GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 7 સંકલન Exercise 7.9

પ્રશ્નો 1 થી 20 માં નિયત સંકલિતની કિંમત મેળવો

Question 1. \( \int_{-1}^1(x + 1)dx \)
Answer:
\( \int_{-1}^1 (x + 1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^1 \)
\( = \left( \frac{(1)^2}{2} + 1 \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} + (-1) \right) \)
\( = \left( \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \)
\( = \frac{3}{2} - \left( -\frac{1}{2} \right) \)
\( = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \)
\( = \frac{4}{2} = 2 \)
In simple words: પહેલા, આપેલા ફંક્શનને ઇન્ટિગ્રેટ કરો. પછી, ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાના મૂલ્યો દાખલ કરો. બે પરિણામોને બાદબાકી કરો, જે તમને અંતિમ જવાબ આપશે.

Exam Tip: Always remember to use the Fundamental Theorem of Calculus correctly by evaluating the antiderivative at the upper limit and subtracting its value at the lower limit.

Question 2. \( \int_2^3 \frac{1}{x}dx \)
Answer:
\( \int_2^3 \frac{1}{x}dx = [\log_e x]_2^3 \)
\( = \log_e 3 - \log_e 2 \)
\( = \log_e \left( \frac{3}{2} \right) \)
In simple words: \( \frac{1}{x} \) નું ઇન્ટિગ્રેશન \( \log_e x \) છે. તમારે ઉપલા અને નીચલા મૂલ્યો દાખલ કરીને બાદબાકી કરવી પડશે, પછી લોગેરિધમનો નિયમ વાપરીને સરળ બનાવવું પડશે.

Exam Tip: Recall that the integral of \( \frac{1}{x} \) is \( \log_e |x| \). For definite integrals with positive limits, the absolute value is usually omitted for simplicity.

Question 3. \( \int_1^2(4x^3- 5x^2 + 6x + 9) dx \)
Answer:
\( \int_1^2(4x^3- 5x^2 + 6x + 9) dx \)
\( = \left[ \frac{4x^4}{4} - \frac{5x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} + 9x \right]_1^2 \)
\( = \left[ x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2 + 9x \right]_1^2 \)
\( = \left( (2)^4 - \frac{5}{3}(2)^3 + 3(2)^2 + 9(2) \right) - \left( (1)^4 - \frac{5}{3}(1)^3 + 3(1)^2 + 9(1) \right) \)
\( = \left( 16 - \frac{5}{3}(8) + 3(4) + 18 \right) - \left( 1 - \frac{5}{3} + 3 + 9 \right) \)
\( = \left( 16 - \frac{40}{3} + 12 + 18 \right) - \left( 13 - \frac{5}{3} \right) \)
\( = \left( 46 - \frac{40}{3} \right) - \left( \frac{39-5}{3} \right) \)
\( = \frac{138 - 40}{3} - \frac{34}{3} \)
\( = \frac{98}{3} - \frac{34}{3} \)
\( = \frac{64}{3} \)
In simple words: આ દાખલામાં, તમારે દરેક પદને અલગ-અલગ ઇન્ટિગ્રેટ કરવું પડશે અને પછી ચોક્કસ મર્યાદાઓ લાગુ કરવી પડશે. તે પછી, ઉપલા અને નીચલા મર્યાદાના પરિણામોને બાદ કરીને સરળ બનાવવું પડશે.

Exam Tip: For polynomial functions, remember to increase the power of x by 1 and divide by the new power for each term. Be careful with fractional terms and sign changes during evaluation.

