^2 A} \)
बीजगणितीय पहचान \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करते हुए:
L.H.S. \( = \frac{1^2 - \sin^2 A}{\cos^2 A} = \frac{1 - \sin^2 A}{\cos^2 A} \).
त्रिकोणमितीय पहचान \( 1 - \sin^2 A = \cos^2 A \) का उपयोग करते हुए:
L.H.S. \( = \frac{\cos^2 A}{\cos^2 A} \).
L.H.S. \( = 1 \).
यह दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है.
इस प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है कि \( \sec A (1 - \sin A) (\sec A + \tan A) = 1 \).
In simple words: पहले, \( \sec A \) और \( \tan A \) को \( \sin A \) और \( \cos A \) में बदलें. फिर सभी पदों को एक साथ गुणा करें. \( (1 - \sin A)(1 + \sin A) \) को \( 1 - \sin^2 A \) के रूप में लिखें, जो \( \cos^2 A \) के बराबर होता है. अंत में, \( \cos^2 A \) से \( \cos^2 A \) कट जाता है और उत्तर 1 आता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, अक्सर सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को \( \sin \) और \( \cos \) में बदलना सबसे प्रभावी शुरुआती कदम होता है. \( (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \) जैसी बीजगणितीय पहचानों पर ध्यान दें.

Question 4. \( \frac{\tan 65^{\circ}}{\cot 25^{\circ}} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \frac{\tan 65^{\circ}}{\cot 25^{\circ}} \) का मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए \( \tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta \) होता है.
अंश में \( \tan 65^\circ \) को बदलते हैं:
\( \tan 65^\circ = \tan (90^\circ - 25^\circ) = \cot 25^\circ \).
अब इस मान को मूल व्यंजक में रखते हैं:
व्यंजक \( = \frac{\cot 25^\circ}{\cot 25^\circ} \).
अंश और हर में समान पद को काटने पर:
व्यंजक \( = 1 \).
इस प्रकार, मान 1 है.
In simple words: हम \( \tan 65^\circ \) को \( \cot 25^\circ \) में बदल सकते हैं, क्योंकि 65 और 25 का योग 90 है. जब अंश और हर बराबर हो जाते हैं, तो उनका भाग 1 आता है.

🎯 Exam Tip: जब भिन्न में कोणों का योग \( 90^\circ \) हो, तो पूरक कोण संबंधों का उपयोग करके एक अनुपात को दूसरे में बदलें, जिससे भिन्न का मान 1 हो जाता है. यह विधि बहुत तेज़ और सीधी है.

Question 5. \( \sin 35^\circ \cos 55^\circ + \cos 35^\circ \sin 55^\circ \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \sin 35^\circ \cos 55^\circ + \cos 35^\circ \sin 55^\circ \) का मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए \( \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta \) और \( \sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta \) होता है.
पहले पद में \( \cos 55^\circ \) को बदलते हैं:
\( \cos 55^\circ = \cos (90^\circ - 35^\circ) = \sin 35^\circ \).
दूसरे पद में \( \sin 55^\circ \) को बदलते हैं:
\( \sin 55^\circ = \sin (90^\circ - 35^\circ) = \cos 35^\circ \).
इन मानों को मूल व्यंजक में रखते हैं:
व्यंजक \( = \sin 35^\circ \cdot \sin 35^\circ + \cos 35^\circ \cdot \cos 35^\circ \).
व्यंजक \( = \sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ \).
त्रिकोणमितीय पहचान \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करते हुए:
व्यंजक \( = 1 \).
इस प्रकार, मान 1 है.
In simple words: हम \( \cos 55^\circ \) को \( \sin 35^\circ \) में और \( \sin 55^\circ \) को \( \cos 35^\circ \) में बदल सकते हैं. तब व्यंजक \( \sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ \) बन जाता है, जिसका मान हमेशा 1 होता है.

🎯 Exam Tip: यह व्यंजक सीधे \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \) सूत्र का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है. \( \sin(35^\circ + 55^\circ) = \sin 90^\circ = 1 \). यह एक तेज़ तरीका है.

Question 6. \( \cos^2 12^\circ + \cos^2 78^\circ \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \cos^2 12^\circ + \cos^2 78^\circ \) का मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए \( \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta \) होता है.
हम \( \cos 78^\circ \) को बदलते हैं:
\( \cos 78^\circ = \cos (90^\circ - 12^\circ) = \sin 12^\circ \).
तो, \( \cos^2 78^\circ = \sin^2 12^\circ \).
अब इस मान को मूल व्यंजक में रखते हैं:
व्यंजक \( = \cos^2 12^\circ + \sin^2 12^\circ \).
त्रिकोणमितीय पहचान \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करते हुए:
व्यंजक \( = 1 \).
इस प्रकार, मान 1 है.
In simple words: हम \( \cos^2 78^\circ \) को \( \sin^2 12^\circ \) में बदल सकते हैं, क्योंकि 78 और 12 का योग 90 है. फिर हमें \( \cos^2 12^\circ + \sin^2 12^\circ \) मिलता है, जिसका मान हमेशा 1 होता है.

