RBSE Solutions Class 10 Maths Chapter 1 वैदिक गणित Exercise 1.4

सूत्रे परावर्त्य योजयेत् द्वारा समीकरण का मौखिक हल ज्ञात कीजिए।

Question 1. 13x - 14 = 9x + 10
Answer: यहाँ दिए गए समीकरण को \( ax + b = cx + d \) के रूप में देखा जा सकता है।
इस समीकरण में, \( a = 13 \), \( b = -14 \), \( c = 9 \) और \( d = 10 \) हैं।
चर \( x \) का मान ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करेंगे:
\( x = \frac{d-b}{a-c} \)
अब, मानों को सूत्र में रखने पर:
\( x = \frac{10 - (-14)}{13 - 9} \)
\( x = \frac{10 + 14}{4} \)
\( x = \frac{24}{4} \)
\( x = 6 \)
अतः, समीकरण का हल \( x = 6 \) है। यह विधि वैदिक गणित में बहुत उपयोगी है।
In simple words: समीकरण को \( ax + b = cx + d \) जैसा मानें. फिर, \( x \) का मान निकालने के लिए \( x = \frac{d-b}{a-c} \) सूत्र का उपयोग करें. दिए गए मानों को इसमें रखने पर \( x \) का मान 6 आता है.

🎯 Exam Tip: इस तरह के समीकरणों को हल करते समय, \( a, b, c, d \) के मानों को सही ढंग से पहचानना सबसे महत्वपूर्ण है।

Question 2. 3y + 4 = 5y - 4
Answer: यहाँ दिए गए समीकरण को \( ay + b = cy + d \) के रूप में देखा जा सकता है।
इस समीकरण में, \( a = 3 \), \( b = 4 \), \( c = 5 \) और \( d = -4 \) हैं।
चर \( y \) का मान ज्ञात करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करेंगे:
\( y = \frac{d-b}{a-c} \)
अब, मानों को सूत्र में रखने पर:
\( y = \frac{-4 - 4}{3 - 5} \)
\( y = \frac{-8}{-2} \)
\( y = 4 \)
अतः, समीकरण का हल \( y = 4 \) है। यह सूत्र रैखिक समीकरणों को जल्दी हल करने में मदद करता है।
In simple words: दिए गए समीकरण में, \( a=3, b=4, c=5, d=-4 \) हैं. \( y \) का मान निकालने के लिए \( y = \frac{d-b}{a-c} \) सूत्र का इस्तेमाल करें. इससे \( y \) का मान 4 मिलेगा.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक संख्याओं के साथ गणना करते समय विशेष रूप से सावधान रहें, खासकर जब घटाव और विभाजन हो।

Question 3. \( \frac{2x+1}{1} = \frac{3x+4}{3} \)
Answer: दिए गए समीकरण को सूत्र के रूप में समझा जा सकता है: \( \frac{ax+b}{p} = \frac{cx+d}{q} \)।
यहाँ, \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( p = 1 \), \( c = 3 \), \( d = 4 \), \( q = 3 \) हैं।
इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( x = \frac{dp-bq}{aq-cp} \)
अब, दिए गए मानों को सूत्र में रखते हैं:
\( x = \frac{(4 \times 1) - (1 \times 3)}{(2 \times 3) - (3 \times 1)} \)
\( x = \frac{4 - 3}{6 - 3} \)
\( x = \frac{1}{3} \)
अतः, समीकरण का हल \( x = \frac{1}{3} \) है। यह विधि भिन्न वाले समीकरणों को सरल बनाने में उपयोगी है।
In simple words: समीकरण में \( a, b, p, c, d, q \) के मान पहचानें. फिर, \( x \) निकालने के लिए \( x = \frac{dp-bq}{aq-cp} \) सूत्र लगाएं. गणना करने पर, \( x \) का मान \( \frac{1}{3} \) आएगा.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप सूत्र में सभी गुणा और घटाव संक्रियाओं को सही क्रम में करते हैं, अंश और हर दोनों में।