Question 4. \( \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin 2x dx \)
Answer:
\( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 2x dx \)
\( = \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \)
\( = -\frac{1}{2} \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos (2 \cdot 0) \right) \)
\( = -\frac{1}{2} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + \frac{1}{2} \cos 0 \)
\( = -\frac{1}{2} (0) + \frac{1}{2} (1) \)
\( = 0 + \frac{1}{2} \)
\( = \frac{1}{2} \)
In simple words: અહીં, આપણે \( \sin 2x \) નું ઇન્ટિગ્રેશન કરીએ છીએ, જે \( -\frac{1}{2} \cos 2x \) છે. પછી, આપણે ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાઓને દાખલ કરીને મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ અને અંતિમ જવાબ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: Remember the integral of \( \sin(ax) \) is \( -\frac{1}{a} \cos(ax) \). Also, know the values of trigonometric functions at common angles like 0, \( \frac{\pi}{2} \), \( \pi \), etc.

Question 5. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 2x dx \)
Answer:
\( \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 2x dx \)
\( = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \)
\( = \frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) - \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 0) \)
\( = \frac{1}{2} \sin \pi - \frac{1}{2} \sin 0 \)
\( = \frac{1}{2} (0) - \frac{1}{2} (0) \)
\( = 0 \)
In simple words: \( \cos 2x \) નું ઇન્ટિગ્રેશન \( \frac{1}{2} \sin 2x \) છે. પછી, તમારે \( \pi \) અને \( 0 \) માટે સાઇન વેલ્યુનો ઉપયોગ કરીને બાદબાકી કરવી પડશે.

Exam Tip: The integral of \( \cos(ax) \) is \( \frac{1}{a} \sin(ax) \). Be careful with the factor of \( \frac{1}{a} \) and remember that \( \sin(\pi) = 0 \) and \( \sin(0) = 0 \).

Question 6. \( \int_4^5 e^x dx \)
Answer:
\( \int_4^5 e^x dx = [e^x]_4^5 \)
\( = e^5 - e^4 \)
\( = e^4 (e - 1) \)
In simple words: \( e^x \) નું ઇન્ટિગ્રેશન \( e^x \) જ રહે છે. તેથી, તમારે ફક્ત ઉપલા અને નીચલા મર્યાદાના મૂલ્યો દાખલ કરવા પડશે અને પછી સામાન્ય અવયવ \( e^4 \) ને બહાર કાઢીને જવાબ મેળવવો પડશે.

Exam Tip: The integral of \( e^x \) is one of the simplest to remember, as it remains \( e^x \). Don't forget to factor out common terms for the final answer.

Question 7. \( \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan x dx \)
Answer:
\( \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan x dx = [\log_e |\sec x|]_0^{\frac{\pi}{4}} \)
\( = \log_e \left| \sec \frac{\pi}{4} \right| - \log_e |\sec 0| \)
\( = \log_e \sqrt{2} - \log_e 1 \)
\( = \log_e \sqrt{2} - 0 \)
\( = \frac{1}{2} \log_e 2 \) (Since \( \log_e 1 = 0 \))
In simple words: \( \tan x \) નું ઇન્ટિગ્રેશન \( \log_e |\sec x| \) છે. પછી, તમારે \( \sec \frac{\pi}{4} \) અને \( \sec 0 \) ના મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને લોગેરિધમના નિયમો લાગુ કરવા પડશે.

Exam Tip: Recall the integral of \( \tan x \) is \( \log_e |\sec x| \) or \( -\log_e |\cos x| \). Also, remember that \( \sec 0 = 1 \) and \( \sec \frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \).

Question 8. \( \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\cosec x dx \)
Answer:
\( \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\cosec x dx = [\log_e |\cosec x - \cot x|]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \)
\( = \log_e \left| \cosec \frac{\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{4} \right| - \log_e \left| \cosec \frac{\pi}{6} - \cot \frac{\pi}{6} \right| \)
\( = \log_e |\sqrt{2} - 1| - \log_e |2 - \sqrt{3}| \)
\( = \log_e \left( \frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{3}} \right) \)
In simple words: અહીં, આપણે \( \cosec x \) નું ઇન્ટિગ્રેશન કરીએ છીએ, જે \( \log_e |\cosec x - \cot x| \) છે. પછી, તમારે \( \frac{\pi}{4} \) અને \( \frac{\pi}{6} \) પર \( \cosec \) અને \( \cot \) ના મૂલ્યો દાખલ કરવા પડશે અને લોગેરિધમના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને તેને સરળ બનાવવું પડશે.

