GSEB Class 7 Maths Solutions Chapter 13 ઘાત અને ઘાતાંક Exercise 13.3

Question 1. નીચેની સંખ્યાઓને વિસ્તૃત સ્વરૂપે લખો:
(i) 2,79,404
Answer: \( 2,79,404 = 2 \times 1,00,000 + 7 \times 10,000 + 9 \times 1000 + 4 \times 100 + 0 \times 10 + 4 \times 1 \)
\( = 2 \times 10^5 + 7 \times 10^4 + 9 \times 10^3 + 4 \times 10^2 + 0 \times 10^1 + 4 \times 10^0 \)
In simple words: સંખ્યાને વિસ્તૃત સ્વરૂપમાં લખવા માટે, દરેક અંકને તેના સ્થાન કિંમત દ્વારા ગુણીને તેમનો સરવાળો કરીએ છીએ. પછી ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરીને તેને ટૂંકાવવામાં આવે છે.

Exam Tip: વિસ્તૃત સ્વરૂપ લખતી વખતે દરેક અંકની સ્થાન કિંમતને યોગ્ય રીતે ઓળખો અને દસના ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરો.

Question 1. નીચેની સંખ્યાઓને વિસ્તૃત સ્વરૂપે લખો:
(ii) 30,06,194
Answer: \( 30,06,194 = 3 \times 10,00,000 + 0 \times 1,00,000 + 0 \times 10,000 + 6 \times 1000 + 1 \times 100 + 9 \times 10 + 4 \times 1 \)
\( = 3 \times 10^6 + 0 \times 10^5 + 0 \times 10^4 + 6 \times 10^3 + 1 \times 10^2 + 9 \times 10^1 + 4 \times 10^0 \)
In simple words: આ સંખ્યામાં દરેક અંકને તેની સ્થાનિક કિંમત સાથે ગુણીને સરવાળો કરાયો છે, જેથી તેનું વિસ્તૃત સ્વરૂપ મળે. શૂન્યની સ્થાન કિંમતો પણ દર્શાવવામાં આવી છે.

Exam Tip: શૂન્ય હોય ત્યાં પણ દસના યોગ્ય ઘાતાંક સાથે શૂન્યનો ગુણાકાર દર્શાવવાનું યાદ રાખો જેથી સ્થાન કિંમત જળવાઈ રહે.

Question 1. નીચેની સંખ્યાઓને વિસ્તૃત સ્વરૂપે લખો:
(iii) 28,06,196
Answer: \( 28,06,196 = 2 \times 10,00,000 + 8 \times 1,00,000 + 0 \times 10,000 + 6 \times 1000 + 1 \times 100 + 9 \times 10 + 6 \times 1 \)
\( = 2 \times 10^6 + 8 \times 10^5 + 0 \times 10^4 + 6 \times 10^3 + 1 \times 10^2 + 9 \times 10^1 + 6 \times 10^0 \)
In simple words: સંખ્યાના દરેક અંકને તેની જગ્યાની કિંમત સાથે ગુણીને દર્શાવો. પછી બધા ગુણાકારોનો સરવાળો કરો.

Exam Tip: લાખ અને દસ હજારના સ્થાને શૂન્યને દર્શાવવામાં ભૂલ ન થાય તેની કાળજી રાખો.

Question 1. નીચેની સંખ્યાઓને વિસ્તૃત સ્વરૂપે લખો:
(iv) 1,20,719
Answer: \( 1,20,719 = 1 \times 1,00,000 + 2 \times 10,000 + 0 \times 1000 + 7 \times 100 + 1 \times 10 + 9 \times 1 \)
\( = 1 \times 10^5 + 2 \times 10^4 + 0 \times 10^3 + 7 \times 10^2 + 1 \times 10^1 + 9 \times 10^0 \)
In simple words: આપેલી સંખ્યાને વિસ્તૃત રૂપમાં લખવા માટે, આપણે દરેક અંકને તેની સ્થાન કિંમત વડે ગુણીએ છીએ અને પછી તેમને જોડીએ છીએ.

