GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 8 સંકલનનો ઉપયોગ Exercise 8.1

Question 1. વક્ર \( y^2 = x \), X-અક્ષ અને રેખાઓ \( x = 1 \) અને \( x = 4 \) વડે પ્રથમ ચરણમાં આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં, \( y^2 = x \) એક પરવલય બતાવે છે, જે X-અક્ષ પ્રત્યે સમમિત છે. તેનું શીર્ષ \( O(0, 0) \) પર છે, અને તેની અક્ષ X-અક્ષ છે. રેખાઓ \( x = 1 \) અને \( x = 4 \) એ બે સમાંતર ઊભી રેખાઓ છે. આપણે વક્ર \( y = \sqrt{x} \), X-અક્ષ અને રેખાઓ \( x = 1 \) તથા \( x = 4 \) વડે પ્રથમ ચરણમાં ઘેરાયેલા પ્રદેશ ABCDA નું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
જ્યાં \( I = \int_1^4 y \, dx \)
\( = \int_1^4 \sqrt{x} \, dx \quad (\because y^2 = x) \)
\( = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^4 \)
\( = \frac{2}{3} [ (4)^{3/2} - (1)^{3/2} ] \)
\( = \frac{2}{3} [ 8 - 1 ] \)
\( = \frac{2 \times 7}{3} \)
\( = \frac{14}{3} \)
આથી, માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( A = \frac{14}{3} \) ચોરસ એકમ છે.
In simple words: અહીં, આપણે \( y^2 = x \) કર્વ અને \( x = 1 \) થી \( x = 4 \) લાઈન વચ્ચેનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ. આપણે \( \sqrt{x} \) ને 1 થી 4 સુધી ઇન્ટિગ્રેટ કરીએ છીએ, જેનાથી ક્ષેત્રફળ \( \frac{14}{3} \) ચોરસ યુનિટ મળે છે.

Exam Tip: When finding the area under a curve, always sketch the graph to visualize the region. Remember that for \( y^2 = x \), you need to take the positive square root \( y = \sqrt{x} \) for the first quadrant.

Question 2. વક્ર \( y^2 = 9x \), X-અક્ષ અને રેખાઓ \( x = 2 \) અને \( x = 4 \) દ્વારા આવૃત્ત પ્રથમ ચરણમાં આવેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં, વક્ર \( y^2 = 9x \) એ X-અક્ષ પ્રત્યે સમમિત પરવલય દર્શાવે છે. તેનું શીર્ષ \( O(0, 0) \) છે અને તેની અક્ષ X-અક્ષ છે. રેખાઓ \( x = 2 \) અને \( x = 4 \) એ બે સમાંતર ઊભી રેખાઓ છે. આપણે વક્ર \( y = \sqrt{9x} = 3\sqrt{x} \), X-અક્ષ અને રેખાઓ \( x = 2 \) તથા \( x = 4 \) વડે પ્રથમ ચરણમાં ઘેરાયેલા પ્રદેશ ABCDA નું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
જ્યાં \( I = \int_2^4 y \, dx \)
\( = \int_2^4 3\sqrt{x} \, dx \quad (\because y^2 = 9x) \)
\( = 3 \int_2^4 x^{1/2} \, dx \)
\( = 3 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_2^4 \)
\( = 2 [ (4)^{3/2} - (2)^{3/2} ] \)
\( = 2 [ 8 - 2\sqrt{2} ] \)
\( = 16 - 4\sqrt{2} \)
આથી, માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( A = (16 - 4\sqrt{2}) \) ચોરસ એકમ છે.
In simple words: આપણે \( y^2 = 9x \) કર્વ, X-એક્સિસ અને \( x=2 \) થી \( x=4 \) લાઈન વચ્ચેનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ. પ્રથમ ચરણ માટે \( y = 3\sqrt{x} \) નો ઉપયોગ કરીને, 2 થી 4 સુધી ઇન્ટિગ્રેટ કરવાથી કુલ ક્ષેત્રફળ \( 16 - 4\sqrt{2} \) ચોરસ યુનિટ મળે છે.

Exam Tip: For parabolas like \( y^2 = 9x \), remember that \( y = \pm 3\sqrt{x} \). When working in the first quadrant, use the positive root. Always clearly show the integration limits from the problem statement.

