RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 6 त्रिकोणमितीय अनुपात Exercise 6.1

निम्न के मान ज्ञात कीजिए-

Question 1. 2 sin 45° cos 45°
Answer: हमें 2 sin 45° cos 45° का मान निकालना है। हम सारणी से sin 45° का मान \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) और cos 45° का मान \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) रखेंगे।
\( = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( = 2 \times \frac{1}{2} \)
\( = 1 \) इस तरह, दिए गए व्यंजक का मान 1 है।
In simple words: हम sin 45° और cos 45° के मानों को समीकरण में रखते हैं। फिर उन्हें गुणा करके सरल करते हैं, जिससे हमें 1 उत्तर मिलता है।

🎯 Exam Tip: त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक कोणों के मानों को हमेशा याद रखें या मान सारणी (table of values) बनाना सीख लें ताकि गणनाएँ सही हों।

Question 2. cos 45° cos 60° – sin 45° sin 60°
Answer: हमें cos 45° cos 60° – sin 45° sin 60° का मान ज्ञात करना है। हम सारणी से सभी मानों को इसमें रखेंगे।
\( \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) अब इन मानों को व्यंजक में रखते हैं:
\( = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( = \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \)
\( = \frac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \) यह हमारा अंतिम उत्तर है।
In simple words: दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक में सभी कोणों के मानों को रखकर सरल करने पर हमें \( \frac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \) मिलता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ जैसे \( \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \) को पहचानना आपको गणनाएँ तेज़ी से करने में मदद कर सकता है।

Question 3. sin²30° + 2 cos²45° + 3 tan²60°
Answer: हमें sin²30° + 2 cos²45° + 3 tan²60° का मान निकालना है। हम सारणी से प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन का मान ज्ञात करेंगे और उसे व्यंजक में रखेंगे।
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \) अब इन मानों को व्यंजक में रखते हैं:
\( = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3 (\sqrt{3})^2 \)
\( = \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{2} + 3 \times 3 \)
\( = \frac{1}{4} + 1 + 9 \)
\( = \frac{1}{4} + 10 \)
\( = 10 \frac{1}{4} \) या \( \frac{41}{4} \) यह दिए गए व्यंजक का मान है।
In simple words: हम sin 30°, cos 45° और tan 60° के मानों का वर्ग करते हैं और उन्हें समीकरण में रखते हैं। फिर उन्हें जोड़कर अंतिम मान \( 10 \frac{1}{4} \) पाते हैं।

🎯 Exam Tip: वर्गों की गणना करते समय, \( (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} \) और \( (\sqrt{3})^2 = 3 \) जैसी सरलताओं का ध्यान रखें ताकि गलती न हो।

Question 4. 3 sin 60° - 4 sin³60°
Answer: हमें 3 sin 60° - 4 sin³60° का मान ज्ञात करना है। हम सारणी से sin 60° का मान रखेंगे।
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) अब इस मान को व्यंजक में रखते हैं:
\( = 3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \)
\( = \frac{3\sqrt{3}}{2} - 4 \left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right) \)
\( = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} \)
\( = 0 \) दिए गए व्यंजक का मान 0 है।
In simple words: sin 60° का मान \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) रखकर समीकरण को सरल करते हैं। पहले पद से दूसरे पद को घटाने पर उत्तर 0 आता है।

🎯 Exam Tip: यह व्यंजक \( \sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta \) का एक रूप है। आप सीधे \( \sin(3 \times 60^\circ) = \sin 180^\circ = 0 \) का उपयोग करके भी इसका समाधान कर सकते हैं, जिससे समय बचता है।

Question 5. \( \frac{5 \cos^2 60^\circ + 4 \sec^2 30^\circ - \tan^2 45^\circ}{\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ} \)
Answer: हमें दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक का मान ज्ञात करना है। हम सारणी से सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों को प्रतिस्थापित करेंगे।
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
\( \tan 45^\circ = 1 \)
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) अब इन मानों को व्यंजक में रखते हैं:
\( = \frac{5 \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4 \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - (1)^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \)
\( = \frac{5 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{4}{3} - 1}{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \)
\( = \frac{\frac{5}{4} + \frac{16}{3} - 1}{\frac{1+3}{4}} \)
\( = \frac{\frac{15 + 64 - 12}{12}}{\frac{4}{4}} \)
\( = \frac{\frac{67}{12}}{1} \)
\( = \frac{67}{12} \) यह दिए गए व्यंजक का मान है।
In simple words: सभी त्रिकोणमितीय मानों को समीकरण में रखने के बाद, हम अंश और हर को अलग-अलग सरल करते हैं। हर \( \sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 1 \) हो जाता है, जिससे अंत में \( \frac{67}{12} \) उत्तर मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) जैसी मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके हर को तुरंत 1 के बराबर करना न भूलें, यह गणना को बहुत सरल कर देता है।

