GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 13 સંભાવના Misc. Ques

 

Question 1. બે ઘટનાઓ A અને B માટે જો P(A) ≠ 0 અને (i) A એ B નો ઉપગણ હોય (ii) A ∩ B = ∅, તો P(B | A) શોધો.
Answer: (i) A એ B નો ઉપગણ હોય ⇒ A ⊂ B. ∴ P(A ∩ B) = P(A) ≠ 0. ∴ P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) = P(A) / P(A) = 1. (ii) A ∩ B = ∅. ∴ P(A ∩ B) = P(∅) = 0. ∴ P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) = 0 / P(A) = 0.
In simple words: If A is a subset of B, the probability of B given A is 1. If A and B have no common elements, the probability is 0.

Exam Tip: Remember the definitions of conditional probability and subsets to solve these quickly.

 

Question 2. એક યુગલને બે બાળકો છે. (i) ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરો છે તેમ આપેલ હોય, તો બંને બાળકો છોકરા હોવાની સંભાવના શોધો. (ii) જે મોટું બાળક છોકરી હોય, તો બંને બાળકો છોકરી હોવાની સંભાવના શોધો.
Answer: એક યુગલને બે બાળકો છે. નિદર્શાવકાશ S = {B1B2, B1G2, G1B2, G1G2}. (i) ઘટના B = ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરો છે = {B1B2, B1G2, G1B2}. ∴ P(B) = 3/4. ઘટના A = બંને બાળકો છોકરા હોય = {B1B2}. ∴ A ∩ B = {B1B2}. ∴ P(A ∩ B) = 1/4. માંગેલ સંભાવના = P(A | B) = (1/4) / (3/4) = 1/3. (ii) ઘટના Y = મોટું બાળક છોકરી હોય = {G1G2, G1B2}. ∴ P(Y) = 2/4 = 1/2. ઘટના X = બંને બાળકો છોકરી હોય = {G1G2}. ∴ X ∩ Y = {G1G2}. ∴ P(X ∩ Y) = 1/4. માંગેલ સંભાવના = P(X | Y) = (1/4) / (1/2) = 1/2.
In simple words: List all possible combinations of two children (Boy/Girl) and then find the probability based on the given conditions.

Exam Tip: Always write out the sample space clearly to avoid missing any combinations.

 

Question 3. ધારો કે 5 % પુરુષો અને 0.25 % સ્ત્રીઓને ભૂખરા રંગના વાળ હોય છે. ભૂખરા વાળવાળી વ્યક્તિને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરી છે. આ વ્યક્તિ પુરુષ હોવાની સંભાવના કેટલી ? સ્વીકારી લો કે પુરુષો અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા સમાન છે.
Answer: ઘટના E1 = વ્યક્તિ પુરુષ હોય, E2 = વ્યક્તિ સ્ત્રી હોય, A = વ્યક્તિ ભૂખરા રંગના વાળ ધરાવતી હોય. P(E1) = P(E2) = 1/2. P(A | E1) = 5/100 = 1/20. P(A | E2) = 0.25/100 = 1/400. P(E1 | A) = [P(E1)P(A | E1)] / [P(E1)P(A | E1) + P(E2)P(A | E2)] = [(1/2) * (1/20)] / [(1/2 * 1/20) + (1/2 * 1/400)] = (1/40) / (1/40 + 1/800) = (1/40) / (21/800) = 20/21.
In simple words: Use Bayes' theorem to find the probability that the person is a man given they have grey hair.

Exam Tip: Bayes' theorem is essential for problems where you need to reverse the conditional probability.

 

Question 4. ધારો કે 90 % લોકો જમણેરી છે. 10 વ્યક્તિના યાદચ્છિક નિદર્શમાં વધુમાં વધુ 6 લોકો જમણેરી હોવાની સંભાવના કેટલી ?
Answer: સફળતાની સંભાવના p = 90/100 = 9/10, q = 1/10, n = 10. P(X = x) = 10Cx (1/10)^(10-x) (9/10)^x. P(X ≤ 6) = 1 - [P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)]. ગણતરી કરતા: 1 - [10C7(1/10)^3(9/10)^7 + 10C8(1/10)^2(9/10)^8 + 10C9(1/10)^1(9/10)^9 + 10C10(9/10)^10] = 1 - (9/10)^7 * [120/1000 + 405/1000 + 810/1000 + 729/1000] = 1 - (9/10)^7 * (2064/1000).
In simple words: Use the binomial distribution formula to calculate the probability of having 7, 8, 9, or 10 right-handed people and subtract from 1.

