GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 6 વર્ગ અને વર્ગમૂળ InText Questions

પ્રયત્ન કરો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 90)

Question (i). નીચે આપેલ સંખ્યાઓ વચ્ચે આવતી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ શોધોઃ 30 અને 40
Answer: આપણે ગુણાકાર દ્વારા પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ શોધીએ:
\( 1 \times 1 = 1 \)
\( 2 \times 2 = 4 \)
\( 3 \times 3 = 9 \)
\( 4 \times 4 = 16 \)
\( 5 \times 5 = 25 \)
\( 6 \times 6 = 36 \)
\( 7 \times 7 = 49 \)
આ રીતે, 36 એ 30 અને 40 ની વચ્ચે આવતી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
In simple words: 30 અને 40 ની વચ્ચે 36 એક એવી સંખ્યા છે જેને કોઈ પૂર્ણ સંખ્યાનો વર્ગ કરવાથી મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ શોધવા માટે, આપેલ રેન્જમાં સંખ્યાઓના વર્ગની ગણતરી કરો અને જુઓ કઈ સંખ્યાઓ તે રેન્જમાં આવે છે.

Question (ii). નીચે આપેલ સંખ્યાઓ વચ્ચે આવતી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ શોધોઃ 50 અને 60
Answer: આપણે ગુણાકાર દ્વારા પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ શોધીએ:
\( 7 \times 7 = 49 \)
\( 8 \times 8 = 64 \)
આથી, 49 અને 64 ની વચ્ચે કોઈ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
એટલે, 50 અને 60 ની વચ્ચે પણ કોઈ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
In simple words: 50 અને 60 ની વચ્ચે એવી કોઈ સંખ્યા નથી જે કોઈ પૂર્ણ સંખ્યાનો વર્ગ કરવાથી મળે.

Exam Tip: બે સંખ્યાઓ વચ્ચેની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ શોધવા માટે, તે સંખ્યાઓની નજીકના પૂર્ણવર્ગ તપાસો.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 90-91)

Question 1. નીચે આપેલી સંખ્યાઓ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ છે? તમને કેવી રીતે ખબર પડી તે પણ જણાવો?
(i) 1057
(ii) 23453
(iii) 7928
(iv) 222222
(v) 1069
(vi) 2061
એવી પાંચ સંખ્યાઓ જણાવો કે જેના એકમના અંક પરથી જ જાણી શકાય કે તે વર્ગ સંખ્યા હશે કે નહિ હોય.
Answer:
(i) 1057
અહીં આપેલી સંખ્યા 1057 નો એકમનો અંક 7 છે.
જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 0, 1, 4, 5, 6 કે 9 હોય, તે સંખ્યા જ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોઈ શકે છે.
આથી, 1057 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(ii) 23453
અહીં આપેલી સંખ્યા 23453 નો એકમનો અંક 3 છે.
જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 0, 1, 4, 5, 6 કે 9 હોય, તે સંખ્યા જ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોઈ શકે છે.
આથી, 23453 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(iii) 7928
અહીં આપેલી સંખ્યા 7928 નો એકમનો અંક 8 છે.
જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 0, 1, 4, 5, 6 કે 9 હોય, તે સંખ્યા જ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોઈ શકે છે.
આથી, 7928 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(iv) 222222
અહીં આપેલી સંખ્યા 222222 નો એકમનો અંક 2 છે.
જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 0, 1, 4, 5, 6 કે 9 હોય, તે સંખ્યા જ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોઈ શકે છે.
આથી, 222222 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(v) 1069
અહીં આપેલી સંખ્યા 1069 નો એકમનો અંક 9 છે.
જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 0, 1, 4, 5, 6 કે 9 હોય, તે સંખ્યા જ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોઈ શકે છે.
આથી, 1069 સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોય કે ન પણ હોય.
આપણે ચકાસીએ:
\( 30 \times 30 = 900 \)
\( 31 \times 31 = 961 \)
\( 32 \times 32 = 1024 \)
\( 33 \times 33 = 1089 \)
એવી કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા 1024 અને 1089 ની વચ્ચે નથી જે પૂર્ણવર્ગ હોય.
આથી, 1069 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(vi) 2061
અહીં આપેલી સંખ્યા 2061 નો એકમનો અંક 1 છે.
જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 0, 1, 4, 5, 6 કે 9 હોય, તે સંખ્યા જ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોઈ શકે છે.
આથી, 2061 સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોય કે ન પણ હોય.
આપણે ચકાસીએ:
\( 45 \times 45 = 2025 \)
\( 46 \times 46 = 2116 \)
એવી કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા 2025 અને 2116 ની વચ્ચે નથી જે પૂર્ણવર્ગ હોય.
આથી, 2061 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
In simple words: જો કોઈ સંખ્યાના છેલ્લા અંક 2, 3, 7 અથવા 8 હોય, તો તે સંખ્યા ચોક્કસપણે પૂર્ણવર્ગ નથી. 0, 1, 4, 5, 6, 9 માંથી કોઈપણ છેલ્લો અંક ધરાવતી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોઈ શકે છે, પરંતુ હંમેશા નહીં.

Exam Tip: એકમના અંકના આધારે પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓને ઓળખવા એ ઝડપી પદ્ધતિ છે, પરંતુ 0, 1, 4, 5, 6, 9 માંથી કોઈ એક એકમનો અંક હોય ત્યારે વધુ ચકાસણી કરવી જરૂરી બને છે.

