GSEB Class 6 Maths Solutions Chapter 5 પાયાના આકારોની સમજૂતી Exercise 5.1

Question 1. રેખાખંડોની સરખામણી કરવામં માત્ર નિરીક્ષણ કયો ગેરલાભ થાય છે?
Answer: ફક્ત જોઈને બે રેખાખંડોની લંબાઈનું અનુમાન લગાવવું ઘણી વખત ભૂલ ભરેલું પણ બની શકે છે. બાજુમાં દર્શાવેલી આકૃતિમાં \( \overline{AB} \) અને \( \overline{CD} \) રેખાખંડોની લંબાઈ સમાન દેખાય છે, પણ વાસ્તવમાં તે સમાન નથી. \( CD = 2 \) સેમી થાય છે અને \( AB = 2.5 \) સેમી થાય છે.
In simple words: ક્યારેક, ફક્ત આંખોથી જોઈને રેખાખંડોની લંબાઈ સરખી લાગી શકે છે, પરંતુ જ્યારે તેમને બરાબર માપવામાં આવે છે, ત્યારે તેમની લંબાઈ અલગ નીકળી શકે છે.

Exam Tip: જ્યારે તમને બે વસ્તુઓની સરખામણી કરવાનું કહેવામાં આવે, ત્યારે ફક્ત આંખો પર આધાર રાખવાને બદલે હંમેશા ચોક્કસ માપવાનો ઉપયોગ કરો.

Question 2. રેખાખંડની લંબાઈ માપવા માટે માપપટ્ટી કરતાં દ્વિભાજક શા માટે વધુ ઉપયોગી છે?
Answer: માપપટ્ટી વડે રેખાખંડની લંબાઈ માપતી વખતે કેટલીકવાર પૂરેપૂરું સાચું માપ મેળવવું શક્ય નથી. માપપટ્ટી પરના નિશાનની ચોકસાઈ, તેની જાડાઈ અને આપણે જે રીતે માપીએ છીએ તેમાં ભૂલ થઈ શકે છે. તેથી, રેખાખંડનું સાચું માપન કરવા માટે દ્વિભાજકનો ઉપયોગ કરવો વધુ યોગ્ય છે. દ્વિભાજક વડે રેખાખંડનું ચોક્કસ માપ પ્રાપ્ત થાય છે. દ્વિભાજકના બંને છેડે અણી હોય છે, જેના કારણે તેને માપપટ્ટી પર અને રેખાખંડના છેડાના બિંદુઓ પર મૂકતી વખતે ચોકસાઈ જાળવી શકાય છે.
In simple words: રેખાની લંબાઈ માપવા માટે માપપટ્ટી કરતાં દ્વિભાજક વધુ સારો છે. માપપટ્ટી ક્યારેક ભૂલભરેલી હોઈ શકે છે. દ્વિભાજક તીક્ષ્ણ હોવાથી તમને વધુ ચોક્કસ માપ આપે છે.

Exam Tip: દ્વિભાજકનો ઉપયોગ કરતી વખતે, ખાતરી કરો કે તેના બંને છેડા રેખાખંડના અંતિમ બિંદુઓ પર બરાબર મૂકવામાં આવ્યા છે.

Question 3. કોઈ રેખાખંડ દોરી તેને \( \overline{AB} \) કહો. કોઈ બિંદુ Cને A અને B વચ્ચે રેખાખંડ પર દશાર્વવો. \( \overline{AB} \), \( \overline{BC} \) ને \( \overline{AC} \)ની લંબાઈ માપો. શું \( AB = AC + CB \) છે? (નોંધઃ A, B અને C રેખા પરનાં એવાં બિંદુઓ હોય કે જેથી \( AC + CB \) થાય, તો ચોક્કસ કહી શકાય કે તે બિંદુ A અને Bની વચ્ચે હશે.)
Answer: અહીં, આપણે \( 5 \) સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ \( \overline{AB} \) દોર્યો છે. \( \overline{AB} \) ઉપર એક બિંદુ C લીધું છે. હવે, આપણે \( \overline{AB} \), \( \overline{AC} \) અને \( \overline{BC} \) નાં માપ માપીએ. \( AB = 5 \) સેમી, \( AC = 3 \) સેમી અને \( CB = 2 \) સેમી છે. હવે, \( AC + CB = 3 + 2 = 5 \) સેમી, અને \( AB = 5 \) સેમી. આથી આપણે કહી શકીએ કે બિંદુ C એ \( \overline{AB} \) ઉપર આવેલું બિંદુ છે. તેથી \( AB = AC + CB \) થાય છે.
In simple words: જો એક લીટી પર ત્રણ બિંદુઓ હોય અને પહેલાથી મધ્યના બિંદુનું અંતર, અને મધ્યથી છેલ્લા બિંદુનું અંતર, કુલ અંતર જેટલું થાય, તો મધ્ય બિંદુ ખરેખર અન્ય બેની વચ્ચે જ હોય છે.