Question 4. \( \frac{5x-3}{2} =\frac{2x+1}{5} \)
Answer: दिए गए समीकरण को सूत्र के रूप में समझा जा सकता है: \( \frac{ax+b}{p} = \frac{cx+d}{q} \)।
यहाँ, \( a = 5 \), \( b = -3 \), \( p = 2 \), \( c = 2 \), \( d = 1 \), \( q = 5 \) हैं।
इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( x = \frac{dp-bq}{aq-cp} \)
अब, दिए गए मानों को सूत्र में रखते हैं:
\( x = \frac{(1 \times 2) - ((-3) \times 5)}{(5 \times 5) - (2 \times 2)} \)
\( x = \frac{2 - (-15)}{25 - 4} \)
\( x = \frac{2 + 15}{21} \)
\( x = \frac{17}{21} \)
अतः, समीकरण का हल \( x = \frac{17}{21} \) है। यह विधि भिन्न समीकरणों में गलतियों को कम करने में मदद करती है।
In simple words: समीकरण के हर और अंश से \( a, b, p, c, d, q \) के मान चुनें. फिर \( x = \frac{dp-bq}{aq-cp} \) सूत्र में मान डालें. इससे आपको \( x \) का मान \( \frac{17}{21} \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक संख्याओं को घटाते समय ध्यान दें, क्योंकि \( -(-3) \) जैसा पद \( +3 \) में बदल जाता है।

Question 5. (x + 7) (x + 9) = (x - 8) (x - 11)
Answer: यह समीकरण \( (x+a)(x+b) = (x+c)(x+d) \) के रूप में है।
यहाँ, \( a=7 \), \( b=9 \), \( c=-8 \), \( d=-11 \) हैं।
इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए एक विशेष सूत्र का उपयोग किया जाता है:
\( x = \frac{cd-ab}{a+b-c-d} \)
अब, मानों को सूत्र में रखते हैं:
\( x = \frac{((-8) \times (-11)) - (7 \times 9)}{(7 + 9) - (-8 - 11)} \)
\( x = \frac{88 - 63}{(16) - (-19)} \)
\( x = \frac{25}{16 + 19} \)
\( x = \frac{25}{35} \)
\( x = \frac{5}{7} \)
अतः, समीकरण का हल \( x = \frac{5}{7} \) है। यह सूत्र गुणांकों के जटिल गुणा को सरल बनाता है।
In simple words: समीकरण को \( (x+a)(x+b) = (x+c)(x+d) \) के रूप में पहचानें. \( a, b, c, d \) के मानों को सही से निकालें. फिर \( x = \frac{cd-ab}{a+b-c-d} \) सूत्र का उपयोग करके \( x \) का मान \( \frac{5}{7} \) ज्ञात करें.

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक चिह्नों को संभालते समय बहुत सावधान रहें, खासकर जब दो ऋणात्मक संख्याएँ गुणा होती हैं तो वे धनात्मक बन जाती हैं।

Question 6. (x + 5) (x + 1) = (x + 3) (x + 2)
Answer: यह समीकरण \( (x+a)(x+b) = (x+c)(x+d) \) के रूप में है।
यहाँ, \( a=5 \), \( b=1 \), \( c=3 \), \( d=2 \) हैं।
इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( x = \frac{cd-ab}{a+b-c-d} \)
अब, मानों को सूत्र में रखते हैं:
\( x = \frac{(3 \times 2) - (5 \times 1)}{(5 + 1) - (3 + 2)} \)
\( x = \frac{6 - 5}{6 - 5} \)
\( x = \frac{1}{1} \)
\( x = 1 \)
अतः, समीकरण का हल \( x = 1 \) है। यह सूत्र समान प्रकार के समीकरणों को तेज़ी से हल करने में मदद करता है।
In simple words: समीकरण में \( a=5, b=1, c=3, d=2 \) हैं. \( x \) को निकालने के लिए \( x = \frac{cd-ab}{a+b-c-d} \) सूत्र का उपयोग करें. गणना करने पर, \( x \) का मान 1 मिलेगा.

🎯 Exam Tip: जब अंश और हर दोनों का मान समान हो, तो परिणाम 1 होता है, जैसा कि इस प्रश्न में है।