Question 6. 4cot²45° - sec²60° + sin²60° + cos²90°
Answer: हमें 4cot²45° - sec²60° + sin²60° + cos²90° का मान ज्ञात करना है। हम सारणी से सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों को प्रतिस्थापित करेंगे।
\( \cot 45^\circ = 1 \)
\( \sec 60^\circ = 2 \)
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cos 90^\circ = 0 \) अब इन मानों को व्यंजक में रखते हैं:
\( = 4(1)^2 - (2)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (0)^2 \)
\( = 4 \times 1 - 4 + \frac{3}{4} + 0 \)
\( = 4 - 4 + \frac{3}{4} \)
\( = \frac{3}{4} \) यह दिए गए व्यंजक का मान है।
In simple words: हम सभी त्रिकोणमितीय मानों को व्यंजक में रखते हैं और वर्गों की गणना करते हैं। फिर उन्हें जोड़ते और घटाते हैं, जिससे हमें \( \frac{3}{4} \) उत्तर मिलता है।

🎯 Exam Tip: इस तरह के लंबे व्यंजकों में प्रत्येक पद का मान सावधानी से गिनें। \( 4-4=0 \) जैसी सरलताओं पर तुरंत ध्यान दें ताकि गणनाएँ आसान हों।

Question 7. \( \frac{4}{\cot^2 30^\circ} + \frac{1}{\sin^2 30^\circ} - \cos^2 45^\circ \)
Answer: हमें दिए गए व्यंजक का मान निकालना है। हम सारणी से सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों को प्रतिस्थापित करेंगे।
\( \cot 30^\circ = \sqrt{3} \)
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \) अब इन मानों को व्यंजक में रखते हैं:
\( = \frac{4}{(\sqrt{3})^2} + \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \)
\( = \frac{4}{3} + \frac{1}{\frac{1}{4}} - \frac{1}{2} \)
\( = \frac{4}{3} + 4 - \frac{1}{2} \) अब हम इन भिन्न संख्याओं को जोड़ते और घटाते हैं। सामान्य हर 6 होगा:
\( = \frac{8}{6} + \frac{24}{6} - \frac{3}{6} \)
\( = \frac{8 + 24 - 3}{6} \)
\( = \frac{29}{6} \) यह दिए गए व्यंजक का मान है।
In simple words: सभी त्रिकोणमितीय मानों को समीकरण में रखते हैं और उनका वर्ग करते हैं। फिर भिन्नों को सरल करने और जोड़ने-घटाने के लिए सामान्य हर लेते हैं, जिससे हमें \( \frac{29}{6} \) उत्तर मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( \frac{1}{(\frac{1}{a})^2} = a^2 \) जैसी भिन्नों को सरल करते समय सावधानी बरतें। यहाँ \( \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 \) है।

Question 8. \( \frac{\tan^2 60^\circ + 4\sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ}{3 \sec^2 30^\circ + \operatorname{cosec}^2 60^\circ - \cot^2 30^\circ} \)
Answer: हमें दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक का मान ज्ञात करना है। हम सारणी से सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों को प्रतिस्थापित करेंगे।
\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)
\( \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \sin 90^\circ = 1 \)
\( \sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
\( \operatorname{cosec} 60^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
\( \cot 30^\circ = \sqrt{3} \) अब इन मानों को व्यंजक में रखते हैं:
\( = \frac{(\sqrt{3})^2 + 4\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + (1)^2}{3\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - (\sqrt{3})^2} \)
\( = \frac{3 + 4 \times \frac{1}{2} + 1}{3 \times \frac{4}{3} + \frac{4}{3} - 3} \)
\( = \frac{3 + 2 + 1}{4 + \frac{4}{3} - 3} \)
\( = \frac{6}{1 + \frac{4}{3}} \)
\( = \frac{6}{\frac{3+4}{3}} \)
\( = \frac{6}{\frac{7}{3}} \)
\( = 6 \times \frac{3}{7} \)
\( = \frac{18}{7} \) यह दिए गए व्यंजक का मान है।
In simple words: सभी कोणों के त्रिकोणमितीय मानों को समीकरण में रखते हैं और वर्गों की गणना करते हैं। फिर अंश और हर को अलग-अलग सरल करके भिन्नों को हल करते हैं, जिससे हमें \( \frac{18}{7} \) उत्तर मिलता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे व्यंजकों में, हर में \( 3\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \) और \( \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \) जैसे पदों को सही ढंग से गुणा करना महत्वपूर्ण है। अंश और हर को अलग-अलग सरल करने से गलतियाँ कम होती हैं।

