GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 7 સંકલન Exercise 7.10

નીચે આપેલ સંકલિતો 1 થી 8 નું મૂલ્ય આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીને મેળવો :

Question 1. \( \int_0^1 \frac{x}{x^2+1}dx \)
Answer:
ધારો કે \( t = x^2+1 \)
\( \implies dt = 2x dx \)
જ્યારે \( x = 0 \), ત્યારે \( t = 0^2+1 = 1 \).
જ્યારે \( x = 1 \), ત્યારે \( t = 1^2+1 = 2 \).
તેથી, આપણે સંકલનને આ રીતે બદલી શકીએ:
\( \int_0^1 \frac{x}{x^2+1}dx = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{dt}{t} \)
\( = \frac{1}{2} [\log |t|]_1^2 \)
\( = \frac{1}{2} [\log 2 - \log 1] \)
\( = \frac{1}{2} [\log 2 - 0] \)
\( = \frac{1}{2} \log 2 \)
In simple words: આપણે ગણતરી સરળ બનાવવા માટે \( x^2+1 \) ને t તરીકે બદલીએ છીએ. પછી, આપણે x ની સીમાઓ t ની સીમાઓમાં બદલીએ છીએ. છેલ્લે, આપણે સરળ સંકલનનો ઉપયોગ કરીને જવાબ \( \frac{1}{2} \log 2 \) મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે તમે નિશ્ચિત સંકલનમાં બદલો છો, ત્યારે હંમેશા જૂની ચલની સીમાઓને નવા ચલની અનુરૂપ સીમાઓમાં બદલવાનું યાદ રાખો.

Question 2. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi}\cos^5 \phi d\phi \)
Answer:
આપણે સંકલનને આ રીતે લખી શકીએ:
\( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi}\cos^4 \phi \cos \phi d\phi \)
\( = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi}(1-\sin^2 \phi)^2 \cos \phi d\phi \)
ધારો કે \( \sin \phi = t^2 \)
\( \implies \cos \phi d\phi = 2t dt \)
જ્યારે \( \phi = 0 \), ત્યારે \( t^2 = \sin 0 = 0 \implies t = 0 \).
જ્યારે \( \phi = \frac{\pi}{2} \), ત્યારે \( t^2 = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \implies t = 1 \).
હવે, સંકલન આ રીતે બદલાશે:
\( \int_0^1 t \cdot (1-t^4)^2 \cdot 2t dt \)
\( = 2 \int_0^1 t^2 (1 - 2t^4 + t^8) dt \)
\( = 2 \int_0^1 (t^2 - 2t^6 + t^{10}) dt \)
\( = 2 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{2t^7}{7} + \frac{t^{11}}{11} \right]_0^1 \)
\( = 2 \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{7} + \frac{1}{11} \right) \)
\( = 2 \left( \frac{77 - 66 + 21}{231} \right) \)
\( = 2 \left( \frac{32}{231} \right) \)
\( = \frac{64}{231} \)
In simple words: આપણે પહેલા \( \cos^5 \phi \) ને \( \cos^4 \phi \cos \phi \) માં વિભાજીત કરીએ છીએ અને \( \cos^4 \phi \) ને \( (1-\sin^2 \phi)^2 \) માં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. પછી, \( \sin \phi = t^2 \) નો ઉપયોગ કરીને ચલ બદલીએ છીએ. આનાથી સંકલન સરળ બને છે, જેનાથી આપણે તેને નિયમિત રીતે ગણી શકીએ અને \( \frac{64}{231} \) જવાબ મેળવી શકીએ.

Exam Tip: ત્રિકોણમિતિના સંકલનમાં, હંમેશા વિષમ ઘાતને અલગ કરવાનો પ્રયાસ કરો અને બાકીનાને \( \sin \) અથવા \( \cos \) માં બદલવા માટે \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) જેવા નિત્યસમનો ઉપયોગ કરો. પછી, ઉપયુક્ત બદલીનો ઉપયોગ કરો.

