GSEB Class 8 Maths Solutions Chapter 11 માપન Exercise 11.1

Question 1. અહીં આકૃતિમાં એક ચોરસ અને એક લંબચોરસ ખેતર તેમનાં માપ સાથે આપેલાં છે. આ બંને ખેતરોની પરિમિતિ સમાન છે. કયા ખેતરનું ક્ષેત્રફળ વધારે હશે?
Answer:
(a) ચોરસ ખેતર માટે:
ચોરસ ખેતરની બાજુની લંબાઈ = 60 મી
\( \implies \) ચોરસ ખેતરની પરિમિતિ = 4 × બાજુ = \( 4 \times 60 = 240 \) મી
ચોરસ ખેતરનું ક્ષેત્રફળ = બાજુ × બાજુ = \( 60 \times 60 = 3600 \) મી²

(b) લંબચોરસ ખેતર માટે:
લંબચોરસ ખેતરની પરિમિતિ = ચોરસ ખેતરની પરિમિતિ
\( \implies \) લંબચોરસ ખેતરની પરિમિતિ = 240 મી
ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ 80 મી અને પહોળાઈ P છે.
લંબચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર: \( 2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ}) \)
\( \implies 2 \times (80 + P) = 240 \)
\( \implies 80 + P = \frac{240}{2} \)
\( \implies 80 + P = 120 \)
\( \implies P = 120 - 80 \)
\( \implies P = 40 \) મી
આમ, લંબચોરસ ખેતરની પહોળાઈ 40 મી છે.
હવે, લંબચોરસ ખેતરનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ = \( 80 \times 40 = 3200 \) મી²

સરખામણી:
ચોરસ ખેતરનું ક્ષેત્રફળ 3600 મી² છે અને લંબચોરસ ખેતરનું ક્ષેત્રફળ 3200 મી² છે.
\( \implies \) ચોરસ ખેતર (a)નું ક્ષેત્રફળ વધુ છે.
In simple words: પહેલા ચોરસ ખેતરની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ શોધો. પછી, લંબચોરસ ખેતરની પરિમિતિ ચોરસ ખેતર જેટલી જ હોવાથી, તેમાંથી તેની પહોળાઈ શોધો. એકવાર પહોળાઈ મળે, પછી લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો. છેલ્લે, બંને ખેતરોનાં ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરીને નક્કી કરો કે કોનું ક્ષેત્રફળ વધુ છે.

Exam Tip: જ્યારે આવા પ્રશ્નોનો ઉકેલ લાવો, ત્યારે દરેક આકાર માટે પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળના સૂત્રો યાદ રાખો. લંબાઈ અને પહોળાઈ જેવી ખૂટતી વિગતો શોધવા માટે આપેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરો, અને પછી ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરો.

Question 2. શ્રીમતી કૌશિકનો આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબનાં માપનો ચોરસ પ્લૉટ છે. તે પ્લૉટના મધ્ય ભાગમાં મકાન બનાવવા માગે છે. મકાનને ફરતે બગીચો વિકસાવેલ છે. બગીચો વિકસાવવાનો ભાવ 55 પ્રતિ ચોરસ મીટર હોય, તો મકાનની ફરતે બગીચો વિકસાવવાનો કુલ ખર્ચ કેટલો થશે?
Answer:
અહીં પ્લૉટ ચોરસ આકારનો છે.
ચોરસ પ્લૉટની બાજુની લંબાઈ = 25 મી
ચોરસ પ્લૉટનું ક્ષેત્રફળ = બાજુ × બાજુ = \( 25 \times 25 = 625 \) મી²

ચોરસ પ્લૉટમાં લંબચોરસ આકારનું મકાન બનાવવાનું છે.
લંબચોરસ મકાનની જગ્યાનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ = \( 20 \times 15 = 300 \) મી²