Exam Tip: યાદ રાખો કે ત્રણ બિંદુઓ એક જ રેખા પર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે, બે નાના સેગમેન્ટનો સરવાળો સૌથી મોટા સેગમેન્ટ જેટલો હોવો જોઈએ.

Question 4. રેખા પર ત્રણ બિંદુઓ AB અને C છે. જો \( AB = 5 \) સેમી, \( BC = 3 \) સેમી અને \( AC = 8 \) સેમી હોય, તો કયું બિંદુ બાકીનાં બેની વચ્ચે હશે?
Answer: આપણે એક રેખા પર \( 8 \) સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ \( AC \) લઈએ. આ \( AC \) રેખાખંડ ઉપર બિંદુ B એવી રીતે લઈએ કે \( AB = 5 \) સેમી થાય. હવે, \( BC = AC - AB = 8 - 5 = 3 \) સેમી થાય. અહીં, \( AB + BC = 5 + 3 = 8 \) સેમી થાય છે, અને આ \( AC \) ની લંબાઈ જેટલું છે. તેથી, બિંદુ B એ બિંદુ A અને બિંદુ Cની વચ્ચે આવેલું બિંદુ છે.
In simple words: જ્યારે એક લીટી પર ત્રણ બિંદુઓ હોય, ત્યારે મધ્યમાં આવેલું બિંદુ એવું હોય છે કે બે નાના ભાગોનો સરવાળો આખી લીટીના કુલ માપ જેટલો થાય છે. જો \( AC \) સૌથી લાંબો ભાગ હોય અને \( AB + BC \) બરાબર \( AC \) થાય, તો B એ A અને Cની વચ્ચે આવેલું છે.

Exam Tip: ત્રણ બિંદુઓમાંથી કયું બિંદુ મધ્યમાં આવેલું છે તે શોધવા માટે, હંમેશા સૌથી લાંબા અંતરને ઓળખો અને તપાસો કે અન્ય બે અંતરનો સરવાળો તેના બરાબર થાય છે કે નહીં.

Question 5. ચકાસો કે D બિંદુ એ \( \overline{AG} \)નું મધ્યબિંદુ છે.
Answer: અહીં, સૌપ્રથમ આપણે A બિંદુથી D બિંદુ સુધીનું અંતર (AD) અને D બિંદુથી G બિંદુ સુધીનું અંતર (DG) શોધીએ. \( AD = AB + BC + CD = 1 + 1 + 1 = 3 \) એકમ \( DG = DE + EF + FG = 1 + 1 + 1 = 3 \) એકમ હવે, \( AG = AD + DG = 3 + 3 = 6 \) એકમ આમ, \( AD = DG = 3 \) એકમ. D એ \( \overline{AG} \) રેખાખંડ ઉપર આવેલું એવું બિંદુ છે કે જેથી \( A-D-G \) થાય અને \( AD = DG \) છે. \( \implies \) તેથી, D એ \( \overline{AG} \)નું મધ્યબિંદુ છે.
In simple words: જો એક બિંદુ રેખાખંડના બરાબર મધ્યમાં હોય, તો તે બિંદુથી રેખાખંડના બંને છેડા સુધીનું અંતર એકસરખું હોય છે.

Exam Tip: મધ્યબિંદુ સંબંધિત પ્રશ્નોમાં, ખાતરી કરો કે બંને ભાગોની લંબાઈ સરખી હોય. જો તે સરખી ન હોય, તો તે મધ્યબિંદુ નથી.