Question 3. \( \int_0^1\sin^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)dx \)
Answer:
ધારો કે \( x = \tan \theta \)
\( \implies dx = \sec^2 \theta d\theta \)
જ્યારે \( x = 0 \), ત્યારે \( \tan \theta = 0 \implies \theta = 0 \).
જ્યારે \( x = 1 \), ત્યારે \( \tan \theta = 1 \implies \theta = \frac{\pi}{4} \).
સંકલન બદલાશે:
\( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)\sec^2 \theta d\theta \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta} = \sin 2\theta \)
તેથી, સંકલન આ રીતે બને છે:
\( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^{-1}(\sin 2\theta)\sec^2 \theta d\theta \)
\( = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2\theta \sec^2 \theta d\theta \)
ભાગો દ્વારા સંકલનનો ઉપયોગ કરતા (\( u = 2\theta, dv = \sec^2 \theta d\theta \)):
\( u = 2\theta \implies du = 2 d\theta \)
\( dv = \sec^2 \theta d\theta \implies v = \int \sec^2 \theta d\theta = \tan \theta \)
\( \int u dv = uv - \int v du \)
\( \int_0^{\frac{\pi}{4}} 2\theta \sec^2 \theta d\theta = [2\theta \tan \theta]_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan \theta \cdot 2 d\theta \)
\( = \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{4} - 2 \cdot 0 \tan 0 \right) - 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan \theta d\theta \)
\( = \left( \frac{\pi}{2} \cdot 1 - 0 \right) - 2 [\log |\sec \theta|]_0^{\frac{\pi}{4}} \)
\( = \frac{\pi}{2} - 2 (\log |\sec \frac{\pi}{4}| - \log |\sec 0|) \)
\( = \frac{\pi}{2} - 2 (\log \sqrt{2} - \log 1) \)
\( = \frac{\pi}{2} - 2 (\log \sqrt{2} - 0) \)
\( = \frac{\pi}{2} - 2 \log 2^{1/2} \)
\( = \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} \log 2 \)
\( = \frac{\pi}{2} - \log 2 \)
In simple words: આપણે \( x = \tan \theta \) બદલીને સંકલનને સરળ બનાવીએ છીએ, જે \( \sin^{-1} \) ને દૂર કરવામાં મદદ કરે છે. પછી, આપણે સીમાઓ બદલીએ છીએ અને ભાગો દ્વારા સંકલનનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ જવાબ \( \frac{\pi}{2} - \log 2 \) મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: \( \sin^{-1}(\frac{2x}{1+x^2}) \) જેવા ત્રિકોણમિતિના વિપરીત વિધેયો સાથે સંકલન કરતી વખતે, હંમેશા યોગ્ય ત્રિકોણમિતિ બદલી (\( x = \tan \theta \), \( x = \sin \theta \), વગેરે) શોધીને તેને સરળ બનાવવાનો પ્રયાસ કરો.

Question 4. \( \int_0^2x\sqrt{x+2}dx \)
Answer:
ધારો કે \( x+2 = t^2 \)
\( \implies dx = 2t dt \)
વળી, \( x = t^2-2 \)
જ્યારે \( x = 0 \), ત્યારે \( t^2 = 0+2 = 2 \implies t = \sqrt{2} \).
જ્યારે \( x = 2 \), ત્યારે \( t^2 = 2+2 = 4 \implies t = 2 \).
સંકલન આ રીતે બદલાશે:
\( \int_{\sqrt{2}}^2 (t^2-2)\sqrt{t^2}(2t) dt \)
\( = \int_{\sqrt{2}}^2 (t^2-2)t(2t) dt \)
\( = \int_{\sqrt{2}}^2 2t^2(t^2-2) dt \)
\( = \int_{\sqrt{2}}^2 (2t^4-4t^2) dt \)
\( = \left[ \frac{2t^5}{5} - \frac{4t^3}{3} \right]_{\sqrt{2}}^2 \)
\( = \left( \frac{2(2)^5}{5} - \frac{4(2)^3}{3} \right) - \left( \frac{2(\sqrt{2})^5}{5} - \frac{4(\sqrt{2})^3}{3} \right) \)
\( = \left( \frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{4 \cdot 8}{3} \right) - \left( \frac{2 \cdot 4\sqrt{2}}{5} - \frac{4 \cdot 2\sqrt{2}}{3} \right) \)
\( = \left( \frac{64}{5} - \frac{32}{3} \right) - \left( \frac{8\sqrt{2}}{5} - \frac{8\sqrt{2}}{3} \right) \)
\( = \frac{192 - 160}{15} - 8\sqrt{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \right) \)
\( = \frac{32}{15} - 8\sqrt{2} \left( \frac{3-5}{15} \right) \)
\( = \frac{32}{15} - 8\sqrt{2} \left( \frac{-2}{15} \right) \)
\( = \frac{32}{15} + \frac{16\sqrt{2}}{15} \)
\( = \frac{16(2+\sqrt{2})}{15} \)
\( = \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{15} \)
In simple words: આપણે \( x+2 = t^2 \) બદલીનો ઉપયોગ કરીને સંકલનને સરળ બનાવીએ છીએ. આ \( \sqrt{x+2} \) ને t માં રૂપાંતરિત કરે છે અને x ને \( t^2-2 \) માં બદલે છે. પછી, આપણે સીમાઓ પણ બદલીએ છીએ અને નિયમિત સંકલન કરીને \( \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{15} \) જવાબ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે સંકલનમાં \( \sqrt{ax+b} \) શામેલ હોય, ત્યારે \( ax+b = t^2 \) બદલીનો ઉપયોગ ઘણીવાર સંકલનને સરળ બનાવવામાં મદદ કરે છે, ખાસ કરીને જો x પણ સમાવેલ હોય.

