GSEB Class 7 Maths Solutions Chapter 13 ઘાત અને ઘાતાંક InText Questions

પ્રયત્ન કરોઃ (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 250)

Question 1. આ પ્રકારનાં વધુ પાંચ ઉદાહરણ શોધો જેમાં સંખ્યાને ઘાતાંકીય સ્વરૂપે રજૂ કરી શકાય. દરેક કિસ્સામાં આધાર અને ઘાતાંક પણ ઓળખી કાઢોઃ
Answer: અહીં આપેલા ઉદાહરણોમાં, સંખ્યાને ઘાત સ્વરૂપે રજૂ કરવામાં આવેલી છે. દરેક કિસ્સામાં આધાર અને ઘાતાંક પણ દર્શાવેલા છે.

Exam Tip: Remember that the base is the number being multiplied, and the exponent indicates how many times the base is multiplied by itself. Clearly identifying both is crucial for full marks.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 251)

Question 1. અભિવ્યક્ત કરોઃ
Answer:
(i) 729ને 3ની ધાતમાં
આપેલ સંખ્યા 729 છે. તેને 3ની ઘાતમાં દર્શાવવા માટે, આપણે 729ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવા પડશે. અવયવ વૃક્ષ દ્વારા: 729 ને 3 વડે ભાગતા, 243 મળે છે. 243 ને 3 વડે ભાગતા, 81 મળે છે. 81 ને 3 વડે ભાગતા, 27 મળે છે. 27 ને 3 વડે ભાગતા, 9 મળે છે. 9 ને 3 વડે ભાગતા, 3 મળે છે. 3 ને 3 વડે ભાગતા, 1 મળે છે. આથી, \(729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\)
\( \implies 729 = 3^6 \)
(ii) 128ને 2ની ધાતમાં
આપેલ સંખ્યા 128 છે. તેને 2ની ઘાતમાં દર્શાવવા માટે, આપણે 128ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવા પડશે. અવયવ વૃક્ષ દ્વારા: 128 ને 2 વડે ભાગતા, 64 મળે છે. 64 ને 2 વડે ભાગતા, 32 મળે છે. 32 ને 2 વડે ભાગતા, 16 મળે છે. 16 ને 2 વડે ભાગતા, 8 મળે છે. 8 ને 2 વડે ભાગતા, 4 મળે છે. 4 ને 2 વડે ભાગતા, 2 મળે છે. 2 ને 2 વડે ભાગતા, 1 મળે છે. આથી, \(128 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\)
\( \implies 128 = 2^7 \)
(iii) 343ને 7ની ધાતમાં
આપેલ સંખ્યા 343 છે. તેને 7ની ઘાતમાં દર્શાવવા માટે, આપણે 343ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધવા પડશે. અવયવ વૃક્ષ દ્વારા: 343 ને 7 વડે ભાગતા, 49 મળે છે. 49 ને 7 વડે ભાગતા, 7 મળે છે. 7 ને 7 વડે ભાગતા, 1 મળે છે. આથી, \(343 = 7 \times 7 \times 7\)
\( \implies 343 = 7^3 \)In simple words: To write a number as a power of another number, you need to break it down into its prime factors. You keep dividing the number by the given base until you reach 1. The number of times you divide gives you the exponent.

Exam Tip: For expressing a number in exponential form, always perform prime factorization accurately. The number of times the base appears as a factor will be your exponent.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 254)

Question 1. સાદું રૂપ આપો અને ધાત સ્વરૂપે લખોઃ
Answer:
(i) \(2^5 \times 2^3\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = 2^{5+3} \)
\( = 2^8 \)
(ii) \(p^3 \times p^2\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = p^{3+2} \)
\( = p^5 \)
(iii) \(4^3 \times 4^2\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = 4^{3+2} \)
\( = 4^5 \)
(iv) \(a^3 \times a^2 \times a^7\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = a^{3+2+7} \)
\( = a^{12} \)
(v) \(5^3 \times 5^7 \times 5^{12}\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = 5^{3+7+12} \)
\( = 5^{22} \)
(vi) \( (-4)^{100} \times (-4)^{20} \)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = (-4)^{100+20} \)
\( = (-4)^{120} \)In simple words: When you multiply numbers that have the same base but different powers, you can just add their powers together. The base stays the same, and the result is that base raised to the sum of the powers.

Exam Tip: Remember the product rule for exponents: when multiplying powers with the same base, add the exponents. Ensure the base remains unchanged.

પ્રયત્ન કરો : (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 255)

Question 1. સાદું રૂપ આપી તેને ધાત સ્વરૂપે લખો (દા. ત., \(11^6 \div 11^2 = 11^4\))
Answer:
(i) \(2^9 \div 2^3\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = 2^{9-3} \)
\( = 2^6 \)
(ii) \(10^8 \div 10^4\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = 10^{8-4} \)
\( = 10^4 \)
(iii) \(9^{11} \div 9^7\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = 9^{11-7} \)
\( = 9^4 \)
(iv) \(20^{15} \div 20^{13}\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = 20^{15-13} \)
\( = 20^2 \)
(v) \(7^{13} \div 7^{10}\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = 7^{13-10} \)
\( = 7^3 \)In simple words: When you divide numbers that have the same base but different powers, you subtract the power of the bottom number from the power of the top number. The base stays the same.