Exam Tip: ત્રણ અંકો પછી અલ્પવિરામ મૂકવાની આંતરરાષ્ટ્રીય પદ્ધતિને અનુસરો, જે સંખ્યાઓને સરળતાથી વાંચવામાં મદદ કરે છે.

Question 1. નીચેની સંખ્યાઓને વિસ્તૃત સ્વરૂપે લખો:
(v) 20,068
Answer: \( 20,068 = 2 \times 10,000 + 0 \times 1000 + 0 \times 100 + 6 \times 10 + 8 \times 1 \)
\( = 2 \times 10^4 + 0 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 6 \times 10^1 + 8 \times 10^0 \)
In simple words: આ સંખ્યામાં દરેક અંકને તેની સ્થાન કિંમત દ્વારા ગુણીને તેનો સરવાળો દર્શાવવામાં આવ્યો છે. આ રીતે તેનું વિસ્તૃત સ્વરૂપ મળે છે.

Exam Tip: શૂન્યના સ્થાનને અવગણશો નહીં; તેને દસના યોગ્ય ઘાતાંક સાથે ગુણીને દર્શાવવું જરૂરી છે.

Question 2. આપેલા દરેક વિસ્તૃત સ્વરૂપને સંખ્યામાં દર્શાવો:
(a) \( 8 \times 10^4 + 6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 5 \times 10^0 \)
Answer: \( = 8 \times 10,000 + 6 \times 1000 + 0 \times 100 + 4 \times 10 + 5 \times 1 \)
\( = 80,000 + 6000 + 0 + 40 + 5 = 86,045 \)
In simple words: આપેલી વિસ્તૃત સંખ્યાના દરેક ભાગને ગણતરી કરીને તેને એક સામાન્ય આંકડામાં ફેરવો.

Exam Tip: ઘાતાંકનો ક્રમ (ઉતરતા ક્રમમાં) તપાસો અને ખાલી રહેલા સ્થાનો માટે શૂન્ય ઉમેરવાની ખાતરી કરો.

Question 2. આપેલા દરેક વિસ્તૃત સ્વરૂપને સંખ્યામાં દર્શાવો:
(b) \( 4 \times 10^5 + 5 \times 10^3 + 3 \times 10^2 + 2 \times 10^0 \)
Answer: \( = 4 \times 1,00,000 + 5 \times 1000 + 3 \times 100 + 2 \times 1 \)
\( = 4,00,000 + 5000 + 300 + 2 = 4,05,302 \)
In simple words: દરેક પદની કિંમત શોધીને, તેમને એકસાથે જોડીને મૂળ સંખ્યા મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: ધ્યાન આપો કે \( 10^1 \) (દસ હજારનું સ્થાન) અને \( 10^4 \) (લાખનું સ્થાન) જેવા ખૂટતા ઘાતાંક માટે શૂન્ય ઉમેરવામાં આવે છે.

Question 2. આપેલા દરેક વિસ્તૃત સ્વરૂપને સંખ્યામાં દર્શાવો:
(c) \( 3 \times 10^4 + 7 \times 10^2 + 5 \times 10^0 \)
Answer: \( = 3 \times 10,000 + 7 \times 100 + 5 \times 1 \)
\( = 30,000 + 700 + 5 = 30,705 \)
In simple words: વિસ્તૃત સ્વરૂપમાંથી સંખ્યા મેળવવા માટે, દરેક ભાગની ગણતરી કરીને બધા પરિણામોનો સરવાળો કરવામાં આવે છે.

Exam Tip: દસના ઘાતાંકને કાળજીપૂર્વક સમજો અને દરેક પદની કિંમત યોગ્ય રીતે નક્કી કરો.

Question 2. આપેલા દરેક વિસ્તૃત સ્વરૂપને સંખ્યામાં દર્શાવો:
(d) \( 9 \times 10^5 + 2 \times 10^2 + 3 \times 10^1 \)
Answer: \( = 9 \times 1,00,000 + 2 \times 100 + 3 \times 10 \)
\( = 9,00,000 + 200 + 30 = 9,00,230 \)
In simple words: વિસ્તૃત સ્વરૂપમાંથી મૂળ સંખ્યા શોધવા માટે, દરેક ટુકડાની ગણતરી કરી પછી તે બધાને એકસાથે જોડો.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ ઘાતાંક ખૂટતો હોય (જેમ કે \( 10^4 \) અને \( 10^0 \)), ત્યારે તે સ્થાન પર શૂન્ય આવે છે તે યાદ રાખો.

