Maharashtra Board Class 10 Maths Chapter 4 Geometric Constructions Set 4 Solutions

Question 1. Select the correct alternative for each of the following questions.
(i) The number of tangents that can be drawn to a circle at a point on the circle is
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 0
Answer: (C) 1
In simple words: Only one unique tangent line can touch a circle at a single specific point on its circumference.

🎯 Exam Tip: Understanding the fundamental properties of tangents to a circle is crucial for solving construction problems and multiple-choice questions.

(ii) The maximum number of tangents that can be drawn to a circle from a point outside it is
(A) 2
(B) 1
(C) one and only one
(D) 0
Answer: (A) 2
In simple words: From any point outside a circle, exactly two tangent segments can be drawn to touch the circle.

🎯 Exam Tip: Remember that the lengths of the two tangents drawn from an external point to a circle are equal, a key property used in various proofs.

(iii) If \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \) and \( \frac{AB}{PQ} = \frac{7}{5} \), then
(A) AABC is bigger.
(B) APQR is bigger.
(C) both triangles will be equal
(D) can not be decided
Answer: (A) AABC is bigger.
In simple words: Since the ratio of corresponding sides AB to PQ is 7/5 (which is greater than 1), triangle ABC is larger than triangle PQR.

🎯 Exam Tip: The ratio of corresponding sides of similar triangles indicates their scale factor; a ratio greater than 1 means the first triangle is larger, while less than 1 means it's smaller.

Question 2. Draw a circle with centre O and radius 3.5 cm. Take point P at a distance 5.7 cm from the centre. Draw tangents to the circle from point P.
Solution:
Analysis:
As shown in the figure, let P be a point in the exterior of circle at a distance of 5.7 cm. Let PQ and PR be the tangents to the circle at points Q and R respectively.
\( \therefore \) seg OQ \( \perp \) tangent PQ ...[Tangent is perpendicular to radius]
\( \therefore \angle OQP = 90^\circ \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है और त्रिज्या 3.5 सेमी है। वृत्त के बाहर एक बिंदु P स्थित है, जो केंद्र O से 5.7 सेमी की दूरी पर है। बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ PQ और PR खींची गई हैं, जहाँ Q और R स्पर्श बिंदु हैं। एक मोटी रेखा से बने वृत्त के साथ एक रफ स्केच दिखाया गया है, जिसमें O, P, Q, R और M बिंदु लेबल किए गए हैं।
\( \therefore \) point Q is on the circle having OP as diameter. ...[Angle inscribed in a semicircle is a right angle]
Similarly, point R also lies on the circle having OP as diameter.
\( \therefore \) Points Q and R lie on the circle with OP as diameter.
On drawing a circle with OP as diameter, the points where it intersects the circle with centre O, will be the positions of points Q and R respectively.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त के लिए स्पर्शरेखाओं के निर्माण को दर्शाता है। इसमें एक वृत्त है जिसका केंद्र O और त्रिज्या 3.5 सेमी है, तथा केंद्र O से 5.7 सेमी की दूरी पर एक बाहरी बिंदु P है। बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ (tangents) खींचने के लिए, OP को व्यास मानकर एक और वृत्त खींचा गया है, जो पहले वृत्त को Q और R पर प्रतिच्छेद करता है। PQ और PR ही अभीष्ट स्पर्शरेखाएँ हैं।
In simple words: To draw tangents from an external point P to a circle, first find the midpoint of OP, then draw a circle with OP as diameter. The intersection points of this new circle with the original circle are the tangent points.

🎯 Exam Tip: Accurately measuring distances and radii is critical for precise geometric constructions, ensuring the tangents are correctly drawn from the external point to the circle.