Question 7. \( \frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1 } =0 \)
Answer: दिए गए समीकरण को \( \frac{m}{x+a} + \frac{n}{x+b} = 0 \) के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण को फिर से व्यवस्थित करें: \( \frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+1} \)
यह \( \frac{m}{x+a} = \frac{n}{x+b} \) रूप जैसा है, जहाँ \( m=1 \), \( n=2 \), \( a=-1 \), \( b=1 \) हैं।
इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:
\( x = -\frac{mb+na}{m+n} \)
अब, मानों को सूत्र में रखते हैं:
\( x = -\frac{(1 \times 1) + (2 \times (-1))}{1 + 2} \)
\( x = -\frac{1 - 2}{3} \)
\( x = -\frac{-1}{3} \)
\( x = \frac{1}{3} \)
अतः, समीकरण का हल \( x = \frac{1}{3} \) है। यह सूत्र जटिल भिन्नों वाले समीकरणों को सरल बनाता है।
In simple words: समीकरण को \( \frac{m}{x+a} = \frac{n}{x+b} \) रूप में लिखें. फिर \( m, n, a, b \) के मान पहचानें. \( x \) का मान निकालने के लिए \( x = -\frac{mb+na}{m+n} \) सूत्र का उपयोग करें. आपको \( x = \frac{1}{3} \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: भिन्नों को बराबर करते समय, हमेशा सुनिश्चित करें कि आप ऋणात्मक मानों को सही ढंग से संभालते हैं, विशेष रूप से \( x+a \) या \( x-a \) जैसे पदों में।

Question 8. \( \frac{5}{2x-1 } -\frac{ 9 }{ 3x-2} =0 \)
Answer: दिए गए समीकरण को \( \frac{m}{ax+b} - \frac{n}{cx+d} = 0 \) के रूप में लिखा जा सकता है।
समीकरण को फिर से व्यवस्थित करें: \( \frac{5}{2x-1} = \frac{9}{3x-2} \)
यह \( \frac{m}{x+a} = \frac{n}{x+b} \) रूप जैसा है, जहाँ \( m=5 \), \( n=9 \), \( a=-1/2 \), \( b=-2/3 \), लेकिन यहां हर में \( x \) के गुणांक भी हैं।
सही सूत्र \( x = -\frac{mb+na}{m+n} \) का उपयोग करने के लिए, हम इसे \( \frac{m}{x+b/a} = \frac{n}{x+d/c} \) के रूप में लिखते हैं।
तो, \( m = 5 \), \( n = 9 \), \( \frac{b}{a} = -1/2 \), \( \frac{d}{c} = -2/3 \)।
यानी \( a = -1/2 \), \( b = -2/3 \)
\( x = -\frac{(5 \times (-2/3)) + (9 \times (-1/2))}{5 + 9} \)
\( x = -\frac{-10/3 - 9/2}{14} \)
\( x = -\frac{(-20 - 27)/6}{14} \)
\( x = -\frac{-47/6}{14} \)
\( x = \frac{47}{6 \times 14} \)
\( x = \frac{47}{84} \)
अतः, समीकरण का हल \( x = \frac{47}{84} \) है। यह विधि भिन्नों के बीच जटिल गुणांकों को सरल करती है।
In simple words: दिए गए समीकरण को \( \frac{m}{ax+b} = \frac{n}{cx+d} \) के रूप में देखें. \( m, n \) के साथ-साथ \( x \) के गुणांकों को पहचानें. एक विशेष सूत्र का उपयोग करके \( x \) का मान \( \frac{47}{84} \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: जब हर में \( x \) के साथ गुणांक हों, तो उन्हें उचित सूत्र में शामिल करना या समीकरण को \( \frac{m'}{x+a'} = \frac{n'}{x+b'} \) रूप में बदलना महत्वपूर्ण है।

सूत्र शून्यं साम्य समुच्चये द्वारा समीकरण हल कीजिए।

Question 9. (2x + 1) + (x + 3) = (5x + 4)
Answer: वैदिक गणित के 'शून्यं साम्य समुच्चये' सूत्र के अनुसार, यदि किसी समीकरण के दोनों पक्षों में स्वतंत्र पदों (अचर पदों) का योग समान हो, तो चर राशि का मान शून्य होता है।
दिए गए समीकरण के बाएँ पक्ष में स्वतंत्र पद हैं: \( 1 \) और \( 3 \)।
बाएँ पक्ष में स्वतंत्र पदों का योग \( = 1 + 3 = 4 \)।
दाएँ पक्ष में स्वतंत्र पद है: \( 4 \)।
यहाँ, बाएँ पक्ष के स्वतंत्र पदों का योग \( (4) \) और दाएँ पक्ष का स्वतंत्र पद \( (4) \) समान हैं।
इसलिए, 'शून्यं साम्य समुच्चये' सूत्र के अनुसार, \( x \) का मान शून्य होगा।
\( x = 0 \)
यह सूत्र ऐसे समीकरणों को तुरंत हल करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है।
In simple words: समीकरण के बाएँ और दाएँ दोनों तरफ के अकेले नंबर (बिना \( x \) वाले) देखें. अगर बाएँ तरफ के नंबरों का जोड़ दाएँ तरफ के अकेले नंबर के बराबर है, तो \( x \) का मान 0 होगा. इस सवाल में \( 1+3=4 \) है, और दाएँ तरफ भी 4 है, तो \( x=0 \).