Question 2. એવી પાંચ સંખ્યાઓ જણાવો કે જેના એકમના અંક પરથી અનુમાન ન કરી શકાય કે તે વર્ગ સંખ્યા હશે કે નહિ હોય.
Answer: આપણે એવી પાંચ સંખ્યાઓ લખીશું કે જેનો એકમનો અંક 0, 1, 4, 5, 6 કે 9 હોય. આવી સંખ્યાઓ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોય કે ન પણ હોય.
પાંચ સંખ્યાઓ છે: 710, 2431, 524, 215, 326.
In simple words: કેટલીક સંખ્યાઓના છેલ્લા અંકો 0, 1, 4, 5, 6, 9 હોય છે, જે પૂર્ણવર્ગના છેલ્લા અંકો જેવા જ હોય છે. આથી, ફક્ત છેલ્લા અંકને જોઈને કહી શકાતું નથી કે તે સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ છે કે નહીં.

Exam Tip: એકમનો અંક 0, 1, 4, 5, 6, 9 હોય તેવી સંખ્યાઓ માટે, પૂર્ણવર્ગ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે વધુ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો પડે છે.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 91)

Question. 123², 77², 82², 161² અને 109²માં કઈ સંખ્યાનો એકમનો અંક 1 છે?
Answer: અહીં 161 અને 109 ના વર્ગનો એકમનો અંક 1 છે.
જે સંખ્યાના એકમનો અંક 1 અથવા 9 હોય તે જ સંખ્યાના વર્ગનો એકમનો અંક 1 હોય છે.
In simple words: જો કોઈ સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 1 અથવા 9 હોય, તો તે સંખ્યાનો વર્ગ 1 માં પૂરો થશે.

Exam Tip: કોઈપણ સંખ્યાના વર્ગનો એકમનો અંક તે સંખ્યાના એકમના અંકના વર્ગના એકમના અંક જેટલો હોય છે. આ નિયમ યાદ રાખવાથી ગણતરી ઝડપી બને છે.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 91)

Question. નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યાનો એકમનો અંક 6 હશે?
(i) \( 19^2 \)
(ii) \( 24^2 \)
(iii) \( 26^2 \)
(iv) \( 36^2 \)
(v) \( 34^2 \)
Answer:
(i) \( 19^2 \)
અહીં સંખ્યા 19 નો એકમનો અંક 9 છે. (કારણ: \( 9 \times 9 = 81 \))
આથી, \( 19^2 \) નો એકમનો અંક 1 હોય.
(ii) \( 24^2 \)
અહીં સંખ્યા 24 નો એકમનો અંક 4 છે. (કારણ: \( 4 \times 4 = 16 \))
આથી, \( 24^2 \) નો એકમનો અંક 6 હોય.
(iii) \( 26^2 \)
અહીં સંખ્યા 26 નો એકમનો અંક 6 છે. (કારણ: \( 6 \times 6 = 36 \))
આથી, \( 26^2 \) નો એકમનો અંક 6 હોય.
(iv) \( 36^2 \)
અહીં સંખ્યા 36 નો એકમનો અંક 6 છે. (કારણ: \( 6 \times 6 = 36 \))
આથી, \( 36^2 \) નો એકમનો અંક 6 હોય.
(v) \( 34^2 \)
અહીં સંખ્યા 34 નો એકમનો અંક 4 છે. (કારણ: \( 4 \times 4 = 16 \))
આથી, \( 34^2 \) નો એકમનો અંક 6 હોય.
આમ, 24, 26, 34 અને 36 ના વર્ગનો એકમનો અંક 6 છે.
In simple words: જો કોઈ સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 4 અથવા 6 હોય, તો તે સંખ્યાનો વર્ગ 6 માં પૂરો થશે.

Exam Tip: એકમના અંકનો નિયમ યાદ રાખવાથી વર્ગના એકમના અંકને ઝડપથી ઓળખી શકાય છે, જે ગણતરીમાં મદદરૂપ થાય છે.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 92)

Question. નીચે આપેલી સંખ્યાનો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક શું મળશે?
(i) 1234
Answer:
(i) 1234
1234 નો એકમનો અંક 4 છે અને \( 4 \times 4 = 16 \).
આથી, \( (1234)^2 \) સંખ્યાનો એકમનો અંક 6 હોય.
(ii) 26387
26387 નો એકમનો અંક 7 છે અને \( 7 \times 7 = 49 \).
આથી, \( (26387)^2 \) સંખ્યાનો એકમનો અંક 9 હોય.
(iii) 52698
52698 નો એકમનો અંક 8 છે અને \( 8 \times 8 = 64 \).
આથી, \( (52698)^2 \) સંખ્યાનો એકમનો અંક 4 હોય.
(iv) 99880
99880 નો એકમનો અંક 0 છે અને \( 0 \times 0 = 0 \).
આથી, \( (99880)^2 \) સંખ્યાનો એકમનો અંક 0 હોય.
(v) 21222
21222 નો એકમનો અંક 2 છે અને \( 2 \times 2 = 4 \).
આથી, \( (21222)^2 \) સંખ્યાનો એકમનો અંક 4 હોય.
(vi) 9106
9106 નો એકમનો અંક 6 છે અને \( 6 \times 6 = 36 \).
આથી, \( (9106)^2 \) સંખ્યાનો એકમનો અંક 6 હોય.
In simple words: સંખ્યાના વર્ગનો છેલ્લો અંક શોધવા માટે, તે સંખ્યાના છેલ્લા અંકનો વર્ગ કરો. જે પરિણામ મળે તેનો છેલ્લો અંક એ જ વર્ગનો છેલ્લો અંક હશે.

