GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 4 પ્રાયોગિક ભૂમિતિ InText Questions

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો : (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 58)

Question 1. અર્ષદ પાસે ચતુષ્કોણ ABCDના પાંચ માપ આ મુજબ છે; AB = 5 સેમી, \( \angle A \) = 50°, AC = 4 સેમી, BD = 5 સેમી અને AD = 6 સેમી, તો શું એક નિશ્ચિત ચતુષ્કોણ રચી શકાશે? તમારા જવાબનું કારણ આપો.
Answer: ના, અહીં આપેલાં માપ વડે ચતુષ્કોણ ABCD બનાવી શકાશે નહીં. આપેલાં માપ પૂરતાં નથી. જો BC અથવા DCનું માપ આપ્યું હોત, તો જ ચતુષ્કોણ ABCD બનાવી શકાય.
In simple words: No, a quadrilateral ABCD cannot be drawn with the provided measurements. The information given is not enough. You would need the length of side BC or DC to construct it properly.

Exam Tip: Remember that constructing a unique quadrilateral usually requires specific combinations of five measurements. Always check if the given measurements allow for a unique triangle formation first, as quadrilaterals are built from triangles.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 60)

Question (i). આપણે જોયું કે ચતુષ્કોણનાં પાંચ માપ એક નિશ્ચિત ચતુષ્કોણ નિર્ધારિત કરે છે. શું તમે કહી શકશો કે ચતુષ્કોણનાં કોઈ પણ પાંચ માપ દ્વારા આ રીતે નિશ્ચિત ચતુષ્કોણ નિર્ધારિત થશે?
Answer: ના, ગમે તે પાંચ માપ વડે માંગ્યા મુજબનો ચતુષ્કોણ બનાવી શકાતો નથી. ખરેખર તો, ચતુષ્કોણ રચવા માટે અમુક ખાસ જોડાણવાળાં પાંચ માપ હોવા જરૂરી છે. જેવાં કે –

• ચાર બાજુઓ અને કોઈ એક વિકર્ણ અથવા
• ત્રણ બાજુઓ અને બંને વિકર્ણ અથવા
• બે પાસપાસેની બાજુઓ અને ત્રણ ખૂણા અથવા
• ત્રણ બાજુઓ અને તેને સમાવતા બે ખૂણા અથવા
• કેટલાક ખાસ ગુણધર્મો આપેલા હોય.

Exam Tip: Understand the five criteria for constructing a unique quadrilateral: four sides and a diagonal; three sides and two diagonals; two adjacent sides and three angles; three sides and two included angles; or specific properties of special quadrilaterals.

Question (ii). શું તમે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ BATs એવો દોરી શકો કે જ્યાં BA = 5 સેમી, AT = 8 સેમી અને As = 6.5 સેમી હોય? શા માટે?
Answer: અહીં સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ BATS રચવા માટે BA = 5 સેમી, AT = 6 સેમી અને AS = 6.5 સેમી માપ આપ્યાં છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ BATS દર્શાવતી કાચી આકૃતિ દોરીએ. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓનાં માપ સરખાં હોય છે. તેથી ST = AB = 5 સેમી અને SB = AT = 6 સેમી હોય. પહેલાં \( \triangle \)ASB જ્યાં SB = 6 સેમી, AB = 5 સેમી અને AS = 6.5 સેમીથી દોરી શકાય. તે પછી \( \triangle \)ATS જ્યાં AT = 6 સેમી, ST = 5 સેમી વડે \( \triangle \)ATS દોરી શકાય. આમ, આપેલ માપ પરથી સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ BATS દોરી શકાય છે.
In simple words: Yes, you can draw a parallelogram BATS. In a parallelogram, opposite sides have equal lengths. So, if BA = 5 cm, AT = 6 cm, and AS = 6.5 cm, then ST will also be 5 cm and SB will be 6 cm. You can first draw triangle ASB and then use triangle ATS to complete the parallelogram.

Exam Tip: Remember the properties of a parallelogram: opposite sides are equal in length, and diagonals bisect each other. These properties are crucial for construction tasks.