🎯 Exam Tip: जब दो कोणों का योग \( 90^\circ \) हो, और व्यंजक \( \cos^2 A + \cos^2 B \) या \( \sin^2 A + \sin^2 B \) के रूप में हो, तो एक पद को बदलकर \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करें.

Question 7. दिखाइए कि \( \tan 36^\circ \tan 17^\circ \tan 54^\circ \tan 73^\circ = 1 \).
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( \tan 36^\circ \tan 17^\circ \tan 54^\circ \tan 73^\circ = 1 \).
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = \tan 36^\circ \tan 17^\circ \tan 54^\circ \tan 73^\circ \).
हम पूरक कोणों के सूत्र \( \tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta \) का उपयोग करते हैं:
\( \tan 54^\circ = \tan (90^\circ - 36^\circ) = \cot 36^\circ \).
\( \tan 73^\circ = \tan (90^\circ - 17^\circ) = \cot 17^\circ \).
इन मानों को L.H.S. में रखते हैं:
L.H.S. \( = \tan 36^\circ \tan 17^\circ (\cot 36^\circ) (\cot 17^\circ) \).
पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
L.H.S. \( = (\tan 36^\circ \cot 36^\circ) (\tan 17^\circ \cot 17^\circ) \).
हम जानते हैं कि \( \tan \theta \cot \theta = 1 \).
L.H.S. \( = (1)(1) = 1 \).
यह दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है.
इस प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है.
In simple words: हम \( \tan 54^\circ \) को \( \cot 36^\circ \) में और \( \tan 73^\circ \) को \( \cot 17^\circ \) में बदलते हैं. फिर हम \( \tan \) और \( \cot \) के जोड़े बनाते हैं, जैसे \( (\tan 36^\circ \cot 36^\circ) \) और \( (\tan 17^\circ \cot 17^\circ) \). प्रत्येक जोड़े का मान 1 होता है, इसलिए \( 1 \times 1 = 1 \).

🎯 Exam Tip: गुणनफल में कई \( \tan \) या \( \cot \) पद होने पर, उन जोड़ों को खोजें जिनके कोणों का योग \( 90^\circ \) हो. फिर पूरक कोण संबंध और \( \tan \theta \cot \theta = 1 \) का उपयोग करके उन्हें सरल करें.

Question 8. दिखाइए कि \( \sin 28^\circ \cos 62^\circ + \cos 28^\circ \sin 62^\circ = 1 \).
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( \sin 28^\circ \cos 62^\circ + \cos 28^\circ \sin 62^\circ = 1 \).
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = \sin 28^\circ \cos 62^\circ + \cos 28^\circ \sin 62^\circ \).
हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए \( \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta \) और \( \sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta \) होता है.
पहले पद में \( \cos 62^\circ \) को बदलते हैं:
\( \cos 62^\circ = \cos (90^\circ - 28^\circ) = \sin 28^\circ \).
दूसरे पद में \( \sin 62^\circ \) को बदलते हैं:
\( \sin 62^\circ = \sin (90^\circ - 28^\circ) = \cos 28^\circ \).
इन मानों को L.H.S. में रखते हैं:
L.H.S. \( = \sin 28^\circ \cdot \sin 28^\circ + \cos 28^\circ \cdot \cos 28^\circ \).
L.H.S. \( = \sin^2 28^\circ + \cos^2 28^\circ \).
त्रिकोणमितीय पहचान \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करते हुए:
L.H.S. \( = 1 \).
यह दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है.
इस प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है.
In simple words: हम \( \cos 62^\circ \) को \( \sin 28^\circ \) में और \( \sin 62^\circ \) को \( \cos 28^\circ \) में बदलते हैं. फिर व्यंजक \( \sin^2 28^\circ + \cos^2 28^\circ \) बन जाता है, जिसका मान हमेशा 1 होता है.

🎯 Exam Tip: यह व्यंजक \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \) सूत्र का सीधा अनुप्रयोग है. \( \sin(28^\circ + 62^\circ) = \sin 90^\circ = 1 \). इस सूत्र को पहचानना और लागू करना अक्सर अधिक कुशल होता है.

Question 9. \( \frac{\tan 67^{\circ}}{\cot 23^{\circ}} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हमें \( \frac{\tan 67^{\circ}}{\cot 23^{\circ}} \) का मान ज्ञात करना है.
हम जानते हैं कि पूरक कोणों के लिए \( \cot \theta = \tan (90^\circ - \theta) \) होता है.
हर में \( \cot 23^\circ \) को बदलते हैं:
\( \cot 23^\circ = \tan (90^\circ - 23^\circ) = \tan 67^\circ \).
अब इस मान को मूल व्यंजक में रखते हैं:
व्यंजक \( = \frac{\tan 67^\circ}{\tan 67^\circ} \).
अंश और हर में समान पद को काटने पर:
व्यंजक \( = 1 \).
इस प्रकार, मान 1 है.
In simple words: हम \( \cot 23^\circ \) को \( \tan 67^\circ \) में बदल सकते हैं, क्योंकि 23 और 67 का योग 90 है. जब अंश और हर बराबर हो जाते हैं, तो उनका भाग 1 आता है.