Question 3. Draw any circle. Take any point A on it and construct tangent at A without using the centre of the circle.
Solution:
Analysis:
As shown in the figure, line l is a tangent to the circle at point A. seg BA is a chord of the circle and \( \angle BCA \) is an inscribed angle.
By tangent secant angle theorem,
\( \angle BCA = \angle BAR \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त और उस पर स्थित बिंदु A से केंद्र का उपयोग किए बिना स्पर्शरेखा खींचने का रफ स्केच दिखाता है। वृत्त के अंदर एक त्रिभुज ABC है, जहाँ BA एक जीवा है और C वृत्त पर एक बिंदु है। बिंदु A पर एक रेखा l खींची गई है, जो स्पर्शरेखा है, और एक किरण AR इस तरह से खींची गई है कि यह वृत्त से बाहर निकलती है।
By converse of tangent secant angle theorem,
If we draw \( \angle BAR \) such that \( \angle BAR = \angle BCA \), then ray AR (i.e. line l) is a tangent at point A.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को केंद्र का उपयोग किए बिना एक बिंदु A पर स्पर्शरेखा के निर्माण की विस्तृत प्रक्रिया को दर्शाता है। वृत्त पर बिंदु A लिया गया है, और एक जीवा BA खींची गई है। वृत्त पर एक अन्य बिंदु C लिया गया है, और त्रिभुज BCA बनाया गया है। कोण \( \angle BCA \) के बराबर कोण \( \angle BAR \) बनाने के लिए बिंदु A से एक किरण AR खींची जाती है। किरण AR (या रेखा l) बिंदु A पर वृत्त की स्पर्शरेखा है।
In simple words: To construct a tangent at a point A on a circle without using the center, draw a chord BA and an inscribed angle \( \angle BCA \). Then, construct an angle \( \angle BAR \) equal to \( \angle BCA \); ray AR will be the required tangent.

🎯 Exam Tip: The Tangent-Secant Theorem (also known as the Alternate Segment Theorem) and its converse are fundamental for constructing tangents without using the circle's center, so understanding this theorem is vital.

Question 4. Draw a circle of diameter 6.4 cm. Take a point R at a distance equal to its diameter from the centre. Draw tangents from point R.
Solution:
Diameter of circle = 6.4 cm
Radius of circle = \( \frac{6.4}{2} \) = 3.2 cm
Analysis:
As shown in the figure, let R be a point in the exterior of circle at a distance of 6.4 cm. Let RQ and RS be the tangents to the circle at points Q and S respectively.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है और त्रिज्या 3.2 सेमी है। वृत्त के बाहर एक बिंदु R स्थित है, जो केंद्र O से 6.4 सेमी की दूरी पर है (जो कि वृत्त के व्यास के बराबर है)। बिंदु R से वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ PQ और PS खींची गई हैं, जहाँ Q और S स्पर्श बिंदु हैं। यह स्पर्शरेखा निर्माण का एक रफ स्केच है।
\( \therefore \) seg PQ \( \perp \) tangent RQ ...[Tangent is perpendicular to radius]
\( \therefore \angle PQR = 90^\circ \)
\( \therefore \) point Q is on the circle having PR as diameter. ... [Angle inscribed in a semicircle is a right angle]
Similarly, Point S also lies on the circle having PR as diameter.
\( \therefore \) Points Q and S lie on the circle with PR as diameter.
On drawing a circle with PR as diameter, the points where it intersects the circle with centre P, will be the positions of points Q and S respectively.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त के लिए स्पर्शरेखाओं के निर्माण को दर्शाता है। इसमें एक वृत्त है जिसका केंद्र P और त्रिज्या 3.2 सेमी है। केंद्र P से 6.4 सेमी की दूरी पर एक बाहरी बिंदु R है। बिंदु R से वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ (tangents) खींचने के लिए, PR को व्यास मानकर एक और वृत्त खींचा गया है, जो पहले वृत्त को Q और S पर प्रतिच्छेद करता है। RQ और RS ही अभीष्ट स्पर्शरेखाएँ हैं।
In simple words: First, calculate the radius from the given diameter. To draw tangents from an external point R, construct a perpendicular bisector of the segment connecting the center and R. Then, draw a semicircle with this segment as diameter; its intersections with the original circle are the tangent points.

🎯 Exam Tip: When the external point's distance from the center equals the circle's diameter, the setup for constructing tangents is straightforward: the radius of the auxiliary circle will be half of that distance.