Question (iii). શું તમે સમબાજુ ચતુષ્કોણ ZEAL એવો દોરી શકો કે જ્યાં ZE = 3.5 સેમી, વિકર્ણ EL = 5 સેમી હોય? શા માટે?
Answer: અહીં સમબાજુ ચતુષ્કોણ ZEAL રચવા માટે ZE = 3.5 સેમી અને EL = 5 સેમી માપ આપ્યાં છે. સમબાજુ ચતુષ્કોણની ચારેય બાજુઓનાં માપ સરખાં હોય છે. તેથી EA = 3.5 સેમી, AL = 3.5 સેમી અને LZ = 3.5 સેમી હોય. વળી એક વિકર્ણનું માપ EL = 5 સેમી આપેલ છે. કાચી આકૃતિ જોઈએ. સમબાજુ ચતુષ્કોણ રચવા માટે પાંચ જરૂરી માપ જાણીએ છીએ. હા, તેથી અહીં આ સમબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવી શકાય છે.
In simple words: Yes, you can draw a rhombus ZEAL. For a rhombus, all four sides are equal. So, if ZE is 3.5 cm, then EA, AL, and LZ will also be 3.5 cm. With one diagonal EL = 5 cm also given, we have enough measurements (five in total) to construct this rhombus.

Exam Tip: Recall that a rhombus has all four sides equal. Knowing one side length and one diagonal is often sufficient to construct a rhombus, as it indirectly gives five measurements.

Question (iv). એક વિધાર્થીએ ચતુષ્કોણ PLAY દોરવા પ્રયત્ન કર્યો, જ્યાં PL = 3 સેમી, LA = 4 સેમી, AY = 4.5 સેમી, PY = 2 સેમી અને LY = 6 સેમી હોય, ધરી ન શક્યો. શું કારણ હોય? (સૂચનઃ કાચી આકૃતિ દોરી ચર્ચા કરો.)
Answer: અહીં ચતુષ્કોણ PLAY રચવા માટે PL = 3 સેમી, LA = 4 સેમી, AY = 4.5 સેમી, PY = 2 સેમી અને LY = 6 સેમી માપ આપ્યાં છે. કાચી આકૃતિ પરથી ચતુષ્કોણ રચી શકાય તેવું લાગે છે. પણ \( \triangle \)PLYની બાજુઓનાં માપ જોતાં PL + PY = 3 સેમી + 2 સેમી = 5 સેમી જ્યારે YL = 6 સેમી છે. કોઈ પણ ત્રિકોણમાં બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં વધારે હોય જ. તેથી આ ચતુષ્કોણ માટે બિંદુ P અથવા Yનું ચોક્કસ સ્થાન ન મળતાં ચતુષ્કોણ રચી શકાતો નથી.
In simple words: A student couldn't draw quadrilateral PLAY because the lengths of its sides, PL + PY = 3 cm + 2 cm = 5 cm, are less than the diagonal LY = 6 cm. In any triangle, the sum of two side lengths must always be greater than the third side. This means points P and Y cannot be positioned correctly, making the quadrilateral impossible to construct.

Exam Tip: Always check the triangle inequality theorem (the sum of any two sides of a triangle must be greater than the third side) when given side lengths and diagonals, as this is a common reason why a quadrilateral cannot be constructed.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો : (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 62)

Question 1. શું ઉપરના ઉદાહરણમાં આપણે પહેલા \( \triangle \)ABD દોરી પછી ચોથું બિંદુ C શોધીને, ચતુષ્કોણ દોરી શકીએ?
Answer: અહીં આપેલાં માપ પરથી ચતુષ્કોણ બનાવી શકાતો નથી. કારણ: અહીં ABનું માપ આપ્યું નથી. \( \triangle \)ACDનાં ત્રણેય માપ આપ્યાં છે તે પરથી \( \triangle \)ACD બનાવી શકાય. હવે \( \triangle \)ABC માટે BCનું માપ આપ્યું છે પણ ABનું માપ આપ્યું નથી. તેથી બિંદુ Bનું સ્થાન નક્કી થઈ શકતું નથી. આમ, ABCD આપેલાં માપ પરથી રચી શકાતો નથી.
In simple words: No, you cannot construct the quadrilateral by first drawing \( \triangle \)ABD and then finding point C. The length of side AB is not given. Although you can draw \( \triangle \)ACD with the three given measurements, for \( \triangle \)ABC, the length of AB is still missing. This means the position of point B cannot be fixed, making it impossible to construct quadrilateral ABCD with the given information.

