Maharashtra Board Class 10 Maths Chapter 4 Geometric Constructions Set 4.2 Solutions

Question 1. Construct a tangent to a circle with centre P and radius 3.2 cm at any point M on it.
Answer: Solution:
Analysis:
seg PM \( \perp \) line I ....[Tangent is perpendicular to radius]

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 3.2 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र P है और वृत्त पर एक बिंदु M है। केंद्र P को M से जोड़ने वाली त्रिज्या PM को दिखाया गया है। 'रफ फिगर' में, त्रिज्या PM पर बिंदु M पर एक लंब रेखा खींची गई है, जो वृत्त की स्पर्श रेखा है। मुख्य चित्र में, बिंदु M पर एक स्पर्श रेखा का निर्माण दिखाया गया है, जहाँ PM पर M से एक चाप खींचा गया है, और फिर उस चाप के दोनों ओर से दो और चाप खींचकर एक लंब रेखा बनाई गई है, जो बिंदु M पर वृत्त की आवश्यक स्पर्श रेखा है। The perpendicular to seg PM at point M will give the required tangent at M.
In simple words: To draw a tangent at a point M on a circle, first draw the radius PM, then construct a line perpendicular to PM passing through M. This perpendicular line is the required tangent.

🎯 Exam Tip: Ensure precise measurements for radius and accurate construction of the perpendicular line for full marks in geometric construction questions.

Question 2. Draw a circle of radius 2.7 cm. Draw a tangent to the circle at any point on it.
Answer: Solution:
Analysis:
seg OM \( \perp \) line I ... [Tangent is perpendicular to radius]

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में 2.7 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त है जिसका केंद्र O है और वृत्त पर एक बिंदु M है। 'रफ फिगर' में, त्रिज्या OM पर बिंदु M पर एक लंब रेखा दिखाई गई है, जो वृत्त की स्पर्श रेखा है। मुख्य चित्र में, बिंदु M पर एक स्पर्श रेखा का सटीक निर्माण दिखाया गया है, जहाँ OM पर M से एक चाप बनाया गया है, और फिर उस चाप के दोनों ओर से चाप खींचकर M पर एक लंब रेखा बनाई गई है, जो वृत्त की आवश्यक स्पर्श रेखा है। The perpendicular to seg OM at point M will give the required tangent at M.
In simple words: To draw a tangent at any point M on a circle, first draw the radius OM to that point, then construct a line perpendicular to the radius OM at point M. This perpendicular line is the tangent.

🎯 Exam Tip: Accuracy in drawing arcs and perpendiculars is key. Use a sharp pencil and compass for best results.

Question 3. Draw a circle of radius 3.6 cm. Draw a tangent to the circle at any point on it without using the centre.
Answer: Solution:
Analysis:
As shown in the figure, line l is a tangent to the circle at point K.
seg BK is a chord of the circle and \( \angle \)BAK is an inscribed angle.
By tangent secant angle theorem,
\( \angle \)BAK = \( \angle \)BKR

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में 3.6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त और उस पर एक बिंदु K दर्शाया गया है जहाँ केंद्र का उपयोग किए बिना स्पर्श रेखा बनानी है। 'रफ फिगर' में, एक त्रिकोण ABK वृत्त के अंदर बना है, जिसमें K पर एक स्पर्श रेखा l है, और एक बिंदु R है जो \( \angle \)BKR बनाता है। मुख्य चित्र में, वृत्त पर एक स्पर्श रेखा का निर्माण दिखाया गया है, जिसमें एक जीवा BK और एक बिंदु A वृत्त पर लिया गया है। \( \angle \)BAK के बराबर एक कोण \( \angle \)BKR बिंदु K पर बनाया गया है, जिससे रेखा KR (जो l है) वृत्त की स्पर्श रेखा बनती है। By converse of tangent secant angle theorem, If we draw \( \angle \)BKR such that \( \angle \)BKR = \( \angle \)BAK, then ray KR i.e. (line l) is a tangent at point K.
In simple words: To draw a tangent without using the center, draw a chord and an inscribed angle. Then, construct an angle at the point of tangency equal to the inscribed angle, using the chord as one arm, to form the tangent.

🎯 Exam Tip: Understanding the tangent-secant theorem and its converse is crucial for constructing tangents without using the circle's center.

Question 4. Draw a circle of radius 3.3 cm. Draw a chord PQ of length 6.6 cm. Draw tangents to the circle at points P and Q. Write your observation about the tangents.
Answer: Solution:
Analysis:
seg OP \( \perp \) line l ...[Tangent is perpendicular to radius]
seg OQ \( \perp \) line m

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 3.3 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है। इसमें 6.6 सेमी की एक जीवा PQ है, जो वृत्त का व्यास है। 'रफ फिगर' और मुख्य चित्र दोनों में, केंद्र O से बिंदु P और Q तक त्रिज्याएँ OP और OQ खींची गई हैं। बिंदु P पर त्रिज्या OP पर एक लंब रेखा l और बिंदु Q पर त्रिज्या OQ पर एक लंब रेखा m बनाई गई है। ये रेखाएँ l और m वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। The perpendicular to seg OP and seg OQ at points P and Q respectively will give the required tangents at P and Q.
Radius = 3.3 cm

\( \therefore \) Diameter = 2 \( \times \) 3.3 = 6.6 cm

\( \therefore \) Chord PQ is the diameter of the circle.

\( \therefore \) The tangents through points P and Q (endpoints of diameter) are parallel to each other.
In simple words: If a chord is equal to the diameter of a circle, the tangents drawn at its endpoints will be perpendicular to the diameter and thus parallel to each other.