Exam Tip: The quotient rule for exponents is simple: when dividing powers with the same base, subtract the exponent of the denominator from the exponent of the numerator. Pay attention to negative exponents if they arise.

આ પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 255)

Question 1. સાદું રૂપ આપી ઘાતાંક સ્વરૂપે જવાબ લખોઃ
Answer:
(i) \( (6^2)^4 \)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = 6^{2 \times 4} \)
\( = 6^8 \)
(ii) \( (2^2)^{100} \)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = 2^{2 \times 100} \)
\( = 2^{200} \)
(iii) \( (7^{50})^2 \)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = 7^{50 \times 2} \)
\( = 7^{100} \)
(iv) \( (5^3)^7 \)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = 5^{3 \times 7} \)
\( = 5^{21} \)In simple words: When you have a power raised to another power, you can find the final power by multiplying the two exponents together. The base stays the same.

Exam Tip: The power rule for exponents states that when raising a power to another power, multiply the exponents. This simplifies the expression to a single base with a single exponent.

આમ કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 256)

Question. \(a^m \times b^m = (ab)^m\) નો ઉપયોગ કરીને તે સ્વરૂપમાં દર્શાવોઃ
Answer:
(i) \(4^3 \times 2^3\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \times b^m = (ab)^m\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = (4 \times 2)^3 \)
\( = 8^3 \)
(ii) \(2^5 \times b^5\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \times b^m = (ab)^m\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = (2 \times b)^5 \)
\( = (2b)^5 \)
(iii) \(a^2 \times t^2\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \times b^m = (ab)^m\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = (a \times t)^2 \)
\( = (at)^2 \)
(iv) \(5^6 \times (-2)^6\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \times b^m = (ab)^m\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = [(5) \times (-2)]^6 \)
\( = (-10)^6 \)
(v) \( (-2)^4 \times (-3)^4 \)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \times b^m = (ab)^m\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = [(-2) \times (-3)]^4 \)
\( = 6^4 \)In simple words: When two different numbers are raised to the same power and then multiplied, you can multiply the numbers first and then raise the result to that common power. It's a way to combine the bases before applying the exponent.

Exam Tip: For products of powers with the same exponent, multiply the bases together first and then apply the common exponent. This simplifies the expression efficiently.

પ્રયત્ન કરો: (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 257)

Question 1. \(a^m \div b^m = (\frac {a}{b})^m\) નો ઉપયોગ કરીને તે બીજી રીતે લખો:
Answer:
(i) \(4^5 \div 3^5\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \div b^m = (\frac {a}{b})^m\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = (\frac {4}{3})^5 \)
(ii) \(2^5 \div b^5\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \div b^m = (\frac {a}{b})^m\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = (\frac {2}{b})^5 \)
(iii) \( (-2)^3 \div b^3 \)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \div b^m = (\frac {a}{b})^m\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = (\frac {-2}{b})^3 \)
(iv) \(p^4 \div q^4\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \div b^m = (\frac {a}{b})^m\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = (\frac {p}{q})^4 \)
(v) \(5^6 \div (-2)^6\)
અહીં, આપણે ઘાતાંકના નિયમ \(a^m \div b^m = (\frac {a}{b})^m\) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( = (\frac {5}{-2})^6 \)
\( = (-\frac {5}{2})^6 \)In simple words: When two numbers with the same power are divided, you can divide the numbers first and then raise the entire fraction to that common power. This rule simplifies division of powers.

Exam Tip: For division of powers with the same exponent, divide the bases first and then apply the common exponent to the resulting fraction. Remember to handle negative signs correctly.

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબર . 261)

Question 1. 10ની ઘાતમાં વિસ્તૃત રીતે દર્શાવી ઘાત સ્વરૂપે લખો?
Answer:
(i) 172
આપેલ સંખ્યા 172 છે.
\( = (1 \times 100) + (7 \times 10) + (2 \times 1) \)
\( = 1 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0 \) (યાદ રાખો: \(10^0 = 1\))
(ii) 5643
આપેલ સંખ્યા 5643 છે.
\( = 5 \times 1000 + 6 \times 100 + 4 \times 10 + 3 \times 1 \)
\( = 5 \times 10^3 + 6 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 3 \times 10^0 \)
(iii) 56,439
આપેલ સંખ્યા 56,439 છે.
\( = 5 \times 10,000 + 6 \times 1000 + 4 \times 100 + 3 \times 10 + 9 \times 1 \)
\( = 5 \times 10^4 + 6 \times 10^3 + 4 \times 10^2 + 3 \times 10^1 + 9 \times 10^0 \)
(iv) 1,76,428
આપેલ સંખ્યા 1,76,428 છે.
\( = 1 \times 1,00,000 + 7 \times 10,000 + 6 \times 1000 + 4 \times 100 + 2 \times 10 + 8 \times 1 \)
\( = 1 \times 10^5 + 7 \times 10^4 + 6 \times 10^3 + 4 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 8 \times 10^0 \)In simple words: To write a number in expanded form using powers of 10, you break it down by place value. Each digit is multiplied by a power of 10, which depends on its position. The rightmost digit is multiplied by \(10^0\), the next by \(10^1\), and so on.

Exam Tip: When writing numbers in expanded form with powers of 10, correctly identify each digit's place value and its corresponding power of 10. Remember that any non-zero number raised to the power of 0 is 1.