🎯 Exam Tip: भिन्न में जब कोणों का योग \( 90^\circ \) होता है, तो एक पद को पूरक कोण संबंध का उपयोग करके दूसरे में बदलें, जिससे भिन्न का मान 1 हो जाता है. यह तरीका बहुत तेज़ और प्रभावी है.

Question 10. सिद्ध कीजिए कि \( \left[\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right]^{2}=\tan ^{2} A \).
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( \left[\frac{1 - \tan A}{1 - \cot A}\right]^2 = \tan^2 A \).
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = \left[\frac{1 - \tan A}{1 - \cot A}\right]^2 \).
हम \( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \) और \( \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \) का उपयोग करके व्यंजक को \( \sin A \) और \( \cos A \) के पदों में बदलते हैं:
L.H.S. \( = \left[\frac{1 - \frac{\sin A}{\cos A}}{1 - \frac{\cos A}{\sin A}}\right]^2 \).
अंश और हर में लघुत्तम समापवर्त्य लेते हैं:
L.H.S. \( = \left[\frac{\frac{\cos A - \sin A}{\cos A}}{\frac{\sin A - \cos A}{\sin A}}\right]^2 \).
हर के भिन्न को पलटकर गुणा करते हैं:
L.H.S. \( = \left[\frac{\cos A - \sin A}{\cos A} \cdot \frac{\sin A}{\sin A - \cos A}\right]^2 \).
ध्यान दें कि \( (\cos A - \sin A) = - (\sin A - \cos A) \).
L.H.S. \( = \left[\frac{-(\sin A - \cos A)}{\cos A} \cdot \frac{\sin A}{\sin A - \cos A}\right]^2 \).
\( (\sin A - \cos A) \) पद को काटने पर:
L.H.S. \( = \left[-\frac{\sin A}{\cos A}\right]^2 \).
हम जानते हैं कि \( \frac{\sin A}{\cos A} = \tan A \).
L.H.S. \( = (-\tan A)^2 = \tan^2 A \).
यह दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है.
इस प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है.
In simple words: पहले, \( \tan A \) और \( \cot A \) को \( \sin A \) और \( \cos A \) में बदलें. फिर भिन्न के अंश और हर को सरल करें. अंत में, \( (\cos A - \sin A) \) को \( -(\sin A - \cos A) \) के रूप में लिखकर पदों को काटें. इससे \( (-\tan A)^2 \) मिलता है, जिसका मान \( \tan^2 A \) होता है.

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, अक्सर सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को \( \sin \) और \( \cos \) में बदलना सबसे प्रभावी शुरुआती कदम होता है. \( (a-b) = -(b-a) \) जैसी बीजगणितीय पहचानों का उपयोग करना याद रखें.

Question 11. सिद्ध कीजिए कि \( \cot \theta + \tan \theta = \text{cosec } \theta \sec \theta \).
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( \cot \theta + \tan \theta = \text{cosec } \theta \sec \theta \).
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = \cot \theta + \tan \theta \).
हम \( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \) और \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) का उपयोग करके व्यंजक को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) के पदों में बदलते हैं:
L.H.S. \( = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \).
भिन्न को जोड़ने के लिए सामान्य हर \( \sin \theta \cos \theta \) लेते हैं:
L.H.S. \( = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \).
त्रिकोणमितीय पहचान \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करते हुए:
L.H.S. \( = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \).
इस पद को दो अलग-अलग भिन्नों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं:
L.H.S. \( = \frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{1}{\cos \theta} \).
हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\sin \theta} = \text{cosec } \theta \) और \( \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta \).
L.H.S. \( = \text{cosec } \theta \sec \theta \).
यह दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है.
इस प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है.
In simple words: पहले, \( \cot \theta \) और \( \tan \theta \) को \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) में बदलें. फिर उन्हें जोड़ें, जिससे अंश में \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \) आता है, जिसका मान 1 होता है. अब \( \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \) को \( \frac{1}{\sin \theta} \cdot \frac{1}{\cos \theta} \) में तोड़ें, जो \( \text{cosec } \theta \sec \theta \) के बराबर है.

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, \( \cot \) और \( \tan \) को \( \sin \) और \( \cos \) में बदलना अक्सर पहला और महत्वपूर्ण कदम होता है, खासकर जब उनका योग या घटाव हो.