🎯 Exam Tip: Recognize that a chord equal to twice the radius is the diameter. Tangents at the ends of a diameter are always parallel.

Question 5. Draw a circle with radius 3.4 cm. Draw a chord MN of length 5.7 cm in it. Construct tangents at points M and N to the circle.
Answer: Solution:
Analysis:
seg ON \( \perp \) line l
seg OM \( \perp \) line m .......[Tangent is perpendicular to radius]

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में 3.4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त को दर्शाया गया है जिसका केंद्र O है और उसमें 5.7 सेमी लंबाई की एक जीवा MN है। 'रफ फिगर' और मुख्य चित्र दोनों में, केंद्र O को जीवा के बिंदुओं M और N से जोड़ने वाली त्रिज्याएँ OM और ON दिखाई गई हैं। बिंदु M पर OM के लंबवत एक रेखा m और बिंदु N पर ON के लंबवत एक रेखा l खींची गई है। ये रेखाएँ m और l बिंदु M और N पर वृत्त की आवश्यक स्पर्श रेखाएँ हैं। The perpendicular to seg ON and seg OM at points N and M respectively will give the required tangents at N and M.
In simple words: To construct tangents at the endpoints of a chord, draw radii to those points. Then, draw lines perpendicular to these radii at their respective endpoints on the circle.

🎯 Exam Tip: Accurately locate points M and N for the chord and ensure the perpendiculars are drawn precisely at these points for correct tangents.

Question 6. Draw a circle with centre P and radius 3.4 cm. Take point Q at a distance 5.5 cm from the centre. Construct tangents to the circle from point Q.
Answer: Solution:
Analysis:
As shown in the figure, let Q be a point in the exterior of circle at a distance of 5.5 cm.
Let QR and QS be the tangents to the circle at points R and S respectively.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 3.4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र P है। वृत्त के बाहर एक बिंदु Q है जो केंद्र P से 5.5 सेमी की दूरी पर है। 'रफ फिगर' और मुख्य चित्र दोनों में, बिंदु Q से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ QR और QS खींची गई हैं। यह दर्शाया गया है कि \( \angle \)PRQ = 90° है क्योंकि त्रिज्या PR स्पर्श रेखा QR पर लंबवत है। स्पर्श बिंदु R और S का पता लगाने के लिए, PQ को व्यास मानकर एक दूसरा वृत्त खींचा जाता है; यह नया वृत्त मूल वृत्त को R और S पर काटता है, जो स्पर्श बिंदु होते हैं। Ray QR and QS are the required tangents to the circle from point Q.
\( \therefore \) seg PR \( \perp \) tangent QR ... [Tangent is perpendicular to radius]

\( \therefore \angle \)PRQ = 90°

\( \therefore \) point R is on the circle having PQ as diameter. ...[Angle inscribed in a semicircle is a right angle]
Similarly, point S also lies on the circle having PQ as diameter.

\( \therefore \) Points R and S lie on the circle with PQ as diameter.
On drawing a circle with PQ as diameter, the points where it intersects the circle with centre P, will be the positions of points R and S respectively.
In simple words: To draw tangents from an external point, connect the point to the center, find the midpoint of this segment, and draw a semicircle using this midpoint as the center. The intersections of this semicircle with the original circle are the tangent points.

🎯 Exam Tip: The construction of tangents from an external point relies on the property that the radius to the point of tangency is perpendicular to the tangent. This forms a right-angled triangle, making the angle inscribed in a semicircle useful.

Question 7. Draw a circle with radius 4.1 cm. Construct tangents to the circle from a point at a distance 7.3 cm from the centre.
Answer: Solution:
Analysis:
As shown in the figure, let Q be a point in the exterior of circle at a distance of 5.5 cm.
Let QR and QS be the tangents to the circle at points R and S respectively.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में 4.1 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त को दर्शाया गया है जिसका केंद्र P है। वृत्त के बाहर एक बिंदु Q है जो केंद्र P से 7.3 सेमी की दूरी पर है। 'रफ फिगर' और मुख्य चित्र दोनों में, बिंदु Q से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ QR और QS खींची गई हैं। यह दर्शाया गया है कि \( \angle \)PRQ = 90° है क्योंकि त्रिज्या PR स्पर्श रेखा QR पर लंबवत है। स्पर्श बिंदु R और S का पता लगाने के लिए, PQ को व्यास मानकर एक दूसरा वृत्त खींचा जाता है; यह नया वृत्त मूल वृत्त को R और S पर काटता है, जो स्पर्श बिंदु होते हैं। Ray QR and QS are the required tangents to the circle from point Q.
\( \therefore \) seg PR \( \perp \) tangent QR ... [Tangent is perpendicular to radius]

\( \therefore \angle \)PRQ = 90°

\( \therefore \) point R is on the circle having PQ as diameter. ...[Angle inscribed in a semicircle is a right angle]
Similarly, point S also lies on the circle having PQ as diameter.

\( \therefore \) Points R and S lie on the circle with PQ as diameter.
On drawing a circle with PQ as diameter, the points where it intersects the circle with centre P, will be the positions of points R and S respectively.
In simple words: To construct tangents from an external point Q to a circle, draw a segment PQ, find its midpoint, and draw a circle with PQ as diameter. The points where this new circle intersects the original circle are the points of tangency.

🎯 Exam Tip: Double-check the distance of the external point from the center and ensure accurate bisection of the segment connecting the center and the external point.