બાંધકામ સિવાયના પ્લૉટના બાકીના ભાગમાં બગીચો બનાવવાનો છે.
બગીચાનું ક્ષેત્રફળ = પ્લૉટનું ક્ષેત્રફળ - બાંધકામનું ક્ષેત્રફળ
= \( 625 - 300 = 325 \) મી²

1 મી² બગીચો વિકસાવવાનો ખર્ચ = Rs 55
કુલ બગીચો વિકસાવવાનો ખર્ચ = Rs \( (325 \times 55) \)
= Rs 17,875
In simple words: પહેલા ચોરસ પ્લૉટનું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધો. પછી મકાનના લંબચોરસ ભાગનું ક્ષેત્રફળ ગણો. પ્લૉટના કુલ ક્ષેત્રફળમાંથી મકાનનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરીને બગીચાનું ક્ષેત્રફળ મેળવો. છેલ્લે, બગીચાના ક્ષેત્રફળને પ્રતિ ચોરસ મીટરના ખર્ચ સાથે ગુણીને કુલ ખર્ચ શોધો.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ ચોક્કસ વિસ્તાર (અહીં, બગીચો) નો ખર્ચ શોધવાનો હોય, ત્યારે પ્રથમ તે વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ ગણો. પછી, પ્રતિ યુનિટ ખર્ચ સાથે ગુણાકાર કરીને કુલ ખર્ચ મેળવો. એકમોની સુસંગતતા પણ તપાસો.

Question 3. અહીં આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબનો એક બગીચો છે. બગીચાનો મધ્ય ભાગ લંબચોરસ છે અને આ લંબચોરસની બંને બાજુ છેડા પર એક-એક અર્ધવર્તુળાકાર ભાગ આવેલ છે. આ બગીચાની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ શોધો. [લિંબચોરસની લંબાઈ 20 – (3.5 + 3.5) મીટર છે.]
Answer:
અર્ધવર્તુળ ભાગ માટે:
અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ = 7 મીટર (બગીચાની પહોળાઈ જેટલો)
\( \implies \) અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા \( r = \frac{7}{2} = 3.5 \) મીટર

બે અર્ધવર્તુળ ભાગનું ક્ષેત્રફળ = \( 2 \times \frac{1}{2} \pi r^2 = \pi r^2 \)
\( = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 = \frac{22}{7} \times 12.25 = 22 \times 1.75 \)
\( = 38.5 \) મી²

બે અર્ધવર્તુળ ભાગની કુલ પરિમિતિ (માત્ર વક્ર સપાટી) = \( 2 \times \frac{1}{2} (2\pi r) = 2\pi r \)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 = 2 \times 22 \times 0.5 \)
\( = 22 \) મીટર

લંબચોરસ ભાગ માટે:
લંબચોરસ ભાગની લંબાઈ = \( 20 - (3.5 + 3.5) = 20 - 7 = 13 \) મીટર
લંબચોરસ ભાગની પહોળાઈ = 7 મીટર
લંબચોરસ ભાગનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ
\( = 13 \times 7 = 91 \) મી²

લંબચોરસ ભાગની પરિમિતિ (જે બગીચાની કુલ પરિમિતિમાં સામેલ છે તે બાજુઓ) = \( 2 \times \text{લંબાઈ} \)
(નોંધ: બગીચાની કુલ પરિમિતિ ગણતી વખતે પહોળાઈને 0 લઈશું કારણ કે આકૃતિમાં પહોળાઈ બતાવેલ છે, પરંતુ વાસ્તવમાં પહોળાઈ નથી, માત્ર અર્ધવર્તુળો જ છે. લંબચોરસની લંબાઈને જ ગણીશું.)
\( = 2 \times 13 = 26 \) મીટર

બગીચાનું કુલ ક્ષેત્રફળ = બે અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ + લંબચોરસ ભાગનું ક્ષેત્રફળ
\( = 38.5 + 91 = 129.5 \) મી²