Question 3. વક્ર \( x^2 = 4y \), Y-અક્ષ અને રેખાઓ \( y = 2 \) અને \( y = 4 \) દ્વારા આવૃત્ત પ્રથમ ચરણમાં આવેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં, વક્ર \( x^2 = 4y \) એ Y-અક્ષ પ્રત્યે સમમિત પરવલય દર્શાવે છે. તેનું શીર્ષ \( O(0, 0) \) છે. રેખાઓ \( y = 2 \) અને \( y = 4 \) એ બે સમાંતર આડી રેખાઓ છે. આપણે વક્ર \( x = \sqrt{4y} = 2\sqrt{y} \), Y-અક્ષ અને રેખાઓ \( y = 2 \) તથા \( y = 4 \) વડે પ્રથમ ચરણમાં ઘેરાયેલા પ્રદેશ ABCDA નું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( A = |I| \)
જ્યાં \( I = \int_2^4 x \, dy \)
\( = \int_2^4 2\sqrt{y} \, dy \quad (\because x^2 = 4y) \)
\( = 2 \int_2^4 y^{1/2} \, dy \)
\( = 2 \left[ \frac{2}{3} y^{3/2} \right]_2^4 \)
\( = \frac{4}{3} [ (4)^{3/2} - (2)^{3/2} ] \)
\( = \frac{4}{3} [ 8 - 2\sqrt{2} ] \)
\( = \frac{32 - 8\sqrt{2}}{3} \)
આથી, માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( A = \left(\frac{32 - 8\sqrt{2}}{3}\right) \) ચોરસ એકમ છે.
In simple words: આ પ્રશ્નમાં, આપણે \( x^2 = 4y \) કર્વ અને \( y=2 \) થી \( y=4 \) લાઈન વચ્ચેનો વિસ્તાર Y-એક્સિસની બાજુમાં શોધીએ છીએ. પ્રથમ ચરણ માટે \( x = 2\sqrt{y} \) નો ઉપયોગ કરીને, 2 થી 4 સુધી ઇન્ટિગ્રેટ કરવાથી કુલ ક્ષેત્રફળ \( \frac{32 - 8\sqrt{2}}{3} \) ચોરસ યુનિટ મળે છે.

Exam Tip: If the parabola opens along the Y-axis (e.g., \( x^2 = 4y \)), the integral should be with respect to \( y \), i.e., \( \int x \, dy \). Remember to express \( x \) in terms of \( y \) before integrating.

Question 4. ઉપવલય \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \) થી આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં, ઉપવલયનું સમીકરણ \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \) છે. આને પ્રમાણભૂત સમીકરણ \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) સાથે સરખાવતા, આપણને \( a^2 = 16 \) અને \( b^2 = 9 \) મળે છે. તેથી, \( a = 4 \) અને \( b = 3 \).
ઉપવલયનું કેન્દ્ર \( O(0, 0) \) પર છે. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ \( 2a = 8 \) અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ \( 2b = 6 \) થાય છે. ઉપવલય બંને અક્ષો પ્રત્યે સમમિત છે.
આથી, ઉપવલય દ્વારા આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધી તેને ચાર વડે ગુણીએ છીએ.
પ્રથમ ચરણમાં, \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \implies \frac{y^2}{9} = 1 - \frac{x^2}{16} \implies y^2 = \frac{9}{16}(16 - x^2) \implies y = \frac{3}{4}\sqrt{16 - x^2} \). (અહીં \( y \) ધન છે.)
માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( A = 4 \times (\text{પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ}) \)
જ્યાં પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ \( I = \int_0^4 y \, dx \)
\( = \int_0^4 \frac{3}{4}\sqrt{16 - x^2} \, dx \)
\( = \frac{3}{4} \int_0^4 \sqrt{4^2 - x^2} \, dx \)
સૂત્ર \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + C \) નો ઉપયોગ કરતાં:
\( = \frac{3}{4} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{16 - x^2} + \frac{16}{2}\sin^{-1}\frac{x}{4} \right]_0^4 \)
\( = \frac{3}{4} \left[ \left( \frac{4}{2}\sqrt{16 - 16} + 8\sin^{-1}\frac{4}{4} \right) - \left( \frac{0}{2}\sqrt{16 - 0} + 8\sin^{-1}\frac{0}{4} \right) \right] \)
\( = \frac{3}{4} \left[ (0 + 8\sin^{-1}1) - (0 + 8\sin^{-1}0) \right] \)
\( = \frac{3}{4} \left[ 8 \times \frac{\pi}{2} - 0 \right] \)
\( = \frac{3}{4} [4\pi] \)
\( = 3\pi \)
આથી, કુલ ક્ષેત્રફળ \( A = 4 \times I = 4 \times 3\pi = 12\pi \) ચોરસ એકમ છે.
In simple words: ઉપવલય \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \) નું કુલ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે એક ચતુર્થાંશ ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધીને તેને ચાર વડે ગુણીએ છીએ. \( y \) ને \( x \) ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીને અને 0 થી 4 સુધી ઇન્ટિગ્રેટ કરવાથી, પ્રથમ ચરણનું ક્ષેત્રફળ \( 3\pi \) મળે છે. તેથી, કુલ ક્ષેત્રફળ \( 12\pi \) ચોરસ એકમ થાય છે.