Exam Tip: It is crucial to remember the integral formula for \( \cosec x \). Also, be familiar with the exact values of trigonometric functions for standard angles like \( \frac{\pi}{6} \) and \( \frac{\pi}{4} \).

Question 9. \( \int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x^2}} \)
Answer:
\( \int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x^2}} = [\sin^{-1}x]_0^1 \)
\( = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) \)
\( = \frac{\pi}{2} - 0 \)
\( = \frac{\pi}{2} \)
In simple words: \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) નું ઇન્ટિગ્રેશન \( \sin^{-1}x \) છે. તમારે ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાના મૂલ્યો દાખલ કરીને બાદબાકી કરવી પડશે.

Exam Tip: Recognize standard integral forms like \( \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1}x \). Remember that \( \sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} \) and \( \sin^{-1}(0) = 0 \).

Question 10. \( \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} \)
Answer:
\( \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} = [\tan^{-1}x]_0^1 \)
\( = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) \)
\( = \frac{\pi}{4} - 0 \)
\( = \frac{\pi}{4} \)
In simple words: \( \frac{1}{1+x^2} \) નું ઇન્ટિગ્રેશન \( \tan^{-1}x \) છે. તમારે ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાના મૂલ્યો દાખલ કરીને બાદબાકી કરવી પડશે.

Exam Tip: This is another common standard integral, \( \int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x \). Remember that \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \) and \( \tan^{-1}(0) = 0 \).

Question 11. \( \int_2^3 \frac{dx}{x^2-1} \)
Answer:
\( \int_2^3 \frac{dx}{x^2-1} \)
\( = \int_2^3 \frac{dx}{(x-1)(x+1)} \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \log_e \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right]_2^3 \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \log_e \left( \frac{3-1}{3+1} \right) - \log_e \left( \frac{2-1}{2+1} \right) \right] \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \log_e \left( \frac{2}{4} \right) - \log_e \left( \frac{1}{3} \right) \right] \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \log_e \left( \frac{1}{2} \right) - \log_e \left( \frac{1}{3} \right) \right] \)
\( = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} \right) \)
\( = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{1}{2} \times 3 \right) \)
\( = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{3}{2} \right) \)
In simple words: પહેલા, \( \frac{1}{x^2-1} \) ને અપૂર્ણાંકમાં વિભાજીત કરો, જેથી \( \frac{1}{(x-1)(x+1)} \) મળે. પછી ઇન્ટિગ્રેશન ફોર્મ્યુલા \( \int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} \log_e \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \) નો ઉપયોગ કરો. છેલ્લે, ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાઓને દાખલ કરીને લોગેરિધમના ગુણધર્મો લાગુ કરો.

Exam Tip: Recognize the integral of the form \( \frac{1}{x^2-a^2} \). It is crucial to correctly apply the partial fraction decomposition or the direct formula. Also, simplify the logarithmic terms using \( \log a - \log b = \log \frac{a}{b} \).

Question 12. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2x dx \)
Answer:
\( \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2x dx \)
(Since \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \))
\( = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx \)
\( = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) dx \)
\( = \frac{1}{2} \left[ x + \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\sin (2 \cdot \frac{\pi}{2})}{2} \right) - \left( 0 + \frac{\sin (2 \cdot 0)}{2} \right) \right] \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\sin \pi}{2} \right) - \left( 0 + \frac{\sin 0}{2} \right) \right] \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} + \frac{0}{2} \right) - \left( 0 + \frac{0}{2} \right) \right] \) (Since \( \sin \pi = 0, \sin 0 = 0 \))
\( = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - 0 \right] \)
\( = \frac{\pi}{4} \)
In simple words: \( \cos^2 x \) ને \( \frac{1 + \cos 2x}{2} \) માં રૂપાંતરિત કરો. પછી, ઇન્ટિગ્રેટ કરો અને ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાના મૂલ્યો દાખલ કરીને સરળ બનાવો.