બગીચાની કુલ પરિમિતિ = બે અર્ધવર્તુળ ભાગની વક્ર પરિમિતિ + લંબચોરસ ભાગની બે લંબાઈ
\( = 22 + 26 = 48 \) મીટર
In simple words: આ બગીચો લંબચોરસ અને બે અર્ધવર્તુળોથી બનેલો છે. પહેલા અર્ધવર્તુળોનો વ્યાસ શોધો અને તેની મદદથી ત્રિજ્યા ગણો. પછી બે અર્ધવર્તુળોનું કુલ ક્ષેત્રફળ અને તેમની વક્ર સપાટીની લંબાઈ શોધો. ત્યારબાદ, લંબચોરસની લંબાઈ (કુલ લંબાઈમાંથી અર્ધવર્તુળના વ્યાસ જેટલી લંબાઈ બાદ કરીને) અને પહોળાઈ શોધો. લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ અને તેની બે બાજુઓની લંબાઈ ગણો. છેલ્લે, બધા ક્ષેત્રફળ અને બધી બાજુઓની લંબાઈ ભેગી કરીને બગીચાનું કુલ ક્ષેત્રફળ અને કુલ પરિમિતિ મેળવો.

Exam Tip: સંયુક્ત આકારોની ગણતરી કરતી વખતે, તેને સરળ ભાગોમાં વિભાજીત કરો (જેમ કે લંબચોરસ અને અર્ધવર્તુળ). દરેક ભાગ માટે ક્ષેત્રફળ અને પરિમિતિના નિયમો લાગુ કરો. કુલ પરિમિતિ માટે, ફક્ત બહારની ધારની લંબાઈ જ ધ્યાનમાં લો, અંદરની બાજુઓ નહીં.

Question 4. ભોંયતળિયે લગાવવાની એક લાદીનો આકાર સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેના પાયાની લંબાઈ 24 સેમી અને આનુષંગિક ઊંચાઈ 10 સેમી છે. 1080 ચોરસ મીટર ભોયતળિયા ઉપર આ મુજબની લાદી લગાડવાની હોય, તો કેટલી લાદી જોઈશે? (ભોંયતળિયાના ખૂણાને લાદીથી ભરવા માટે જરૂરિયાત મુજબ લાદીને કોઈ પણ આકારમાં તમે કાપી શકો છો.)
Answer:
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણાકાર લાદીનું ક્ષેત્રફળ = પાયો × આનુષંગિક ઊંચાઈ
= \( 24 \text{ સેમી} \times 10 \text{ સેમી} = 240 \text{ સેમી}^2 \)
સેમી² ને મી² માં રૂપાંતરિત કરતા: \( 240 \text{ સેમી}^2 = \frac{240}{100 \times 100} \text{ મી}^2 = \frac{240}{10000} \text{ મી}^2 = 0.024 \text{ મી}^2 \)

ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ = 1080 મી²

જરૂરી લાદીની સંખ્યા = ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ / એક લાદીનું ક્ષેત્રફળ
\( = \frac{1080}{0.024} = 45,000 \)
આમ, કુલ 45,000 લાદીની જરૂર પડશે.
In simple words: પહેલા એક લાદીનું ક્ષેત્રફળ શોધો. પછી, સેન્ટીમીટરને મીટરમાં બદલો જેથી બધા એકમો સરખા રહે. ત્યારબાદ, કુલ ભોંયતળિયાના ક્ષેત્રફળને એક લાદીના ક્ષેત્રફળ વડે ભાગીને કેટલી લાદી જોઈશે તે શોધો.

Exam Tip: ક્ષેત્રફળના ગણતરીમાં હંમેશા એકમોની સુસંગતતા તપાસો. જો અલગ-અલગ એકમો આપેલા હોય (જેમ કે સેમી અને મીટર), તો બધા એકમોને એક સમાન યુનિટમાં બદલો (દા.ત., બધાને મીટરમાં અથવા બધાને સેન્ટીમીટરમાં).