Exam Tip: For ellipses, always identify \( a^2 \) and \( b^2 \) first. Remember that the total area of an ellipse is \( \pi ab \). Calculating the area of one quadrant and multiplying by four is a common and effective method.

Question 5. ઉપવલય \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \) થી આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં, ઉપવલયનું સમીકરણ \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \) છે. આને પ્રમાણભૂત સમીકરણ \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) સાથે સરખાવતા, આપણને \( a^2 = 4 \) અને \( b^2 = 9 \) મળે છે. તેથી, \( a = 2 \) અને \( b = 3 \). અહીં \( a < b \) છે, તેથી Y-અક્ષ મુખ્ય અક્ષ છે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર \( O(0, 0) \) પર છે. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ \( 2b = 6 \) અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ \( 2a = 4 \) થાય છે. ઉપવલય બંને અક્ષો પ્રત્યે સમમિત હોય છે.
આથી, ઉપવલય દ્વારા આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધી તેને ચાર વડે ગુણીએ છીએ.
પ્રથમ ચરણમાં, \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \implies \frac{x^2}{4} = 1 - \frac{y^2}{9} \implies x^2 = \frac{4}{9}(9 - y^2) \implies x = \frac{2}{3}\sqrt{9 - y^2} \). (અહીં \( x \) ધન છે.)
માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( A = 4 \times (\text{પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ}) \)
જ્યાં પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ \( I = \int_0^3 x \, dy \)
\( = \int_0^3 \frac{2}{3}\sqrt{9 - y^2} \, dy \)
\( = \frac{2}{3} \int_0^3 \sqrt{3^2 - y^2} \, dy \)
સૂત્ર \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + C \) નો ઉપયોગ કરતાં:
\( = \frac{2}{3} \left[ \frac{y}{2}\sqrt{9 - y^2} + \frac{9}{2}\sin^{-1}\frac{y}{3} \right]_0^3 \)
\( = \frac{2}{3} \left[ \left( \frac{3}{2}\sqrt{9 - 9} + \frac{9}{2}\sin^{-1}\frac{3}{3} \right) - \left( \frac{0}{2}\sqrt{9 - 0} + \frac{9}{2}\sin^{-1}\frac{0}{3} \right) \right] \)
\( = \frac{2}{3} \left[ (0 + \frac{9}{2}\sin^{-1}1) - (0 + \frac{9}{2}\sin^{-1}0) \right] \)
\( = \frac{2}{3} \left[ \frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2} - 0 \right] \)
\( = \frac{2}{3} \left[ \frac{9\pi}{4} \right] \)
\( = \frac{3\pi}{2} \)
આથી, કુલ ક્ષેત્રફળ \( A = 4 \times I = 4 \times \frac{3\pi}{2} = 6\pi \) ચોરસ એકમ છે.
In simple words: ઉપવલય \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \) નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે પ્રથમ ચતુર્થાંશ ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ છીએ. અહીં \( a=2 \) અને \( b=3 \) છે. Y-અક્ષ મુખ્ય અક્ષ હોવાથી, આપણે \( x \) ને \( y \) ના સંદર્ભમાં લખીને 0 થી 3 સુધી ઇન્ટિગ્રેટ કરીએ છીએ. પ્રથમ ચરણનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{3\pi}{2} \) મળે છે, તેથી કુલ ક્ષેત્રફળ \( 6\pi \) ચોરસ એકમ છે.

Exam Tip: Pay close attention to which axis is the major axis. If \( b > a \), the major axis is along the Y-axis, and you should integrate \( x \) with respect to \( y \). Visualize the shape to determine the correct limits of integration.