🎯 Exam Tip: यह सूत्र केवल तभी लागू होता है जब समीकरण के दोनों पक्षों के स्वतंत्र (अचर) पदों का योग बराबर हो।

Question 10. a(x - 1) + b(x - 1) = c(x - 1) + d(x - 1)
Answer: दिए गए समीकरण में, \( (x-1) \) एक सर्वनिष्ठ खण्ड (कॉमन फैक्टर) है जो सभी पदों में मौजूद है।
'शून्यं साम्य समुच्चये' सूत्र के एक और अनुप्रयोग के अनुसार, यदि समीकरण के प्रत्येक पद में एक ही उभयनिष्ठ गुणनखंड हो, तो उस उभयनिष्ठ गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर चर राशि का मान प्राप्त होता है।
चूंकि \( (x-1) \) सभी पदों में उभयनिष्ठ है, हम इसे शून्य के बराबर रख सकते हैं:
\( x - 1 = 0 \)
\( x = 1 \)
अतः, समीकरण का हल \( x = 1 \) है। यह विधि गुणनखंडों के माध्यम से समीकरणों को सरल बनाने में बहुत प्रभावी है।
In simple words: इस समीकरण में \( (x-1) \) हर जगह दिख रहा है. जब कोई चीज हर जगह एक जैसी दिखती है, तो उसे 0 के बराबर रख सकते हैं. इसलिए, \( x-1=0 \) रखने पर \( x \) का मान 1 मिलेगा.

🎯 Exam Tip: जब एक रैखिक गुणनखंड समीकरण के प्रत्येक पद में उभयनिष्ठ हो, तो उसे शून्य के बराबर सेट करने से समीकरण का एक मूल प्राप्त होता है।

Question 12. \( \frac {x}{2}+\frac {x}{ 3 } =\frac {x}{4}+\frac {x}{1} \)
Answer: दिए गए समीकरण में, \( x \) प्रत्येक पद में एक उभयनिष्ठ खण्ड (कॉमन फैक्टर) है।
'शून्यं साम्य समुच्चये' सूत्र के एक अनुप्रयोग के अनुसार, यदि समीकरण के प्रत्येक पद में एक ही उभयनिष्ठ गुणनखंड हो, तो उस उभयनिष्ठ गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर चर राशि का मान प्राप्त होता है।
चूंकि \( x \) सभी पदों में उभयनिष्ठ है, हम इसे शून्य के बराबर रख सकते हैं:
\( x = 0 \)
अतः, समीकरण का हल \( x = 0 \) है। यह सूत्र उन समीकरणों के लिए विशेष रूप से उपयोगी है जहां एक चर सभी पदों में मौजूद होता है।
In simple words: इस समीकरण में, \( x \) हर भाग में अकेला दिख रहा है. जब कोई \( x \) जैसा पद हर हिस्से में होता है, तो \( x \) का मान 0 होता है.

🎯 Exam Tip: जब \( x \) प्रत्येक पद में गुणा के रूप में आता है और कोई अचर पद नहीं होता, तो \( x = 0 \) हमेशा एक समाधान होता है।

Question 13. \( \frac {1}{x+4}+\frac {1}{x-6 } =0 \)
Answer: 'शून्यं साम्य समुच्चये' सूत्र के तृतीय नियम के अनुसार, यदि एक समीकरण में दो भिन्नें हों और उनके अंश (न्यूमरेटर) समान हों, तो उनके हरों (डिनोमिनेटर) का योग शून्य के बराबर रखने पर चर राशि का मान प्राप्त होता है।
यहाँ, दोनों भिन्नों के अंश 1 हैं, जो परस्पर समान हैं।
इसलिए, हम हरों का योग शून्य के बराबर रखेंगे:
\( (x + 4) + (x - 6) = 0 \)
\( 2x - 2 = 0 \)
\( 2x = 2 \)
\( x = \frac{2}{2} \)
\( x = 1 \)
अतः, समीकरण का हल \( x = 1 \) है। यह विधि उन भिन्नात्मक समीकरणों को जल्दी हल करने में मदद करती है जहाँ अंश समान होते हैं।
In simple words: जब दो भिन्नों का ऊपर वाला नंबर (अंश) एक जैसा हो, तो नीचे वाले नंबरों (हरों) को जोड़कर 0 के बराबर रखें. फिर, \( x \) का मान निकालें. यहाँ \( (x+4) + (x-6) = 0 \) रखने पर \( x=1 \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: यह नियम केवल तभी लागू होता है जब दोनों भिन्नों के अंश समान हों और समीकरण शून्य के बराबर सेट हो।