Exam Tip: એકમનો અંક શોધવા માટે, મૂળ સંખ્યાના એકમના અંકનો જ વર્ગ કરવો પૂરતો છે. આનાથી મોટી સંખ્યાઓ માટે ગણતરી સરળ બને છે.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 92)

Question 1. નીચે આપેલી કઈ સંખ્યાઓનો વર્ગ કરવાથી તે એકી સંખ્યા કે બેકી સંખ્યા આવશે? કેમ?
(i) 727
Answer:
(i) 727
727 નો એકમનો અંક 7 છે. તેથી તે એકી સંખ્યા છે.
એકી સંખ્યાનો વર્ગ એકી સંખ્યા હોય છે. તેથી 727 નો વર્ગ એકી સંખ્યા છે.
(ii) 158
158 નો એકમનો અંક 8 છે. તેથી તે બેકી સંખ્યા છે.
બેકી સંખ્યાનો વર્ગ બેકી સંખ્યા હોય છે. તેથી 158 નો વર્ગ બેકી સંખ્યા છે.
(iii) 269
269 નો એકમનો અંક 9 છે. તેથી તે એકી સંખ્યા છે.
એકી સંખ્યાનો વર્ગ એકી સંખ્યા હોય છે. તેથી 269 નો વર્ગ એકી સંખ્યા છે.
(iv) 1980
1980 નો એકમનો અંક 0 છે. તેથી તે બેકી સંખ્યા છે.
બેકી સંખ્યાનો વર્ગ બેકી સંખ્યા હોય છે. તેથી 1980 નો વર્ગ બેકી સંખ્યા છે.
In simple words: જો કોઈ સંખ્યા એકી હોય, તો તેનો વર્ગ પણ એકી હશે. જો કોઈ સંખ્યા બેકી હોય, તો તેનો વર્ગ પણ બેકી હશે.

Exam Tip: વર્ગના પ્રકાર (એકી કે બેકી) નક્કી કરવા માટે, ફક્ત મૂળ સંખ્યા એકી છે કે બેકી તે જાણવું પૂરતું છે. એકી સંખ્યાના વર્ગનો છેલ્લો અંક 1, 9, 5 હોય છે અને બેકી સંખ્યાના વર્ગનો છેલ્લો અંક 0, 4, 6 હોય છે.

Question 2. નીચે આપેલી સંખ્યાઓનો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યામાં કેટલાં શૂન્યો હશે?
(i) 60
Answer:
(i) 60
60 માં શૂન્યની સંખ્યા 1 છે.
આથી, \( 60^2 \) માં શૂન્યની સંખ્યા \( 1 \times 2 = 2 \) હોય છે. (કારણ કે \( 60^2 = 3600 \))
(ii) 400
400 માં શૂન્યની સંખ્યા 2 છે.
આથી, \( 400^2 \) માં શૂન્યની સંખ્યા \( 2 \times 2 = 4 \) હોય છે. (કારણ કે \( 400^2 = 160000 \))
In simple words: કોઈ સંખ્યાનો વર્ગ કરવાથી મળતી સંખ્યામાં શૂન્યોની સંખ્યા, મૂળ સંખ્યામાં રહેલા શૂન્યોની સંખ્યા કરતાં બમણી હોય છે.

Exam Tip: શૂન્યોની ગણતરી કરતી વખતે, ખાતરી કરો કે તમે મૂળ સંખ્યામાં શૂન્યોની કુલ સંખ્યાને ઓળખો છો, અને પછી તેને બે વડે ગુણો છો.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 94)

Question 1. 9² અને 10² વચ્ચે કેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ આવે? તેમજ 11² અને 12² વચ્ચે કેટલી?
Answer: બે ક્રમિક સંખ્યાઓ \( n^2 \) અને \( (n + 1)^2 \) વચ્ચેની પૂર્ણવર્ગ ન હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ \( 2n \) મળે છે.
(a) \( 9^2 \) અને \( 10^2 \) વચ્ચે:
અહીં \( n = 9 \) અને \( n + 1 = 10 \).
આથી, \( 9^2 \) અને \( 10^2 \) વચ્ચેની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ \( = 2 \times n = 2 \times 9 = 18 \).
ચકાસણી: 81 અને 100 વચ્ચે કુલ 18 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.
(b) \( 11^2 \) અને \( 12^2 \) વચ્ચે:
અહીં \( n = 11 \) અને \( n + 1 = 12 \).
આથી, \( 11^2 \) અને \( 12^2 \) વચ્ચેની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ \( = 2 \times n \)
\( = 2 \times 11 \)
\( = 22 \).
ચકાસણી: 121 અને 144 વચ્ચે કુલ 22 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.
In simple words: જો તમને બે સળંગ સંખ્યાઓના વર્ગની વચ્ચે કેટલી સામાન્ય સંખ્યાઓ છે તે શોધવું હોય, તો તમે તેમાંથી નાની સંખ્યાને 2 વડે ગુણો.