Question 6. વર્તુળ \( x^2 + y^2 = 4 \), રેખા \( x = \sqrt{3}y \) અને X – અક્ષ દ્વારા આવૃત્ત પ્રથમ ચરણમાં આવેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં, વર્તુળનું સમીકરણ \( x^2 + y^2 = 4 \) છે, જેનું કેન્દ્ર \( O(0, 0) \) અને ત્રિજ્યા \( r = 2 \) છે. રેખાનું સમીકરણ \( x = \sqrt{3}y \) છે, જે ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળ અને રેખાના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, \( x = \sqrt{3}y \) ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકીએ:
\( (\sqrt{3}y)^2 + y^2 = 4 \)
\( 3y^2 + y^2 = 4 \)
\( 4y^2 = 4 \)
\( y^2 = 1 \implies y = \pm 1 \)
જ્યારે \( y = 1 \), ત્યારે \( x = \sqrt{3}(1) = \sqrt{3} \).
જ્યારે \( y = -1 \), ત્યારે \( x = \sqrt{3}(-1) = -\sqrt{3} \).
તેથી, છેદબિંદુઓ \( B(\sqrt{3}, 1) \) અને \( B'(-\sqrt{3}, -1) \) છે.
આપણે વર્તુળ \( x^2 + y^2 = 4 \), રેખા \( x = \sqrt{3}y \) અને X-અક્ષ દ્વારા આવૃત્ત પ્રથમ ચરણમાં આવેલ પ્રદેશ OABO નું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
આ ક્ષેત્રફળને બે ભાગમાં વિભાજીત કરી શકાય: OLBO નું ક્ષેત્રફળ અને LABL નું ક્ષેત્રફળ.
જ્યાં \( A = \int_0^{\sqrt{3}} y_{રેખા} \, dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} y_{વર્તુળ} \, dx \)
રેખામાંથી \( y = \frac{x}{\sqrt{3}} \) અને વર્તુળમાંથી \( y = \sqrt{4 - x^2} \) મળે છે.
\( A = \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{3}} \, dx + \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx \)
\( = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\sqrt{3}} + \left[ \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\frac{x}{2} \right]_{\sqrt{3}}^{2} \)
\( = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{(\sqrt{3})^2}{2} - 0 \right] + \left[ \left( \frac{2}{2}\sqrt{4 - 4} + 2\sin^{-1}\frac{2}{2} \right) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4 - 3} + 2\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right] \)
\( = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{3}{2} \right] + \left[ (0 + 2\sin^{-1}1) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1} + 2\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right] \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2} + \left[ 2 \times \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \times \frac{\pi}{3} \right) \right] \)
\( = \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} \)
\( = \pi - \frac{2\pi}{3} \)
\( = \frac{3\pi - 2\pi}{3} \)
\( = \frac{\pi}{3} \)
આથી, માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( A = \frac{\pi}{3} \) ચોરસ એકમ છે.
In simple words: આપણે વર્તુળ \( x^2 + y^2 = 4 \), લાઇન \( x = \sqrt{3}y \) અને X-અક્ષ વચ્ચેના પ્રથમ ચતુર્થાંશ ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીએ છીએ. આપણે આ વિસ્તારને બે ભાગમાં વિભાજીત કરીએ છીએ: એક ભાગ લાઇન હેઠળ \( x=0 \) થી \( x=\sqrt{3} \) સુધી અને બીજો ભાગ વર્તુળ હેઠળ \( x=\sqrt{3} \) થી \( x=2 \) સુધી. આ બંને ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરવાથી કુલ ક્ષેત્રફળ \( \frac{\pi}{3} \) ચોરસ એકમ મળે છે.

Exam Tip: For problems involving areas bounded by multiple curves and axes, it's often helpful to divide the area into smaller, simpler regions. Use the appropriate integral form \( \int y \, dx \) or \( \int x \, dy \) for each sub-region, ensuring correct limits of integration based on intersection points.