Question 5. Draw a circle with centre P. Draw an arc AB of 100° measure. Draw tangents to the circle at point A and point B.
Solution:
\( m(\text{arc AB}) = \angle APB = 100^\circ \)
Analysis:
seg PA \( \perp \) line l
seg PB \( \perp \) line m ... [Tangent is perpendicular to radius]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र P है। वृत्त पर दो बिंदु A और B लिए गए हैं, और चाप AB का माप 100° है। केंद्र P से गुजरते हुए, बिंदु A और B पर स्पर्शरेखाएँ l और m खींची गई हैं। यह स्पर्शरेखा निर्माण का एक रफ स्केच है।
The perpendicular to seg PA and seg PB at points A and B respectively will give the required tangents at A and B.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र केंद्र P वाले एक वृत्त के लिए स्पर्शरेखाओं के निर्माण की विस्तृत प्रक्रिया को दर्शाता है। वृत्त पर दो बिंदु A और B लिए गए हैं, जिससे \( \angle APB = 100^\circ \) बनता है। बिंदु A पर किरण PA के लंबवत रेखा l खींची जाती है, और बिंदु B पर किरण PB के लंबवत रेखा m खींची जाती है। रेखाएँ l और m बिंदु A और B पर वृत्त की अभीष्ट स्पर्शरेखाएँ हैं।
Steps of construction:
(i) With centre P, draw a circle of any radius and take any point A on it.
(ii) Draw ray PA.
(iii) Draw ray PB such that \( \angle APB = 100^\circ \).
(iv) Draw line l \( \perp \) ray PA at point A.
(v) Draw line m \( \perp \) ray PB at point B.
Lines l and m are tangents at points A and B to the circle.
In simple words: To draw tangents at two points A and B on a circle where the arc AB measures 100 degrees, first draw the radii PA and PB forming a 100-degree angle at the center. Then, construct perpendiculars to these radii at points A and B; these perpendiculars are the tangents.

🎯 Exam Tip: The property that the radius is perpendicular to the tangent at the point of contact is fundamental for this construction. Ensure the angle at the center is drawn accurately.

Question 6. Draw a circle of radius 3.4 cm and centre E. Take a point F on the circle. Take another point A such that E - F - A and FA = 4.1 cm. Draw tangents to the circle from point A.
Solution:
Analysis:
Draw a circle of radius 3.4 cm
As shown in the figure, let A be a point in the exterior of circle at a distance of \( (3.4 + 4.1) = 7.5 \) cm.
Let AP and AQ be the tangents to the circle at points P and Q respectively.
\( \therefore \) seg EP \( \perp \) tangent PA ... [Tangent is perpendicular to radius]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र E और त्रिज्या 3.4 सेमी है। वृत्त पर एक बिंदु F है, और एक बाहरी बिंदु A इस प्रकार है कि E, F, A एक सीधी रेखा में हैं और FA = 4.1 सेमी है। इस प्रकार, A, केंद्र E से कुल 7.5 सेमी दूर है। बिंदु A से वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ AP और AQ खींची गई हैं, जहाँ P और Q स्पर्श बिंदु हैं। यह स्पर्शरेखा निर्माण का एक रफ स्केच है।
\( \therefore \angle EPA = 90^\circ \)
\( \therefore \) point P is on the circle having EA as diameter. ...[Angle inscribed in a semicircle is a right angle]
Similarly, point Q also lies on the circle having EA as diameter.
\( \therefore \) Points P and Q lie on the circle with EA as diameter.
On drawing a circle with EA as diameter, the points where it intersects the circle with centre E, will be the positions of points P and Q respectively.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र केंद्र E और त्रिज्या 3.4 सेमी वाले एक वृत्त के लिए स्पर्शरेखाओं के निर्माण को दर्शाता है। एक बाहरी बिंदु A है, जो E से 7.5 सेमी की दूरी पर है। बिंदु A से वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ (tangents) खींचने के लिए, EA को व्यास मानकर एक और वृत्त खींचा गया है, जो पहले वृत्त को P और Q पर प्रतिच्छेद करता है। AP और AQ ही अभीष्ट स्पर्शरेखाएँ हैं।
In simple words: First, determine the total distance of point A from the center E. Then, bisect the segment EA to find its midpoint. Draw a circle with EA as diameter; the intersection points of this auxiliary circle with the original circle are the tangent points P and Q.

🎯 Exam Tip: Ensure correct calculation of the distance of the external point from the center (E-F-A implies EF + FA) and accurate bisection of the segment EA for precise construction.