Exam Tip: \( n^2 \) અને \( (n+1)^2 \) વચ્ચેની પૂર્ણવર્ગ ન હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની સંખ્યા શોધવા માટેનું સૂત્ર \( 2n \) છે. આ સૂત્ર ગણતરી સરળ બનાવે છે.

Question 2. નીચે આપેલ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓની જોડીઓ વચ્ચે પૂર્ણવર્ગ ન હોય તેવી કેટલી સંખ્યાઓ આવે?
(i) \( 100^2 \) અને \( 101^2 \)
Answer:
(i) \( 100^2 \) અને \( 101^2 \) વચ્ચે:
અહીં \( n = 100 \) અને \( n + 1 = 101 \).
\( 100^2 \) અને \( 101^2 \) વચ્ચેની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ \( = 2 \times n \)
\( = 2 \times 100 \)
\( = 200 \).
100 અને 101 બે ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.
આથી, \( 100^2 \) અને \( 101^2 \) વચ્ચે પૂર્ણવર્ગ ન હોય તેવી 200 સંખ્યાઓ છે.
(ii) \( 90^2 \) અને \( 91^2 \)
90 અને 91 વચ્ચે:
અહીં \( n = 90 \) અને \( n + 1 = 91 \).
\( 90^2 \) અને \( 91^2 \) વચ્ચેની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ \( = 2 \times n \)
\( = 2 \times 90 \)
\( = 180 \).
90 અને 91 બે ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.
આથી, \( 90^2 \) અને \( 91^2 \) વચ્ચે પૂર્ણવર્ગ ન હોય તેવી 180 સંખ્યાઓ છે.
(iii) \( 1000^2 \) અને \( 1001^2 \)
\( 1000^2 \) અને \( 1001^2 \) વચ્ચે:
અહીં \( n = 1000 \) અને \( n + 1 = 1001 \).
\( 1000^2 \) અને \( 1001^2 \) વચ્ચેની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ \( = 2 \times n \)
\( = 2 \times 1000 \)
\( = 2000 \).
1000 અને 1001 બે ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.
આથી, \( 1000^2 \) અને \( 1001^2 \) વચ્ચે પૂર્ણવર્ગ ન હોય તેવી 2000 સંખ્યાઓ છે.
In simple words: બે સળંગ સંખ્યાઓના વર્ગોની વચ્ચે કેટલી સંખ્યાઓ છે તે શોધવા માટે, નાની સંખ્યાને 2 વડે ગુણો. આ તમને તે બે વર્ગો વચ્ચેની બિન-ચોરસ સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા આપશે.

Exam Tip: મોટી સંખ્યાઓ માટે પણ \( 2n \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી સરળતાથી કરી શકાય છે, જેનાથી સમયની બચત થાય છે.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 94)

Question. નીચેની સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે કે નહિ તે કહોઃ [નોંધઃ ધ્યાનમાં રાખો કે જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાને 1થી શરૂ કરી ક્રમિક એકી સંખ્યાઓના સરવાળા રૂપે દર્શાવી શકાય તે પ્રાકૃતિક સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય.]
(i) 121
Answer:
(i) 121
121 ને 1 થી શરૂ થતા ક્રમિક અયુગ્મ સંખ્યાઓની બાદબાકી રૂપે લખીએ:
\( 121 - 1 = 120 \)
\( 120 - 3 = 117 \)
\( 117 - 5 = 112 \)
\( 112 - 7 = 105 \)
\( 105 - 9 = 96 \)
\( 96 - 11 = 85 \)
\( 85 - 13 = 72 \)
\( 72 - 15 = 57 \)
\( 57 - 17 = 40 \)
\( 40 - 19 = 21 \)
\( 21 - 21 = 0 \)
આથી, \( \sqrt{121} = 11 \).
આમ, 121 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
(ii) 55
55 ને 1 થી શરૂ થતા ક્રમિક અયુગ્મ સંખ્યાઓની બાદબાકી રૂપે લખીએ:
\( 55 - 1 = 54 \)
\( 54 - 3 = 51 \)
\( 51 - 5 = 46 \)
\( 46 - 7 = 39 \)
\( 39 - 9 = 30 \)
\( 30 - 11 = 19 \)
\( 19 - 13 = 6 \)
\( 6 - 15 = -9 \)
55 ને 1 થી શરૂ થતા ક્રમિક અયુગ્મ સંખ્યાઓના સરવાળા રૂપે લખી શકાતું નથી.
આથી, 55 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(iii) 81
81 ને 1 થી શરૂ થતા ક્રમિક અયુગ્મ સંખ્યાઓની બાદબાકી રૂપે લખીએ:
\( 81 - 1 = 80 \)
\( 80 - 3 = 77 \)
\( 77 - 5 = 72 \)
\( 72 - 7 = 65 \)
\( 65 - 9 = 56 \)
\( 56 - 11 = 45 \)
\( 45 - 13 = 32 \)
\( 32 - 15 = 17 \)
\( 17 - 17 = 0 \)
આથી, \( 81 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 \).
આમ, 81 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
(iv) 49
49 ને 1 થી શરૂ થતા ક્રમિક અયુગ્મ સંખ્યાઓની બાદબાકી રૂપે લખીએ:
\( 49 - 1 = 48 \)
\( 48 - 3 = 45 \)
\( 45 - 5 = 40 \)
\( 40 - 7 = 33 \)
\( 33 - 9 = 24 \)
\( 24 - 11 = 13 \)
\( 13 - 13 = 0 \)
આથી, \( \sqrt{49} = 7 \).
આમ, 49 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
(v) 69
69 ને 1 થી શરૂ થતા ક્રમિક અયુગ્મ સંખ્યાઓની બાદબાકી રૂપે લખીએ:
\( 69 - 1 = 68 \)
\( 68 - 3 = 65 \)
\( 65 - 5 = 60 \)
\( 60 - 7 = 53 \)
\( 53 - 9 = 44 \)
\( 44 - 11 = 33 \)
\( 33 - 13 = 20 \)
\( 20 - 15 = 5 \)
\( 5 - 17 = -12 \)
69 ને 1 થી શરૂ થતા ક્રમિક એકી સંખ્યાઓના સરવાળા રૂપે લખી શકાતું નથી.
આથી, 69 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
In simple words: જો તમે 1 થી શરૂ કરીને ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ બાદ કરતા જાઓ અને છેલ્લે શૂન્ય મળે, તો તે સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ છે. જેટલા પગલાં બાદબાકી કરવા પડે, તેટલો જ તેનો વર્ગમૂળ થાય છે.

