GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 3 શ્રેણિક Exercise 3.4

પ્રશ્ન 1થી 17 માં પ્રાથમિક પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરો અને જો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે, તો મેળવો :

Question 1.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right]\) છે. મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે તેને \(A = IA\) તરીકે લખીએ, જ્યાં \(I\) એ સમાન મેટ્રિક્સ છે: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે પંક્તિની પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ જેથી ડાબી બાજુનો મેટ્રિક્સ \(I\) બની જાય.
\( R_2 \to R_2 - 2R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 5 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to \frac{1}{5}R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 + R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} \frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{5} \end{array}\right] \]In simple words: To find the inverse of the given matrix, we transform the left side into an identity matrix using row operations. The same operations applied to the identity matrix on the right side give us the inverse matrix.

🎯 Exam Tip: Always remember to apply elementary row operations to both the original matrix and the identity matrix simultaneously. If a row becomes all zeros during this process, the inverse does not exist. Ensure calculations are precise to avoid errors.

Question 2.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right]\) છે. તેનો વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીએ: \[ \left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, પંક્તિની પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ડાબી બાજુને સમાન મેટ્રિક્સમાં બદલીએ.
\( R_1 \to R_1 - R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 - R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] \]In simple words: We used row operations to turn the original matrix into an identity matrix. The same operations on the identity matrix on the right side gave us the inverse matrix.

🎯 Exam Tip: When performing row operations, ensure the goal is to make the left matrix an identity matrix. The order of operations (e.g., making leading ones, then zeros below, then zeros above) can simplify the process.

Question 3.નીચે આપેલા મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત મેળવો: \(\left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે તેને \(A = IA\) તરીકે લખીએ: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં બદલવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_2 \to R_2 - 2R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 - 3R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{array}\right] \]In simple words: We performed row operations on the original matrix to transform it into an identity matrix. The same operations applied to the identity matrix provided the inverse.

🎯 Exam Tip: Keep track of the row operations applied, especially when modifying a row using another row multiplied by a scalar. A common mistake is to apply the scalar only to the source row and not to the target row as well.

Question 4.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) નો ઉપયોગ કરીએ: \[ \left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_1 \to R_1 - R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} -3 & -4 \\ 5 & 7 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to (-1)R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 - R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 - R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 - 2R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 5 & -2 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 - R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -7 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} -7 & 3 \\ 5 & -2 \end{array}\right] \]In simple words: We used a series of row operations to change the left matrix into an identity matrix. The same operations on the right identity matrix gave us the inverse of the original matrix.

🎯 Exam Tip: For 2x2 matrices, finding the inverse using elementary operations can sometimes involve more steps if the initial elements are not 1. Focus on creating a leading '1' first, then making the other elements in that column '0'.

Question 5.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{array}\right]\) છે. તેનો વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીએ: \[ \left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં બદલવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_2 \to R_2 - 3R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 - R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 4 & -1 \\ -3 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 - R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 4 & -1 \\ -7 & 2 \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 4 & -1 \\ -7 & 2 \end{array}\right] \]In simple words: By applying row operations to the original matrix, we converted it into an identity matrix. The same sequence of operations on the identity matrix produced the inverse matrix.

🎯 Exam Tip: Always double-check your arithmetic when multiplying a row by a scalar or adding/subtracting rows. Small calculation errors can lead to an incorrect inverse matrix.

Question 6.નીચે આપેલા મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) તરીકે લખીએ: \[ \left[\begin{array}{ll} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે પંક્તિની પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરીએ.
\( R_1 \leftrightarrow R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 - 2R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 0 & -1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to (-1)R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 - 3R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{array}\right] \]In simple words: We used elementary row operations to change the given matrix into an identity matrix. The identical operations applied to the identity matrix on the right yielded the inverse matrix.

🎯 Exam Tip: Swapping rows (e.g., \(R_1 \leftrightarrow R_2\)) is a valid elementary operation. It can sometimes help to get a '1' in the top-left corner, simplifying subsequent steps.