Question 9. \( \frac{\sin 30^\circ - \sin 90^\circ + 2 \cos 0^\circ}{\tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ} \)
Answer: हमें दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक का मान ज्ञात करना है। हम सारणी से सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानों को प्रतिस्थापित करेंगे।
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \sin 90^\circ = 1 \)
\( \cos 0^\circ = 1 \)
\( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \) अब इन मानों को व्यंजक में रखते हैं:
\( = \frac{\frac{1}{2} - 1 + 2 \times 1}{\frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3}} \)
\( = \frac{\frac{1}{2} - 1 + 2}{1} \)
\( = \frac{1}{2} + 1 \)
\( = \frac{1+2}{2} \)
\( = \frac{3}{2} \) यह दिए गए व्यंजक का मान है।
In simple words: सभी कोणों के त्रिकोणमितीय मानों को व्यंजक में रखने के बाद, हम अंश और हर को अलग-अलग सरल करते हैं। हर \( \tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ = 1 \) हो जाता है, जिससे अंत में \( \frac{3}{2} \) उत्तर मिलता है।

🎯 Exam Tip: \( \tan \theta \cdot \tan (90^\circ - \theta) = 1 \) जैसी सर्वसमिकाओं को याद रखें, जैसे \( \tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ = 1 \), जिससे गणना बहुत तेज़ हो जाती है।

Question 10. \( \frac{2 \tan 30^\circ}{1-\tan^2 30^\circ} \)
Answer: हमें दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक का मान ज्ञात करना है। हम सारणी से \( \tan 30^\circ \) का मान रखेंगे।
\( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \) अब इस मान को व्यंजक में रखते हैं:
\( = \frac{2 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3-1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \)
\( = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} \)
\( = \frac{3}{\sqrt{3}} \) हम हर में से अपरिमेय संख्या को हटाते हैं:
\( = \frac{3}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( = \frac{3\sqrt{3}}{3} \)
\( = \sqrt{3} \) यह दिए गए व्यंजक का मान है।
In simple words: \( \tan 30^\circ \) का मान \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) को व्यंजक में रखते हैं। फिर अंश और हर को अलग-अलग सरल करते हैं और अंत में हर से अपरिमेय संख्या को हटाते हैं, जिससे हमें \( \sqrt{3} \) उत्तर मिलता है।

🎯 Exam Tip: यह व्यंजक \( \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \) का एक रूप है। आप सीधे \( \tan(2 \times 30^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \) का उपयोग करके भी इसका समाधान कर सकते हैं।

Question 11. निम्न में x का मान ज्ञात कीजिए-
(i) cos x = cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30°
(ii) sin 2x = sin 60° cos 30° - cos 60° sin 30°
(iii) √3 tan 2x = sin 30° + sin 45° cos 45° + 2 sin 90°
Answer:
(i) cos x = cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30°
हम सभी त्रिकोणमितीय मानों को समीकरण के दाहिने हाथ की ओर रखते हैं:
\( \cos x = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} \)
\( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \)
\( \cos x = \frac{2\sqrt{3}}{4} \)
\( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) हम जानते हैं कि \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)।
\( \cos x = \cos 30^\circ \)
\( x = 30^\circ \)
(ii) sin 2x = sin 60° cos 30° - cos 60° sin 30°
हम सभी त्रिकोणमितीय मानों को समीकरण के दाहिने हाथ की ओर रखते हैं:
\( \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \)
\( \sin 2x = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \)
\( \sin 2x = \frac{3-1}{4} \)
\( \sin 2x = \frac{2}{4} \)
\( \sin 2x = \frac{1}{2} \) हम जानते हैं कि \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)।
\( \sin 2x = \sin 30^\circ \)
\( 2x = 30^\circ \)
\( x = \frac{30^\circ}{2} \)
\( x = 15^\circ \)
(iii) √3 tan 2x = sin 30° + sin 45° cos 45° + 2 sin 90°
हम सभी त्रिकोणमितीय मानों को समीकरण के दाहिने हाथ की ओर रखते हैं:
\( \sqrt{3} \tan 2x = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \times 1 \)
\( \sqrt{3} \tan 2x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 \)
\( \sqrt{3} \tan 2x = 1 + 2 \)
\( \sqrt{3} \tan 2x = 3 \)
\( \tan 2x = \frac{3}{\sqrt{3}} \) हम हर में से अपरिमेय संख्या को हटाते हैं:
\( \tan 2x = \frac{3}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( \tan 2x = \frac{3\sqrt{3}}{3} \)
\( \tan 2x = \sqrt{3} \) हम जानते हैं कि \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)।
\( \tan 2x = \tan 60^\circ \)
\( 2x = 60^\circ \)
\( x = \frac{60^\circ}{2} \)
\( x = 30^\circ \)
In simple words: (i) हम समीकरण के दाहिने हाथ की तरफ के मानों को सरल करते हैं और पाते हैं कि \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \), इसलिए \( x = 30^\circ \)। (ii) दाहिने हाथ के मानों को सरल करने पर \( \sin 2x = \frac{1}{2} \) मिलता है, इसलिए \( 2x = 30^\circ \) और \( x = 15^\circ \)। (iii) दाहिने हाथ के मानों को सरल करने पर \( \sqrt{3} \tan 2x = 3 \) मिलता है, जिससे \( \tan 2x = \sqrt{3} \) और अंत में \( x = 30^\circ \)।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, पहले दाहिने हाथ की ओर के पूरे व्यंजक का मान निकालें, फिर उस मान के संगत कोण ज्ञात करें। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ जैसे \( \cos(A-B) \) और \( \sin(A-B) \) को पहचानना भी समीकरणों को तेजी से हल करने में मदद कर सकता है।