Question 7. રેખા \( x = \frac{a}{\sqrt{2}} \) દ્વારા વર્તુળાકાર પ્રદેશ \( x^2 + y^2 = a^2 \) માંથી કપાતા નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં, વર્તુળનું સમીકરણ \( x^2 + y^2 = a^2 \) છે, જેનું કેન્દ્ર \( O(0, 0) \) અને ત્રિજ્યા \( a \) છે. રેખાનું સમીકરણ \( x = \frac{a}{\sqrt{2}} \) છે, જે Y-અક્ષને સમાંતર ઊભી રેખા છે.
વર્તુળ અને રેખા બંને અક્ષો પ્રત્યે સમમિત છે. રેખા \( x = \frac{a}{\sqrt{2}} \) વર્તુળને \( B \) અને \( B' \) બિંદુએ છેદે છે. આપણે આ રેખા દ્વારા કપાયેલા નાના પ્રદેશ BCB'AB નું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
વર્તુળના સમીકરણમાંથી \( y = \sqrt{a^2 - x^2} \) (પ્રથમ ચરણ માટે) મળે છે.
માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( A = 2 \times (\text{પ્રદેશ ABCA નું ક્ષેત્રફળ}) \)
\( = 2 \int_{a/\sqrt{2}}^a y \, dx \)
\( = 2 \int_{a/\sqrt{2}}^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx \)
સૂત્ર \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + C \) નો ઉપયોગ કરતાં:
\( = 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} \right]_{a/\sqrt{2}}^a \)
\( = 2 \left[ \left( \frac{a}{2}\sqrt{a^2 - a^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{a}{a} \right) - \left( \frac{a/\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^2 - (\frac{a}{\sqrt{2}})^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{a/\sqrt{2}}{a} \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \left( 0 + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}1 \right) - \left( \frac{a}{2\sqrt{2}}\sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{a^2}{2} \times \frac{\pi}{2} - \left( \frac{a}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a^2}{2}} + \frac{a^2}{2} \times \frac{\pi}{4} \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{\pi a^2}{4} - \left( \frac{a}{2\sqrt{2}} \times \frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{\pi a^2}{8} \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{\pi a^2}{4} - \left( \frac{a^2}{4} + \frac{\pi a^2}{8} \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{\pi a^2}{4} - \frac{a^2}{4} - \frac{\pi a^2}{8} \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{2\pi a^2 - 2a^2 - \pi a^2}{8} \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{\pi a^2 - 2a^2}{8} \right] \)
\( = \frac{a^2}{4}(\pi - 2) \)
આથી, માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( \frac{a^2}{4}(\pi - 2) \) ચોરસ એકમ છે.
In simple words: આપણે વર્તુળ \( x^2 + y^2 = a^2 \) માંથી \( x = \frac{a}{\sqrt{2}} \) રેખા દ્વારા કપાતા નાના વિસ્તારની ગણતરી કરી રહ્યા છીએ. વર્તુળ સમમિત હોવાથી, આપણે પ્રથમ ચરણમાં અડધા ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ છીએ અને તેને બે વડે ગુણીએ છીએ. \( y \) ને \( x \) ના સંદર્ભમાં લખીને અને \( \frac{a}{\sqrt{2}} \) થી \( a \) સુધી ઇન્ટિગ્રેટ કરવાથી, અંતિમ ક્ષેત્રફળ \( \frac{a^2}{4}(\pi - 2) \) ચોરસ યુનિટ મળે છે.

Exam Tip: Always draw a diagram to understand the region. For areas involving circles and straight lines, correctly identifying the limits of integration and applying the formula for \( \int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx \) are key steps.

Question 8. રેખા \( x = a \) એ \( x = y^2 \) અને \( x = 4 \) વડે આવૃત્ત પ્રદેશના ક્ષેત્રફળનું બે સમાન ભાગમાં વિભાજન કરે તો \( a \) શોધો.
Answer: અહીં, વક્ર \( x = y^2 \) એ X-અક્ષ પ્રત્યે સમમિત પરવલય દર્શાવે છે. રેખા \( x = a \) અને \( x = 4 \) એ Y-અક્ષને સમાંતર ઊભી રેખાઓ છે.
રકમ મુજબ, રેખા \( x = a \) એ પરવલય \( x = y^2 \) અને રેખા \( x = 4 \) વડે આવૃત્ત પ્રદેશના ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગમાં વિભાજીત કરે છે. આથી, પ્રદેશ OA'CAO નું ક્ષેત્રફળ = પ્રદેશ A'B'C'BAA' નું ક્ષેત્રફળ.
અથવા, \( 2 \times \) પ્રદેશ OCAO નું ક્ષેત્રફળ \( = 2 \times \) પ્રદેશ CC'BA નું ક્ષેત્રફળ.
તેથી, પ્રદેશ OCA નું ક્ષેત્રફળ \( = \) પ્રદેશ CC'BA નું ક્ષેત્રફળ.
પરવલય \( x = y^2 \implies y = \sqrt{x} \) (પ્રથમ ચરણ માટે).
\( \int_0^a y \, dx = \int_a^4 y \, dx \)
\( \int_0^a \sqrt{x} \, dx = \int_a^4 \sqrt{x} \, dx \)
\( \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^a = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_a^4 \)
\( \frac{2}{3} [a^{3/2} - 0^{3/2}] = \frac{2}{3} [4^{3/2} - a^{3/2}] \)
\( a^{3/2} = 4^{3/2} - a^{3/2} \)
\( a^{3/2} = 8 - a^{3/2} \)
\( 2a^{3/2} = 8 \)
\( a^{3/2} = 4 \)
\( a = (4)^{2/3} \)
\( a = (\sqrt[3]{4})^2 \)
આથી, \( a = (4)^{2/3} \) મળે છે.
In simple words: આપણે \( x=a \) રેખા શોધી રહ્યા છીએ જે \( x=y^2 \) અને \( x=4 \) વડે ઘેરાયેલા વિસ્તારને બે સરખા ભાગમાં વહેંચે. આપણે ઇન્ટિગ્રેશનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કે જો ક્ષેત્રફળ સમાન હોય, તો 0 થી \( a \) સુધીનું ઇન્ટિગ્રલ \( a \) થી 4 સુધીના ઇન્ટિગ્રલ જેટલું હોવું જોઈએ. આ સમીકરણ ઉકેલવાથી \( a = (4)^{2/3} \) મળે છે.