Question 7. \( \triangle ABC \sim \triangle LBN \). In \( \triangle ABC \), AB = 5.1 cm, \( \angle B = 40^\circ \), BC = 4.8 cm, \( \frac{AC}{LN} = \frac{4}{7} \). Construct \( \triangle ABC \) and \( \triangle LBN \).
Solution:
Analysis:
As shown in the figure, Let B - C - N and B - A - L.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समरूप त्रिभुजों \( \triangle ABC \) और \( \triangle LBN \) के निर्माण का एक रफ स्केच है। इसमें \( \triangle ABC \) की भुजाएँ AB = 5.1 सेमी, BC = 4.8 सेमी और कोण \( \angle B = 40^\circ \) दिए गए हैं। \( \triangle LBN \) को \( \triangle ABC \) से बड़ा दिखाया गया है क्योंकि भुजाओं का अनुपात 4/7 है, जिसका अर्थ है कि \( \triangle LBN \) की भुजाएँ \( \triangle ABC \) की भुजाओं से 7/4 गुना बड़ी होंगी। बिंदु N, BC पर और बिंदु L, BA पर स्थित हैं (या उनके विस्तार पर)।
\( \triangle ABC \sim \triangle LBN \) ...[Given]
\( \therefore \angle ABC \cong \angle LBN \) ...[Corresponding angles of similar triangles]
\( \frac{AB}{LB} = \frac{BC}{BN} = \frac{AC}{LN} \) ...(i)[Corresponding sides of similar triangles]
But, \( \frac{AC}{LN} = \frac{4}{7} \) ...(ii)[Given]
\( \therefore \frac{AB}{LB} = \frac{BC}{BN} = \frac{AC}{LN} = \frac{4}{7} \) ...[From(i)and(ii)]
\( \therefore \) sides of \( \triangle LBN \) are longer than corresponding sides of \( \triangle ABC \).
\( \therefore \) If seg BC is divided into 4 equal parts, then seg BN will be 7 times each part of seg BC.
So, if we construct \( \triangle ABC \), point N will be on side BC, at a distance equal to 7 parts from B.
Now, point L is the point of intersection of ray BA and a line through N, parallel to AC. \( \triangle LBN \) is the required triangle similar to \( \triangle ABC \).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समरूप त्रिभुजों, \( \triangle ABC \) और \( \triangle LBN \) के निर्माण को दर्शाता है। \( \triangle ABC \) पहले बनाया गया है। फिर, भुजा BC के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण BD खींची जाती है। इस किरण पर 7 समान दूरी के बिंदु \( B_1, \dots, B_7 \) अंकित किए गए हैं। \( B_4 \) को C से जोड़ा जाता है, और \( B_7 \) से \( B_4C \) के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो BC को N पर मिलती है। N से AC के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो BA को L पर मिलती है। इस प्रकार \( \triangle LBN \) अभीष्ट समरूप त्रिभुज है।
Steps of construction:
(i) Draw \( \triangle ABC \) of given measure. Draw ray BD making an acute angle with side BC.
(ii) Taking convenient distance on compass, mark 7 points \( B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6 \) and \( B_7 \) such that \( BB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = B_3B_4 = B_4B_5 = B_5B_6 = B_6B_7 \).
(iii) Join \( B_4C \). Draw line parallel to \( B_4C \) through \( B_7 \) to intersects ray BC at N.
(iv) Draw a line parallel to side AC through N. Name the point of intersection of this line and ray BA as L.
\( \triangle LBN \) is the required triangle similar to \( \triangle ABC \).
In simple words: Construct \( \triangle ABC \) first. Use a scale factor of 7/4 (from the ratio 4/7) to construct \( \triangle LBN \) similar to \( \triangle ABC \). This involves drawing a ray from B, marking 7 points, and using parallel lines to find vertices N and L on the extended sides BC and BA, respectively.

🎯 Exam Tip: When constructing similar triangles with a scale factor, correctly identifying the corresponding sides and angles is paramount. Ensure the parallel lines are drawn accurately to obtain the final vertices.

