GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 9 બૈજિક પદાવલિઓ અને નિત્યસમ Exercise 9.1

 

Question 1. નીચેની દરેક પદાવલિમાં રહેલ પદો અને સહગુણકો ઓળખોઃ
(i) \( 5xyz^2 - 3zy \)
(ii) \( 1 + x + x^2 \)
(iii) \( 4x^2y^2 - 4x^2y^2z^2 + z^2 \)
(iv) \( 3 - pq + qr - rp \)
(v) \( \frac{x}{2} + \frac{y}{2} - xy \)
(vi) \( 0.3a - 0.6ab + 0.5b \)
Answer:
(i) પદો: \( 5xyz^2, -3zy \) સહગુણક: \( 5xyz^2 \) નો સહગુણક 5 અને \( -3zy \) નો સહગુણક -3
(ii) પદો: \( 1, x, x^2 \) સહગુણક: 1 નો સહગુણક 1, \( x \) નો સહગુણક 1, અને \( x^2 \) નો સહગુણક 1
(iii) પદો: \( 4x^2y^2, -4x^2y^2z^2, z^2 \) સહગુણક: \( 4x^2y^2 \) નો સહગુણક 4, \( -4x^2y^2z^2 \) નો સહગુણક -4, અને \( z^2 \) નો સહગુણક 1
(iv) પદો: \( 3, -pq, qr, -rp \) સહગુણક: 3 નો સહગુણક 3, \( -pq \) નો સહગુણક -1, \( qr \) નો સહગુણક 1, અને \( -rp \) નો સહગુણક -1
(v) પદો: \( \frac{x}{2}, \frac{y}{2}, -xy \) સહગુણક: \( \frac{x}{2} \) નો સહગુણક \( \frac{1}{2} \), \( \frac{y}{2} \) નો સહગુણક \( \frac{1}{2} \), અને \( -xy \) નો સહગુણક -1
(vi) પદો: \( 0.3a, -0.6ab, 0.5b \) સહગુણક: \( 0.3a \) નો સહગુણક 0.3, \( -0.6ab \) નો સહગુણક -0.6, અને \( 0.5b \) નો સહગુણક 0.5
In simple words: દરેક પદાવલિમાંથી તેના જુદા જુદા ભાગો (પદો) અને તે પદો સાથે જોડાયેલા સંખ્યાત્મક મૂલ્યો (સહગુણકો) ને ઓળખીને અલગ તારવો.

Exam Tip: પદાવલિમાં દરેક પદને તેના ચિહ્ન સાથે ઓળખો. સહગુણક એ પદમાં ચલની આગળ આવેલી સંખ્યા હોય છે.

 

Question 2. નીચેની બહુપદીઓનું એકપદી, દ્વિપદી કે ત્રિપદીમાં વર્ગીકરણ કરો. કઈ બહુપદી ઉપરોક્ત ત્રણમાંથી એક પણ પ્રકારમાં બંધબેસતી નથી?
Answer:

નીચેની બહુપદીઓ ઉપરોક્ત ત્રણમાંથી એક પણ પ્રકારમાં બંધબેસતી નથી:
\( x + x^2 + x^3 + x^4 \) [કારણ કે બહુપદીને 4 પદો છે.]
\( ab + bc + cd + da \) [કારણ કે બહુપદીને 4 પદો છે.]
In simple words: આપેલી બહુપદીઓને તેમાં રહેલા પદોની સંખ્યાના આધારે એકપદી (એક પદ), દ્વિપદી (બે પદ), કે ત્રિપદી (ત્રણ પદ) માં વહેંચો. જો બહુપદીમાં ત્રણથી વધારે પદ હોય, તો તે કોઈ પણ વર્ગમાં આવશે નહીં.

Exam Tip: બહુપદીનું વર્ગીકરણ કરવા માટે, તેમાં રહેલા પદોની સંખ્યા ધ્યાનપૂર્વક ગણો. યાદ રાખો કે દરેક પદ ગુણાકારથી જોડાયેલા ચલો અને અચળાંકોનું બનેલું હોય છે, અને પદો સરવાળા કે બાદબાકીથી અલગ પડે છે.