Question 12. सिद्ध कीजिए कि \( (1 + \tan^2 \theta)(1 + \sin \theta) (1 - \sin \theta) = 1 \).
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( (1 + \tan^2 \theta)(1 + \sin \theta) (1 - \sin \theta) = 1 \).
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = (1 + \tan^2 \theta)(1 + \sin \theta) (1 - \sin \theta) \).
सबसे पहले, अंतिम दो पदों पर बीजगणितीय पहचान \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करते हैं:
\( (1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta) = 1^2 - \sin^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \).
हम त्रिकोणमितीय पहचान \( 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta \) जानते हैं.
तो, L.H.S. \( = (1 + \tan^2 \theta)(\cos^2 \theta) \).
अब, हम त्रिकोणमितीय पहचान \( 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \) का उपयोग करते हैं:
L.H.S. \( = (\sec^2 \theta)(\cos^2 \theta) \).
हम जानते हैं कि \( \sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} \).
L.H.S. \( = \frac{1}{\cos^2 \theta} \cdot \cos^2 \theta \).
\( \implies \) L.H.S. \( = 1 \).
यह दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है.
इस प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है.
In simple words: पहले \( (1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta) \) को \( 1 - \sin^2 \theta \) में बदलें, जो \( \cos^2 \theta \) के बराबर होता है. फिर \( (1 + \tan^2 \theta) \) को \( \sec^2 \theta \) में बदलें. अंत में, \( \sec^2 \theta \) और \( \cos^2 \theta \) को गुणा करने पर 1 आता है क्योंकि वे एक दूसरे के उल्टे होते हैं.

🎯 Exam Tip: इस तरह के प्रश्नों में, \( (a+b)(a-b) \) जैसी बीजगणितीय पहचानों के साथ-साथ \( 1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta \) और \( 1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta \) जैसी त्रिकोणमितीय पहचानों को पहचानना और लागू करना महत्वपूर्ण है.

Question 13. सिद्ध कीजिए कि \( \frac{1}{1+\sin \theta}+\frac{1}{1-\sin \theta}=2 \sec ^{2} \theta \).
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( \frac{1}{1+\sin \theta}+\frac{1}{1-\sin \theta}=2 \sec ^{2} \theta \).
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = \frac{1}{1+\sin \theta}+\frac{1}{1-\sin \theta} \).
भिन्न को जोड़ने के लिए सामान्य हर \( (1+\sin \theta)(1-\sin \theta) \) लेते हैं:
L.H.S. \( = \frac{(1 - \sin \theta) + (1 + \sin \theta)}{(1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)} \).
अंश को सरल करते हैं:
L.H.S. \( = \frac{1 - \sin \theta + 1 + \sin \theta}{(1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)} = \frac{2}{(1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)} \).
हर में बीजगणितीय पहचान \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करते हैं:
\( (1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta) = 1^2 - \sin^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \).
त्रिकोणमितीय पहचान \( 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta \) का उपयोग करते हुए:
L.H.S. \( = \frac{2}{\cos^2 \theta} \).
हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta \).
L.H.S. \( = 2 \sec^2 \theta \).
यह दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है.
इस प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है.
In simple words: दोनों भिन्नों को जोड़ें. उनके हरों का गुणनफल \( (1+\sin \theta)(1-\sin \theta) = 1-\sin^2 \theta \) होता है, जो \( \cos^2 \theta \) के बराबर है. अंश में \( (1-\sin \theta) + (1+\sin \theta) = 2 \) आता है. इसलिए, हमें \( \frac{2}{\cos^2 \theta} \) मिलता है, जिसका मतलब \( 2 \sec^2 \theta \) है.

🎯 Exam Tip: भिन्नों को जोड़ते समय, \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) जैसी बीजगणितीय पहचानों का उपयोग करके हर को सरल बनाने पर विशेष ध्यान दें, खासकर जब त्रिकोणमितीय पद शामिल हों.

