Maharashtra Board Class 9 Maths Part 2 Geometry Chapter 4 Set 4.2 Constructions of Triangles Solutions

Question 1. Construct ΔΧΥΖ, such that YZ = 7.4 cm, ∠XYZ = 45° and XY - XZ = 2.7 cm.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक त्रिभुज XYZ का मोटा चित्र, जिसमें YZ आधार 7.4 सेमी है, कोण XYZ 45 डिग्री है, और भुजा XY - XZ का अंतर 2.7 सेमी है। X से YP किरण पर W बिंदु है, और X, ZW के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।

Here, XY - XZ = 2.7 cm
.:: XY > XZ
As shown in the rough figure draw seg YZ = 7.4 cm
Draw a ray YP making an angle of 45° with YZ
Take a point W on ray YP, such that
YW = 2.7 cm.
Now, XY - XW = YW [Y-W-X]
.:: XY - XW = 2.7 cm ....(i)
Also, XY - XZ = 2.7 cm ....(ii) [Given]
.:. XY - XW = XY - XZ [From (i) and (ii)]
.. XW = XZ
.. Point X is on the perpendicular bisector of seg ZW
.. Point X is the intersection of ray YP and the perpendicular bisector seg ZW
Steps of construction:
(i) Draw seg YZ of length 7.4 cm.
(ii) Draw ray YP, such that ∠ZYP = 45°.
(iii) Mark point W on ray YP such that I(YW) = 2.7 cm.
(iv) Join points W and Z.
(v) Join the points X and Z.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक त्रिभुज XYZ का निर्माण, जिसमें YZ आधार 7.4 सेमी है, Y पर 45 डिग्री का कोण बनाते हुए एक किरण YP खींची गई है। YP पर Y से 2.7 सेमी की दूरी पर W बिंदु चिह्नित है। W और Z को जोड़ा गया है, और ZW के लंब समद्विभाजक को किरण YP पर X पर काटते हुए दिखाया गया है। X और Z को जोड़कर आवश्यक त्रिभुज XYZ बनाया गया है।

Hence, ΔΧΥΖ is the required triangle.
In simple words: To construct this triangle, first draw the base YZ. Then, draw a ray from Y at the given angle. On this ray, mark a point W such that YW equals the difference of the two sides. The point X will be on the perpendicular bisector of WZ.

🎯 Exam Tip: Remember to clearly label all points and measurements in your construction. Use a sharp pencil and precise geometric tools for accuracy.

Question 2. Construct ΔPQR, such that QR = 6.5 cm, ∠PQR = 60° and PQ - PR = 2.5 cm.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक त्रिभुज PQR का मोटा चित्र, जिसमें QR आधार 6.5 सेमी है, कोण PQR 60 डिग्री है, और भुजा PQ - PR का अंतर 2.5 सेमी है। Q से QT किरण पर S बिंदु है, और P, RS के लंब समद्विभाजक पर है।

Here, PQ - PR = 2.5 cm
.. PQ > PR
As shown in the rough figure draw seg QR = 6.5 cm
Draw a ray QT making on angle of 60° with QR
Take a point S on ray QT, such that QS = 2.5 cm.
Now, PQ - PS = QS [Q-S-T]
.: PQ - PS = 2.5 cm ......(i) [Given]
Also, PQ - PR = 2.5 cm .....(ii) [From (i) and (ii)]
.. PQ - PS = PQ - PR
.. PS = PR
.. Point P is on the perpendicular bisector of seg RS
.. Point P is the intersection of ray QT and the perpendicular bisector of seg RS
Steps of construction:
(i) Draw seg QR of length 6.5 cm.
(ii) Draw ray QT, such that ∠RQT = 60°.
(iii) Mark point S on ray QT such that I(QS) = 2.5 cm.
(iv) Join points S and R.
(v) Draw perpendicular bisector of seg SR intersecting ray QT. Name the point as P.
(vi) Join the points P and R.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक त्रिभुज PQR का निर्माण, जिसमें QR आधार 6.5 सेमी है, Q पर 60 डिग्री का कोण बनाते हुए एक किरण QT खींची गई है। QT पर Q से 2.5 सेमी की दूरी पर S बिंदु चिह्नित है। S और R को जोड़ा गया है, और SR के लंब समद्विभाजक को किरण QT पर P पर काटते हुए दिखाया गया है। P और R को जोड़कर आवश्यक त्रिभुज PQR बनाया गया है।

Hence, ΔPQR is the required triangle.
In simple words: For this construction, draw the base QR and the angle at Q. Mark a point S on the ray such that QS is the difference of the two sides. The vertex P will lie on the perpendicular bisector of SR.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to the order of operations in the construction steps. Each step builds upon the previous one to achieve the final triangle.

Question 3. Construct ΔΑΒC, such that BC = 6 cm, ∠ABC = 100° and AC - AB = 2.5 cm.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक त्रिभुज ABC का मोटा चित्र, जिसमें BC आधार 6 सेमी है, कोण ABC 100 डिग्री है, और भुजा AC - AB का अंतर 2.5 सेमी है। B से BT किरण पर D बिंदु है, और A, DC के लंब समद्विभाजक पर है।

Here, AC - AB = 2.5 cm
.:: AC > AB
As shown in the rough figure draw seg BC = 6 cm
Draw a ray BT making an angle of 100° with BC.
Take a point D on opposite ray of BT, :
such that BD 2.5 cm.
Now, AD - AB = BD [A-B-D]
.:: AD - AB = 2.5cm .....(i)
Also, AC - AB = 2.5 cm .....(ii) [Given]
.. AD - AB = AC - AB [From (i) and (ii)]
.:. AD = AC
.. Point A is on the perpendicular bisector of seg DC
.. Point A is the intersection of ray BT and the perpendicular bisector of seg DC
Steps of construction:
(i) Draw seg BC of length 6 cm.
(ii) Draw ray BT, such that ∠CBT = 100°.
(iii) Take point D on opposite ray of BT such that I(BD) = 2.5 cm.
(iv) Join the points D and C.
(v) Draw the perpendicular bisector of seg DC intersecting ray BT. Name the point as A.
(vi) Join the points A and C.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक त्रिभुज ABC का निर्माण, जिसमें BC आधार 6 सेमी है, B पर 100 डिग्री का कोण बनाते हुए एक किरण BT खींची गई है। BT की विपरीत किरण पर B से 2.5 सेमी की दूरी पर D बिंदु चिह्नित है। D और C को जोड़ा गया है, और DC के लंब समद्विभाजक को किरण BT पर A पर काटते हुए दिखाया गया है। A और C को जोड़कर आवश्यक त्रिभुज ABC बनाया गया है।

Hence, ΔΑΒC is the required triangle.
In simple words: This construction involves a side difference where the first side is smaller than the second. Draw the base and the angle. Extend the ray in the opposite direction and mark a point D. The vertex A will be on the perpendicular bisector of DC.

🎯 Exam Tip: When the side difference is given as AC - AB (where AC < AB or angle is obtuse), remember to extend the initial ray in the opposite direction to mark the auxiliary point.