GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ InText Questions

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 111)

 

Question. નીચે આપેલી સંખ્યાના ઘન કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક શોધોઃ
(i) 3331
(iv) 1005
(v) 1024
(vi) 77
(vii) 5022
(viii) 53
Answer:

In simple words: સંખ્યાનો છેલ્લો અંક જોઈને, તેના ઘનનો છેલ્લો અંક મેળવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 1 હોય, તો તેના ઘનનો છેલ્લો અંક પણ 1 જ હશે.

Exam Tip: Remember the pattern of unit digits for cubes: 0 cubed ends in 0, 1 in 1, 2 in 8, 3 in 7, 4 in 4, 5 in 5, 6 in 6, 7 in 3, 8 in 2, and 9 in 9. This pattern helps find the unit digit of any cube quickly.

 

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 111)

નીચે આપેલી ક્રમિક એકી સંખ્યાના સરવાળાની પેટર્ન જુઓઃ
\( 1 = 1^3 \)
\( 3+5=8 = 2^3 \)
\( 7+9+11 = 27 = 3^3 \)
\( 13+15+17+19 = 64 = 4^3 \)
\( 21+23+25+27+29 = 125 = 5^3 \)

 

Question. ઉપરના જેવી પૅટર્નનો ઉપયોગ કરી નીચે આપેલ સંખ્યાને ક્રમિક એકી સંખ્યાના સરવાળા તરીકે દર્શાવોઃ
(a) \( 6^3 \)
(b) \( 8^3 \)
(c) \( 7^3 \)
Answer:
પ્રથમ સંખ્યા \( n(n - 1) + 1 \) છે. પછી ક્રમશઃ \( n \) જેટલી એકી સંખ્યાનો સરવાળો કરતાં \( n^3 \) મળે.
(a) અહીં \( n = 6 \) અને \( n - 1 = 5 \)
જુઓઃ \( (6 \times 5) + 1 = 31 \)
\( \therefore 6^3 = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 \)
\( = 216 \) (n સંખ્યાઓ)
(b) અહીં \( n = 8 \) અને \( n - 1 = 7 \)
જુઓઃ \( (8 \times 7) + 1 = 57 \)
\( \therefore 8^3 = 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71 \)
\( = 512 \) (n સંખ્યાઓ)
(c) અહીં \( n = 7 \) અને \( n - 1 = 6 \)
જુઓઃ \( (7 \times 6) + 1 = 43 \)
\( \therefore 7^3 = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 \)
\( = 343 \) (n સંખ્યાઓ)
In simple words: કોઈ પણ ઘનને એક પછી એક આવતી એકી સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે બતાવવા માટે, પહેલા \( n \) અને \( n-1 \) નો ગુણાકાર કરીને 1 ઉમેરો. આ તમને પ્રથમ એકી સંખ્યા આપશે. પછી તે પછીની \( n-1 \) એકી સંખ્યાઓ ઉમેરીને કુલ \( n \) એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો કરો.

Exam Tip: To find the starting odd number for the sum of \( n \) consecutive odd numbers that equals \( n^3 \), use the formula \( n(n-1)+1 \). Then list the next \( n-1 \) consecutive odd numbers to complete the sum.

 

નીચેની પૅટર્ન જુઓઃ
\( 2^3 - 1^3 = 1 + 2 \times 1 \times 3 \)
\( 3^3 - 2^3 = 1 + 3 \times 2 \times 3 \)
\( 4^3 - 3^3 = 1 + 4 \times 3 \times 3 \)

 

Question. ઉપરની પૅટર્ન જોઈ નીચેની સંખ્યાની કિંમત શોધોઃ
(i) \( 7^3-6^3 \)
(ii) \( 12^3-11^3 \)
(iii) \( 20^3-19^3 \)
(iv) \( 51^3-50^3 \)
Answer:
અહીં \( n^3 - (n - 1)^3 = 1 + n \times (n-1) \times 3 \)
(i) \( 7^3 - 6^3 = 1 + 7 \times 6 \times 3 \)
\( = 1 + 126 = 127 \)
(ii) \( 12^3 - 11^3 = 1 + 12 \times 11 \times 3 \)
\( = 1 + 396 = 397 \)
(iii) \( 20^3 - 19^3 = 1 + 20 \times 19 \times 3 \)
\( = 1 + 1140 = 1141 \)
(iv) \( 51^3 - 50^3 = 1 + 51 \times 50 \times 3 \)
\( = 1 + 7650 = 7651 \)
In simple words: બે ક્રમિક સંખ્યાઓના ઘનના તફાવતને શોધવા માટે, તમે એક સરળ નિયમ વાપરી શકો છો: 1 માં \( n \), \( n-1 \), અને 3 નો ગુણાકાર ઉમેરો. અહીં \( n \) એ મોટી સંખ્યા છે.

Exam Tip: When calculating the difference between consecutive cubes, remember the identity \( n^3 - (n-1)^3 = 1 + 3n(n-1) \). This formula simplifies the calculation considerably.