Exam Tip: For "at most" questions, it is often easier to calculate the complement if the number of terms is smaller.

 

Question 5. એક પાત્રમાં 25 દડા છે. તેમાંથી 10 દડા પર નિશાની ‘X’ છે અને બાકીના 15 દડા પર નિશાની ‘Y’ છે. પાત્રમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢ્યો અને તેના પરની નિશાની નોંધીને તેને પાત્રમાં પરત મૂક્યો. જો આ રીતે 6 દડા કાઢવામાં આવ્યા હોય, તો (i) બધા પર નિશાની ‘X’ હોય. (ii) 2 કરતાં વધારે પર નિશાની ‘Y’ ન હોય. (iii) ઓછામાં ઓછા એક દડા પર નિશાની ‘Y’ હોય. (iv) નિશાની ‘X’ અને નિશાની ‘Y’ વાળા દડાઓની સંખ્યા સમાન હોય તેની સંભાવના શોધો.
Answer: p = 10/25 = 2/5, q = 3/5, n = 6. (i) P(X = 6) = 6C6(3/5)^0(2/5)^6 = (2/5)^6. (ii) P(X ≥ 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = 6C4(3/5)^2(2/5)^4 + 6C5(3/5)^1(2/5)^5 + 6C6(3/5)^0(2/5)^6 = 7(2/5)^4. (iii) P(Y ≥ 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - 6C0(2/5)^0(3/5)^6 = 1 - (3/5)^6. (iv) P(X = 3) = 6C3(3/5)^3(2/5)^3 = 20 * (27/125) * (8/125) = 864/3125.
In simple words: Use binomial probability for each case based on the number of successes (X) or failures (Y).

Exam Tip: Clearly define what constitutes a 'success' (X) and 'failure' (Y) before starting calculations.

 

Question 6. એક વિઘ્ન દોડમાં, ખેલાડીએ 10 વિઘ્નો પસાર કરવાના હોય છે. તે દરેક વિઘ્નને સફળતાપૂર્વક પસાર કરે તેની સંભાવના 5/6 છે. તે બે કરતાં ઓછાં વિઘ્નોને પસાર કરશે તેની સંભાવના કેટલી ?
Answer: p = 5/6, q = 1/6, n = 10. P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 10C0(1/6)^10(5/6)^0 + 10C1(1/6)^9(5/6)^1 = (1/6)^10 + 10 * (5/6) * (1/6)^9 = (1/6)^9 * [1/6 + 50/6] = (1/6)^9 * (51/6) = 51/6^10.
In simple words: Calculate the probability of passing 0 or 1 obstacle using the binomial formula.

Exam Tip: Double-check the value of n and p before applying the binomial formula.

 

Question 7. જ્યાં સુધી ત્રણ વખત પૂર્ણાંક 6 ન મળે ત્યાં સુધી એક પાસાને વારંવાર ઉછાળવામાં આવે છે. છઠ્ઠી વાર પાસાને ફેંકતા ત્રીજી વખત પૂર્ણાંક 6 મળે તેની સંભાવના શોધો.
Answer: p = 1/6, q = 5/6. છઠ્ઠી વાર ફેંકતા ત્રીજી વખત 6 મળે, એટલે કે પ્રથમ પાંચ ફેંકમાં બે વાર 6 મળવા જોઈએ. P = 5C2 * (1/6)^2 * (5/6)^3 * (1/6) = 10 * (1/36) * (125/216) * (1/6) = 625/23328.
In simple words: This is a negative binomial scenario; find the probability of getting two 6s in five tries, then multiply by the probability of getting a 6 on the sixth try.

Exam Tip: Break the problem into independent events: the first five trials and the final trial.

 

Question 8. યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ લીપ વર્ષમાં 53 મંગળવાર હોય તેની સંભાવના કેટલી ?
Answer: લીપ વર્ષમાં 366 દિવસ હોય છે, એટલે કે 52 અઠવાડિયા અને 2 દિવસ. 52 અઠવાડિયામાં 52 મંગળવાર હોય જ. બાકી રહેલા 2 દિવસ (સોમ, મંગળ), (મંગળ, બુધ), (બુધ, ગુરુ), (ગુરુ, શુક્ર), (શુક્ર, શનિ), (શનિ, રવિ), (રવિ, સોમ) હોઈ શકે. 53 મંગળવાર માટે બાકીના 2 દિવસ (સોમ, મંગળ) અથવા (મંગળ, બુધ) હોવા જોઈએ. કુલ 7 શક્યતાઓમાંથી 2 અનુકૂળ છે. ∴ માંગેલ સંભાવના = 2/7.
In simple words: A leap year has two extra days; check how many pairs of days include a Tuesday.