Exam Tip: પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે ક્રમિક એકી સંખ્યાઓની બાદબાકીની રીત ઉપયોગી છે. જો બાદબાકીનો અંત શૂન્ય પર ન આવે, તો તે પૂર્ણવર્ગ નથી.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 95)

Question 1. નીચેની સંખ્યાઓને બે ક્રમિક સંખ્યાના સરવાળા તરીકે રજૂ કરો: જાણો : \( n^2 = \frac{n^{2}-1}{2} + \frac{n^{2}+1}{2} \)
(i) \( 21^2 \)
Answer:
(i) \( 21^2 \)
અહીં \( n = 21 \).
\( \frac{n^2 - 1}{2} = \frac{21^2 - 1}{2} = \frac{441 - 1}{2} = \frac{440}{2} = 220 \)
\( \frac{n^2 + 1}{2} = \frac{21^2 + 1}{2} = \frac{441 + 1}{2} = \frac{442}{2} = 221 \)
આથી, \( 21^2 = 220 + 221 = 441 \).
(ii) \( 13^2 \)
અહીં \( n = 13 \).
\( \frac{n^2 - 1}{2} = \frac{13^2 - 1}{2} = \frac{169 - 1}{2} = \frac{168}{2} = 84 \)
\( \frac{n^2 + 1}{2} = \frac{13^2 + 1}{2} = \frac{169 + 1}{2} = \frac{170}{2} = 85 \)
આથી, \( 13^2 = 84 + 85 = 169 \).
(iii) \( 11^2 \)
અહીં \( n = 11 \).
\( \frac{n^2 - 1}{2} = \frac{11^2 - 1}{2} = \frac{121 - 1}{2} = \frac{120}{2} = 60 \)
\( \frac{n^2 + 1}{2} = \frac{11^2 + 1}{2} = \frac{121 + 1}{2} = \frac{122}{2} = 61 \)
આથી, \( 11^2 = 60 + 61 = 121 \).
(iv) \( 19^2 \)
અહીં \( n = 19 \).
\( \frac{n^2 - 1}{2} = \frac{19^2 - 1}{2} = \frac{361 - 1}{2} = \frac{360}{2} = 180 \)
\( \frac{n^2 + 1}{2} = \frac{19^2 + 1}{2} = \frac{361 + 1}{2} = \frac{362}{2} = 181 \)
આથી, \( 19^2 = 180 + 181 = 361 \).
In simple words: કોઈપણ એકી સંખ્યાના વર્ગને બે સળંગ સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે. આ કરવા માટે, વર્ગમાંથી 1 બાદ કરીને 2 વડે ભાગો અને વર્ગમાં 1 ઉમેરીને 2 વડે ભાગો, પછી બંને પરિણામોનો સરવાળો કરો.

Exam Tip: આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ એકી સંખ્યાના વર્ગને બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે સરળતાથી રજૂ કરી શકાય છે. n હંમેશા એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.

Question 2. શું એ પણ સાચું છે કે, બે ક્રમિક સંખ્યાઓનો સરવાળો એ કોઈ સંખ્યાનો વર્ગ હશે? તમારા જવાબના આધાર માટે ઉદાહરણ પણ આપો.
Answer: ના, આ હંમેશ સાચું નથી.
(i) \( 3 + 4 = 7 \). જુઓ, 7 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(ii) \( 10 + 11 = 21 \). જુઓ, 21 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
પરંતુ:
(i) \( 4 + 5 = 9 \). જુઓ, 9 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે. (\( 3^2 \))
(ii) \( 12 + 13 = 25 \). જુઓ, 25 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે. (\( 5^2 \))
In simple words: બે સળંગ સંખ્યાઓને ઉમેરવાથી હંમેશા પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા મળે તે જરૂરી નથી. કેટલીક વાર તે મળે છે, પરંતુ કેટલીક વાર તે મળતી નથી.