 

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 112)

 

Question. નીચે આપેલી સંખ્યામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન છે?
(1) 400
Answer:
400

\( 400 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં \( 2 \times 5 \times 5 \) બાકી રહે છે.
\( \therefore 400 \) પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
In simple words: 400 ના અવયવોમાં 2 અને 5 ની ત્રણ-ત્રણની જોડી નથી બનતી. આથી, 400 એ પૂર્ણ ઘન સંખ્યા નથી.

Exam Tip: To check if a number is a perfect cube, find its prime factorization. If all prime factors appear in groups of three (triplets), then the number is a perfect cube. Otherwise, it is not.

 

Question. નીચે આપેલી સંખ્યામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન છે?
(2) 3375
Answer:
3375

\( 3375 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં એક પણ અવિભાજ્ય અવયવ બાકી રહેતો નથી.
\( \therefore 3375 \) પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓ: \( 3375 = 3^3 \times 5^3 \)
In simple words: 3375 ના બધા અવયવો ત્રણ-ત્રણની જોડીમાં છે. આથી, 3375 એક પૂર્ણ ઘન સંખ્યા છે.

Exam Tip: When all prime factors of a number form complete triplets (i.e., each factor appears 3, 6, 9... times), the number is a perfect cube. If even one factor does not form a complete triplet, it is not a perfect cube.

 

Question. નીચે આપેલી સંખ્યામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન છે?
(3) 8000
Answer:
8000

\( 8000 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં એક પણ અવિભાજ્ય અવયવ બાકી રહેતો નથી.
\( \therefore 8000 \) પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓ: \( 8000 = 2^3 \times 2^3 \times 5^3 \)
In simple words: 8000 ના બધા અવયવો ત્રણ-ત્રણની જોડીમાં છે. આથી, 8000 એક પૂર્ણ ઘન સંખ્યા છે.

Exam Tip: For numbers ending in zeroes, check if the number of zeroes is a multiple of three (e.g., 3, 6, 9...). Also, ensure that the non-zero part of the number is itself a perfect cube. Both conditions must be met for the number to be a perfect cube.

 

Question. નીચે આપેલી સંખ્યામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન છે?
(4) 15625
Answer:
15625

\( 15625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં એક પણ અવિભાજ્ય અવયવ બાકી રહેતો નથી.
\( \therefore 15625 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓઃ \( 15625 = 5^3 \times 5^3 \)
In simple words: 15625 ના બધા અવયવો ત્રણ-ત્રણની જોડીમાં છે. આથી, 15625 એક પૂર્ણ ઘન સંખ્યા છે.

Exam Tip: If a number is a perfect cube, its prime factorization will only contain exponents that are multiples of 3. For example, if \( N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \), then \( a_1 \) and \( a_2 \) must be multiples of 3 for N to be a perfect cube.

 

Question. નીચે આપેલી સંખ્યામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન છે?
(5) 9000
Answer:
9000

\( 9000 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં \( 3 \times 3 \) બાકી રહે છે.
\( \therefore 9000 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
In simple words: 9000 ના અવયવોમાં 3 ની ત્રણ-ત્રણની જોડી બનતી નથી. આથી, 9000 એ પૂર્ણ ઘન સંખ્યા નથી.

Exam Tip: If some prime factors do not form complete triplets, the number is not a perfect cube. To make it a perfect cube, you would need to multiply it by the missing factors to complete the triplets.

 

Question. નીચે આપેલી સંખ્યામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન છે?
(6) 6859
Answer:
6859

\( 6859 = 19 \times 19 \times 19 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં એક પણ અવિભાજ્ય અવયવ બાકી રહેતો નથી.
\( \therefore 6859 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓ: \( 6859 = 19^3 \)
In simple words: 6859 ના બધા અવયવો ત્રણ-ત્રણની જોડીમાં છે. આથી, 6859 એક પૂર્ણ ઘન સંખ્યા છે.

Exam Tip: Recognize that some numbers are perfect cubes of larger prime numbers. If the sum of the digits is not divisible by 3, you can rule out 3 as a prime factor. Similarly, if it doesn't end in 0 or 5, you can rule out 5. This helps in trying other prime factors like 7, 11, 13, 17, 19 etc.

 

Question. નીચે આપેલી સંખ્યામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન છે?
(7) 2025
Answer:
2025

\( 2025 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં \( 3 \times 5 \times 5 \) બાકી રહે છે.
\( \therefore 2025 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
In simple words: 2025 ના અવયવોમાં 3 અને 5 ની ત્રણ-ત્રણની જોડી નથી બનતી. આથી, 2025 એ પૂર્ણ ઘન સંખ્યા નથી.

Exam Tip: Always perform complete prime factorization to verify perfect cubes. Even if some factors form triplets, if any factors are left over, the number is not a perfect cube. Pay close attention to the powers of each prime factor.

 

Question. નીચે આપેલી સંખ્યામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન છે?
(8) 10648
Answer:
10648

\( 10648 = 2 \times 2 \times 2 \times 11 \times 11 \times 11 \)
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં એક પણ અવિભાજ્ય અવયવ બાકી રહેતો નથી.
\( \therefore 10648 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓ: \( 10648 = 2^3 \times 11^3 \)
In simple words: 10648 ના બધા અવયવો ત્રણ-ત્રણની જોડીમાં છે. આથી, 10648 એક પૂર્ણ ઘન સંખ્યા છે.