Question 14. सिद्ध कीजिए \( \tan 15^\circ \tan 20^\circ \tan 70^\circ \tan 75^\circ = 1 \).
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( \tan 15^\circ \tan 20^\circ \tan 70^\circ \tan 75^\circ = 1 \).
बायाँ पक्ष (L.H.S.) \( = \tan 15^\circ \tan 20^\circ \tan 70^\circ \tan 75^\circ \).
हम पूरक कोणों के सूत्र \( \tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta \) का उपयोग करते हैं.
हम \( \tan 70^\circ \) और \( \tan 75^\circ \) को बदलते हैं:
\( \tan 70^\circ = \tan (90^\circ - 20^\circ) = \cot 20^\circ \).
\( \tan 75^\circ = \tan (90^\circ - 15^\circ) = \cot 15^\circ \).
इन मानों को L.H.S. में रखते हैं:
L.H.S. \( = \tan 15^\circ \tan 20^\circ (\cot 20^\circ) (\cot 15^\circ) \).
पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
L.H.S. \( = (\tan 15^\circ \cot 15^\circ) (\tan 20^\circ \cot 20^\circ) \).
हम जानते हैं कि \( \tan \theta \cot \theta = 1 \).
L.H.S. \( = (1)(1) = 1 \).
यह दायाँ पक्ष (R.H.S.) के बराबर है.
इस प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है.
In simple words: हम \( \tan 70^\circ \) को \( \cot 20^\circ \) में और \( \tan 75^\circ \) को \( \cot 15^\circ \) में बदलते हैं. फिर \( \tan \) और \( \cot \) के जोड़ों को एक साथ गुणा करते हैं. \( (\tan 15^\circ \cot 15^\circ) \) का मान 1 और \( (\tan 20^\circ \cot 20^\circ) \) का मान भी 1 होता है. इस प्रकार, पूरा गुणनफल \( 1 \times 1 = 1 \) होता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे गुणनफल प्रश्नों में, उन कोणों के जोड़ों को पहचानें जिनका योग \( 90^\circ \) होता है. फिर एक पद को \( \cot \) में बदलें ताकि \( \tan \theta \cot \theta = 1 \) संबंध का उपयोग किया जा सके. यह एक सामान्य और प्रभावी रणनीति है.

Question 5. सिद्ध कीजिये- \( \tan^2 A - \tan^2 B = \frac{\sin^2 A - \sin^2 B}{\cos^2 A \cos^2 B} \)
Answer: हम बाएँ पक्ष (LHS) से शुरू करेंगे:
\( \text{L.H.S.} = \tan^2 A - \tan^2 B \)
पहले, \( \tan^2 A \) और \( \tan^2 B \) को \( \sin \) और \( \cos \) के पदों में बदलेंगे:
\( = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} - \frac{\sin^2 B}{\cos^2 B} \)
अब, दोनों भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेंगे, जो \( \cos^2 A \cos^2 B \) है:
\( = \frac{\sin^2 A \cos^2 B - \sin^2 B \cos^2 A}{\cos^2 A \cos^2 B} \)
यह दाहिने पक्ष (R.H.S.) के बराबर है, इस प्रकार यह सिद्ध होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ गणित में कई समस्याओं को हल करने में मदद करती हैं।
In simple words: हम \( \tan^2 A - \tan^2 B \) को \( \sin \) और \( \cos \) में बदलते हैं, फिर उन्हें एक साथ जोड़ते हैं. इससे हमें वही मिलता है जो हमें सिद्ध करना था.

🎯 Exam Tip: जब भी \( \tan \) या \( \cot \) के पद में कोई सर्वसमिका सिद्ध करनी हो, तो उसे अक्सर \( \sin \) और \( \cos \) के पदों में बदलना एक अच्छा पहला कदम होता है।

Question 7. दिखाइए कि \( \tan 36^\circ \tan 17^\circ \tan 54^\circ \tan 73^\circ = 1 \)
Answer: हम बाएँ पक्ष (LHS) से शुरू करेंगे:
\( \text{L.H.S.} = \tan 36^\circ \tan 17^\circ \tan 54^\circ \tan 73^\circ \)
हम पूरक कोणों के लिए \( \tan (90^\circ - \theta) = \cot \theta \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे:
\( \tan 54^\circ = \tan (90^\circ - 36^\circ) = \cot 36^\circ \)
\( \tan 73^\circ = \tan (90^\circ - 17^\circ) = \cot 17^\circ \)
अब, इन मानों को वापस व्यंजक में रखेंगे:
\( = \tan 36^\circ \tan 17^\circ (\cot 36^\circ) (\cot 17^\circ) \)
हम जानते हैं कि \( \tan \theta \cdot \cot \theta = 1 \):
\( = (\tan 36^\circ \cdot \cot 36^\circ) \cdot (\tan 17^\circ \cdot \cot 17^\circ) \)
\( = 1 \cdot 1 \)
\( = 1 \)
यह दाहिने पक्ष (R.H.S.) के बराबर है, इस प्रकार यह सिद्ध होता है। पूरक कोण त्रिकोणमितीय अनुपात में बहुत उपयोगी होते हैं।
In simple words: हम \( \tan 54^\circ \) को \( \cot 36^\circ \) और \( \tan 73^\circ \) को \( \cot 17^\circ \) में बदलते हैं. क्योंकि \( \tan \theta \cdot \cot \theta \) हमेशा 1 होता है, इसलिए पूरा गुणनफल भी 1 हो जाता है.