Exam Tip: To construct a quadrilateral, ensure you have sufficient measurements that fix all vertices. If a crucial side length (like AB in this case) is missing for a key triangle, the construction will not be unique or possible.

Question 2. શું તમે ચતુષ્કોણ PQRS એવો રચી શકો જ્યાં PQ = 3 સેમી, RS= 3 સેમી, PS = 7.5 સેમી, PR = 8 સેમી અને SQ= 4 સેમી હોય? તમારા જવાબને ચકાસો.
Answer: અહીં આપેલાં માપ પરથી PQRS બનાવી શકાતો નથી. કારણ: \( \triangle \)PQSનાં માપ PQ = 3 સેમી, SQ = 4 સેમી અને PS = 7.5 સેમી છે. અહીં PQ + SQ = 3 + 4 = 7 સેમી. પરંતુ PS = 7.5 સેમી. ત્રિકોણની બે બાજુઓના માપનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના માપ કરતાં વધુ થતો નથી.
\( \implies \) \( PQ + SQ < PS \)
\( \implies \) \( 7 < 7.5 \) (જે શક્ય નથી).
\( \implies \) \( \triangle \)PQS રચી ન શકાય. તેથી PQRS રચી શકાતો નથી.
In simple words: No, you cannot construct quadrilateral PQRS. If we look at \( \triangle \)PQS, the sum of two sides, PQ (3 cm) and SQ (4 cm), is 7 cm. However, the third side PS is 7.5 cm. This violates the triangle inequality rule, which states that the sum of any two sides of a triangle must be greater than the third side. Since \( PQ + SQ < PS \), triangle PQS cannot be formed, and thus, quadrilateral PQRS cannot be constructed.

Exam Tip: Always verify the triangle inequality theorem (a + b > c) for any potential triangles within a quadrilateral. If this fundamental geometric principle is violated, the construction is impossible.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો : (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 64)

Question 1. જો આપણી પાસે \( \angle M \) એ 75°ને બદલે 100° હોય, તો શું તમે ઉપરનો ચતુષ્કોણ MIST રચી શકો?
Answer: હા, ચતુષ્કોણ MISTમાં \( \angle M \)નું માપ 75°ને બદલે 100° આપ્યું હોય, તોપણ ચતુષ્કોણ MIST બનાવી શકાય. અહીં જો ચતુષ્કોણ MIST માટે MI = 3.5 સેમી, IS = 6.5 સેમી, \( \angle M \) = 75°, \( \angle I \) = 105° અને \( \angle S \) = 100° માપથી રચી શકાય, તો માપ \( \angle M \) = 100° લેતાં પણ આ ચતુષ્કોણ રચી શકાય. માત્ર ચતુષ્કોણ મોટો બને એટલું જ.
In simple words: Yes, you can still draw quadrilateral MIST even if \( \angle M \) is 100° instead of 75°. If you have enough other measurements (like MI = 3.5 cm, IS = 6.5 cm, \( \angle M \) = 75°, \( \angle I \) = 105°, and \( \angle S \) = 100°), changing \( \angle M \) to 100° just makes the quadrilateral a bit larger, but it's still constructible.

Exam Tip: Understand how changes in angle measurements affect the shape and size of a quadrilateral. While angles change the shape, if other sufficient measurements are provided, the figure remains constructible.

Question 2. જો PL = 6 સેમી, LA = 9.5 સેમી, \( \angle P \) = 75°, \( \angle L \) = 150° અને \( \angle A \) = 140° હોય, તો તમે ચતુષ્કોણ PLAN રચી શકો? (સૂચનઃ ખૂણાના સરવાળાની લાક્ષણિકતા યાદ કરો.)
Answer: અહીં ચતુષ્કોણ PLAN માટે PL = 6 સેમી, LA = 9.5 સેમી, \( \angle P \) = 75°, \( \angle L \) = 150° અને \( \angle A \) = 140° માપ આપ્યાં છે. આ ચતુષ્કોણ માટેના ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો ચકાસીએ. \( m\angle P + m\angle L + m\angle A + m\angle N = 75° + 150° + 140° + m\angle N \) \( = 365° + m\angle N \) ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો 360° થી વધારે છે.
\( \implies \) PLAN રચી ન શકાય.
In simple words: No, you cannot draw quadrilateral PLAN with these measurements. The sum of the given angles \( \angle P \), \( \angle L \), and \( \angle A \) is already 75° + 150° + 140° = 365°. Since the sum of all four angles in any quadrilateral must be exactly 360°, and these three angles alone exceed 360°, it's impossible to add a fourth angle \( \angle N \) to make a valid quadrilateral. Therefore, PLAN cannot be constructed.