Question 3. નીચેની સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો:
(i) 5,00,00,000
Answer: \( 5,00,00,000 = 5 \times 1,00,00,000 = 5 \times 10^7 \)
આ રીતે, 5,00,00,000 ની પ્રમાણિત રીત \( 5 \times 10^7 \) છે.
In simple words: સંખ્યાને પ્રમાણિત રૂપમાં બદલવા માટે, તેને એકથી દસ વચ્ચેના અંક અને દસના ઘાતાંકના ગુણાકાર તરીકે લખો.

Exam Tip: પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં, દશાંશ બિંદુ હંમેશાં પ્રથમ અંક પછી આવે છે અને પછી દસનો યોગ્ય ઘાતાંક મુકાય છે.

Question 3. નીચેની સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો:
(ii) 70,00,000
Answer: \( 70,00,000 = 7 \times 10,00,000 = 7 \times 10^6 \)
તેથી, 70,00,000 ની પ્રમાણિત રીત \( 7 \times 10^6 \) છે.
In simple words: મોટી સંખ્યાઓને ટૂંકા સ્વરૂપમાં લખવા માટે, દશાંશ બિંદુને ખસેડીને તેને દસના ઘાતાંક સાથે ગુણાકાર તરીકે દર્શાવો.

Exam Tip: ઘાતાંક શૂન્યની સંખ્યા દર્શાવે છે કે દશાંશ બિંદુને કેટલી વાર ખસેડવું પડ્યું.

Question 3. નીચેની સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો:
(iii) 3,18,65,00,000
Answer: \( 3,18,65,00,000 = 3.186500000 \times 10^9 = 3.1865 \times 10^9 \)
આથી, 3,18,65,00,000 ની પ્રમાણિત રીત \( 3.1865 \times 10^9 \) છે.
In simple words: કોઈપણ મોટી સંખ્યાને સરળતાથી લખવા માટે, પ્રથમ અંક પછી દશાંશ બિંદુ મૂકીને તેને દસના યોગ્ય ઘાતાંક વડે ગુણો.

Exam Tip: પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દશાંશ બિંદુ પછીના શૂન્ય સામાન્ય રીતે લખવામાં આવતા નથી, સિવાય કે તે સાર્થક અંકોનો ભાગ હોય.

Question 3. નીચેની સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો:
(iv) 3,90,878
Answer: \( 3,90,878 = 3.90878 \times 10^5 \)
તેમજ, 390878 ની પ્રમાણિત રીત \( 3.90878 \times 10^5 \) છે.
In simple words: સંખ્યાને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં કરવા માટે, દશાંશ બિંદુને પ્રથમ અંક પછી ખસેડો અને દસનો યોગ્ય ઘાતાંક નક્કી કરો.

Exam Tip: જો દશાંશ બિંદુને ડાબી બાજુ ખસેડવામાં આવે તો દસનો ઘાતાંક હકારાત્મક રહે છે.

Question 3. નીચેની સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો:
(v) 39087.8
Answer: \( 39087.8 = 3.90878 \times 10^4 \)
અને, 39087.8 ની પ્રમાણિત રીત \( 3.90878 \times 10^4 \) છે.
In simple words: સંખ્યામાં દશાંશ બિંદુને પ્રથમ શૂન્ય સિવાયના અંક પછી ખસેડો અને દસનો ઘાતાંક લખો.

Exam Tip: દશાંશ બિંદુને કેટલા સ્થાન ડાબી બાજુ ખસેડવામાં આવ્યું તેટલો દસનો ઘાતાંક બને છે.

Question 3. નીચેની સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખો:
(vi) 3908.78
Answer: \( 3908.78 = 3.90878 \times 10^3 \)
આખરે, 3908.78 ની પ્રમાણિત રીત \( 3.90878 \times 10^3 \) છે.
In simple words: દશાંશ બિંદુને પહેલા અંક પછી ખસેડીને, કેટલા સ્થાન ખસેડ્યા તે ગણીને દસનો ઘાતાંક તરીકે લખો.