Question 8. Construct \( \triangle PYQ \) such that, PY = 6.3 cm, YQ = 7.2 cm, PQ = 5.8 cm. If \( \frac{YZ}{YQ} = \frac{6}{5} \) then construct \( \triangle XYZ \) similar to \( \triangle PYQ \).
Solution:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समरूप त्रिभुजों \( \triangle PYQ \) और \( \triangle XYZ \) के निर्माण का एक रफ स्केच है। इसमें \( \triangle PYQ \) की भुजाएँ PY = 6.3 सेमी, YQ = 7.2 सेमी और PQ = 5.8 सेमी दी गई हैं। \( \triangle XYZ \) को \( \triangle PYQ \) से बड़ा दिखाया गया है क्योंकि भुजाओं का अनुपात \( \frac{YZ}{YQ} = \frac{6}{5} \) है, जिसका अर्थ है कि \( \triangle XYZ \) की भुजाएँ \( \triangle PYQ \) की भुजाओं से 6/5 गुना बड़ी होंगी। बिंदु Z, YQ पर और बिंदु X, YP पर स्थित हैं (या उनके विस्तार पर)।
Analysis:
As shown in the figure, Let Y-Q-Z and Y - P - X.
\( \triangle XYZ \sim \triangle PYQ \) ...[Given]
\( \therefore \angle XYZ \cong \angle PYQ \) ...[Corresponding angles of similar triangles]
\( \frac{XY}{PY} = \frac{YZ}{YQ} = \frac{XZ}{PQ} \) ...(i)[Corresponding sides of similar triangles]
But, \( \frac{YZ}{YQ} = \frac{6}{5} \) ...(ii)[Given]
\( \therefore \frac{XY}{PY} = \frac{YZ}{YQ} = \frac{XZ}{PQ} = \frac{6}{5} \) ...[From (i) and (ii)]
\( \therefore \) sides of \( \triangle XYZ \) are longer than corresponding sides of \( \triangle PYQ \).
\( \therefore \) If seg YQ is divided into 5 equal parts, then seg YZ will be 6 times each part of seg YQ.
So, if we construct \( \triangle PYQ \), point Z will be on side YQ, at a distance equal to 6 parts from Y.
Now, point X is the point of intersection of ray YP and a line through Z, parallel to PQ. \( \triangle XYZ \) is the required triangle similar to \( \triangle PYQ \).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समरूप त्रिभुजों, \( \triangle PYQ \) और \( \triangle XYZ \) के निर्माण को दर्शाता है। \( \triangle PYQ \) पहले बनाया गया है। फिर, भुजा YQ के साथ एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण YT खींची जाती है। इस किरण पर 6 समान दूरी के बिंदु \( Y_1, \dots, Y_6 \) अंकित किए गए हैं। \( Y_5 \) को Q से जोड़ा जाता है, और \( Y_6 \) से \( Y_5Q \) के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो YQ को Z पर मिलती है। Z से PQ के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो YP को X पर मिलती है। इस प्रकार \( \triangle XYZ \) अभीष्ट समरूप त्रिभुज है।
Steps of construction:
(i) Draw \( \triangle PYQ \) of given measure. Draw ray YT making an acute angle with side YQ.
(ii) Taking convenient distance on compass, mark 6 points \( Y_1, Y_2, Y_3, Y_4, Y_5 \) and \( Y_6 \) such that \( YY_1 = Y_1Y_2 = Y_2Y_3 = Y_3Y_4 = Y_4Y_5 = Y_5Y_6 \).
(iii) Join \( Y_5Q \). Draw line parallel to \( Y_5Q \) through \( Y_6 \) to intersects ray YQ at Z.
(iv) Draw a line parallel to side PQ through Z. Name the point of intersection of this line and ray YP as X.
\( \triangle XYZ \) is the required triangle similar to \( \triangle PYQ \).
In simple words: Construct \( \triangle PYQ \) with the given side lengths. Then, using a scale factor of 6/5, construct \( \triangle XYZ \) such that its sides are 6/5 times larger than \( \triangle PYQ \). This involves extending YQ and YP and using parallel line constructions to find points Z and X.

🎯 Exam Tip: Accurately dividing the ray into the required number of equal parts and drawing precise parallel lines are crucial for correctly constructing similar triangles with a given scale factor.