Exam Tip: When integrating powers of trigonometric functions like \( \cos^2 x \) or \( \sin^2 x \), always use the double angle identities to simplify them into terms that can be integrated directly.

Question 13. \( \int_2^3 \frac{x d x}{x^2+1} \)
Answer:
\( \int_2^3 \frac{x d x}{x^2+1} \)
Let \( t = x^2+1 \)
Then \( dt = 2x dx \)
So, \( x dx = \frac{dt}{2} \)
When \( x=2, t=2^2+1=5 \)
When \( x=3, t=3^2+1=10 \)
\( = \int_5^{10} \frac{1}{t} \frac{dt}{2} \)
\( = \frac{1}{2} \int_5^{10} \frac{1}{t} dt \)
\( = \frac{1}{2} [\log_e |t|]_5^{10} \)
\( = \frac{1}{2} [\log_e 10 - \log_e 5] \)
\( = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{10}{5} \right) \)
\( = \frac{1}{2} \log_e 2 \)
In simple words: આ દાખલામાં, તમારે પ્રતિસ્થાપન પદ્ધતિ (substitution method) વાપરવી પડશે. \( x^2+1 \) ને \( t \) તરીકે ધારી લો, પછી \( x dx \) ને \( dt \) માં રૂપાંતરિત કરો અને મર્યાદાઓ બદલો. છેલ્લે, ઇન્ટિગ્રેટ કરો અને લોગેરિધમના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને સરળ બનાવો.

Exam Tip: For integrals involving a function and its derivative (or a multiple of its derivative), consider using the substitution method. Remember to change the limits of integration when substituting.

Question 14. \( \int_0^1 \frac{2 x+3}{5 x^2+1}dx \)
Answer:
\( \int_0^1 \frac{2 x+3}{5 x^2+1}dx \)
\( = \int_0^1 \frac{2x}{5x^2+1}dx + \int_0^1 \frac{3}{5x^2+1}dx \)
\( = \frac{1}{5} \int_0^1 \frac{10x}{5x^2+1}dx + \frac{3}{5} \int_0^1 \frac{1}{x^2+\frac{1}{5}}dx \)
\( = \frac{1}{5} \int_0^1 \frac{d(5x^2+1)}{5x^2+1} + \frac{3}{5} \int_0^1 \frac{1}{x^2+\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2}dx \)
\( = \frac{1}{5} [\log_e |5x^2+1|]_0^1 + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}} [\tan^{-1}(\sqrt{5}x)]_0^1 \)
\( = \frac{1}{5} [\log_e (5(1)^2+1) - \log_e (5(0)^2+1)] + \frac{3}{\sqrt{5}} [\tan^{-1}(\sqrt{5}(1)) - \tan^{-1}(\sqrt{5}(0))] \)
\( = \frac{1}{5} [\log_e 6 - \log_e 1] + \frac{3}{\sqrt{5}} [\tan^{-1}\sqrt{5} - \tan^{-1}0] \)
\( = \frac{1}{5} [\log_e 6 - 0] + \frac{3}{\sqrt{5}} [\tan^{-1}\sqrt{5} - 0] \)
\( = \frac{1}{5} \log_e 6 + \frac{3}{\sqrt{5}} \tan^{-1}\sqrt{5} \)
In simple words: આ ઇન્ટિગ્રલને બે ભાગમાં વિભાજીત કરો. પ્રથમ ભાગ માટે, છેદના ડેરિવેટિવને અંશમાં બનાવો અને લોગેરિધમ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરો. બીજા ભાગ માટે, \( \frac{1}{x^2+a^2} \) ફોર્મનો ઉપયોગ કરો, જે \( \tan^{-1} \) આપે છે. પછી, ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાઓ દાખલ કરો.

Exam Tip: For rational functions, split the numerator if it's a sum. Look for integrals of the form \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log_e |f(x)| \) and \( \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \).