Exam Tip: Always list out the prime factors clearly. This helps to easily identify if they form complete triplets. Numbers like 1331 should be recognized as \( 11^3 \) to speed up factorization.

 

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 113)

 

Question. નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન સંખ્યા છે?
તમે આ પૂર્ણઘન સંખ્યામાં કઈ પૅટર્નનું નિરીક્ષણ કર્યું?
(i) 2700
(ii) 16000
(iii) 64000
(iv) 900
(v) 125000
(vi) 36000
(vii) 21600
(viii) 10000
(ix) 27000000
(x) 1000
Answer:
(i) 2700
2700 માં બે શૂન્ય છે. જો ત્રણ કે છ શૂન્ય હોય, તો તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે.
\( \therefore 2700 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
(ii) 16000
16000 માં ત્રણ શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે. પણ 16 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
\( \therefore 16000 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
(iii) 64000
64000 માં ત્રણ શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે. વળી, 64 એ પૂર્ણઘન છે. \( (\because 4^3 = 64) \)
\( \therefore 64000 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
(iv) 900
900 માં બે શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા ન હોઈ શકે.
\( \therefore 900 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
(v) 125000
125000 માં ત્રણ શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે. વળી, 125 એ પૂર્ણઘન છે. \( (\because 5^3 = 125) \)
\( \therefore 125000 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
(vi) 36000
36000 માં ત્રણ શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે. પણ 36 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
\( \therefore 36000 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
(vii) 21600
21600 માં બે શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા ન હોઈ શકે.
\( \therefore 21600 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
(viii) 10000
10000 માં ચાર શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા ન હોઈ શકે.
\( \therefore 10000 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
(ix) 27000000
27000000 માં છ શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે. વળી, 27 એ પૂર્ણઘન છે. \( (\because 3^3 = 27) \)
\( \therefore 27000000 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
(x) 1000
1000 માં ત્રણ શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે. વળી, 1 એ પૂર્ણઘન છે. \( (\because 1^3 = 1) \)
\( \therefore 1000 \) એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
પૅટર્નઃ જે સંખ્યાના છેલ્લા અંકો ત્રણ, છ, નવ, ... શૂન્યો હોય તથા આગળના અંકો પૂર્ણઘન સંખ્યા હોય તે જ સંખ્યા પૂર્ણઘન હોય.
In simple words: પૂર્ણ ઘન સંખ્યાઓ માટે, શૂન્યની સંખ્યા હંમેશા ત્રણના ગુણાકારમાં હોય છે (જેમ કે 3, 6, 9, વગેરે). સાથે જ, શૂન્ય સિવાયનો આગળનો ભાગ પણ પૂર્ણ ઘન હોવો જોઈએ.

Exam Tip: When checking for perfect cubes in numbers ending with zeros, verify two conditions: 1) the count of trailing zeros must be a multiple of 3 (e.g., 3, 6, 9), and 2) the non-zero part of the number must itself be a perfect cube. Both conditions must be satisfied.

 

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 115)

 

Question. કોઈ પણ પૂર્ણાંક સંખ્યા \( m \) માટે, \( m^2 < m^3 \)? આ વિધાન ખરું છે કે ખોટું તે કહો.
Answer:
પહેલી નજરે આ વિધાન સાચું જ જણાય.
કારણ કે \( m^2 \) એટલે સંખ્યાનો તે જ સંખ્યા સાથે બે વખત ગુણાકાર.
અને \( m^3 \) એટલે સંખ્યાનો તે જ સંખ્યા સાથે ત્રણ વખત ગુણાકાર.
\( \therefore m^2 < m^3 \)
પરંતુ જ્યારે \( m = -1 \) હોય ત્યારે,
\( m^2 = (-1)^2 = 1 \)
અને \( m^3 = (-1)^3 = -1 \)
જુઓ \( 1 > -1 \)
\( \therefore m^2 > m^3 \)
જ્યારે \( m = 1 \) હોય, ત્યારે
\( m^2 = (1)^2 = 1 \)
\( m^3 = (1)^3 = 1 \)
જુઓ: \( 1 = 1 \)
આમ, ઉપરનું વિધાન હંમેશ માટે સાચું નથી.
In simple words: આ વિધાન ખોટું છે. \( m^2 < m^3 \) હંમેશા સાચું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો \( m = -1 \) હોય, તો \( (-1)^2 = 1 \) અને \( (-1)^3 = -1 \). અહીં \( 1 > -1 \) છે, તેથી \( m^2 > m^3 \). જો \( m = 1 \) હોય, તો \( m^2 = 1 \) અને \( m^3 = 1 \), એટલે કે \( m^2 = m^3 \).

Exam Tip: When testing a mathematical statement for "true or false," always consider various types of numbers, including positive integers, negative integers, zero, and fractions. A single counterexample (like \( m=-1 \) here) is enough to prove a statement false.