 

Question 3. નીચેની બહુપદીઓના સરવાળા કરો:
(i) \( ab - bc, bc - ca, ca - ab \)
(ii) \( a - b + ab, b - c + bc, c - a + ac \)
(iii) \( 2p^2q^2 - 3pq + 4, 5 + 7pq - 3p^2q^2 \)
Answer:
(i) સરવાળો કરવા માટે, સજાતીય પદોને એકબીજાની નીચે યોગ્ય રીતે ગોઠવીશું.
\( \quad ab - bc + 0 \)
\( + \quad 0 + bc - ca \)
\( + \quad -ab + 0 + ca \)
\( \implies \quad \overline{0 + 0 + 0} \)
તેથી, સરવાળો શૂન્ય (0) છે.
In simple words: સમાન પદોને એકબીજાની નીચે લખો અને પછી તેમનો સરવાળો કરો.

(ii) સજાતીય પદોને એકબીજાની નીચે ગોઠવીએ:
\( \quad a - b + ab + 0 + 0 \)
\( + \quad 0 + b - c + bc + 0 \)
\( + \quad -a + 0 + c + 0 + ac \)
\( \implies \quad \overline{0a + 0b + 0c + ab + bc + ac} \)
તેથી, સરવાળો \( ab + bc + ac \) છે.
In simple words: સરખા પદોને સાથે ગોઠવીને તેમનો સરવાળો કરો. અલગ અલગ પદોને તેમની જગ્યાએ રાખો.

(iii) સજાતીય પદોને એકબીજાની નીચે યોગ્ય રીતે ગોઠવીએ:
\( \quad 2p^2q^2 - 3pq + 4 \)
\( + \quad -3p^2q^2 + 7pq + 5 \)
\( \implies \quad \overline{-p^2q^2 + 4pq + 9} \)
તેથી, સરવાળો \( -p^2q^2 + 4pq + 9 \) છે.
In simple words: દરેક પદાવલિમાં સરખા પદો (જેમ કે \( p^2q^2 \) અને \( pq \)) ને એકબીજાની નીચે લખો. પછી તે સમાન પદોના સહગુણકોનો સરવાળો કરો.

Exam Tip: બહુપદીઓના સરવાળા કરતી વખતે, હંમેશા સજાતીય પદો (એકસરખા ચલ અને ઘાતવાળા પદો) ને જ એકબીજાની નીચે ગોઠવો અને તેમના સહગુણકોનો સરવાળો કરો. અજાતીય પદોને તેમની રીતે રાખો.

 

Question 4. નીચેની બહુપદીઓની બાદબાકી કરો:
(iv) \( l^2 + m^2, m^2 + n^2, n^2 + l^2, 2lm + 2mn + 2nl \)
Answer:
આ બધા પદોનો સરવાળો કરીશું કારણ કે આ પ્રશ્ન 3 ના સરવાળાના પેટાભાગ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
\( \quad l^2 + m^2 + 0 \)
\( + \quad 0 + m^2 + n^2 \)
\( + \quad l^2 + 0 + n^2 \)
\( + \quad 2lm + 2mn + 2nl \)
\( \implies \quad \overline{2l^2 + 2m^2 + 2n^2 + 2lm + 2mn + 2nl} \)
\( = 2(l^2 + m^2 + n^2 + lm + mn + nl) \)
In simple words: બધા પદોને યોગ્ય રીતે ગોઠવીને તેમનો સરવાળો કરો. સમાન પદોને ભેગા કરો અને પછી સામાન્ય અવયવ (અહીં 2) ને બહાર કાઢો.

Exam Tip: બહુપદીઓના સરવાળામાં, દરેક પદાવલિમાંથી સજાતીય પદોને એકસાથે લાવો. જ્યારે બધા સજાતીય પદો ભેગા થાય, ત્યારે તેમના સહગુણકોનો સરવાળો કરો. જો શક્ય હોય તો સામાન્ય અવયવ કાઢો.