Exam Tip: ઉદાહરણો આપીને તમારા જવાબને સમર્થન આપો. યાદ રાખો કે "હંમેશા" જેવા શબ્દો માટે તમારે ઉદાહરણો અને પ્રતિઉદાહરણો બંને આપવા જોઈએ.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 95)

Question. નીચેની સંખ્યા માટે પાઠ્યપુસ્તકમાં આપેલ તરાહ મુજબ વર્ગ કરોઃ
(i) \( 111111^2 \)
(ii) \( 1111111^2 \)
Answer: પાઠ્યપુસ્તકમાં આપેલી તરાહનો ઉપયોગ કરતાં:
(i) \( (111111)^2 = 12345654321 \).
(ii) \( (1111111)^2 = 1234567654321 \).
In simple words: 1 ની શ્રેણીનો વર્ગ કરવા માટે, 1 થી શરૂ કરીને 1 ની સંખ્યા સુધી ક્રમશઃ વધારો અને પછી ત્યાંથી 1 સુધી ક્રમશઃ ઘટાડો.

Exam Tip: "1" ની પુનરાવૃત્તિવાળી સંખ્યાઓના વર્ગ માટેની પેટર્ન યાદ રાખો. તે સંખ્યામાં જેટલા "1" હોય, તેટલી સંખ્યા સુધી ચડતા ક્રમમાં લખો અને પછી ઉતરતા ક્રમમાં 1 સુધી લખો.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 95)

Question. શું તમે પાઠ્યપુસ્તકમાં આપેલી તરાહની મદદથી આપેલી સંખ્યાઓનો વર્ગ શોધી શકો?
(i) \( 6666667^2 \)
(ii) \( 66666667^2 \)
Answer:
(i) હા, \( 6666667^2 = 44444448888889 \).
(ii) હા, \( 66666667^2 = 4444444488888889 \).
In simple words: અમુક મોટી સંખ્યાઓ માટે પણ ચોક્કસ પેટર્નનો ઉપયોગ કરીને તેનો વર્ગ શોધી શકાય છે, જેમ કે 11111111 નો વર્ગ.

Exam Tip: આવી પેટર્ન-આધારિત ગણતરીઓ માટે, સંખ્યામાં અંકોની સંખ્યા અને તે કઈ પેટર્નને અનુસરે છે તે સમજવું જરૂરી છે.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 97)

Question. નીચે આપેલી સંખ્યામાં એકમનો અંક 5 છે, તેમનો વર્ગ શોધોઃ [નો અંક 5 છે તેવી સંખ્યાનો વર્ગ \( = a (a + 1) \times 100 + 25 \) જ્યાં, \( a = \) દશકનો અંક]
(i) 15
Answer:
(i) 15
\( (15)^2 = 1 \times (1 + 1) \times 100 + 25 \)
\( = 1 \times 2 \times 100 + 25 \)
\( = 200 + 25 \)
\( = 225 \).
જાણો:

(ii) 95
\( (95)^2 = 9 \times (9 + 1) \times 100 + 25 \)
\( = 9 \times 10 \times 100 + 25 \)
\( = 9000 + 25 \)
\( = 9025 \).
(iii) 105
\( (105)^2 = 10 \times (10 + 1) \times 100 + 25 \)
\( = 10 \times 11 \times 100 + 25 \)
\( = 11000 + 25 \)
\( = 11025 \).
જાણો:

(iv) 205
\( (205)^2 = 20 \times (20 + 1) \times 100 + 25 \)
\( = 20 \times 21 \times 100 + 25 \)
\( = 42000 + 25 \)
\( = 42025 \).
In simple words: જે સંખ્યાનો છેલ્લો અંક 5 હોય તેનો વર્ગ શોધવા માટે, દશકના અંક (a) ને તેના પછીની સંખ્યા (a+1) વડે ગુણો, પછી તેને 100 વડે ગુણીને 25 ઉમેરો.

Exam Tip: 5 માં સમાપ્ત થતી સંખ્યાઓના વર્ગ માટેની આ ઝડપી યુક્તિ ખાસ કરીને MCQ માં ઉપયોગી છે, જ્યાં સમયની બચત મહત્વપૂર્ણ છે.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 99)

Question (i). જો \( 11^2 = 121 \), તો 121નું વર્ગમૂળ?
Answer: 121 નું વર્ગમૂળ 11 છે.
In simple words: જો કોઈ સંખ્યાનો વર્ગ આપેલ હોય, તો તે સંખ્યાનું વર્ગમૂળ મૂળ સંખ્યા જ હોય છે.

Exam Tip: વર્ગમૂળ એ વર્ગની વિપરીત પ્રક્રિયા છે. જો \( a^2 = b \) હોય, તો \( \sqrt{b} = a \) થાય છે.

Question (ii). જો \( 14^2 = 196 \), તો 196નું વર્ગમૂળ?
Answer: 196 નું વર્ગમૂળ 14 છે.
In simple words: 14 નો વર્ગ 196 છે, તો 196 નું વર્ગમૂળ 14 છે.