Question 14. \( \frac { 5 }{ 3x+2} +\frac { 5 }{ 2x+8 } =0 \)
Answer: 'शून्यं साम्य समुच्चये' सूत्र के तृतीय नियम के अनुसार, यदि एक समीकरण में दो भिन्नें हों और उनके अंश (न्यूमरेटर) समान हों, तो उनके हरों (डिनोमिनेटर) का योग शून्य के बराबर रखने पर चर राशि का मान प्राप्त होता है।
यहाँ, दोनों भिन्नों के अंश 5 हैं, जो परस्पर समान हैं।
इसलिए, हम हरों का योग शून्य के बराबर रखेंगे:
\( (3x + 2) + (2x + 8) = 0 \)
\( 5x + 10 = 0 \)
\( 5x = -10 \)
\( x = \frac{-10}{5} \)
\( x = -2 \)
अतः, समीकरण का हल \( x = -2 \) है। यह विधि भिन्नात्मक समीकरणों को कुशलता से हल करने का एक और तरीका है।
In simple words: इस समीकरण में दोनों भिन्नों के अंश 5 हैं, जो समान हैं. तो, उनके हरों \( (3x+2) \) और \( (2x+8) \) को जोड़कर 0 के बराबर करें. \( 5x+10=0 \) से \( x=-2 \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: भिन्न समीकरणों में, सुनिश्चित करें कि आप \( x \) के गुणांकों को हर में सही ढंग से जोड़ते हैं।

Question 15. \( \frac {2x+4}{2x+1 } =\frac { 2x+1}{2x+4} \)
Answer: 'शून्यं साम्य समुच्चये' सूत्र के चतुर्थ नियम के अनुसार, यदि किसी समीकरण के दोनों पक्षों के अंशों (न्यूमरेटर) का योग और हरों (डिनोमिनेटर) का योग परस्पर समान हो, या यदि दोनों योग एक निश्चित अनुपात में हों, तो किसी भी योग को शून्य के बराबर रखने पर चर राशि का मान प्राप्त होता है।
यहाँ, समीकरण है: \( \frac{2x+4}{2x+1} = \frac{2x+1}{2x+4} \)
दोनों पक्षों के अंशों का योग \( = (2x+4) + (2x+1) = 4x+5 \) (i)
दोनों पक्षों के हरों का योग \( = (2x+1) + (2x+4) = 4x+5 \) (ii)
हम देखते हैं कि अंशों का योग और हरों का योग दोनों \( 4x+5 \) के बराबर हैं, यानी समान हैं।
इसलिए, हम इस योग को शून्य के बराबर रख सकते हैं:
\( 4x + 5 = 0 \)
\( 4x = -5 \)
\( x = -\frac{5}{4} \)
अतः, समीकरण का हल \( x = -\frac{5}{4} \) है। यह विधि सममित समीकरणों के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।
In simple words: अगर समीकरण के दोनों तरफ के ऊपर वाले नंबरों (अंशों) का जोड़ और नीचे वाले नंबरों (हरों) का जोड़ एक जैसा हो, तो उस जोड़ को 0 के बराबर रखें. यहाँ \( 4x+5 \) दोनों तरफ समान है, तो \( 4x+5=0 \) से \( x = -\frac{5}{4} \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: यह नियम सममित भिन्नात्मक समीकरणों को हल करने का एक शक्तिशाली तरीका है, जहाँ अंश और हर एक पैटर्न का पालन करते हैं।