 

Question 4. નીચેની બહુપદીઓની બાદબાકી કરો:
(a) \( 12a - 9ab + 5b - 3 \) માંથી \( 4a - 7ab + 3b + 12 \) બાદ કરો.
(b) \( 5xy - 2yz - 2zx + 10xyz \) માંથી \( 3xy + 5yz - 7zx \) બાદ કરો.
(c) \( 18 - 3p - 11q + 5pq - 2pq^2 + 5p^2q \) માંથી \( -10 - 8p + 7q - 3pq + 5pq^2 + 4p^2q \) બાદ કરો.
Answer:
(a) બાદબાકી કરતી વખતે, સજાતીય પદોને એકબીજાની નીચે યોગ્ય રીતે ગોઠવીશું. પછી બાદબાકી કરવાની પદાવલિના ચિહ્નો બદલીશું.
\( \quad 12a - 9ab + 5b - 3 \)
\( - \quad (4a - 7ab + 3b + 12) \)
ચિહ્નો બદલતા:
\( \quad 12a - 9ab + 5b - 3 \)
\( + \quad -4a + 7ab - 3b - 12 \)
\( \implies \quad \overline{8a - 2ab + 2b - 15} \)
તેથી, બાદબાકી \( 8a - 2ab + 2b - 15 \) છે.
In simple words: બાદબાકી કરવા માટે, જે પદાવલિને બાદ કરવાની છે તેના દરેક પદનું ચિહ્ન બદલો. પછી સમાન પદોનો સરવાળો કરો.

(b) આપેલ બહુપદીઓ છે:
પ્રથમ બહુપદી: \( 5xy - 2yz - 2zx + 10xyz \)
બીજી બહુપદી: \( 3xy + 5yz - 7zx \)

બાદબાકી કરવા માટે, બીજી બહુપદીના પદોના ચિહ્નો બદલીશું અને પછી સજાતીય પદોનો સરવાળો કરીશું.
\( \quad (5xy - 2yz - 2zx + 10xyz) \)
\( - \quad (3xy + 5yz - 7zx) \)
ચિહ્નો બદલ્યા પછી:
\( \quad 5xy - 2yz - 2zx + 10xyz \)
\( + \quad -3xy - 5yz + 7zx \)
સજાતીય પદોને ભેગા કરતા:
\( \quad (5xy - 3xy) + (-2yz - 5yz) + (-2zx + 7zx) + 10xyz \)
\( = 2xy - 7yz + 5zx + 10xyz \)
તેથી, બાદબાકી \( 2xy - 7yz + 5zx + 10xyz \) છે.
In simple words: બીજી પદાવલિના દરેક પદના ચિહ્નો બદલો અને પછી સજાતીય પદોને એકસાથે જોડીને તેમની બાદબાકી કરો.

(c) સજાતીય પદોને એકબીજાની નીચે યોગ્ય રીતે ગોઠવીએ અને ચિહ્નો બદલીએ:
\( \quad 18 - 3p - 11q + 5pq - 2pq^2 + 5p^2q \)
\( - \quad (-10 - 8p + 7q - 3pq + 5pq^2 + 4p^2q) \)
ચિહ્નો બદલતા:
\( \quad 18 - 3p - 11q + 5pq - 2pq^2 + 5p^2q \)
\( + \quad +10 + 8p - 7q + 3pq - 5pq^2 - 4p^2q \)
\( \implies \quad \overline{28 + 5p - 18q + 8pq - 7pq^2 + p^2q} \)
તેથી, બાદબાકી \( 28 + 5p - 18q + 8pq - 7pq^2 + p^2q \) છે.
In simple words: બાદબાકી કરવા માટે, બીજી પદાવલિના દરેક પદના ચિહ્નો (વત્તાને ઓછા અને ઓછાને વત્તા) બદલો. પછી સરખા પદોને એકસાથે ઉમેરો.

Exam Tip: બહુપદીઓની બાદબાકી કરતી વખતે, હંમેશા બાદ કરવાની પદાવલિના દરેક પદનું ચિહ્ન બદલવાનું યાદ રાખો. આ પગલું ભૂલશો નહીં કારણ કે તે પરિણામમાં મોટો ફરક લાવી શકે છે.