Question 7.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) નો ઉપયોગ કરીએ: \[ \left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_1 \to R_1 - R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ 5 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 + 2R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} -2 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \leftrightarrow R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 + 2R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to (-1)R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{array}\right] \]In simple words: We used a sequence of row operations to convert the given matrix into an identity matrix. The inverse of the matrix was found by applying these same operations to the identity matrix.

🎯 Exam Tip: When dealing with negative numbers or operations that might introduce them, pay extra attention. One sign error can propagate through the entire calculation, making the final inverse incorrect.

Question 8.નીચે આપેલા મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત મેળવો: \(\left[\begin{array}{ll} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{ll} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) તરીકે લખીએ: \[ \left[\begin{array}{ll} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં બદલવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_1 \to R_1 - R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 - 3R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -3 & 4 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 - R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{array}\right] \]In simple words: We performed elementary row operations to transform the given matrix into an identity matrix. The inverse matrix was then found by applying these same operations to the identity matrix.

🎯 Exam Tip: The goal of elementary row operations is to systematically convert the left matrix to the identity matrix. Starting with getting a '1' in the first row, first column, then '0's below it, is a standard and effective strategy.

Question 9.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{cc} 3 & 10 \\ 2 & 7 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{cc} 3 & 10 \\ 2 & 7 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) નો ઉપયોગ કરીએ: \[ \left[\begin{array}{cc} 3 & 10 \\ 2 & 7 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_1 \to R_1 - R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 - 2R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 - 3R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 7 & -10 \\ -2 & 3 \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 7 & -10 \\ -2 & 3 \end{array}\right] \]In simple words: We applied a series of row operations to the matrix to turn it into an identity matrix. The exact same operations on the identity matrix produced the inverse matrix.

🎯 Exam Tip: Practice different sequences of row operations. While there can be multiple ways to reach the inverse, a methodical approach (e.g., getting ones on the diagonal first, then zeros) often reduces errors.

Question 10.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) નો ઉપયોગ કરીએ: \[ \left[\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_1 \to R_1 + R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -4 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to (-1)R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -4 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 + 4R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ -4 & -3 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to -\frac{1}{2}R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 2 & \frac{3}{2} \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 + R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{3}{2} \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{3}{2} \end{array}\right] \]In simple words: We changed the original matrix into an identity matrix using row operations. The same changes applied to the identity matrix on the right gave us the inverse matrix.

🎯 Exam Tip: Fractions can appear in the inverse matrix. Do not simplify the elements to decimals unless specified. Keep them as fractions to maintain precision.

Question 11.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{ll} 2 & -6 \\ 1 & -2 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{ll} 2 & -6 \\ 1 & -2 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) નો ઉપયોગ કરીએ: \[ \left[\begin{array}{ll} 2 & -6 \\ 1 & -2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_1 \to R_1 - R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & -4 \\ 1 & -2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 - R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & -4 \\ 0 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to \frac{1}{2}R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & -4 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 + 4R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{array}\right] \]In simple words: We used elementary row operations to change the given matrix into an identity matrix. The inverse matrix was found by applying these same operations to the identity matrix.

🎯 Exam Tip: Pay careful attention to the signs when performing operations like \(R_1 \to R_1 + 4R_2\). A common error is a misplaced plus or minus sign, especially when dealing with negative values in the matrix.

Question 12.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{cc} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{cc} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) નો ઉપયોગ કરીએ: \[ \left[\begin{array}{cc} 6 & -3 \\ -2 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_1 \to R_1 + 3R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ -2 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે. તેથી, આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.In simple words: When we tried to find the inverse using row operations, one entire row of the matrix became zeros. This means the matrix cannot be changed into an identity matrix, so it does not have an inverse.

🎯 Exam Tip: If, during elementary row operations, an entire row (or column) of the left matrix transforms into zeros, then the inverse of the matrix does not exist. This is a crucial observation to make early to save time.