सिद्ध कीजिए-

Question 12. \( \frac{\cos 30^\circ + \sin 60^\circ}{1+\cos 60^\circ + \sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि दिया गया व्यंजक \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) के बराबर है। हम समीकरण के बाएं हाथ की ओर (L.H.S.) को सरल करेंगे।
L.H.S. \( = \frac{\cos 30^\circ + \sin 60^\circ}{1+\cos 60^\circ + \sin 30^\circ} \)
हम सारणी से सभी त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करेंगे:
\( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) अब इन मानों को L.H.S. में रखते हैं:
\( = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \)
\( = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{2}}{1 + 1} \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2} \) यह R.H.S. के बराबर है।
इसलिए, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हम समीकरण के बाएं हाथ के पक्ष में सभी त्रिकोणमितीय मानों को रखते हैं। अंश और हर को सरल करते हैं। अंश \( \sqrt{3} \) हो जाता है और हर 2 हो जाता है, जिससे अंत में \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) मिलता है, जो दाहिने हाथ के पक्ष के बराबर है।

🎯 Exam Tip: जब भी \( \cos 30^\circ \) और \( \sin 60^\circ \) एक साथ हों, तो याद रखें कि उनके मान बराबर होते हैं (\( \frac{\sqrt{3}}{2} \))। इसी तरह, \( \cos 60^\circ \) और \( \sin 30^\circ \) के मान बराबर (\( \frac{1}{2} \)) होते हैं, जिससे गणनाएँ आसान हो जाती हैं।

Question 13. \( 4 \cot^2 45^\circ - \sec^2 60^\circ - \sin^2 30^\circ = -1 \)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि \( 4 \cot^2 45^\circ - \sec^2 60^\circ - \sin^2 30^\circ \) का मान -1 के बराबर है। हम समीकरण के बाएं हाथ की ओर (L.H.S.) को सरल करेंगे।
L.H.S. \( = 4 \cot^2 45^\circ - \sec^2 60^\circ - \sin^2 30^\circ \)
हम सारणी से सभी त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करेंगे:
\( \cot 45^\circ = 1 \)
\( \sec 60^\circ = 2 \)
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) अब इन मानों को L.H.S. में रखते हैं:
\( = 4(1)^2 - (2)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)
\( = 4 \times 1 - 4 - \frac{1}{4} \)
\( = 4 - 4 - \frac{1}{4} \)
\( = 0 - \frac{1}{4} \)
\( = -\frac{1}{4} \) यहाँ दिए गए प्रश्न में संभावित त्रुटि है। प्रश्न में इसे -1 के बराबर सिद्ध करने के लिए कहा गया है। यदि प्रश्न \( 4 \cot^2 45^\circ - \sec^2 60^\circ + \sin^2 30^\circ \) होता, तो उत्तर 1/4 आता। दिए गए व्यंजक के अनुसार, L.H.S. \( = -\frac{1}{4} \)। यदि R.H.S. -1 है, तो यह समीकरण गलत है।
In simple words: हम समीकरण के बाएं हाथ के पक्ष में सभी त्रिकोणमितीय मानों को रखते हैं और उनका वर्ग करते हैं। गणना करने पर हमें \( -\frac{1}{4} \) मिलता है। यदि इसे -1 के बराबर सिद्ध करना है, तो प्रश्न में त्रुटि है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रूफ प्रश्नों में, यदि आपका उत्तर R.H.S. से मेल नहीं खाता है, तो अपनी गणना की दोबारा जाँच करें। यदि फिर भी मेल नहीं खाता, तो यह एक संकेत हो सकता है कि प्रश्न में त्रुटि है, हालांकि आपको अपनी गणना स्पष्ट रूप से दर्शानी चाहिए।