Exam Tip: પરીક્ષામાં, નાના વર્ગો અને તેમના વર્ગમૂળ યાદ રાખવાથી સમય બચી શકે છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 99)

Question (i). \( (-1)^2 = 1 \), શું -1 એ 1 નું વર્ગમૂળ છે?
(ii). \( (-2)^2 = 4 \), શું -2 એ 4 નું વર્ગમૂળ છે?
(iii). \( (-9)^2 = 81 \), શું -9 એ 81 નું વર્ગમૂળ છે?
Answer: પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ ધન અને ઋણ બંને સંખ્યાઓ મળે છે.
દા. ત., \( \sqrt{9} = +3 \) અથવા \( -3 \).
(i) \( (-1) \times (-1) = 1 \) એટલે કે \( (-1)^2 = 1 \).
આથી, 1 નું વર્ગમૂળ \( (-1) \) હોઈ શકે છે.
(ii) \( (-2) \times (-2) = 4 \) એટલે કે \( (-2)^2 = 4 \).
આથી, 4 નું વર્ગમૂળ \( (-2) \) હોઈ શકે છે.
(iii) \( (-9) \times (-9) = 81 \) એટલે કે \( (-9)^2 = 81 \).
આથી, 81 નું વર્ગમૂળ \( (-9) \) હોઈ શકે છે.
In simple words: કોઈપણ ધન સંખ્યાના બે વર્ગમૂળ હોય છે, એક ધન અને એક ઋણ. કારણ કે ધન સંખ્યાનો વર્ગ પણ ધન હોય છે અને ઋણ સંખ્યાનો વર્ગ પણ ધન હોય છે.

Exam Tip: વર્ગમૂળ હંમેશા દ્વિ-ચિહ્નિત હોય છે: એક ધન અને એક ઋણ. ભૂલશો નહીં કે \( \sqrt{x} \) એ ફક્ત ધન વર્ગમૂળ દર્શાવે છે, જ્યારે "વર્ગમૂળ" શબ્દ બંને ધન અને ઋણ મૂલ્યોનો ઉલ્લેખ કરે છે.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 100)

Question 1. 1થી શરૂ કરી ક્રમિક અયુગ્મ સંખ્યાની પુનરાવર્તિત બાદબાકી કરીને જણાવો કે નીચેની સંખ્યાઓ પૂર્ણવર્ગ છે કે નહીં? જો પૂર્ણવર્ગ હોય, તો તેમનું વર્ગમૂળ શોધોઃ
(i) 121
(ii) 55
(iii) 36
(iv) 49
(v) 90
Answer:
(i) 121
121ને 1થી શરૂ થતા ક્રમિક અયુગ્મ સંખ્યાઓની બાદબાકી રૂપે લખીએ:
\( 121 - 1 = 120 \)
\( 120 - 3 = 117 \)
\( 117 - 5 = 112 \)
\( 112 - 7 = 105 \)
\( 105 - 9 = 96 \)
\( 96 - 11 = 85 \)
\( 85 - 13 = 72 \)
\( 72 - 15 = 57 \)
\( 57 - 17 = 40 \)
\( 40 - 19 = 21 \)
\( 21 - 21 = 0 \)
\( \implies \sqrt{121} = 11 \)
આમ, 121 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
(ii) 55
\( 55 - 1 = 54 \)
\( 54 - 3 = 51 \)
\( 51 - 5 = 46 \)
\( 46 - 7 = 39 \)
\( 39 - 9 = 30 \)
\( 30 - 11 = 19 \)
\( 19 - 13 = 6 \)
\( 6 - 15 = -9 \)
55ને 1થી શરૂ થતા ક્રમિક અયુગ્મ સંખ્યાઓની બાદબાકી રૂપે લખી શકાતું નથી. તેથી, 55 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
(iii) 36
\( 36 - 1 = 35 \)
\( 35 - 3 = 32 \)
\( 32 - 5 = 27 \)
\( 27 - 7 = 20 \)
\( 20 - 9 = 11 \)
\( 11 - 11 = 0 \)
\( \implies \sqrt{36} = 6 \)
આમ, 36 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
(iv) 49
\( 49 - 1 = 48 \)
\( 48 - 3 = 45 \)
\( 45 - 5 = 40 \)
\( 40 - 7 = 33 \)
\( 33 - 9 = 24 \)
\( 24 - 11 = 13 \)
\( 13 - 13 = 0 \)
\( \implies \sqrt{49} = 7 \)
આમ, 49 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
(v) 90
\( 90 - 1 = 89 \)
\( 89 - 3 = 86 \)
\( 86 - 5 = 81 \)
\( 81 - 7 = 74 \)
\( 74 - 9 = 65 \)
\( 65 - 11 = 54 \)
\( 54 - 13 = 41 \)
\( 41 - 15 = 26 \)
\( 26 - 17 = 9 \)
\( 9 - 19 = -10 \)
90ને 1થી શરૂ થતા ક્રમિક અયુગ્મ સંખ્યાઓના સરવાળા રૂપે લખી શકાતું નથી. તેથી, 90 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી.
In simple words: To check if a number is a perfect square, you keep subtracting odd numbers starting from 1. If you reach zero, the number is a perfect square, and the count of subtractions is its square root. Otherwise, it is not.

Exam Tip: Remember that for a number to be a perfect square, the repeated subtraction method with odd numbers must ultimately result in zero. The number of subtractions you perform to reach zero will give you the square root.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 103)

Question 1. શું આપણે એમ કહી શકીએ કે, n અંકોવાળી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાના વર્ગમૂળની સંખ્યા જો n બેકી હોય, તો \( \frac{n}{2} \) મળે અને એકી હોય, તો \( \frac{(n+1)}{2} \) મળે?
Answer: હા, તે સાચું છે કે n અંકોવાળી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાના વર્ગમૂળની સંખ્યા જો n બેકી હોય, તો \( \frac{n}{2} \) મળે અને એકી હોય, તો \( \frac{(n+1)}{2} \) મળે.
In simple words: Yes, it is correct. If a perfect square has 'n' digits, its square root will have \( \frac{n}{2} \) digits if 'n' is an even number, and \( \frac{n+1}{2} \) digits if 'n' is an odd number.