Exam Tip: Always remember that the sum of the interior angles of any quadrilateral is 360°. Before attempting construction, quickly add up the given angles to check if this property is met.

Question 3. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં પાસપાસેની બાજુઓ(Adjacent sides)ની લંબાઈ જાણતાં હોઈએ તોપણ ઉપરના ઉદાહરણની રચના માટે ખૂણાનાં માપની જરૂર રહેશે?
Answer: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સરખી અને સમાંતર હોય છે. અહીં સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓનાં માપ જાણીએ છીએ. તેથી ચતુષ્કોણ રચવા માટે ખૂણાઓનાં માપ જાણવા જરૂરી નથી. જો કોઈ પણ એક વિકર્ણનું માપ જાણતા હોઈએ તો પણ ચતુષ્કોણ દોરી શકાય.
In simple words: No, if you know the lengths of the adjacent sides of a parallelogram, you don't necessarily need angle measurements to construct it. A parallelogram has equal and parallel opposite sides. Knowing two adjacent sides and just one diagonal is enough to draw the parallelogram, as the properties of parallelograms give you the other necessary information.

Exam Tip: For parallelograms, knowing the lengths of two adjacent sides and one diagonal provides sufficient information for construction, as the properties of opposite sides being equal are implied.

આટલું કરો : (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 67)

Question 1. જો તમે માત્ર PQ અને QRની લંબાઈ જાણતા હશો તો લંબચોરસ PQRS કઈ રીતે રચશો?
Answer: લંબચોરસના બધા ખૂણાઓનાં માપ 90° હોય છે. વળી PQ = RS હોય. PQ, \( \angle Q \) = 90° અને QRના માપ પરથી \( \triangle \)PQR બનાવી શકાય. QR, \( \angle R \) = 90° અને RSના માપ પરથી \( \triangle \)QRS બનાવી શકાય. આમ, લંબચોરસ PQRS રચી શકાય.
In simple words: If you only know the lengths of PQ and QR, you can construct a rectangle PQRS. Rectangles have all angles equal to 90°, and opposite sides are equal (PQ = RS). You can start by drawing side PQ, then construct a 90° angle at Q and mark QR. Similarly, you can construct \( \triangle \)PQR and then \( \triangle \)QRS using the 90° angles and side lengths to complete the rectangle.

Exam Tip: The key properties of a rectangle (all angles are 90°, opposite sides are equal and parallel) are crucial for construction. With two adjacent sides, you can define the four right angles and complete the figure.

Question 2. જો આકૃતિમાં AY = 8 સેમી, EY = 4 સેમી અને SY = 6 સેમી હોય, તો પતંગ EASYની રચના કરો. પતંગની કઈ લાક્ષણિકતા તમે રચના દરમિયાન ઉપયોગમાં લેશો?
Answer: પતંગમાં વિકર્ણો પરસ્પર કાટખૂણે છેદે છે. પતંગમાં પાસપાસેની બાજુઓની એક-એક જોડ સમાન હોય છે. રચના કરતાં આપેલાં માપ પ્રમાણે E બિંદુનું સ્થાન નક્કી કરી શકાતું નથી.
\( \implies \) પતંગ EASY રચી શકાતો નથી. (કારણ કે \( \triangle \)EYA માટે બે બાજુઓનાં માપનો સરવાળો (4 + 4) એ ત્રીજી બાજુ (8)ના માપ કરતાં વધારે નથી.)
In simple words: You cannot construct kite EASY with the given measurements. Kites have diagonals that cross at a right angle, and they have two pairs of equal-length adjacent sides. However, if we consider triangle EYA, the sum of two sides EY (4 cm) and the adjacent side (which would also be 4 cm for a kite property) would be 8 cm. But the diagonal AY is also 8 cm, which means the sum of two sides is not greater than the third side. This violates the triangle inequality rule, so point E cannot be positioned correctly, making the kite impossible to draw.

Exam Tip: For kite construction, remember that two pairs of adjacent sides are equal. Always apply the triangle inequality theorem to ensure the possibility of forming the constituent triangles. Diagonals intersecting at 90° is another key property.