Question 14. \( 4\sin 30^\circ \sin^2 60^\circ + 3\cos 60^\circ \tan 45^\circ = 2\sec^2 45^\circ – \operatorname{cosec}^2 90^\circ \)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि दिए गए समीकरण का बायाँ पक्ष (L.H.S.) दाहिने पक्ष (R.H.S.) के बराबर है। हम दोनों पक्षों को अलग-अलग सरल करेंगे।
पहले L.H.S. को हल करते हैं:
L.H.S. \( = 4\sin 30^\circ \sin^2 60^\circ + 3\cos 60^\circ \tan 45^\circ \)
हम सारणी से मान रखेंगे:
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \tan 45^\circ = 1 \)
L.H.S. \( = 4 \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 3 \left(\frac{1}{2}\right) (1) \)
\( = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \)
\( = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \)
\( = \frac{6}{2} \)
\( = 3 \) अब R.H.S. को हल करते हैं:
R.H.S. \( = 2\sec^2 45^\circ – \operatorname{cosec}^2 90^\circ \)
हम सारणी से मान रखेंगे:
\( \sec 45^\circ = \sqrt{2} \)
\( \operatorname{cosec} 90^\circ = 1 \)
R.H.S. \( = 2(\sqrt{2})^2 - (1)^2 \)
\( = 2 \times 2 - 1 \)
\( = 4 - 1 \)
\( = 3 \) चूंकि L.H.S. = 3 और R.H.S. = 3 है, तो L.H.S. = R.H.S. है।
इसलिए, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हम समीकरण के बाएं और दाहिने दोनों पक्षों में सभी त्रिकोणमितीय मानों को रखते हैं। दोनों पक्षों को सरल करने पर हमें 3 मिलता है, जिससे सिद्ध होता है कि दोनों पक्ष बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: प्रूफ वाले प्रश्नों में, L.H.S. और R.H.S. को अलग-अलग हल करना और दिखाना एक स्पष्ट तरीका है। इससे आपकी गणनाएँ व्यवस्थित रहती हैं और गलतियाँ कम होती हैं।

Question 15. \( \operatorname{cosec}^2 45^\circ \cdot \sec^2 30^\circ \sin^3 90^\circ \cos 60^\circ = \frac{4}{3} \)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि दिए गए व्यंजक का मान \( \frac{4}{3} \) के बराबर है। हम समीकरण के बाएं हाथ की ओर (L.H.S.) को सरल करेंगे।
L.H.S. \( = \operatorname{cosec}^2 45^\circ \cdot \sec^2 30^\circ \sin^3 90^\circ \cos 60^\circ \)
हम सारणी से सभी त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करेंगे:
\( \operatorname{cosec} 45^\circ = \sqrt{2} \)
\( \sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
\( \sin 90^\circ = 1 \)
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) अब इन मानों को L.H.S. में रखते हैं:
\( = (\sqrt{2})^2 \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 (1)^3 \left(\frac{1}{2}\right) \)
\( = 2 \times \frac{4}{3} \times 1 \times \frac{1}{2} \)
\( = \frac{8}{3} \times \frac{1}{2} \)
\( = \frac{4}{3} \) यह R.H.S. के बराबर है।
इसलिए, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हम समीकरण के बाएं हाथ के पक्ष में सभी त्रिकोणमितीय मानों को रखते हैं और वर्गों/घनों की गणना करते हैं। सभी पदों को गुणा करने पर हमें \( \frac{4}{3} \) मिलता है, जो दाहिने हाथ के पक्ष के बराबर है।

🎯 Exam Tip: गुणा करते समय, अंश और हर के बीच के गुणनखंडों को सरल करना याद रखें, जैसे \( 2 \times \frac{1}{2} = 1 \), इससे गणनाएँ आसान हो जाती हैं।

Question 16. \( \frac{\sin 60^\circ + \sin 30^\circ}{\sin 60^\circ - \sin 30^\circ} = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{\tan 60^\circ - \tan 45^\circ} \)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि दिए गए समीकरण का बायाँ पक्ष (L.H.S.) दाहिने पक्ष (R.H.S.) के बराबर है। हम दोनों पक्षों को अलग-अलग सरल करेंगे।
पहले L.H.S. को हल करते हैं:
L.H.S. \( = \frac{\sin 60^\circ + \sin 30^\circ}{\sin 60^\circ - \sin 30^\circ} \)
हम सारणी से मान रखेंगे:
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
L.H.S. \( = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}} \)
\( = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}} \)
\( = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \) अब R.H.S. को हल करते हैं:
R.H.S. \( = \frac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{\tan 60^\circ - \tan 45^\circ} \)
हम सारणी से मान रखेंगे:
\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)
\( \tan 45^\circ = 1 \)
R.H.S. \( = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \) चूंकि L.H.S. \( = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \) और R.H.S. \( = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \) है, तो L.H.S. = R.H.S. है।
इसलिए, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हम समीकरण के बाएं और दाहिने दोनों पक्षों में सभी त्रिकोणमितीय मानों को रखते हैं। दोनों पक्षों को सरल करने पर हमें \( \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \) मिलता है, जिससे सिद्ध होता है कि दोनों पक्ष बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: यह एक अच्छा उदाहरण है जहाँ दोनों पक्ष स्वतंत्र रूप से सरल होते हैं और समान मान पर पहुँचते हैं। प्रत्येक पक्ष को अलग-अलग हल करने से गणना स्पष्ट रहती है।