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में हमेशा पूरक कोणों को पहचानें ताकि आप \( \tan \theta \cdot \cot \theta = 1 \) या \( \sin \theta \cdot \operatorname{cosec} \theta = 1 \) जैसी सर्वसमिकाओं का उपयोग कर सकें।

Question 8. सर्वसमिका \( \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta \) का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि \( \frac{\sin \theta - \cos \theta + 1}{\sin \theta + \cos \theta - 1} = \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} \)
Answer: हम बाएँ पक्ष (LHS) से शुरू करेंगे:
\( \text{L.H.S.} = \frac{\sin \theta - \cos \theta + 1}{\sin \theta + \cos \theta - 1} \)
अंश और हर को \( \cos \theta \) से भाग देंगे ताकि \( \sec \theta \) और \( \tan \theta \) के पद प्राप्त हों:
\( = \frac{(\sin \theta / \cos \theta) - (\cos \theta / \cos \theta) + (1 / \cos \theta)}{(\sin \theta / \cos \theta) + (\cos \theta / \cos \theta) - (1 / \cos \theta)} \)
\( = \frac{\tan \theta - 1 + \sec \theta}{\tan \theta + 1 - \sec \theta} \)
अंश को पुनर्व्यवस्थित करेंगे:
\( = \frac{(\sec \theta + \tan \theta) - 1}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1} \)
अब, अंश में \( 1 \) को \( \sec^2 \theta - \tan^2 \theta \) से बदलें:
\( = \frac{(\sec \theta + \tan \theta) - (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta)}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1} \)
\( \sec^2 \theta - \tan^2 \theta \) को \( (\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) \) में गुणनखंडित करेंगे:
\( = \frac{(\sec \theta + \tan \theta) - (\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta)}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1} \)
अंश में से \( (\sec \theta + \tan \theta) \) उभयनिष्ठ लेंगे:
\( = \frac{(\sec \theta + \tan \theta) [1 - (\sec \theta - \tan \theta)]}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1} \)
\( = \frac{(\sec \theta + \tan \theta) [1 - \sec \theta + \tan \theta]}{(\tan \theta - \sec \theta) + 1} \)
चूंकि \( [1 - \sec \theta + \tan \theta] \) और \( (\tan \theta - \sec \theta + 1) \) समान हैं, उन्हें रद्द किया जा सकता है:
\( = \sec \theta + \tan \theta \)
अब, हमें सिद्ध करना है कि \( \sec \theta + \tan \theta = \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} \)।
हम जानते हैं कि \( (\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \)।
तो, \( \sec \theta + \tan \theta = \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} \)
अतः, \( \text{L.H.S.} = \text{R.H.S.} \) यह सिद्ध होता है। इस तरह के प्रूफ में त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को सही जगह पर लगाना महत्वपूर्ण है।
In simple words: पहले हम \( \sin \theta \) और \( \cos \theta \) को \( \tan \theta \) और \( \sec \theta \) में बदलते हैं. फिर हम \( 1 \) को \( \sec^2 \theta - \tan^2 \theta \) से बदलते हैं और सामान्य गुणनखंड लेकर अंश को सरल करते हैं. आखिर में, हमें \( \sec \theta + \tan \theta \) मिलता है, जो \( 1 / (\sec \theta - \tan \theta) \) के बराबर होता है.

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में अंश और हर को \( \sin \theta \) या \( \cos \theta \) से भाग देना एक सामान्य रणनीति है। \( \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 \) सर्वसमिका का प्रयोग करके \( 1 \) को प्रतिस्थापित करना अक्सर आवश्यक होता है।

Question 9. सिद्ध कीजिए कि \( \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} = \operatorname{cosec} \theta + \cot \theta \)
Answer: हम बाएँ पक्ष (LHS) से शुरू करेंगे:
\( \text{L.H.S.} = \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} \)
वर्गमूल के अंदर, अंश और हर को \( (1+\cos \theta) \) से गुणा करेंगे:
\( = \sqrt{\frac{(1+\cos \theta)(1+\cos \theta)}{(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)}} \)
\( = \sqrt{\frac{(1+\cos \theta)^2}{1-\cos^2 \theta}} \)
हम जानते हैं कि \( 1-\cos^2 \theta = \sin^2 \theta \):
\( = \sqrt{\frac{(1+\cos \theta)^2}{\sin^2 \theta}} \)
वर्गमूल हटाने पर:
\( = \frac{1+\cos \theta}{\sin \theta} \)
अब इसे दो अलग-अलग भिन्नों में तोड़ेंगे:
\( = \frac{1}{\sin \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \)
हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta \) और \( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta \):
\( = \operatorname{cosec} \theta + \cot \theta \)
यह दाहिने पक्ष (R.H.S.) के बराबर है, इस प्रकार यह सिद्ध होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएं गणित में विभिन्न समस्याओं को हल करने में मदद करती हैं।
In simple words: हम वर्गमूल के अंदर \( (1+\cos \theta) \) से ऊपर और नीचे गुणा करते हैं. फिर हम \( 1-\cos^2 \theta \) को \( \sin^2 \theta \) में बदलते हैं. वर्गमूल लेने के बाद, हम भिन्न को दो भागों में तोड़ते हैं, जिससे हमें \( \operatorname{cosec} \theta + \cot \theta \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: \( \sqrt{\frac{A}{B}} \) प्रकार के प्रश्नों में, अक्सर \( A \) या \( B \) के पूरक से गुणा करके हर को परिमेय बनाना सहायक होता है।