Exam Tip: When a line divides an area into equal parts, set the integral of the function over the first part equal to the integral over the second part. This method helps solve for the unknown parameter, such as \( a \) in this problem.

Question 9. પરવલય \( y = x^2 \) અને \( y = |x| \) વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં, બે વક્ર \( y = x^2 \) (ઉપર તરફ ખુલતો પરવલય) અને \( y = |x| \) (Y-અક્ષ પ્રત્યે સમમિત V-આકારની રેખા) આપેલા છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, આપણે \( y = x^2 \) અને \( y = |x| \) ને સરખાવીએ.
જો \( x \ge 0 \), તો \( y = x \). તેથી, \( x^2 = x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0 \). આથી, \( x = 0 \) અથવા \( x = 1 \).
જ્યારે \( x = 0 \), \( y = 0 \). જ્યારે \( x = 1 \), \( y = 1 \). તેથી, છેદબિંદુઓ \( O(0, 0) \) અને \( A(1, 1) \) છે.
જો \( x < 0 \), તો \( y = -x \). તેથી, \( x^2 = -x \implies x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0 \). આથી, \( x = 0 \) અથવા \( x = -1 \).
જ્યારે \( x = 0 \), \( y = 0 \). જ્યારે \( x = -1 \), \( y = 1 \). તેથી, છેદબિંદુઓ \( O(0, 0) \) અને \( B(-1, 1) \) છે.
પરવલય \( y = x^2 \) અને \( y = |x| \) વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ છે, જે Y-અક્ષ પ્રત્યે સમમિત છે.
આથી, કુલ ક્ષેત્રફળ \( A = 2 \times (\text{પ્રથમ ચરણમાં છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ}) \)
પ્રથમ ચરણમાં, \( y = x \) અને \( y = x^2 \). \( x \ge x^2 \) જ્યારે \( 0 \le x \le 1 \).
\( A = 2 \int_0^1 (x - x^2) \, dx \)
\( = 2 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \)
\( = 2 \left[ \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{3 - 2}{6} \right] \)
\( = 2 \left[ \frac{1}{6} \right] \)
\( = \frac{1}{3} \)
આથી, માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( \frac{1}{3} \) ચોરસ એકમ છે.
In simple words: આપણે \( y=x^2 \) પરવલય અને \( y=|x| \) લાઇન વચ્ચેનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ. તેમના છેદબિંદુઓ \( (0,0) \), \( (1,1) \), અને \( (-1,1) \) છે. સમમિતિનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ફક્ત પ્રથમ ચરણમાં 0 થી 1 સુધી \( (x - x^2) \) ને ઇન્ટિગ્રેટ કરીએ છીએ અને તેને 2 વડે ગુણીએ છીએ. આનાથી કુલ ક્ષેત્રફળ \( \frac{1}{3} \) ચોરસ યુનિટ મળે છે.

Exam Tip: For problems involving absolute value functions, split the integral based on the definition of \( |x| \). Always identify the "upper" and "lower" functions correctly for the region to ensure the difference is positive.