Question 13.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) નો ઉપયોગ કરીએ: \[ \left[\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_1 \to R_1 + R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 + R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 + R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right] \]In simple words: By performing elementary row operations, we transformed the original matrix into an identity matrix. Applying the same operations to the identity matrix produced the inverse matrix.

🎯 Exam Tip: To avoid errors, you can always check your inverse by multiplying it with the original matrix. If \(A^{-1}A = I\), your answer is correct. This is a good habit for verification.

Question 14.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) નો ઉપયોગ કરીએ: \[ \left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_2 \to R_2 - 2R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array}\right] A \] ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સની બીજી પંક્તિના તમામ ઘટકો શૂન્ય છે. તેથી, આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.In simple words: When we tried to find the inverse using row operations, an entire row of the matrix became zeros. This means the matrix cannot be turned into an identity matrix, so it does not have an inverse.

🎯 Exam Tip: Calculating the determinant first (for 2x2, \(ad-bc\)) can quickly tell you if an inverse exists. If the determinant is zero, the inverse does not exist, and you can state this directly.

Question 15.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) નો ઉપયોગ કરીએ: \[ \left[\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_1 \to R_1 - R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 0 & -5 & 0 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 - R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 0 & -5 & 0 \\ -1 & 4 & 1 \\ 3 & -2 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_3 \to R_3 + 2R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 0 & -5 & 0 \\ -1 & 4 & 1 \\ 1 & 6 & 4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \leftrightarrow R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 6 & 4 \\ -1 & 4 & 1 \\ 0 & -5 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 + R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 6 & 4 \\ 0 & 10 & 5 \\ 0 & -5 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \leftrightarrow R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 6 & 4 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 10 & 5 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -2 \end{array}\right] A \]
\( R_3 \to R_3 + 2R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 6 & 4 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -2 \end{array}\right] A \]
\( R_3 \to \frac{1}{5}R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 6 & 4 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 - 4R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 6 & 0 \\ 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -\frac{8}{5} & \frac{6}{5} & \frac{3}{5} \\ 1 & -1 & 0 \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to -\frac{1}{5}R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -\frac{8}{5} & \frac{6}{5} & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 - 6R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -\frac{2}{5} & 0 & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} -\frac{2}{5} & 0 & \frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5} \end{array}\right] \]In simple words: For this 3x3 matrix, we used a series of row operations to change it into an identity matrix. The same operations on the right identity matrix gave us the inverse. The process is longer for larger matrices but follows the same rules.

🎯 Exam Tip: For 3x3 matrices, systematically transform elements to '1' on the main diagonal and '0's elsewhere. It is often helpful to first make the first column correct, then the second, and so on. Be very careful with arithmetic.

Question 16.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -2 \\ -3 & 0 & -5 \\ 2 & 5 & 0 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -2 \\ -3 & 0 & -5 \\ 2 & 5 & 0 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) નો ઉપયોગ કરીએ: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -2 \\ -3 & 0 & -5 \\ 2 & 5 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_2 \to R_2 + 3R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 9 & -11 \\ 2 & 5 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_3 \to R_3 - 2R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -2 \\ 0 & 9 & -11 \\ 0 & -1 & 4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 + 3R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 10 \\ 0 & 9 & -11 \\ 0 & -1 & 4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -5 & 0 & 3 \\ 3 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 + 9R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 25 \\ 0 & -1 & 4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -5 & 0 & 3 \\ -15 & 1 & 9 \\ -2 & 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \leftrightarrow R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 10 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 25 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -5 & 0 & 3 \\ -2 & 0 & 1 \\ -15 & 1 & 9 \end{array}\right] A \]
\( R_3 \to \frac{1}{25}R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 10 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -5 & 0 & 3 \\ -2 & 0 & 1 \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{25} & \frac{9}{25} \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 - 10R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -\frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \\ -2 & 0 & 1 \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{25} & \frac{9}{25} \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 - 4R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -\frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{4}{25} & -\frac{11}{25} \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{25} & \frac{9}{25} \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to (-1)R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -\frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{4}{25} & \frac{11}{25} \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{25} & \frac{9}{25} \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -\frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{4}{25} & \frac{11}{25} \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{25} & \frac{9}{25} \end{array}\right] \]In simple words: We systematically applied row operations to transform the given 3x3 matrix into an identity matrix. The same operations on the identity matrix produced the inverse. This process requires many steps and careful calculations.