Question 15. \( \int_0^1x e^{x^2}dx \)
Answer:
Let \( I = \int_0^1x e^{x^2}dx \)
Let \( t = x^2 \)
Then \( dt = 2x dx \), so \( x dx = \frac{dt}{2} \)
When \( x=0, t=0^2=0 \)
When \( x=1, t=1^2=1 \)
\( I = \int_0^1 e^t \frac{dt}{2} \)
\( = \frac{1}{2} \int_0^1 e^t dt \)
\( = \frac{1}{2} [e^t]_0^1 \)
\( = \frac{1}{2} [e^1 - e^0] \)
\( = \frac{1}{2} [e - 1] \)
In simple words: આ દાખલામાં, તમારે પ્રતિસ્થાપન પદ્ધતિ વાપરવી પડશે. \( x^2 \) ને \( t \) તરીકે ધારી લો, પછી \( x dx \) ને \( dt \) માં રૂપાંતરિત કરો અને મર્યાદાઓ બદલો. છેલ્લે, \( e^t \) ને ઇન્ટિગ્રેટ કરો અને ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાઓ દાખલ કરો.

Exam Tip: Substitution is effective when one part of the integrand is the derivative of another part. Remember to adjust the limits of integration according to the new variable.

Question 16. \( \int_1^2 \frac{5 x^2}{x^2+4x+3}dx \)
Answer:
For the given expression \( \frac{5 x^2}{x^2+4x+3} \), the degree of the numerator is equal to the degree of the denominator. Therefore, we should perform polynomial long division first.
\( \frac{5x^2}{x^2+4x+3} = 5 - \frac{20x+15}{x^2+4x+3} \)
Now, let's consider the fractional part: \( \frac{20x+15}{x^2+4x+3} = \frac{20x+15}{(x+3)(x+1)} \)
Using partial fractions, let \( \frac{20x+15}{(x+3)(x+1)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x+1} \)
\( 20x+15 = A(x+1) + B(x+3) \)
If \( x = -1 \): \( 20(-1)+15 = A(-1+1) + B(-1+3) \implies -5 = 2B \implies B = -\frac{5}{2} \)
If \( x = -3 \): \( 20(-3)+15 = A(-3+1) + B(-3+3) \implies -60+15 = -2A \implies -45 = -2A \implies A = \frac{45}{2} \)
So, \( \int_1^2 \frac{5 x^2}{x^2+4x+3}dx = \int_1^2 \left( 5 - \frac{\frac{45}{2}}{x+3} - \frac{-\frac{5}{2}}{x+1} \right) dx \)
\( = \int_1^2 \left( 5 - \frac{45}{2(x+3)} + \frac{5}{2(x+1)} \right) dx \)
\( = \left[ 5x - \frac{45}{2} \log_e |x+3| + \frac{5}{2} \log_e |x+1| \right]_1^2 \)
\( = \left( 5(2) - \frac{45}{2} \log_e |2+3| + \frac{5}{2} \log_e |2+1| \right) - \left( 5(1) - \frac{45}{2} \log_e |1+3| + \frac{5}{2} \log_e |1+1| \right) \)
\( = \left( 10 - \frac{45}{2} \log_e 5 + \frac{5}{2} \log_e 3 \right) - \left( 5 - \frac{45}{2} \log_e 4 + \frac{5}{2} \log_e 2 \right) \)
\( = (10-5) - \frac{45}{2} (\log_e 5 - \log_e 4) + \frac{5}{2} (\log_e 3 - \log_e 2) \)
\( = 5 - \frac{45}{2} \log_e \left( \frac{5}{4} \right) + \frac{5}{2} \log_e \left( \frac{3}{2} \right) \)
In simple words: જ્યારે અંશ અને છેદની ઘાત સમાન હોય, ત્યારે ભાગાકાર કરો. પછી અપૂર્ણાંક ભાગ માટે આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટનનો ઉપયોગ કરો. છેલ્લે, દરેક પદને ઇન્ટિગ્રેટ કરો અને ઉપલી-નીચલી મર્યાદાઓ દાખલ કરીને સરળ બનાવો.