Question 10. વક્ર \( x^2 = 4y \) અને રેખા \( x = 4y – 2 \) વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં, વક્ર \( x^2 = 4y \) (Y-અક્ષ પ્રત્યે સમમિત, ઉપર તરફ ખુલતો પરવલય) અને રેખા \( x = 4y – 2 \) આપેલા છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, આપણે રેખામાંથી \( 4y = x + 2 \) મૂલ્યને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકીએ:
\( x^2 = x + 2 \)
\( x^2 - x - 2 = 0 \)
\( (x - 2)(x + 1) = 0 \)
આથી, \( x = 2 \) અથવા \( x = -1 \).
જ્યારે \( x = 2 \), \( 4y = 2 + 2 = 4 \implies y = 1 \). તેથી, છેદબિંદુ \( B(2, 1) \) છે.
જ્યારે \( x = -1 \), \( 4y = -1 + 2 = 1 \implies y = \frac{1}{4} \). તેથી, છેદબિંદુ \( A(-1, \frac{1}{4}) \) છે.
આપણે રેખા \( y_{રેખા} = \frac{x + 2}{4} \) અને પરવલય \( y_{પરવલય} = \frac{x^2}{4} \) વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે, જ્યાં રેખા પરવલયની ઉપર છે.
માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( A = \int_{-1}^2 (y_{રેખા} - y_{પરવલય}) \, dx \)
\( = \int_{-1}^2 \left( \frac{x + 2}{4} - \frac{x^2}{4} \right) \, dx \)
\( = \frac{1}{4} \int_{-1}^2 (x + 2 - x^2) \, dx \)
\( = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^2 \)
\( = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{2^2}{2} + 2(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) - \frac{(-1)^3}{3} \right) \right] \)
\( = \frac{1}{4} \left[ \left( 2 + 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} \right) \right] \)
\( = \frac{1}{4} \left[ \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( -\frac{3}{2} + \frac{1}{3} \right) \right] \)
\( = \frac{1}{4} \left[ \frac{18 - 8}{3} - \frac{-9 + 2}{6} \right] \)
\( = \frac{1}{4} \left[ \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) \right] \)
\( = \frac{1}{4} \left[ \frac{10}{3} + \frac{7}{6} \right] \)
\( = \frac{1}{4} \left[ \frac{20 + 7}{6} \right] \)
\( = \frac{1}{4} \left[ \frac{27}{6} \right] \)
\( = \frac{1}{4} \times \frac{9}{2} \)
\( = \frac{9}{8} \)
આથી, માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( \frac{9}{8} \) ચોરસ એકમ છે.
In simple words: આપણે પરવલય \( x^2 = 4y \) અને લાઇન \( x = 4y - 2 \) વચ્ચેનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ. પહેલા આપણે તેમના છેદબિંદુઓ \( (-1, \frac{1}{4}) \) અને \( (2, 1) \) શોધીએ છીએ. પછી, આપણે લાઇનના સમીકરણમાંથી \( y \) અને પરવલયના સમીકરણમાંથી \( y \) ને બાદ કરીએ છીએ અને તેને \( -1 \) થી \( 2 \) સુધી ઇન્ટિગ્રેટ કરીએ છીએ. આનાથી કુલ ક્ષેત્રફળ \( \frac{9}{8} \) ચોરસ યુનિટ મળે છે.

Exam Tip: Always solve for the intersection points between the curves first. When calculating the area between two curves, integrate the difference of the upper function and the lower function over the interval defined by the intersection points.

Question 11. વક્ર \( y^2 = 4x \) અને રેખા \( x = 3 \) વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: અહીં, વક્ર \( y^2 = 4x \) (X-અક્ષ પ્રત્યે સમમિત, જમણી તરફ ખુલતો પરવલય) અને રેખા \( x = 3 \) (Y-અક્ષને સમાંતર ઊભી રેખા) આપેલા છે.
રેખા \( x = 3 \) પરવલયને \( A(3, \sqrt{12}) \) અને \( B(3, -\sqrt{12}) \) બિંદુએ છેદે છે.
આપણે પરવલય \( y^2 = 4x \) અને રેખા \( x = 3 \) વડે આવૃત્ત પ્રદેશ OBCAO નું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
પરવલય X-અક્ષ પ્રત્યે સમમિત હોવાથી, કુલ ક્ષેત્રફળ પ્રથમ ચરણમાં આવેલા પ્રદેશ OCAO ના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.
પ્રથમ ચરણમાં \( y = \sqrt{4x} = 2\sqrt{x} \).
માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( A = 2 \times (\text{પ્રદેશ OCAO નું ક્ષેત્રફળ}) \)
\( = 2 \int_0^3 y \, dx \)
\( = 2 \int_0^3 2\sqrt{x} \, dx \)
\( = 4 \int_0^3 x^{1/2} \, dx \)
\( = 4 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^3 \)
\( = \frac{8}{3} [ (3)^{3/2} - 0^{3/2} ] \)
\( = \frac{8}{3} [ 3\sqrt{3} ] \)
\( = 8\sqrt{3} \)
આથી, માંગેલ ક્ષેત્રફળ \( 8\sqrt{3} \) ચોરસ એકમ છે.
In simple words: આપણે \( y^2 = 4x \) પરવલય અને \( x=3 \) લાઇન વચ્ચેનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ. પરવલય X-અક્ષ પ્રત્યે સમમિત હોવાથી, આપણે 0 થી 3 સુધી \( 2\sqrt{x} \) ને ઇન્ટિગ્રેટ કરીએ છીએ અને તેને 2 વડે ગુણીએ છીએ. આનાથી કુલ ક્ષેત્રફળ \( 8\sqrt{3} \) ચોરસ યુનિટ મળે છે.