Question 5. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^2 x}dx \)
Answer:
ધારો કે \( \cos x = t \)
\( \implies -\sin x dx = dt \)
\( \implies \sin x dx = -dt \)
જ્યારે \( x = 0 \), ત્યારે \( t = \cos 0 = 1 \).
જ્યારે \( x = \frac{\pi}{2} \), ત્યારે \( t = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \).
સંકલન આ રીતે બદલાશે:
\( \int_1^0 \frac{-dt}{1+t^2} \)
\( = - \int_1^0 \frac{dt}{1+t^2} \)
સીમાઓને ઉલટાવતા, નિશાની બદલાય છે:
\( = \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2} \)
\( = [\tan^{-1} t]_0^1 \)
\( = \tan^{-1} 1 - \tan^{-1} 0 \)
\( = \frac{\pi}{4} - 0 \)
\( = \frac{\pi}{4} \)
In simple words: આપણે \( \cos x = t \) બદલીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે \( \sin x dx \) ને \( -dt \) માં રૂપાંતરિત કરે છે. સીમાઓ પણ બદલવામાં આવે છે. પછી, આપણે \( \frac{1}{1+t^2} \) ના સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( \tan^{-1} t \) મેળવીએ છીએ અને સીમાઓ લાગુ કરીને \( \frac{\pi}{4} \) જવાબ શોધીએ છીએ.

Exam Tip: \( \tan^{-1} \) સ્વરૂપના સંકલનમાં, \( \sin x \) અથવા \( \cos x \) માટે યોગ્ય બદલીનો ઉપયોગ કરવાથી ઘણીવાર અભિવ્યક્તિ \( \frac{1}{1+t^2} \) અથવા \( \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \) માં રૂપાંતરિત થાય છે.