Question 6. B એ \( \overline{AC} \)નું મધ્યબિંદુ છે અને C એ \( \overline{BD} \)નું મધ્યબિંદુ છે. A, B, C અને D એક જ રેખા પર છે. \( AB = CD \) શા માટે કહી શકાય?
Answer: અહીં, બિંદુઓ A, B, C અને D એ એક જ રેખા ઉપર આવેલા બિંદુઓ છે. પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ B એ \( \overline{AC} \)નું મધ્યબિંદુ છે. \( \implies AB = BC \) ..... (1) વળી, C એ \( \overline{BD} \)નું મધ્યબિંદુ છે. \( \implies BC = CD \) ..... (2) પરિણામ (1) અને (2) પરથી, આપણે કહી શકીએ કે \( AB = CD \) કારણ કે બંને \( BC \) જેટલા છે.
In simple words: જો B, AC ની બરાબર વચ્ચે હોય, તો AB અને BC સમાન છે. અને જો C, BD ની બરાબર વચ્ચે હોય, તો BC અને CD સમાન છે. આનો અર્થ એ થાય કે AB, BC અને CD ત્રણેય એકબીજાને સમાન છે, તેથી AB એ CD જેટલું જ છે.

Exam Tip: ભૂમિતિમાં, જો બે અલગ-અલગ વસ્તુઓ એક જ ત્રીજી વસ્તુના બરાબર હોય, તો તે બંને વસ્તુઓ પણ એકબીજાના બરાબર હોય છે (સંક્રમક ગુણધર્મ).

Question 7. તેમની બાજુઓ માપો. દરેક સ્થિતિમાં ચકાસો કે કોઈ પણ બે બાજુનાં માપનો સરવાળો હંમેશાં તેની ત્રીજી બાજુ કરતાં વધુ જ હોય.
Answer:
(1) અહીં, \( \triangle ABC \) દોર્યો છે, જેમાં \( AB = 3 \) સેમી, \( BC = 2 \) સેમી અને \( AC = 4 \) સેમી છે. હવે, બે બાજુઓના માપના સરવાળાને ત્રીજી બાજુના માપ સાથે સરખાવીએ. \( AB + BC = 3 + 2 = 5 \) સેમી, જે ત્રીજી બાજુ \( AC = 4 \) સેમી કરતાં વધારે છે. \( \implies AB + BC > AC \) \( BC + AC = 2 + 4 = 6 \) સેમી, જે ત્રીજી બાજુ \( AB = 3 \) સેમી કરતાં વધારે છે. \( \implies BC + AC > AB \) \( AB + AC = 3 + 4 = 7 \) સેમી, જે ત્રીજી બાજુ \( BC = 2 \) સેમી કરતાં વધારે છે. \( \implies AB + AC > BC \)
(2) અહીં, \( \triangle PQR \) દોર્યો છે, જેમાં \( PQ = 4.5 \) સેમી, \( QR = 5.5 \) સેમી અને \( PR = 8 \) સેમી છે. હવે, બે બાજુઓના માપના સરવાળાને ત્રીજી બાજુના માપ સાથે સરખાવીએ. \( PQ + QR = 4.5 + 5.5 = 10 \) સેમી, જે ત્રીજી બાજુ \( PR = 8 \) સેમી કરતાં વધારે છે. \( \implies PQ + QR > PR \) \( QR + PR = 5.5 + 8 = 13.5 \) સેમી, જે ત્રીજી બાજુ \( PQ = 4.5 \) સેમી કરતાં વધારે છે. \( \implies QR + PR > PQ \) \( PR + PQ = 8 + 4.5 = 12.5 \) સેમી, જે ત્રીજી બાજુ \( QR = 5.5 \) સેમી કરતાં વધારે છે. \( \implies PR + PQ > QR \) આમ, આપણે કહી શકીએ કે ત્રિકોણની કોઈ પણ બે બાજુનાં માપનો સરવાળો હંમેશા તેની ત્રીજી બાજુ કરતાં વધુ જ હોય છે.
In simple words: કોઈ પણ ત્રિકોણમાં, જો તમે બે બાજુઓની લંબાઈ ઉમેરો છો, તો તેમનો કુલ સરવાળો હંમેશા ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કરતાં વધારે હશે. આ ત્રિકોણનો એક મૂળભૂત નિયમ છે.

Exam Tip: ત્રિકોણના ગુણધર્મો સંબંધિત પ્રશ્નોમાં, હંમેશા ત્રિકોણની અસમાનતાનો નિયમ (કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં વધારે) લાગુ કરો.