Exam Tip: Always remember that a leap year has 366 days, which affects the number of extra days.

 

Question 11. સમતોલ પાસાને ફેંકવાની રમતમાં, એક માણસ પાસા પર પૂર્ણાંક 6 મળે તો એક રૂપિયો જીતે છે અને અન્ય કોઈ પણ પૂર્ણાંક મળે ત્યારે એક રૂપિયો ગુમાવે છે. એ માણસે પાસાને ત્રણ વખત ફેંકવાનો નિર્ણય કર્યો છે, પરંતુ જેવો જ એને પૂર્ણાંક 6 મળશે કે તરત જ તે રમતને છોડી દેશે. તે રમત જીતે કે ગુમાવે તેની અપેક્ષિત કિંમત શોધો.
Answer: એક માણસ પાસાને ત્રણ વખત ફેંકે છે.
1. જો પ્રથમ પ્રયત્નમાં પાસા પર 6 મળે તો માણસને ₹ 1 મળે છે અને માણસ રમતને છોડી દે છે. આ સંજોગોમાં સંભાવના = \( \frac{1}{6} \)
2. જો પ્રથમ પ્રયત્નમાં પાસા પર 6 ન મળે તો તેની સંભાવના \( \frac{5}{6} \) થાય અને માણસ ₹ 1 ગુમાવે અને બીજી વાર પાસો ફેંકે. બીજા પ્રયત્નમાં 6 મળે તો માણસ રમત છોડી દે છે તથા તેને મળેલ કિંમત ₹ -1 + ₹ 1 = 0 થશે. આ સંજોગોમાં સંભાવના = \( \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36} \)
3. પ્રથમ બે પ્રયત્નોમાં 6 ન મળે તો માણસ ₹ 2 ગુમાવે છે. જો ત્રીજા પ્રયત્નમાં 6 મળે તો તેને મળેલ કિંમત - ₹ 2 + ₹ 1 = - ₹ 1. આ સંજોગોમાં સંભાવના = \( \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \)
4. ત્રણેય પ્રયત્નોમાં 6 ન મળે તો માણસ ₹ 3 ગુમાવશે. આ સંજોગોમાં સંભાવના = \( \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{125}{216} \)
જો યાદચ્છિક ચલ X એ માણસ જીતે કે ગુમાવે તે દર્શાવતું હોય તો X ની શક્ય કિંમત 1, 0, -1 અને -3 થશે. X નું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાણે મળે:

અપેક્ષિત કિંમત E(X) = \( \sum x_i p(x_i) \)
= \( 1 \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{5}{36} - 1 \times \frac{25}{216} - 3 \times \frac{125}{216} \)
= \( \frac{36 + 0 - 25 - 375}{216} \)
= \( -\frac{364}{216} = -\frac{91}{54} \)
In simple words: We calculate the probability of each outcome (winning or losing money) based on when the number 6 appears, then multiply each outcome by its probability to find the expected value.

Exam Tip: Always list all possible outcomes and their corresponding probabilities clearly before calculating the expected value.

 

Question 12. ધારો કે ચાર ખોખા A, B, C અને D માં નીચે પ્રમાણે રંગીન લખોટીઓ છે:

કોઈ એક ખોખાને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરી તેમાંથી એક લખોટી પસંદ કરવામાં આવી. જો લખોટી લાલ રંગની હોય તો તે ખોખા A માંથી પસંદ કરી હોય? B માંથી પસંદ કરી હોય? C માંથી પસંદ કરી હોય તેની સંભાવના કેટલી?
Answer: ઘટના A, B, C, D એ ખોખા પસંદ કરવાની ઘટના છે, તેથી P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = \( \frac{1}{4} \). ઘટના X એ લાલ લખોટી પસંદ કરવાની ઘટના છે. P(X|A) = \( \frac{1}{10} \), P(X|B) = \( \frac{6}{10} \), P(X|C) = \( \frac{8}{10} \), P(X|D) = 0.
(i) ખોખા A માંથી લાલ લખોટી પસંદ થવાની સંભાવના = \( \frac{P(A)P(X|A)}{P(A)P(X|A) + P(B)P(X|B) + P(C)P(X|C) + P(D)P(X|D)} = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}}{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10} + \frac{1}{4} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{4} \times \frac{8}{10} + \frac{1}{4} \times 0} = \frac{1}{15} \)
(ii) ખોખા B માંથી લાલ લખોટી પસંદ થવાની સંભાવના = \( \frac{\frac{1}{4} \times \frac{6}{10}}{\frac{1+6+8}{40}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} \)
(iii) ખોખા C માંથી લાલ લખોટી પસંદ થવાની સંભાવના = \( \frac{\frac{1}{4} \times \frac{8}{10}}{\frac{1+6+8}{40}} = \frac{8}{15} \)
In simple words: We use Bayes' theorem to find the probability that a red marble came from a specific box by dividing the probability of that box's red marbles by the total probability of picking a red marble from any box.