Question 6. \( \int_0^2 \frac{dx}{x+4-x^2} \)
Answer:
પહેલા છેદને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ:
\( x+4-x^2 = -(x^2-x-4) \)
\( = -\left( x^2-x+\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \right) \)
\( = -\left( \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} - 4 \right) \)
\( = -\left( \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1+16}{4} \right) \)
\( = -\left( \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{17}{4} \right) \)
\( = \frac{17}{4} - \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 \)
હવે, સંકલન આ રીતે બને છે:
\( \int_0^2 \frac{dx}{\frac{17}{4} - \left(x-\frac{1}{2}\right)^2} \)
આ \( \int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} \right| \) સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં \( a = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \) અને \( X = x-\frac{1}{2} \).
તેથી, સંકલન થશે:
\( = \left[ \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{17}}{2}} \log \left| \frac{\frac{\sqrt{17}}{2} + \left(x-\frac{1}{2}\right)}{\frac{\sqrt{17}}{2} - \left(x-\frac{1}{2}\right)} \right| \right]_0^2 \)
\( = \left[ \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{\sqrt{17} + 2x - 1}{\sqrt{17} - (2x - 1)} \right| \right]_0^2 \)
સીમાઓ લાગુ કરતા:
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \left( \log \left| \frac{\sqrt{17} + 2(2) - 1}{\sqrt{17} - (2(2) - 1)} \right| - \log \left| \frac{\sqrt{17} + 2(0) - 1}{\sqrt{17} - (2(0) - 1)} \right| \right) \)
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \left( \log \left| \frac{\sqrt{17} + 3}{\sqrt{17} - 3} \right| - \log \left| \frac{\sqrt{17} - 1}{\sqrt{17} + 1} \right| \right) \)
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{\frac{\sqrt{17} + 3}{\sqrt{17} - 3}}{\frac{\sqrt{17} - 1}{\sqrt{17} + 1}} \right| \)
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} + 1)}{(\sqrt{17} - 3)(\sqrt{17} - 1)} \right| \)
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{17 + \sqrt{17} + 3\sqrt{17} + 3}{17 - \sqrt{17} - 3\sqrt{17} + 3} \right| \)
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{20 + 4\sqrt{17}}{20 - 4\sqrt{17}} \right| \)
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{4(5 + \sqrt{17})}{4(5 - \sqrt{17})} \right| \)
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{5 + \sqrt{17}}{5 - \sqrt{17}} \right| \)
અંતિમ અભિવ્યક્તિને વધુ સરળ બનાવતા:
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{(5 + \sqrt{17})(5 + \sqrt{17})}{(5 - \sqrt{17})(5 + \sqrt{17})} \right| \)
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{(5 + \sqrt{17})^2}{25 - 17} \right| \)
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{25 + 17 + 10\sqrt{17}}{8} \right| \)
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{42 + 10\sqrt{17}}{8} \right| \)
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{2(21 + 5\sqrt{17})}{8} \right| \)
\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{21 + 5\sqrt{17}}{4} \right| \)
In simple words: પહેલા આપણે છેદને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ. આ તેને \( a^2-x^2 \) સ્વરૂપમાં લાવે છે. પછી, આપણે જાણીતા સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેને સંકલિત કરીએ છીએ. છેલ્લે, આપણે સીમાઓ લાગુ કરીએ છીએ અને અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ છીએ જેથી \( \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left| \frac{21 + 5\sqrt{17}}{4} \right| \) જવાબ મેળવી શકાય.

Exam Tip: છેદમાં \( ax^2+bx+c \) હોય તેવા સંકલનો માટે, હંમેશા છેદને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવાનો પ્રયાસ કરો જેથી તેને માનક સંકલન સૂત્રોમાંના એકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય.

Question 7. \( \int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2+2x+5} \)
Answer:
પહેલા છેદને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ:
\( x^2+2x+5 = x^2+2x+1+4 \)
\( = (x+1)^2+2^2 \)
હવે, સંકલન આ રીતે બને છે:
\( \int_{-1}^1 \frac{dx}{(x+1)^2+2^2} \)
આ \( \int \frac{dx}{X^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{X}{a} \right) \) સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં \( X = x+1 \) અને \( a = 2 \).
તેથી, સંકલન થશે:
\( = \left[ \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x+1}{2} \right) \right]_{-1}^1 \)
સીમાઓ લાગુ કરતા:
\( = \frac{1}{2} \left( \tan^{-1} \left( \frac{1+1}{2} \right) - \tan^{-1} \left( \frac{-1+1}{2} \right) \right) \)
\( = \frac{1}{2} \left( \tan^{-1} \left( \frac{2}{2} \right) - \tan^{-1} \left( \frac{0}{2} \right) \right) \)
\( = \frac{1}{2} (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1} 0) \)
\( = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) \)
\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \)
\( = \frac{\pi}{8} \)
In simple words: આપણે છેદને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીને તેને \( (x+1)^2+2^2 \) માં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. પછી, આપણે \( \frac{1}{X^2+a^2} \) ના જાણીતા સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( \tan^{-1} \) અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ. અંતે, આપણે સીમાઓ લાગુ કરીને \( \frac{\pi}{8} \) જવાબ શોધીએ છીએ.

Exam Tip: જો છેદમાં \( x^2+bx+c \) હોય, તો તેને \( (x+p)^2+q^2 \) સ્વરૂપમાં લાવવા માટે પૂર્ણ વર્ગ બનાવવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો, જે સંકલનને સરળ બનાવશે.