Question 17. \( 2(\cos^2 45^\circ + \tan^2 60^\circ) – 6(\sin^2 45^\circ – \tan^2 30^\circ) = 6 \)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि दिए गए व्यंजक का मान 6 के बराबर है। हम समीकरण के बाएं हाथ की ओर (L.H.S.) को सरल करेंगे।
L.H.S. \( = 2(\cos^2 45^\circ + \tan^2 60^\circ) – 6(\sin^2 45^\circ – \tan^2 30^\circ) \)
हम सारणी से सभी त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करेंगे:
\( \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)
\( \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \) अब इन मानों को L.H.S. में रखते हैं:
\( = 2\left[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + (\sqrt{3})^2\right] - 6\left[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\right] \)
\( = 2\left[\frac{1}{2} + 3\right] - 6\left[\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right] \)
\( = 2\left[\frac{1+6}{2}\right] - 6\left[\frac{3-2}{6}\right] \)
\( = 2\left[\frac{7}{2}\right] - 6\left[\frac{1}{6}\right] \)
\( = 7 - 1 \)
\( = 6 \) यह R.H.S. के बराबर है।
इसलिए, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हम सभी त्रिकोणमितीय मानों को व्यंजक में रखते हैं और वर्गों की गणना करते हैं। फिर कोष्ठकों के अंदर के मानों को सरल करते हैं और अंत में गुणा और घटाव करते हुए हमें 6 मिलता है, जो दाहिने हाथ के पक्ष के बराबर है।

🎯 Exam Tip: बड़े व्यंजकों को हल करते समय, कोष्ठकों के अंदर की गणना को पहले प्राथमिकता दें और फिर बाहर के गुणा को करें। इससे भ्रम से बचा जा सकता है।

Question 18. \( (\sec^2 30^\circ + \operatorname{cosec}^2 45^\circ) (2 \cos 60^\circ + \sin 90^\circ + \tan 45^\circ) = 10 \)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि दिए गए व्यंजक का मान 10 के बराबर है। हम समीकरण के बाएं हाथ की ओर (L.H.S.) को सरल करेंगे।
L.H.S. \( = (\sec^2 30^\circ + \operatorname{cosec}^2 45^\circ) (2 \cos 60^\circ + \sin 90^\circ + \tan 45^\circ) \)
हम सारणी से सभी त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करेंगे:
\( \sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
\( \operatorname{cosec} 45^\circ = \sqrt{2} \)
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \sin 90^\circ = 1 \)
\( \tan 45^\circ = 1 \) अब इन मानों को L.H.S. में रखते हैं:
\( = \left[\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 + (\sqrt{2})^2\right] \left[2 \left(\frac{1}{2}\right) + 1 + 1\right] \)
\( = \left[\frac{4}{3} + 2\right] [1 + 1 + 1] \)
\( = \left[\frac{4+6}{3}\right] [3] \)
\( = \left[\frac{10}{3}\right] \times 3 \)
\( = 10 \) यह R.H.S. के बराबर है।
इसलिए, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हम दिए गए समीकरण के बाएं पक्ष में सभी त्रिकोणमितीय मानों को रखते हैं। पहले दोनों कोष्ठकों के अंदर के मानों को सरल करते हैं और फिर उन्हें गुणा करते हैं, जिससे हमें 10 मिलता है, जो दाहिने पक्ष के बराबर है।

🎯 Exam Tip: जब दो कोष्ठक गुणा में हों, तो पहले प्रत्येक कोष्ठक के अंदर के सभी पदों को पूरी तरह से सरल करें, फिर अंतिम गुणा करें। यह गणना को अधिक प्रबंधनीय बनाता है।

Question 19. \( (1 − \sin 45^\circ + \sin 30^\circ) (1 + \cos 45^\circ + \cos 60^\circ) = \frac{7}{4} \)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि दिए गए व्यंजक का मान \( \frac{7}{4} \) के बराबर है। हम समीकरण के बाएं हाथ की ओर (L.H.S.) को सरल करेंगे।
L.H.S. \( = (1 − \sin 45^\circ + \sin 30^\circ) (1 + \cos 45^\circ + \cos 60^\circ) \)
हम सारणी से सभी त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करेंगे:
\( \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) अब इन मानों को L.H.S. में रखते हैं:
\( = \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2}\right) \)
पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
\( = \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{3}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \) यह \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) के रूप में है, जहाँ \( a = \frac{3}{2} \) और \( b = \frac{1}{\sqrt{2}} \)।
\( = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \)
\( = \frac{9}{4} - \frac{1}{2} \)
भिन्न को सरल करते हैं (सामान्य हर 4 है):
\( = \frac{9}{4} - \frac{2}{4} \)
\( = \frac{9-2}{4} \)
\( = \frac{7}{4} \) यह R.H.S. के बराबर है।
इसलिए, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हम सभी त्रिकोणमितीय मानों को दिए गए व्यंजक में रखते हैं। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, यह \( (a-b)(a+b) \) के रूप में बन जाता है। इस सूत्र का उपयोग करके हम इसे \( a^2 - b^2 \) में बदलते हैं और सरल करके \( \frac{7}{4} \) पाते हैं, जो दाहिने पक्ष के बराबर है।