Question 17. \( \frac{5x+7}{2x+1}=\frac{x+1}{3x+5} \)
Answer: 'शून्यं साम्य समुच्चये' सूत्र के पंचम नियम के अनुसार, यदि समीकरण के एक पक्ष के अंश और हर का अंतर, दूसरे पक्ष के अंश और हर के अंतर के समान हो, या यदि दोनों अंतर एक निश्चित अनुपात में हों, तो किसी भी अंतर को शून्य के बराबर रखने पर चर राशि का मान प्राप्त होता है।
बाएँ पक्ष के अंश और हर का अंतर \( = (5x+7) - (2x+1) = 3x+6 \) (i)
दाएँ पक्ष के अंश और हर का अंतर \( = (x+1) - (3x+5) = -2x-4 \) (ii)
यहाँ अंतर समान नहीं हैं, लेकिन हम उन्हें शून्य के बराबर रख सकते हैं यदि वे समान अनुपात में हों।
अनुपात \( (3x+6) : (-2x-4) \) = \( 3(x+2) : -2(x+2) \) = \( 3 : -2 \)
चूंकि अंतर एक निश्चित अनुपात में हैं, हम किसी भी अंतर को शून्य के बराबर रख सकते हैं:
पहले अंतर को शून्य के बराबर रखने पर:
\( 3x + 6 = 0 \)
\( 3x = -6 \)
\( x = \frac{-6}{3} \)
\( x = -2 \)
दूसरे अंतर को शून्य के बराबर रखने पर:
\( -2x - 4 = 0 \)
\( -2x = 4 \)
\( x = \frac{4}{-2} \)
\( x = -2 \)
दोनों ही मामलों में, \( x = -2 \) प्राप्त होता है। यह सूत्र जटिल भिन्नात्मक समीकरणों के लिए उपयोगी है।
In simple words: समीकरण के हर तरफ अंश और हर का अंतर निकालें. अगर ये अंतर एक ही अनुपात में हैं, तो किसी भी अंतर को 0 के बराबर रखें. इससे \( x \) का मान \( -2 \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: यह नियम तब काम आता है जब अंश और हर के बीच का अंतर दोनों तरफ एक ही होता है, या वे एक ही अनुपात में होते हैं।

Question 18. \( \frac {3x+6 }{ 6x+3 } =\frac { 5x+4}{2x+7} \)
Answer: 'शून्यं साम्य समुच्चये' सूत्र के पंचम नियम का उपयोग करेंगे।
यदि समीकरण के एक पक्ष के अंश और हर का अंतर, दूसरे पक्ष के अंश और हर के अंतर के समान हो, या यदि दोनों अंतर एक निश्चित अनुपात में हों, तो किसी भी अंतर को शून्य के बराबर रखने पर चर राशि का मान प्राप्त होता है।
बाएँ पक्ष के अंश और हर का अंतर \( = (3x+6) - (6x+3) = -3x+3 \) (i)
दाएँ पक्ष के अंश और हर का अंतर \( = (5x+4) - (2x+7) = 3x-3 \) (ii)
हम देखते हैं कि अंतर \( (i) \) और \( (ii) \) विपरीत चिन्हों के साथ समान हैं: \( -(3x-3) = -3x+3 \)।
इसलिए, किसी भी अंतर को शून्य के बराबर रखने पर:
\( -3x + 3 = 0 \)
\( 3x = 3 \)
\( x = \frac{3}{3} \)
\( x = 1 \)
इस समीकरण का दूसरा मूल भी ज्ञात किया जा सकता है, जो 'शून्यं साम्य समुच्चये' के चतुर्थ नियम से आता है।
सूत्र चतुर्थ के अनुसार, दोनों पक्षों के अंशों का योग और हरों का योग समान हो, तो उसे शून्य के बराबर रख सकते हैं।
दोनों पक्षों के अंशों का योग \( = (3x+6) + (5x+4) = 8x+10 \)
दोनों पक्षों के हरों का योग \( = (6x+3) + (2x+7) = 8x+10 \)
चूंकि दोनों योग समान हैं, हम इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
\( 8x + 10 = 0 \)
\( 8x = -10 \)
\( x = \frac{-10}{8} \)
\( x = \frac{-5}{4} \)
अतः, इस समीकरण के दो हल हैं: \( x=1 \) और \( x = -\frac{5}{4} \)। यह विधि हमें द्विघात समीकरणों के लिए दो समाधान खोजने में मदद करती है।
In simple words: पहले अंश और हर का अंतर निकालें. अगर वे एक-दूसरे के उल्टे हैं, तो अंतर को 0 के बराबर रखकर \( x=1 \) पाएं. फिर, अंशों के जोड़ और हरों के जोड़ को 0 के बराबर रखकर दूसरा \( x \) का मान \( -\frac{5}{4} \) पाएं.