Exam Tip: દશાંશવાળી સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખવા માટે, દશાંશ બિંદુને માત્ર એક અંક બાકી રહે તે રીતે ખસેડો.

Question 4. નીચેના વિધાનોમાં દેખાતી સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવોઃ
(a) પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેનું અંતર 384,000,000 મીટર છે.
Answer: \( 384,000,000 = 3.84000000 \times 10^8 = 3.84 \times 10^8 \)
આ રીતે, પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેનું અંતર \( 3.84 \times 10^8 \) મીટર થાય છે.
In simple words: પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેનું લાંબું અંતર દસના ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરીને ટૂંકા સ્વરૂપમાં દર્શાવેલું છે.

Exam Tip: મોટી સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરતી વખતે, દશાંશ બિંદુને પ્રથમ બિન-શૂન્ય અંક પછી મૂકો અને દસનો યોગ્ય ઘાતાંક લખો.

Question 4. નીચેના વિધાનોમાં દેખાતી સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવોઃ
(b) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ 300,000,000 મી સે છે.
Answer: \( 300,000,000 = 3 \times 10^8 \)
તેથી, શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ \( 3 \times 10^8 \) મીટર પ્રતિ સેકન્ડ છે.
In simple words: પ્રકાશનો ખૂબ ઝડપી વેગ પ્રમાણિત રૂપમાં દર્શાવવામાં આવ્યો છે, જે તેને વાંચવામાં સરળ બનાવે છે.

Exam Tip: જો સંખ્યામાં માત્ર અગ્રણી અંક અને પછી શૂન્ય હોય, તો તે અંકને દસના યોગ્ય ઘાતાંક સાથે ગુણાકાર તરીકે લખો.

Question 4. નીચેના વિધાનોમાં દેખાતી સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવોઃ
(c) પૃથ્વીનો વ્યાસ 1,27,56,000 મીટર છે.
Answer: \( 1,27,56,000 = 1.2756000 \times 10^7 = 1.2756 \times 10^7 \)
આથી, પૃથ્વીનો વ્યાસ \( 1.2756 \times 10^7 \) મીટર ગણાય છે.
In simple words: પૃથ્વીનો મોટો વ્યાસ પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં રજૂ કરાયો છે, જેનાથી તેને સમજવું સરળ બને છે.

Exam Tip: બિન-શૂન્ય અંકોને દશાંશ બિંદુ પછી રાખો અને શૂન્યને છોડી દો, સિવાય કે તેઓ અંકો વચ્ચે હોય.

Question 4. નીચેના વિધાનોમાં દેખાતી સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવોઃ
(d) સૂર્યનો વ્યાસ 1,400,000,000 મીટર છે.
Answer: \( 1,400,000,000 = 1.400000000 \times 10^9 = 1.4 \times 10^9 \)
એટલે કે, સૂર્યનો વ્યાસ \( 1.4 \times 10^9 \) મીટર છે.
In simple words: સૂર્યનો વિશાળ વ્યાસ પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવેલ છે, જે તેની ગણતરીને સરળ બનાવે છે.

Exam Tip: પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં, પ્રથમ અંક હંમેશા 1 અને 9 વચ્ચેનો હોવો જોઈએ.

Question 4. નીચેના વિધાનોમાં દેખાતી સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવોઃ
(e) આકાશગંગામાં સરેરાશ 100,000,000,000 તારાઓ છે.
Answer: \( 100,000,000,000 = 1 \times 10^{11} \)
આમ, આકાશગંગામાં સરેરાશ તારાઓની સંખ્યા \( 1.0 \times 10^{11} \) છે.
In simple words: આકાશગંગામાં તારાઓની મોટી સંખ્યા પ્રમાણિત રૂપમાં સરળ રીતે લખી છે.

Exam Tip: "1" પછીના બધા શૂન્ય દસના ઘાતાંકમાં સમાયેલા છે, જે ગણતરીમાં સહેલાઈ આપે છે.