🎯 Exam Tip: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) जैसी बीजगणितीय सर्वसमिकाओं को पहचानना लंबी गणनाओं को बहुत सरल कर सकता है। यहाँ \( \left(1 + \frac{1}{2}\right) \) को पहले \( \frac{3}{2} \) में बदलना महत्वपूर्ण है।

Question 20. \( \cos^2 0^\circ - 2 \cot^2 30^\circ+ 3 \operatorname{cosec}^2 90^\circ = 2(\sec^2 45^\circ – \tan^2 60^\circ) \)
Answer: हमें सिद्ध करना है कि दिए गए समीकरण का बायाँ पक्ष (L.H.S.) दाहिने पक्ष (R.H.S.) के बराबर है। हम दोनों पक्षों को अलग-अलग सरल करेंगे।
पहले L.H.S. को हल करते हैं:
L.H.S. \( = \cos^2 0^\circ - 2 \cot^2 30^\circ+ 3 \operatorname{cosec}^2 90^\circ \)
हम सारणी से मान रखेंगे:
\( \cos 0^\circ = 1 \)
\( \cot 30^\circ = \sqrt{3} \)
\( \operatorname{cosec} 90^\circ = 1 \)
L.H.S. \( = (1)^2 - 2(\sqrt{3})^2 + 3(1)^2 \)
\( = 1 - 2 \times 3 + 3 \times 1 \)
\( = 1 - 6 + 3 \)
\( = -5 + 3 \)
\( = -2 \) अब R.H.S. को हल करते हैं:
R.H.S. \( = 2(\sec^2 45^\circ – \tan^2 60^\circ) \)
हम सारणी से मान रखेंगे:
\( \sec 45^\circ = \sqrt{2} \)
\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)
R.H.S. \( = 2((\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2) \)
\( = 2(2 - 3) \)
\( = 2(-1) \)
\( = -2 \) चूंकि L.H.S. = -2 और R.H.S. = -2 है, तो L.H.S. = R.H.S. है।
इसलिए, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हम समीकरण के बाएं और दाहिने दोनों पक्षों में सभी त्रिकोणमितीय मानों को रखते हैं और वर्गों की गणना करते हैं। दोनों पक्षों को सरल करने पर हमें -2 मिलता है, जिससे सिद्ध होता है कि दोनों पक्ष बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे समीकरणों को हल करते समय, माइनस के चिन्हों के साथ सावधानी बरतें, खासकर जब वर्गों को घटाया जा रहा हो, जैसे \( 2-3 = -1 \)।