Question. (i) यदि \( \cos 3A = \sin(A - 34^\circ) \) हो, तो A का मान ज्ञात कीजिये।
Answer: दिया गया है:
\( \cos 3A = \sin(A - 34^\circ) \)
हम जानते हैं कि \( \cos \theta = \sin(90^\circ - \theta) \)। इस सर्वसमिका का उपयोग करके, हम \( \cos 3A \) को \( \sin(90^\circ - 3A) \) में बदल सकते हैं:
\( \sin(90^\circ - 3A) = \sin(A - 34^\circ) \)
दोनों तरफ \( \sin \) फलन होने के कारण, कोणों को बराबर कर सकते हैं:
\( 90^\circ - 3A = A - 34^\circ \)
अब, \( A \) पदों को एक तरफ और संख्यात्मक पदों को दूसरी तरफ ले जाएंगे:
\( 90^\circ + 34^\circ = A + 3A \)
\( 124^\circ = 4A \)
दोनों तरफ \( 4 \) से भाग देने पर:
\( A = \frac{124^\circ}{4} \)
\( A = 31^\circ \)
अतः \( A \) का मान \( 31^\circ \) है। पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात इस प्रकार के प्रश्नों में बहुत उपयोगी होते हैं।
In simple words: हम \( \cos 3A \) को \( \sin (90^\circ - 3A) \) में बदलते हैं. फिर दोनों तरफ के कोणों को बराबर करके \( A \) का मान निकालते हैं.

🎯 Exam Tip: जब भी \( \sin \) और \( \cos \) पूरक कोणों के साथ बराबर हों, तो \( \cos \theta = \sin(90^\circ - \theta) \) या \( \sin \theta = \cos(90^\circ - \theta) \) का उपयोग करके समीकरण को एक ही त्रिकोणमितीय फलन के पदों में बदलें।

Question. (ii) सिद्ध कीजिये कि \( \frac{1+\cot^2 A}{1+\tan^2 A} = \cot^2 A \)
Answer: हम बाएँ पक्ष (LHS) से शुरू करेंगे:
\( \text{L.H.S.} = \frac{1+\cot^2 A}{1+\tan^2 A} \)
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करेंगे:
\( 1+\cot^2 A = \operatorname{cosec}^2 A \)
\( 1+\tan^2 A = \sec^2 A \)
इन सर्वसमिकाओं को समीकरण में रखने पर:
\( = \frac{\operatorname{cosec}^2 A}{\sec^2 A} \)
अब, \( \operatorname{cosec}^2 A \) को \( \frac{1}{\sin^2 A} \) और \( \sec^2 A \) को \( \frac{1}{\cos^2 A} \) में बदलेंगे:
\( = \frac{1/\sin^2 A}{1/\cos^2 A} \)
\( = \frac{1}{\sin^2 A} \cdot \frac{\cos^2 A}{1} \)
\( = \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} \)
हम जानते हैं कि \( \frac{\cos A}{\sin A} = \cot A \):
\( = \cot^2 A \)
यह दाहिने पक्ष (R.H.S.) के बराबर है, इस प्रकार यह सिद्ध होता है। मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का ज्ञान महत्वपूर्ण है।
In simple words: हम \( 1+\cot^2 A \) को \( \operatorname{cosec}^2 A \) और \( 1+\tan^2 A \) को \( \sec^2 A \) में बदलते हैं. फिर हम \( \operatorname{cosec} \) और \( \sec \) को \( \sin \) और \( \cos \) में बदलते हैं, जिससे हमें \( \cot^2 A \) मिलता है.

🎯 Exam Tip: मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं (जैसे \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), \( 1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta \), \( 1+\cot^2 \theta = \operatorname{cosec}^2 \theta \)) को याद रखें क्योंकि वे प्रूफ में अक्सर उपयोग होती हैं।