Exam Tip: For regions bounded by a parabola and a vertical line, symmetry can often simplify the calculation. Integrate from 0 to the line's x-value and multiply by 2 if the parabola is symmetric about the x-axis and the region covers both positive and negative y-values.

Question 12. વર્તુળ \( x^2 + y^2 = 4 \), રેખા \( x = 0 \) અને \( x = 2 \) વડે આવૃત્ત પ્રથમ ચરણમાં આવેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ
(A) \( \pi \)
(B) \( \frac{\pi}{2} \)
(C) \( \frac{\pi}{3} \)
(D) \( \frac{\pi}{4} \)
Answer: (A) \( \pi \)
In simple words: અહીં, આપણે \( x^2 + y^2 = 4 \) વર્તુળના પ્રથમ ચરણનો વિસ્તાર શોધીએ છીએ. \( x=0 \) એ Y-અક્ષ છે અને \( x=2 \) એ વર્તુળની ત્રિજ્યા બરાબર છે, તેથી તે પ્રથમ ચરણનો આખો વિસ્તાર દર્શાવે છે. વર્તુળની કુલ ત્રિજ્યા 2 છે, તેથી પ્રથમ ચરણનું ક્ષેત્રફળ \( \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi (2^2) = \pi \) થાય.

Exam Tip: For a circle centered at the origin, the area of one quadrant is \( \frac{1}{4}\pi r^2 \). If the limits of integration span the entire quadrant (from 0 to the radius on both axes), you can use this geometric formula directly.

Question 13. વક્ર \( y^2 = 4x \), Y-અક્ષ અને રેખા \( y = 3 \) વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ
(a) 2
(b) \( \frac{9}{4} \)
(c) \( \frac{9}{3} \)
(d) \( \frac{9}{2} \)
Answer: (b) \( \frac{9}{4} \)
વક્ર \( y^2 = 4x \) એ X-અક્ષ પ્રત્યે સમાન પરવલય છે. રેખા \( y = 3 \) એ એક સીધી આડી રેખા છે. વક્ર \( y^2 = 4x \), Y-અક્ષ અને રેખા \( y = 3 \) વડે ઘેરાયેલ વિસ્તાર OABO પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે, જે આકૃતિમાં છાયાંકિત ભાગ વડે બતાવવામાં આવ્યું છે.
આવશ્યક ક્ષેત્રફળ \( A \) ને શોધવા માટે, આપણે \( y \) ના સંદર્ભમાં \( x \) નું સંકલન કરીએ છીએ. વક્ર \( y^2 = 4x \) માંથી \( x = \frac{y^2}{4} \) મેળવી શકાય છે. સંકલનની સીમાઓ \( y = 0 \) થી \( y = 3 \) સુધી છે.
\( A = \int_0^3 x \, dy \)
\( \implies A = \int_0^3 \frac{y^2}{4} \, dy \)
\( \implies A = \frac{1}{4} \int_0^3 y^2 \, dy \)
\( \implies A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^3 \)
\( \implies A = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) \)
\( \implies A = \frac{1}{4} \left( \frac{27}{3} - 0 \right) \)
\( \implies A = \frac{1}{4} \times 9 \)
\( \implies A = \frac{9}{4} \) ચોરસ એકમ.
આથી, વિકલ્પ (B) સાચો છે.
In simple words: આપણે \( y \) અક્ષ, રેખા \( y = 3 \) અને પરવલય \( y^2 = 4x \) વડે ઘેરાયેલ વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. \( y \) ના સંદર્ભમાં \( x \) ને સંકલિત કરીને અને યોગ્ય સીમાઓ લાગુ કરીને, આપણને કુલ ક્ષેત્રફળ \( \frac{9}{4} \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે પરવલય અને રેખા વડે ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ શોધતા હોવ, ત્યારે હંમેશા \( x \) ને \( y \) ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો અને \( y \) ના સંદર્ભમાં સંકલન કરો. સંકલનની સીમાઓ કાળજીપૂર્વક નક્કી કરો.