Exam Tip: Always calculate the total probability of the event first, then use it as the denominator for each specific case.

 

Question 13. ધારો કે દર્દીને હૃદયરોગનો હુમલો થવાની શક્યતા 40 % છે. એ પણ ધારેલ છે કે ધ્યાન અને યોગાસનોનો અભ્યાસ હૃદયરોગના હુમલાનું જોખમ 30 % ઘટાડે છે અને નિયત દવાઓ માટે દાક્તરની દવાચિઠ્ઠી તેની શક્યતાઓ 25 % સુધી ઘટાડે છે. એક જ સમયે દર્દી બે સમાન સંભાવનાઓવાળા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ એકની પસંદગી કરી શકે છે. બેમાંથી એક વિકલ્પમાંથી પસાર થયા પછી, યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વ્યક્તિ હૃદયરોગના હુમલાથી પીડિત છે તેમ આપેલ હોય, તો દર્દી ધ્યાન અને યોગાભ્યાસનો કાર્યક્રમ અનુસર્યો છે તેની સંભાવના શોધો.
Answer: ઘટના A = દર્દીને હૃદયરોગનો હુમલો થવાની શક્યતા = 0.4. ઘટના E1 = ધ્યાન અને યોગાસનની સારવાર, E2 = દવાઓ દ્વારા સારવાર. P(E1) = P(E2) = \( \frac{1}{2} \). P(A|E1) = 0.4 ના 70% = 0.28. P(A|E2) = 0.4 ના 75% = 0.3. સંભાવના = \( \frac{P(E1)P(A|E1)}{P(E1)P(A|E1) + P(E2)P(A|E2)} = \frac{0.5 \times 0.28}{0.5 \times 0.28 + 0.5 \times 0.3} = \frac{0.14}{0.14 + 0.15} = \frac{14}{29} \)
In simple words: We calculate the probability of a heart attack under each treatment and then use Bayes' theorem to find the chance the patient chose the yoga program.

Exam Tip: Carefully calculate the reduced risk percentages (e.g., 30% reduction means 70% risk remains) before applying the formula.

 

Question 14. દ્વિહાર નિશ્ચાયકનો પ્રત્યેક ઘટક શૂન્ય અથવા એક હોય, તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય ધન હોવાની સંભાવના કેટલી? (ધારો કે નિશ્ચાયકનો દરેક ઘટક નિરપેક્ષ રીતે પસંદ કરાયો હોય, તો પ્રત્યેક ઘટકની સંભાવના \( \frac{1}{2} \) છે).
Answer: દ્વિહાર નિશ્ચાયકમાં ચાર ઘટકો હોય છે. પ્રત્યેક ઘટકની પસંદગી 0 અને 1 માંથી કરવાની છે, તેથી કુલ પ્રકારો = \( 2^4 = 16 \). નિશ્ચાયક \( \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \). મૂલ્ય ધન (1) થવા માટે (ad, bc) ની જોડી (1, 0), (1, 0), (1, 0) વગેરે હોવી જોઈએ. કુલ 3 કિસ્સામાં મૂલ્ય ધન મળે છે. તેથી સંભાવના = \( \frac{3}{16} \).
In simple words: Since there are 16 possible combinations of 0s and 1s in a 2x2 matrix, we count how many result in a positive determinant, which is 3.

Exam Tip: For small matrices, listing all possible combinations is the safest way to ensure no cases are missed.