Question 8. \( \int_1^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2}\right)e^{2x}dx \)
Answer:
ધારો કે \( 2x = t \)
\( \implies 2dx = dt \implies dx = \frac{dt}{2} \)
જ્યારે \( x = 1 \), ત્યારે \( t = 2(1) = 2 \).
જ્યારે \( x = 2 \), ત્યારે \( t = 2(2) = 4 \).
અભિવ્યક્તિ \( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} \) ને \( t \) ના પદોમાં બદલતા:
\( \frac{1}{x} = \frac{2}{t} \)
\( \frac{1}{2x^2} = \frac{1}{2(\frac{t}{2})^2} = \frac{1}{2 \frac{t^2}{4}} = \frac{1}{\frac{t^2}{2}} = \frac{2}{t^2} \)
તેથી, \( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} = \frac{2}{t} - \frac{2}{t^2} = 2 \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \right) \)
હવે, સંકલન આ રીતે બને છે:
\( \int_2^4 2 \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \right) e^t \frac{dt}{2} \)
\( = \int_2^4 \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \right) e^t dt \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \int e^t(f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c \).
અહીં, \( f(t) = \frac{1}{t} \implies f'(t) = -\frac{1}{t^2} \).
તેથી, સંકલનનું મૂલ્ય થશે:
\( = \left[ e^t \cdot \frac{1}{t} \right]_2^4 \)
\( = \left( e^4 \cdot \frac{1}{4} \right) - \left( e^2 \cdot \frac{1}{2} \right) \)
\( = \frac{e^4}{4} - \frac{e^2}{2} \)
\( = \frac{e^4 - 2e^2}{4} \)
\( = \frac{e^2(e^2 - 2)}{4} \)
In simple words: આપણે \( 2x = t \) બદલીનો ઉપયોગ કરીને સંકલનને સરળ બનાવીએ છીએ અને x ને t ના પદોમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. આ પછી, આપણે \( \int e^t(f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) \) નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અંતે, સીમાઓ લાગુ કરીને આપણે \( \frac{e^2(e^2 - 2)}{4} \) જવાબ શોધીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે તમે \( e^{ax} \) અને અન્ય વિધેયો સાથે સંકલન કરો છો, ત્યારે હંમેશા \( e^t (f(t) + f'(t)) \) સ્વરૂપને ઓળખવાનો પ્રયાસ કરો. આ સંકલનને ખૂબ સરળ બનાવે છે.

પ્રશ્નો 9 તથા 10 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ lascuìniel ulu faseu uzie sal :

Question 9. \( \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{\left(x-x^3\right)^{\frac{1}{3}}}{x^4}dx \) નું મૂલ્ય..................
(A) 6
(B) 0
(C) 3
(D) 4
Answer: (A) 6
આપેલ સંકલન છે:
\( I = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx \)
અંશમાંથી \( x^3 \) ને સામાન્ય કાઢતા:
\( = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x^3(\frac{1}{x^2}-1))^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx \)
\( = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{x(\frac{1}{x^2}-1)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx \)
\( = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{1}{x^3} \left(\frac{1}{x^2}-1\right)^{\frac{1}{3}} dx \)
ધારો કે \( t = \frac{1}{x^2}-1 \)
\( \implies dt = -\frac{2}{x^3} dx \)
\( \implies \frac{1}{x^3} dx = -\frac{1}{2} dt \)
સીમાઓ બદલતા:
જ્યારે \( x = \frac{1}{3} \), ત્યારે \( t = \frac{1}{(\frac{1}{3})^2}-1 = 9-1 = 8 \).
જ્યારે \( x = 1 \), ત્યારે \( t = \frac{1}{1^2}-1 = 1-1 = 0 \).
સંકલન આ રીતે બદલાશે:
\( I = \int_8^0 t^{\frac{1}{3}} \left(-\frac{1}{2}\right) dt \)
\( = -\frac{1}{2} \int_8^0 t^{\frac{1}{3}} dt \)
સીમાઓને ઉલટાવતા, નિશાની બદલાય છે:
\( = \frac{1}{2} \int_0^8 t^{\frac{1}{3}} dt \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} \right]_0^8 \)
\( = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right]_0^8 \)
\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} [t^{\frac{4}{3}}]_0^8 \)
\( = \frac{3}{8} (8^{\frac{4}{3}} - 0^{\frac{4}{3}}) \)
\( = \frac{3}{8} ((8^{\frac{1}{3}})^4 - 0) \)
\( = \frac{3}{8} (2^4) \)
\( = \frac{3}{8} \cdot 16 \)
\( = 3 \cdot 2 \)
\( = 6 \)
આમ, વિકલ્પ (A) સાચો જવાબ છે.
In simple words: આપણે પહેલા સંકલનને \( \frac{1}{x^3} (\frac{1}{x^2}-1)^{\frac{1}{3}} dx \) સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ છીએ. પછી, \( t = \frac{1}{x^2}-1 \) બદલીનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને સીમાઓ બદલીએ છીએ. આનાથી સંકલન સરળ બને છે, અને આપણે તેને ગણીને 6 જવાબ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે \( (x-x^3)^{1/3} \) જેવા પદો હોય, ત્યારે \( x \) ને સામાન્ય કાઢીને અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાનો પ્રયાસ કરો. આ ઘણીવાર સરળ બદલી તરફ દોરી જાય છે.