Exam Tip: Always perform polynomial long division when the degree of the numerator is greater than or equal to the degree of the denominator. Then use partial fractions for the remainder term. Carefully apply logarithm rules for simplification.

Question 17. \( \int_0^{\frac{\pi}{4}}(2 \sec^2x + x^3 + 2)dx \)
Answer:
\( \int_0^{\frac{\pi}{4}}(2 \sec^2x + x^3 + 2)dx \)
\( = \left[ 2\tan x + \frac{x^4}{4} + 2x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \)
\( = \left( 2\tan \frac{\pi}{4} + \frac{(\frac{\pi}{4})^4}{4} + 2\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) - \left( 2\tan 0 + \frac{0^4}{4} + 2(0) \right) \)
\( = \left( 2(1) + \frac{\pi^4}{4^4 \cdot 4} + \frac{\pi}{2} \right) - (2(0) + 0 + 0) \)
\( = 2 + \frac{\pi^4}{1024} + \frac{\pi}{2} \)
In simple words: આ ઇન્ટિગ્રલના દરેક પદને અલગ-અલગ ઇન્ટિગ્રેટ કરો. \( \sec^2 x \) નું ઇન્ટિગ્રેશન \( \tan x \) છે. પછી, ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાઓ દાખલ કરો અને ગણતરી કરો.

Exam Tip: Remember the standard integral \( \int \sec^2 x dx = \tan x \). Evaluate each term precisely at the upper and lower limits, and be careful with powers of \( \pi \).

Question 18. \( \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin^2\frac{x}{2} – \cos^2\frac{x}{2})dx \)
Answer:
\( \int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin^2\frac{x}{2} – \cos^2\frac{x}{2})dx \)
We know that \( \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \). So, \( -(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}) = -\cos x \).
\( = \int_0^{\frac{\pi}{4}}(-\cos x)dx \)
\( = [-\sin x]_0^{\frac{\pi}{4}} \)
\( = - \left( \sin \frac{\pi}{4} - \sin 0 \right) \)
\( = - \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 \right) \)
\( = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
In simple words: પહેલા, ટ્રિગ્નોમેટ્રિક આઇડેન્ટિટી \( \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = -\cos 2\theta \) નો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનને સરળ બનાવો. પછી, \( -\cos x \) ને ઇન્ટિગ્રેટ કરો અને ઉપલી-નીચલી મર્યાદાઓ દાખલ કરો.

Exam Tip: Look for opportunities to use trigonometric identities to simplify the integrand before integrating. \( \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A \) is a very useful identity here.

Question 19. \( \int_0^2 \frac{6 x+3}{x^2+4}dx \)
Answer:
\( \int_0^2 \frac{6 x+3}{x^2+4}dx \)
\( = \int_0^2 \frac{6x}{x^2+4}dx + \int_0^2 \frac{3}{x^2+4}dx \)
\( = 3 \int_0^2 \frac{2x}{x^2+4}dx + 3 \int_0^2 \frac{1}{x^2+2^2}dx \)
\( = 3 [\log_e |x^2+4|]_0^2 + 3 \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) \right]_0^2 \)
\( = 3 [\log_e (2^2+4) - \log_e (0^2+4)] + \frac{3}{2} \left[ \tan^{-1}\left(\frac{2}{2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{0}{2}\right) \right] \)
\( = 3 [\log_e 8 - \log_e 4] + \frac{3}{2} [\tan^{-1}1 - \tan^{-1}0] \)
\( = 3 \log_e \left( \frac{8}{4} \right) + \frac{3}{2} \left[ \frac{\pi}{4} - 0 \right] \)
\( = 3 \log_e 2 + \frac{3\pi}{8} \)
In simple words: આ ઇન્ટિગ્રલને બે ભાગમાં વિભાજીત કરો. પ્રથમ ભાગ માટે, છેદના ડેરિવેટિવને અંશમાં ગોઠવો અને લોગેરિધમ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરો. બીજા ભાગ માટે, \( \frac{1}{x^2+a^2} \) ફોર્મનો ઉપયોગ કરો, જે \( \tan^{-1} \) આપે છે. પછી, ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાઓ દાખલ કરો.