 

Question 15. વિદ્યુત યંત્રના ભાગોનું જોડાણ બે ઉપરચનાઓ A અને B ધરાવે છે. અગાઉની ચકાસવાની કાર્યપ્રણાલી પરથી નીચેની સંભાવનાઓ શાત છે તેમ ધારેલ છે: P(A નિષ્ફળ જાય) = 0.2, P(ફક્ત B નિષ્ફળ જાય) = 0.15, P(A અને B નિષ્ફળ જાય) = 0.15. નીચેની સંભાવનાઓ શોધો: (i) P(A નિષ્ફળ જાય | B નિષ્ફળ ગઈ છે) (ii) P(A એકલી નિષ્ફળ જાય)
Answer: P(A') = 0.2, P(A' ∩ B') = 0.15. P(ફક્ત B નિષ્ફળ જાય) = P(B') - P(A' ∩ B') = 0.15, તેથી P(B') = 0.3.
(i) P(A' | B') = \( \frac{P(A' \cap B')}{P(B')} = \frac{0.15}{0.3} = 0.5 \)
(ii) P(A એકલી નિષ્ફળ જાય) = P(A') - P(A' ∩ B') = 0.2 - 0.15 = 0.05
In simple words: We use the given failure probabilities to find the conditional probability of A failing given B has failed, and the probability of A failing alone.

Exam Tip: Clearly distinguish between "A fails" and "A fails alone" to avoid errors in set operations.

 

Question 16. થેલા I માં 3 લાલ રંગના અને 4 કાળા રંગના દડા તથા થેલા II માં 4 લાલ રંગના અને 5 કાળા રંગના દડા છે. એક દડો થેલા I માંથી થેલા II માં મૂક્યો છે અને પછી થેલા II માંથી એક દડો પસંદ કરેલ છે. આ રીતે પસંદ કરેલ દડો લાલ રંગનો માલૂમ પડે તો, થેલા I માંથી થેલા II માં મૂકેલ દડો કાળા રંગનો હોવાની સંભાવના શોધો.
Answer: E1 = લાલ દડો મૂક્યો, E2 = કાળો દડો મૂક્યો. P(E1) = \( \frac{3}{7} \), P(E2) = \( \frac{4}{7} \). જો E1 બને તો થેલા II માં 5 લાલ, 5 કાળા દડા થાય, P(A|E1) = \( \frac{5}{10} \). જો E2 બને તો થેલા II માં 4 લાલ, 6 કાળા દડા થાય, P(A|E2) = \( \frac{4}{10} \). સંભાવના = \( \frac{P(E2)P(A|E2)}{P(E1)P(A|E1) + P(E2)P(A|E2)} = \frac{\frac{4}{7} \times \frac{4}{10}}{\frac{3}{7} \times \frac{5}{10} + \frac{4}{7} \times \frac{4}{10}} = \frac{16}{15 + 16} = \frac{16}{31} \)
In simple words: We calculate the probability of picking a red ball from the second bag based on which color ball was moved from the first bag, then use Bayes' theorem.

Exam Tip: Always update the total number of balls in the second bag after the transfer before calculating the conditional probability.

 

Question 17. જો A અને B બે ઘટનાઓ માટે P(A) ≠ 0 અને P(B | A) = 1, તો
(A) A ⊂ B
(B) B ⊂ A
(C) B = Φ
(D) A = Φ
Answer: (A) A ⊂ B
In simple words: If the probability of B given A is 1, it means whenever A happens, B must also happen, so A is a subset of B.

Exam Tip: Remember that P(B|A)=1 implies A is contained within B.

 

Question 18. P(A | B) > P(A) હોય, તો નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સત્ય છે?
(A) P(B | A) < P(B)
(B) P(A ∩ B) < P(A) · P(B)
(C) P(B | A) > P(B)
(D) P(B | A) = P(B)
Answer: (C) P(B | A) > P(B)
In simple words: If knowing B increases the chance of A, then knowing A must also increase the chance of B.

Exam Tip: This is a symmetric property of dependent events; if one increases the probability of the other, the reverse is also true.

 

Question 19. જો A અને B કોઈ પણ બે ઘટનાઓ માટે P(A) + P(B) – P(A અને B) = P(A) હોય, તો
(A) P(B | A) = 1
(B) P(A | B) = 1
(C) P(B | A) = 0
(D) P(A | B) = 0
Answer: (B) P(A | B) = 1
In simple words: The equation simplifies to P(A ∩ B) = P(B), which means B is a subset of A, so the probability of A given B is 1.

Exam Tip: Simplify the given equation first; it reveals that B is entirely contained within A.