Question 10. f(x) = \( \int_0^xt \sin t dt \), તો f'(x) =
(A) cos x + x sin x
(B) x sin x
(C) x cos x
(D) sin x + x cos x
Answer: (B) x sin x
આપણે વિધેય \( f(x) = \int_0^x t \sin t dt \) આપેલું છે.
લીબ્નીઝ ઇન્ટિગ્રલ નિયમ (Leibniz Integral Rule) નો ઉપયોગ કરીને, જો \( F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} g(t) dt \), તો \( F'(x) = g(b(x)) \cdot b'(x) - g(a(x)) \cdot a'(x) \).
અહીં, \( g(t) = t \sin t \), \( a(x) = 0 \), અને \( b(x) = x \).
\( b'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1 \).
\( a'(x) = \frac{d}{dx}(0) = 0 \).
તેથી,
\( f'(x) = (x \sin x) \cdot 1 - (0 \sin 0) \cdot 0 \)
\( = x \sin x - 0 \)
\( = x \sin x \)
વૈકલ્પિક રીતે, આપણે \( \int t \sin t dt \) ને ભાગો દ્વારા સંકલન કરીને શોધી શકીએ:
\( \int t \sin t dt = t(-\cos t) - \int 1 \cdot (-\cos t) dt \)
\( = -t \cos t + \int \cos t dt \)
\( = -t \cos t + \sin t + C \)
હવે, \( f(x) = [-t \cos t + \sin t]_0^x \)
\( = (-x \cos x + \sin x) - (-0 \cos 0 + \sin 0) \)
\( = -x \cos x + \sin x - (0 + 0) \)
\( = -x \cos x + \sin x \)
હવે, આપણે \( f'(x) \) શોધવા માટે \( f(x) \) નું વિકલન કરીએ:
\( f'(x) = \frac{d}{dx}(-x \cos x + \sin x) \)
\( = - \left( \frac{d}{dx}(x) \cdot \cos x + x \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) \right) + \frac{d}{dx}(\sin x) \)
\( = - (1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x)) + \cos x \)
\( = - \cos x + x \sin x + \cos x \)
\( = x \sin x \)
આમ, વિકલ્પ (B) સાચો જવાબ છે.
In simple words: આપણે લીબ્નીઝ ઇન્ટિગ્રલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને સીધું વિકલન કરી શકીએ છીએ, અથવા પહેલા સંકલન કરીને પછી વિકલન કરી શકીએ છીએ. બંને પદ્ધતિઓથી \( f'(x) = x \sin x \) જવાબ મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે તમને \( \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt \) સ્વરૂપનું વિધેય આપવામાં આવે અને તમારે તેનું વિકલન શોધવાનું હોય, ત્યારે લીબ્નીઝ ઇન્ટિગ્રલ નિયમનો ઉપયોગ કરવો એ સૌથી ઝડપી અને કાર્યક્ષમ રીત છે. તે તમને પહેલા સંકલન કરવાની જરૂરિયાત વિના વિકલન કરવાની મંજૂરી આપે છે.