Exam Tip: Decompose the integral into simpler forms. For \( \frac{2x}{x^2+4} \), recognize that \( 2x \) is the derivative of \( x^2+4 \). For \( \frac{1}{x^2+4} \), use the \( \tan^{-1} \) integration formula. Simplify logarithms and exact trigonometric values.

Question 20. \( \int_0^1(x e^x + \sin\frac{\pi x}{4})dx \)
Answer:
\( \int_0^1(x e^x + \sin\frac{\pi x}{4})dx \)
\( = \int_0^1 x e^x dx + \int_0^1 \sin\frac{\pi x}{4} dx \)
For \( \int_0^1 x e^x dx \), use integration by parts \( \int u dv = uv - \int v du \):
Let \( u = x \implies du = dx \)
Let \( dv = e^x dx \implies v = e^x \)
\( \int_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx \)
\( = [x e^x]_0^1 - [e^x]_0^1 \)
\( = (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - (e^1 - e^0) \)
\( = (e - 0) - (e - 1) \)
\( = e - e + 1 = 1 \)
For \( \int_0^1 \sin\frac{\pi x}{4} dx \):
\( = \left[ -\frac{\cos(\frac{\pi x}{4})}{\frac{\pi}{4}} \right]_0^1 \)
\( = -\frac{4}{\pi} \left[ \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) \right]_0^1 \)
\( = -\frac{4}{\pi} \left[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos(0) \right] \)
\( = -\frac{4}{\pi} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} - 1 \right] \)
\( = -\frac{4}{\pi} \left( \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right) \)
\( = \frac{4(\sqrt{2}-1)}{\pi\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{\pi \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\pi} = \frac{4-2\sqrt{2}}{\pi} \)
Adding both parts:
\( = 1 + \frac{4-2\sqrt{2}}{\pi} \)
In simple words: આ દાખલાને બે ઇન્ટિગ્રલ તરીકે ગણો. પ્રથમ ભાગ માટે, આંશિક ઇન્ટિગ્રેશન પદ્ધતિ (integration by parts) નો ઉપયોગ કરો. બીજા ભાગ માટે, \( \sin(ax) \) ના ઇન્ટિગ્રેશન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરો. પછી, બંને પરિણામોને ઉમેરો અને ઉપલી-નીચલી મર્યાદાઓ દાખલ કરીને સરળ બનાવો.

Exam Tip: For integrals like \( \int x e^x dx \), remember to use integration by parts. For trigonometric integrals like \( \int \sin(ax) dx \), recall the formula \( -\frac{1}{a}\cos(ax) \). Be careful with the limits and exact values.

પ્રશ્નો 21 તથા 22 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

Question 21. \( \int_1^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1+x^2} = \)
(A) \( \frac{\pi}{3} \)
(B) \( \frac{2 \pi}{3} \)
(C) \( \frac{\pi}{6} \)
(D) \( \frac{\pi}{12} \)
Answer: (D) \( \frac{\pi}{12} \)
\( \int_1^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1+x^2} = [\tan^{-1}x]_1^{\sqrt{3}} \)
\( = \tan^{-1}(\sqrt{3}) - \tan^{-1}(1) \)
\( = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \)
\( = \frac{4\pi - 3\pi}{12} \)
\( = \frac{\pi}{12} \)
In simple words: \( \frac{1}{1+x^2} \) નું ઇન્ટિગ્રેશન \( \tan^{-1}x \) છે. તમારે ઉપલી અને નીચલી મર્યાદાના મૂલ્યો દાખલ કરીને બાદબાકી કરવી પડશે.

Exam Tip: Recognize the standard integral for \( \tan^{-1}x \). Recall the exact values of \( \tan^{-1}(\sqrt{3}) \) and \( \tan^{-1}(1) \), and perform fractional subtraction carefully.