Question 12. सिद्ध कीजिए कि \( \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} + \frac{1+\cos \theta}{\sin \theta} = 2 \operatorname{cosec} \theta \)
Answer: हम बाएँ पक्ष (LHS) से शुरू करेंगे:
\( \text{L.H.S.} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} + \frac{1+\cos \theta}{\sin \theta} \)
दोनों भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) \( \sin \theta (1+\cos \theta) \) लेंगे:
\( = \frac{\sin \theta \cdot \sin \theta + (1+\cos \theta)(1+\cos \theta)}{\sin \theta (1+\cos \theta)} \)
\( = \frac{\sin^2 \theta + (1+\cos \theta)^2}{\sin \theta (1+\cos \theta)} \)
अंश में \( (1+\cos \theta)^2 \) का विस्तार करेंगे:
\( = \frac{\sin^2 \theta + (1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta)}{\sin \theta (1+\cos \theta)} \)
अंश में \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) सर्वसमिका का उपयोग करेंगे:
\( = \frac{(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 1 + 2\cos \theta}{\sin \theta (1+\cos \theta)} \)
\( = \frac{1 + 1 + 2\cos \theta}{\sin \theta (1+\cos \theta)} \)
\( = \frac{2 + 2\cos \theta}{\sin \theta (1+\cos \theta)} \)
अंश में से \( 2 \) उभयनिष्ठ लेंगे:
\( = \frac{2(1+\cos \theta)}{\sin \theta (1+\cos \theta)} \)
अंश और हर में \( (1+\cos \theta) \) को रद्द करेंगे:
\( = \frac{2}{\sin \theta} \)
हम जानते हैं कि \( \frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta \):
\( = 2 \operatorname{cosec} \theta \)
यह दाहिने पक्ष (R.H.S.) के बराबर है, इस प्रकार यह सिद्ध होता है। इस तरह के प्रूफ में भिन्नों को जोड़ना एक महत्वपूर्ण कदम है।
In simple words: हम दोनों भिन्नों को एक साथ जोड़ते हैं. फिर हम \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) का उपयोग करके इसे सरल करते हैं. अंत में, हमें \( 2/\sin \theta \) मिलता है, जो \( 2 \operatorname{cosec} \theta \) होता है.

🎯 Exam Tip: भिन्नों को जोड़ते समय हमेशा सही लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लें और \( (a+b)^2 \) जैसे व्यंजकों का सावधानी से विस्तार करें।

Question 14. सिद्ध कीजिए कि \( \frac { \cos A+\operatorname{cosec} A-1 }{ \cot A-\operatorname{cosec} A+1 } =\frac {1+\cos A }{ \sin A } \)
Answer: हम बाएँ पक्ष (LHS) से शुरू करेंगे, जिसे स्रोत के समाधान के अनुसार \( \cot A \) और \( \operatorname{cosec} A \) के पदों में व्यक्त किया गया है। यह एक मानक रूपांतरण है:
\( \text{L.H.S.} = \frac { \cot A+\operatorname{cosec} A-1 }{ \cot A-\operatorname{cosec} A+1 } \)
अंश में \( 1 \) को \( \operatorname{cosec}^2 A - \cot^2 A \) से बदलेंगे (जो \( \operatorname{cosec}^2 A - \cot^2 A = 1 \) सर्वसमिका से आता है):
\( = \frac { \cot A+\operatorname{cosec} A - (\operatorname{cosec}^2 A - \cot^2 A) }{ \cot A-\operatorname{cosec} A+1 } \)
अब, \( \operatorname{cosec}^2 A - \cot^2 A \) को \( (\operatorname{cosec} A - \cot A)(\operatorname{cosec} A + \cot A) \) में गुणनखंडित करेंगे:
\( = \frac { (\cot A+\operatorname{cosec} A) - (\operatorname{cosec} A - \cot A)(\operatorname{cosec} A + \cot A) }{ \cot A-\operatorname{cosec} A+1 } \)
अंश में से \( (\cot A+\operatorname{cosec} A) \) उभयनिष्ठ लेंगे:
\( = \frac { (\cot A+\operatorname{cosec} A) [1 - (\operatorname{cosec} A - \cot A)] }{ \cot A-\operatorname{cosec} A+1 } \)
\( = \frac { (\cot A+\operatorname{cosec} A) [1 - \operatorname{cosec} A + \cot A] }{ \cot A-\operatorname{cosec} A+1 } \)
चूंकि अंश और हर में \( [1 - \operatorname{cosec} A + \cot A] \) पद समान हैं, उन्हें रद्द किया जा सकता है:
\( = \cot A+\operatorname{cosec} A \)
अब, \( \cot A \) और \( \operatorname{cosec} A \) को \( \sin A \) और \( \cos A \) के पदों में बदलेंगे:
\( = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{1}{\sin A} \)
\( = \frac{1+\cos A}{\sin A} \)
यह दाहिने पक्ष (R.H.S.) के बराबर है, इस प्रकार यह सिद्ध होता है। इस तरह के प्रूफ में सर्वसमिकाओं का उचित प्रयोग महत्वपूर्ण है।
In simple words: हम \( 1 \) को \( \operatorname{cosec}^2 A - \cot^2 A \) से बदलकर \( (\cot A + \operatorname{cosec} A) \) को अंश से बाहर निकालते हैं. फिर हम समान पदों को रद्द कर देते हैं और \( \cot A \) और \( \operatorname{cosec} A \) को \( \sin A \) और \( \cos A \) में बदलते हैं, जिससे हमें आवश्यक दाहिना पक्ष मिलता है.

🎯 Exam Tip: जब अंश या हर में \( +1 \) या \( -1 \) का पद हो, तो उसे अक्सर \( \operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta \) या \( \sec^2 \theta - \tan^2 \theta \) से बदल कर गुणनखंडन करना एक प्रभावी रणनीति है।