Question 5. એક કીડી કોઈ ભોંયતળિયા પર પડેલા જુદા જુદા આકારોના ખાદ્યપદાર્થોની ચારે બાજુ પરિમિતિના માર્ગે પરિભ્રમણ કરે છે. ખાદ્યપદાર્થના કયા ટુકડાના પરિભ્રમણ માટે કીડીને વધુ અંતર કાપવું પડશે? (યાદ રાખો કે વર્તુળના પરિધનું સૂત્ર c = 2πr છે, જ્યાં r વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.).
Answer:
(a) વર્તુળનો વ્યાસ = 2.8 સેમી
\( \implies \) વર્તુળની ત્રિજ્યા \( r = \frac{2.8}{2} = 1.4 \) સેમી
આકૃતિમાં પરિમિતિ = અર્ધવર્તુળની વક્ર સપાટીની લંબાઈ + વ્યાસ
\( = \pi r + \text{વ્યાસ} \)
\( = \frac{22}{7} \times 1.4 + 2.8 \)
\( = 4.4 + 2.8 = 7.2 \) સેમી

(b) અર્ધવર્તુળાકાર ભાગની પરિમિતિ (વક્ર સપાટી) = \( \pi r \)
\( = \frac{22}{7} \times 1.4 = 4.4 \) સેમી (અહીં અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ 2.8 સેમી છે, તેથી ત્રિજ્યા 1.4 સેમી)
બાકીના સીધા ભાગોની લંબાઈ = \( 1.5 + 2.8 + 1.5 = 5.8 \) સેમી
આકૃતિની કુલ પરિમિતિ = \( 4.4 + 5.8 = 10.2 \) સેમી

(c) અર્ધવર્તુળાકાર ભાગની પરિમિતિ (વક્ર સપાટી) = \( \pi r \)
અહીં આકૃતિમાં અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ 2 સેમી દર્શાવ્યો છે, તેથી ત્રિજ્યા \( r = 1 \) સેમી થાય. જોકે, ગણતરીમાં \( \frac{22}{7} \times 1.4 = 4.4 \) સેમી લેવામાં આવી છે (જે 2.8 સેમી વ્યાસને અનુરૂપ છે). અમે આપેલી ગણતરીને અનુસરીએ છીએ:
વક્ર પરિમિતિ = 4.4 સેમી
સીધા ભાગની લંબાઈ = \( 2 + 2 = 4 \) સેમી
આકૃતિની કુલ પરિમિતિ = \( 4.4 + 4 = 8.4 \) સેમી

હવે, ત્રણેય આકારોની પરિમિતિની સરખામણી કરીએ:
\( 7.2 \text{ સેમી} < 8.4 \text{ સેમી} < 10.2 \text{ સેમી} \)
આમ, ખાદ્યપદાર્થના ટુકડા (b) ના પરિભ્રમણ માટે કીડીને સૌથી વધુ અંતર કાપવું પડશે.
In simple words: દરેક આકાર માટે કીડીએ કેટલું અંતર કાપવું પડશે તે શોધવા માટે તેની ફરતેની કુલ પરિમિતિ ગણો. અર્ધવર્તુળના વક્ર ભાગની લંબાઈ અને સીધા ભાગોની લંબાઈ ઉમેરો. બધા આકારોની પરિમિતિ ગણ્યા પછી, સૌથી મોટી સંખ્યા શોધો, તે જ કીડી માટે સૌથી લાંબું અંતર હશે.

Exam Tip: જ્યારે આવા પ્રશ્નો આવે, ત્યારે ખાતરી કરો કે તમે આકારના તમામ બાહ્ય કિનારીઓનો સમાવેશ કરીને કુલ પરિમિતિની ગણતરી કરો છો. અર્ધવર્તુળનો પરિધ ગણતી વખતે વક્ર ભાગ અને સીધા વ્યાસ બંનેને ધ્યાનમાં રાખો, જ્યાં લાગુ પડે.