Question 21. यदि x = 30° हो, तो सिद्ध कीजिए-
(i) sin 3x = 3 sin x – 4 sin³x
(ii) tan 2x = \( \frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x} \)
(iii) sin x = \( \sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}} \)
Answer:
हमें x = 30° के लिए दिए गए समीकरणों को सिद्ध करना है।
(i) sin 3x = 3 sin x – 4 sin³x
पहले L.H.S. को हल करते हैं:
L.H.S. \( = \sin 3x \)
x = 30° रखने पर:
\( = \sin(3 \times 30^\circ) \)
\( = \sin 90^\circ \)
\( = 1 \) अब R.H.S. को हल करते हैं:
R.H.S. \( = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \)
x = 30° रखने पर:
\( = 3 \sin 30^\circ - 4 (\sin 30^\circ)^3 \)
\( = 3 \left(\frac{1}{2}\right) - 4 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \)
\( = \frac{3}{2} - 4 \left(\frac{1}{8}\right) \)
\( = \frac{3}{2} - \frac{4}{8} \)
\( = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \)
\( = \frac{3-1}{2} \)
\( = \frac{2}{2} \)
\( = 1 \) चूंकि L.H.S. = 1 और R.H.S. = 1 है, तो L.H.S. = R.H.S. है।
इसलिए, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
(ii) tan 2x = \( \frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x} \)
पहले L.H.S. को हल करते हैं:
L.H.S. \( = \tan 2x \)
x = 30° रखने पर:
\( = \tan(2 \times 30^\circ) \)
\( = \tan 60^\circ \)
\( = \sqrt{3} \) अब R.H.S. को हल करते हैं:
R.H.S. \( = \frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x} \)
x = 30° रखने पर:
\( = \frac{2 \tan 30^\circ}{1-\tan^2 30^\circ} \)
\( = \frac{2 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3-1}{3}} \)
\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \)
\( = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} \)
\( = \frac{3}{\sqrt{3}} \)
\( = \frac{3\sqrt{3}}{3} \)
\( = \sqrt{3} \) चूंकि L.H.S. \( = \sqrt{3} \) और R.H.S. \( = \sqrt{3} \) है, तो L.H.S. = R.H.S. है।
इसलिए, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
(iii) sin x = \( \sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}} \)
पहले L.H.S. को हल करते हैं:
L.H.S. \( = \sin x \)
x = 30° रखने पर:
\( = \sin 30^\circ \)
\( = \frac{1}{2} \) अब R.H.S. को हल करते हैं:
R.H.S. \( = \sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}} \)
x = 30° रखने पर:
\( = \sqrt{\frac{1-\cos(2 \times 30^\circ)}{2}} \)
\( = \sqrt{\frac{1-\cos 60^\circ}{2}} \)
\( = \sqrt{\frac{1-\frac{1}{2}}{2}} \)
\( = \sqrt{\frac{\frac{2-1}{2}}{2}} \)
\( = \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{2}} \)
\( = \sqrt{\frac{1}{4}} \)
\( = \frac{1}{2} \) चूंकि L.H.S. \( = \frac{1}{2} \) और R.H.S. \( = \frac{1}{2} \) है, तो L.H.S. = R.H.S. है।
इसलिए, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: प्रत्येक भाग में x = 30° का मान रखते हैं और L.H.S. और R.H.S. को अलग-अलग सरल करते हैं। यदि दोनों पक्ष बराबर आते हैं, तो समीकरण सिद्ध हो जाता है। यह सिद्ध करता है कि ये त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ दिए गए कोण के लिए सत्य हैं।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को सत्यापित करता है। \( \sin 3x \), \( \tan 2x \) और \( \sin x \) के लिए इन सूत्रों को याद रखना भविष्य के जटिल प्रश्नों को हल करने में बहुत सहायक होता है।

Question 22. यदि A = 60° और B = 30° हो तो सिद्ध कीजिए- cot(A - B) = \( \frac{\cot A \cot B +1}{\cot B - \cot A} \)
Answer: हमें A = 60° और B = 30° के लिए दिए गए समीकरण को सिद्ध करना है। हम समीकरण के बाएं हाथ की ओर (L.H.S.) और दाहिने हाथ की ओर (R.H.S.) को अलग-अलग सरल करेंगे।
पहले L.H.S. को हल करते हैं:
L.H.S. \( = \cot(A - B) \)
A = 60° और B = 30° रखने पर:
\( = \cot(60^\circ - 30^\circ) \)
\( = \cot 30^\circ \)
\( = \sqrt{3} \) अब R.H.S. को हल करते हैं:
R.H.S. \( = \frac{\cot A \cot B +1}{\cot B - \cot A} \)
A = 60° और B = 30° रखने पर:
\( = \frac{\cot 60^\circ \cot 30^\circ +1}{\cot 30^\circ - \cot 60^\circ} \)
हम सारणी से मान रखेंगे:
\( \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \cot 30^\circ = \sqrt{3} \)
\( = \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) (\sqrt{3}) + 1}{\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}} \)
\( = \frac{1 + 1}{\frac{(\sqrt{3})^2 - 1}{\sqrt{3}}} \)
\( = \frac{2}{\frac{3 - 1}{\sqrt{3}}} \)
\( = \frac{2}{\frac{2}{\sqrt{3}}} \)
\( = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( = \sqrt{3} \) चूंकि L.H.S. \( = \sqrt{3} \) और R.H.S. \( = \sqrt{3} \) है, तो L.H.S. = R.H.S. है।
इसलिए, L.H.S. = R.H.S. (इतिसिद्धम्)
In simple words: हम A और B के दिए गए मानों को समीकरण के बाएं और दाहिने दोनों पक्षों में रखते हैं। दोनों पक्षों को अलग-अलग सरल करने पर हमें \( \sqrt{3} \) मिलता है, जिससे सिद्ध होता है कि वे बराबर हैं। यह cot(A-B) सूत्र को सत्यापित करता है।

🎯 Exam Tip: यह \( \cot(A-B) \) के लिए महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय सूत्र है। जब भिन्नों के हर में \( \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \) जैसे व्यंजक हों, तो उन्हें \( \frac{3-1}{\sqrt{3}} \) में बदलना याद रखें, जिससे गणनाएँ आसान होती हैं।