🎯 Exam Tip: यह एक द्विघात समीकरण है, इसलिए इसके दो मूल (समाधान) होंगे। दोनों संभव सूत्रों को लागू करके दोनों मूलों को खोजना महत्वपूर्ण है।

Question 19. \( \frac {1}{x+2}+\frac {1}{x+6 } =\frac {1}{x+1} +\frac {1}{x+7} \)
Answer: 'शून्यं साम्य समुच्चये' सूत्र के षष्ठ नियम के अनुसार, यदि किसी समीकरण के प्रत्येक पक्ष में दो पद हों, प्रत्येक अंश परस्पर समान हो, और बाएँ पक्ष के हरों का योग दाएँ पक्ष के हरों के योग के समान हो, तो इस योग को शून्य के बराबर रखने पर चर राशि का मान प्राप्त होता है।
यहाँ, दोनों पक्षों के अंश (न्यूमरेटर) 1 हैं, जो समान हैं।
बाएँ पक्ष के हरों का योग \( = (x+2) + (x+6) = 2x+8 \)
दाएँ पक्ष के हरों का योग \( = (x+1) + (x+7) = 2x+8 \)
चूंकि बाएँ पक्ष के हरों का योग और दाएँ पक्ष के हरों का योग दोनों \( 2x+8 \) के बराबर हैं, यानी समान हैं।
इसलिए, हम इस योग को शून्य के बराबर रख सकते हैं:
\( 2x + 8 = 0 \)
\( 2x = -8 \)
\( x = \frac{-8}{2} \)
\( x = -4 \)
अतः, समीकरण का हल \( x = -4 \) है। यह सूत्र सममित भिन्नात्मक समीकरणों को आसानी से हल करने में सहायक है।
In simple words: जब दोनों तरफ के अंश एक जैसे हों और दोनों तरफ के हरों का जोड़ भी एक जैसा हो, तो उस जोड़ को 0 के बराबर मानें. यहाँ \( 2x+8 \) दोनों तरफ समान है, तो \( 2x+8=0 \) से \( x=-4 \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: यह नियम तब बहुत उपयोगी होता है जब आपको एक लंबी समीकरण दी जाती है जिसमें अंश और हर दोनों में समरूपता होती है।

Question 20. \( \frac {1}{x-4} +\frac {1}{x-6 } =\frac {1}{x-2} +\frac { 1 }{ x-8 } \)
Answer: 'शून्यं साम्य समुच्चये' सूत्र के षष्ठ नियम के अनुसार, यदि किसी समीकरण के प्रत्येक पक्ष में दो पद हों, प्रत्येक अंश परस्पर समान हो, और बाएँ पक्ष के हरों का योग दाएँ पक्ष के हरों के योग के समान हो, तो इस योग को शून्य के बराबर रखने पर चर राशि का मान प्राप्त होता है।
यहाँ, दोनों पक्षों के अंश (न्यूमरेटर) 1 हैं, जो समान हैं।
बाएँ पक्ष के हरों का योग \( = (x-4) + (x-6) = 2x-10 \)
दाएँ पक्ष के हरों का योग \( = (x-2) + (x-8) = 2x-10 \)
चूंकि बाएँ पक्ष के हरों का योग और दाएँ पक्ष के हरों का योग दोनों \( 2x-10 \) के बराबर हैं, यानी समान हैं।
इसलिए, हम इस योग को शून्य के बराबर रख सकते हैं:
\( 2x - 10 = 0 \)
\( 2x = 10 \)
\( x = \frac{10}{2} \)
\( x = 5 \)
अतः, समीकरण का हल \( x = 5 \) है। यह विधि ऐसे भिन्नात्मक समीकरणों को सरलता से हल करने में बहुत प्रभावी है।
In simple words: समीकरण के बाएँ तरफ के हरों का जोड़ और दाएँ तरफ के हरों का जोड़ निकालें. अगर वे एक जैसे हैं, तो उस जोड़ को 0 के बराबर रखें. यहाँ \( 2x-10 \) दोनों तरफ समान है, तो \( 2x-10=0 \) से \( x=5 \) मिलेगा.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि हरों का योग निकालते समय आप ऋणात्मक चिह्नों को सही ढंग से संभालते हैं, विशेष रूप से जब घटाव के साथ पद हों।