Question 4. નીચેના વિધાનોમાં દેખાતી સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવોઃ
(f) વિશ્વ 12,000,000,000 વર્ષ પહેલાં અસ્તિત્વમાં આવ્યું છે.
Answer: \( 12,000,000,000 = 1.2 \times 10^{10} \)
તેથી, વિશ્વ \( 1.2 \times 10^{10} \) વર્ષ પહેલાં બન્યું.
In simple words: વિશ્વની પ્રાચીન ઉંમર દસના ઘાતાંકનો ઉપયોગ કરીને નાના સ્વરૂપમાં દર્શાવી છે.

Exam Tip: દશાંશ બિંદુને પ્રથમ બે અંકો વચ્ચે મૂકો અને પછી દસનો યોગ્ય ઘાતાંક આપો.

Question 4. નીચેના વિધાનોમાં દેખાતી સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવોઃ
(g) આકાશગંગા ગેલેક્સીના કેન્દ્રથી સૂર્યનું અંતર 300,000,000,000,000,000,000 મીટર છે.
Answer: \( 300,000,000,000,000,000,000 = 3 \times 10^{20} \)
આથી, આકાશગંગા ગેલેક્સીના કેન્દ્રથી સૂર્યનું અંતર \( 3 \times 10^{20} \) મીટર છે.
In simple words: સૂર્યથી આકાશગંગાના કેન્દ્ર સુધીનું ખૂબ મોટું અંતર પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખેલું છે.

Exam Tip: બહુ મોટી સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતી વખતે, શૂન્યની ગણતરી કાળજીપૂર્વક કરો.

Question 4. નીચેના વિધાનોમાં દેખાતી સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવોઃ
(h) 1.8 ગ્રામ વજન ધરાવતાં પાણીનાં ટીપાંઓમાં 60,230,000,000,000,000,000,000 પરમાણુઓ સમાયેલા હોય છે.
Answer: \( 60,230,000,000,000,000,000,000 = 6.0230000000000000000000 \times 10^{22} = 6.023 \times 10^{22} \)
તેથી, 1.8 ગ્રામ પાણીનાં ટીપાંમાં \( 6.023 \times 10^{22} \) પરમાણુઓ હાજર છે.
In simple words: પાણીના ટીપાંમાં રહેલા પરમાણુઓની મોટી સંખ્યાને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવી છે.

Exam Tip: દશાંશ બિંદુને પ્રથમ બિન-શૂન્ય અંક પછી ખસેડવામાં આવે ત્યારે, સંખ્યાના અંતમાં આવતા શૂન્ય છોડી શકાય છે.

Question 4. નીચેના વિધાનોમાં દેખાતી સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવોઃ
(i) પૃથ્વી પર 1,353,000,000 ધન કિલોમીટર દરિયાનું પાણી છે.
Answer: \( 1,353,000,000 = 1.353000000 \times 10^9 = 1.353 \times 10^9 \)
આ રીતે, પૃથ્વી પર \( 1.353 \times 10^9 \) ઘન કિલોમીટર સમુદ્રનું પાણી છે.
In simple words: પૃથ્વી પરના સમુદ્રના પાણીનો મોટો જથ્થો પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખાયેલો છે.

Exam Tip: વાસ્તવિક જીવનની ગણતરીઓમાં પ્રમાણિત સ્વરૂપ ખૂબ ઉપયોગી છે કારણ કે તે મોટી સંખ્યાઓને સરળતાથી રજૂ કરે છે.

Question 4. નીચેના વિધાનોમાં દેખાતી સંખ્યાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવોઃ
(j) માર્ચ 2001માં ભારતની વસ્તી આશરે 1,027,000,000 હતી.
Answer: \( 1,027,000,000 = 1.027000000 \times 10^9 = 1.027 \times 10^9 \)
તેથી, ભારતની વસ્તી \( 1.027 \times 10^9 \) હતી (માર્ચ 2001માં).
In simple words: માર્ચ 2001માં ભારતની વસ્તીને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવી છે, જે આંકડાને વાંચવામાં સરળતા આપે છે.

Exam Tip: પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતી વખતે, આંકડાકીય માહિતી અને સંદર્ભ (જેમ કે તારીખ) બંનેને જાળવી રાખો.