🎯 Exam Tip: For 3x3 matrices, fractions are very common. It's best to work with them carefully. Ensure that you maintain the exact fractional values throughout the calculation, as approximating can lead to incorrect results.

Question 17.આપેલ મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત શોધો: \(\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right]\)
Answer:આપણી પાસે મેટ્રિક્સ \(A = \left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right]\) છે. વ્યસ્ત શોધવા માટે, આપણે \(A = IA\) નો ઉપયોગ કરીએ: \[ \left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A \] હવે, આપણે ડાબી બાજુના મેટ્રિક્સને સમાન મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે પંક્તિ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીએ.
\( R_1 \to R_1 + R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 - R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 - R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 - R_2 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to (-1)R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 - 3R_1 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & -1 \\ 5 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \leftrightarrow R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 5 & -2 & 2 \end{array}\right] A \]
\( R_1 \to R_1 + R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 5 & -2 & 2 \end{array}\right] A \]
\( R_2 \to R_2 - 3R_3 \) કરવાથી: \[ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{array}\right] A \] આ મેટ્રિક્સ \(I = A^{-1}A\) સ્વરૂપમાં છે, તેથી: \[ A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{array}\right] \]In simple words: We used elementary row operations to systematically change the given 3x3 matrix into an identity matrix. The same operations, applied to the identity matrix on the right, produced the inverse matrix.

🎯 Exam Tip: When working with 3x3 matrices, ensure that each operation transforms the matrix towards the identity form. It's helpful to visualize the target identity matrix and work column by column or row by row to reach it.

Question 18.જો ______ તો A અને B એકબીજાના વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.
(A) AB = BA
(B) AB = BA = O
(C) AB = O, BA = I
(D) AB = BA = I
Answer: (D) AB = BA = Iમેટ્રિક્સ A અને B એકબીજાના વ્યસ્ત શ્રેણિક ત્યારે જ કહેવાય છે જ્યારે તેમનો ગુણાકાર એક આઈડેન્ટિટી મેટ્રિક્સ (I) આપે. આનો અર્થ એ છે કે AB અને BA બંને I બરાબર હોવા જોઈએ.In simple words: Two matrices are inverses of each other if their product, in both orders, results in an identity matrix.

🎯 Exam Tip: The definition of inverse matrices is fundamental. Remember that for matrices A and B to be inverses, both \(AB\) and \(BA\) must equal the identity matrix \(I\). This is a common theoretical question.

Question 18. જો .......... તો A અને B એકબીજાના વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.
(A) AB = BA
(B) AB = BA = O
(C) AB = O, BA = I
(D) AB = BA = I
Answer: (D) AB = BA = I
મેટ્રિક્સ A અને મેટ્રિક્સ B એકબીજાના વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ હોય, તો તેમનો ગુણાકાર AB અને BA બંને તત્સમક મેટ્રિક્સ (I) જેટલો થાય છે.
In simple words: જ્યારે બે મેટ્રિક્સ એકબીજાના વ્યસ્ત હોય છે, ત્યારે તેમનો ગુણાકાર હંમેશા તત્સમક મેટ્રિક્સ (I) આપે છે. આનો અર્થ છે કે AB અને BA બંને I બરાબર હોવા જોઈએ.

🎯 Exam Tip: Inverse matrix definitions are fundamental. Remember that for two matrices to be inverses, their product in both orders must result in the identity matrix (I).