Exam Tip: This rule helps quickly estimate the number of digits in a square root without performing the full calculation, saving time in exams.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 105)

Question 1. નીચે આપેલી સંખ્યાઓનું વર્ગમૂળ શોધ્યા વિના જણાવો કે, મળતા વર્ગમૂળના અંકોની સંખ્યા કેટલી હશે?
(i) 25600
(ii) 100000000
(iii) 38864
Answer:
(i) 25600
25600માં અંકોની સંખ્યા = 5
અહીં, n = 5 જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી, 25600ના વર્ગમૂળની સંખ્યાના અંકો = \( \frac{n+1}{2} \)
= \( \frac{5+1}{2} \)
= \( \frac{6}{2} \)
= 3
(ii) 100000000
100000000માં અંકોની સંખ્યા = 9
અહીં, n = 9 જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી, 100000000ના વર્ગમૂળની સંખ્યાના અંકો = \( \frac{n+1}{2} \)
= \( \frac{9+1}{2} \)
= \( \frac{10}{2} \)
= 5
(iii) 38864
38864માં અંકોની સંખ્યા = 5
અહીં, n = 5 જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી, 38864ના વર્ગમૂળની સંખ્યાના અંકો = \( \frac{n+1}{2} \)
= \( \frac{5+1}{2} \)
= \( \frac{6}{2} \)
= 3
In simple words: We find the number of digits (n) in the given number. If 'n' is an odd number, the square root will have \( \frac{n+1}{2} \) digits. If 'n' is an even number, it would have \( \frac{n}{2} \) digits.

Exam Tip: Carefully count the total number of digits in the given number (n) and then apply the correct formula for 'n' being even or odd.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 107)

Question 1. નીચેની સંખ્યાઓના વર્ગમૂળની સૌથી નજીકની પૂર્ણ સંખ્યા તરીકે શું મળે તેની ગણતરી કરોઃ
(i) \( \sqrt{80} \)
(ii) \( \sqrt{1000} \)
(iii) \( \sqrt{350} \)
(iv) \( \sqrt{500} \)
Answer:
(i) \( \sqrt{80} \)
અહીં, \( 10^2 = 100 \), \( 9^2 = 81 \), \( 8^2 = 64 \)
80 એ 64 અને 81ની વચ્ચે છે.
\( \implies 64 < 80 < 81 \)
\( \implies 8^2 < 80 < 9^2 \)
\( \implies 8 < \sqrt{80} < 9 \)
આમ, \( \sqrt{80} \) એ 8 અને 9ની વચ્ચે છે. \( \sqrt{80} \) ની સૌથી નજીકની પૂર્ણ સંખ્યા 9 છે કારણ કે 80, 81ની વધુ નજીક છે.
(ii) \( \sqrt{1000} \)
અહીં, \( 30^2 = 900 \), \( 31^2 = 961 \), \( 32^2 = 1024 \)
1000 એ 961 અને 1024ની વચ્ચે છે.
\( \implies 961 < 1000 < 1024 \)
\( \implies 31^2 < 1000 < 32^2 \)
\( \implies 31 < \sqrt{1000} < 32 \)
આમ, \( \sqrt{1000} \) એ 31 અને 32ની વચ્ચે છે. \( \sqrt{1000} \) ની સૌથી નજીકની પૂર્ણ સંખ્યા 32 છે કારણ કે 1000, 1024ની વધુ નજીક છે.
(iii) \( \sqrt{350} \)
અહીં, \( 18^2 = 324 \) અને \( 19^2 = 361 \)
350 એ 324 અને 361ની વચ્ચે છે.
\( \implies 324 < 350 < 361 \)
\( \implies 18^2 < 350 < 19^2 \)
\( \implies 18 < \sqrt{350} < 19 \)
આમ, \( \sqrt{350} \) એ 18 અને 19ની વચ્ચે છે. \( \sqrt{350} \) ની સૌથી નજીકની પૂર્ણ સંખ્યા 19 છે કારણ કે 350, 361ની વધુ નજીક છે.
(iv) \( \sqrt{500} \)
અહીં, \( 22^2 = 484 \) અને \( 23^2 = 529 \)
500 એ 484 અને 529ની વચ્ચે છે.
\( \implies 484 < 500 < 529 \)
\( \implies 22^2 < 500 < 23^2 \)
\( \implies 22 < \sqrt{500} < 23 \)
આમ, \( \sqrt{500} \) એ 22 અને 23ની વચ્ચે છે. \( \sqrt{500} \) ની સૌથી નજીકની પૂર્ણ સંખ્યા 22 છે કારણ કે 500, 484ની વધુ નજીક છે.
In simple words: To find the closest whole number to a square root, find the perfect squares just below and just above the number. Then see which perfect square the given number is closer to. The square root of that closer perfect square will be your answer.

Exam Tip: Squaring consecutive integers and comparing them to the given number is the most efficient way to find the nearest perfect square. Pay close attention to which perfect square is numerically closer to the number under the root.