GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 13 સંભાવના Exercise 13.5

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 13 संभावना Ex 13.5

Question 1. એક પાસાને 6 વખત ફેંકવામાં આવે છે. જો યુગ્મ સંખ્યા મળવી’ એ સફળતા હોય, તો (i) 5 સફળતાઓ મળે. (ii) ઓછામાં ઓછી 5 સફળતાઓ મળે. (iii) વધુમાં વધુ 5 સફળતાઓ મળે તેની સંભાવના કેટલી ?
Answer: એક પાસાને ફેંકવાથી મળતા શક્ય પરિણામોનો ગણ \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) છે. તેથી, કુલ પરિણામોની સંખ્યા \(n(S) = 6\) છે. યુગ્મ સંખ્યાઓનો ગણ \(A = \{1, 3, 5\}\) છે. અહીં, પાસા પર યુગ્મ સંખ્યા મળે તેની સંભાવના \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) થાય. સફળતા એટલે યુગ્મ સંખ્યા મળવી, તેથી સફળતાની સંભાવના \(p = \frac{1}{2}\) છે. અસફળતાની સંભાવના \(q\) શોધવા માટે, \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) મળે છે. પાસાને 6 વખત ફેંકવામાં આવે છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 6\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર અનુસાર, \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે.
(i) જ્યારે 5 સફળતાઓ મળે: આ કિસ્સામાં, \(x = 5\), \(n = 6\), અને \(p = q = \frac{1}{2}\) છે. \(P(X = 5) = {}^6 C_5 (\frac{1}{2})^{6-5} (\frac{1}{2})^5\) \(P(X = 5) = {}^6 C_5 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^5\) \(P(X = 5) = {}^6 C_5 (\frac{1}{2})^6\)
\( = 6 \times \frac{1}{64}\)
\( = \frac{6}{64}\)
\( = \frac{3}{32}\)
(ii) જ્યારે ઓછામાં ઓછી 5 સફળતાઓ મળે: આનો અર્થ થાય છે કે સફળતાની સંખ્યા 5 અથવા 6 હોય, એટલે કે \(x = 5\) અથવા \(x = 6\). \(P(\text{ઓછામાં ઓછી 5 સફળતાઓ મળે}) = P(X = 5) + P(X = 6)\)
\( = {}^6 C_5 (\frac{1}{2})^{6-5} (\frac{1}{2})^5 + {}^6 C_6 (\frac{1}{2})^{6-6} (\frac{1}{2})^6\)
\( = {}^6 C_5 (\frac{1}{2})^6 + {}^6 C_6 (\frac{1}{2})^6\)
\( = (6 + 1) (\frac{1}{2})^6\)
\( = 7 \times \frac{1}{64}\)
\( = \frac{7}{64}\)
(iii) જ્યારે વધુમાં વધુ 5 સફળતાઓ મળે: આનો અર્થ થાય છે કે સફળતાની સંખ્યા 5 અથવા તેનાથી ઓછી હોય, એટલે કે \(P(X \le 5)\). આને \(1 - P(X > 5)\) તરીકે પણ શોધી શકાય છે. અહીં, \(P(X > 5)\) એટલે \(P(X = 6)\) \(P(X \le 5) = 1 - P(X = 6)\)
\( = 1 - {}^6 C_6 (\frac{1}{2})^{6-6} (\frac{1}{2})^6\)
\( = 1 - {}^6 C_6 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^6\)
\( = 1 - 1 \times 1 \times \frac{1}{64}\)
\( = 1 - \frac{1}{64}\)
\( = \frac{63}{64}\)In simple words: જ્યારે પાસાને 6 વાર ફેંકીએ અને યુગ્મ સંખ્યા મેળવવી સફળતા હોય, તો 5 સફળતાઓની સંભાવના \( \frac{3}{32} \), ઓછામાં ઓછી 5 સફળતાઓની સંભાવના \( \frac{7}{64} \), અને વધુમાં વધુ 5 સફળતાઓની સંભાવના \( \frac{63}{64} \) છે.

🎯 Exam Tip: દ્વિપદી વિતરણના દાખલાઓમાં n, p, q અને x ના મૂલ્યોને યોગ્ય રીતે ઓળખવા એ સફળ ગણતરી માટે મહત્વપૂર્ણ છે. ખાસ કરીને 'ઓછામાં ઓછી' અને 'વધુમાં વધુ' શબ્દોનો અર્થ ધ્યાનપૂર્વક સમજવો.

Question 2. પાસાઓની જોડને 4 વાર ફેંકવામાં આવે છે. જો સમાન સંખ્યાનું જોડકું મળે તેને સફળતા ગણીએ, તો બે સફળતાઓ મળવાની સંભાવના શોધો.
Answer: પાસાઓની જોડને એકવાર ફેંકતા, નિદર્શાવકાશના ઘટકોની કુલ સંખ્યા \(n(S) = 36\) છે. સમાન સંખ્યાનું જોડકું મળે તે ઘટનાને સફળતા ગણીએ. આવા જોડકાં \( \{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) \} \) છે. આની સંખ્યા 6 છે. સફળતાની સંભાવના \(p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\) છે. અસફળતાની સંભાવના \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\) છે. પાસાઓની જોડને 4 વાર ફેંકવામાં આવે છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 4\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે. આપણે બે સફળતાઓ મળવાની સંભાવના શોધવાની છે, એટલે કે \(P(X = 2)\).
\(P(X = 2) = {}^4 C_2 (\frac{5}{6})^{4-2} (\frac{1}{6})^2\)
\( = {}^4 C_2 (\frac{5}{6})^2 (\frac{1}{6})^2\)
\( = 6 \times \frac{25}{36} \times \frac{1}{36}\)
\( = \frac{150}{1296}\)
\( = \frac{25}{216}\)In simple words: જો પાસાની જોડીને 4 વાર ફેંકીએ અને બંને પાસા પર સમાન નંબર આવે તો તેને સફળતા ગણીએ, તો બે વાર સમાન નંબર મળવાની સંભાવના \( \frac{25}{216} \) છે.

🎯 Exam Tip: સમાન પરિણામોની ગણતરી કરતી વખતે ધ્યાન રાખવું કે કુલ શક્ય પરિણામો (36) અને અનુકૂળ પરિણામો (6) ને સાચી રીતે ઓળખી શકાય. દ્વિપદી વિતરણના સૂત્રમાં n, x, p, q ના મૂલ્યો સાચા હોવા જોઈએ.

Question 3. વસ્તુઓના મોટા જથ્થામા 5 % ખામીયુક્ત વસ્તુઓ છે. 10 વસ્તુઓનો નિદર્શ એક કરતાં વધારે ખામીયુક્ત વસ્તુનો સમાવેશ કરશે નહિ, તેની સંભાવના કેટલી ?
Answer: એક મોટા જથ્થામાં, 5% વસ્તુઓ ખામીયુક્ત છે. ખામીયુક્ત વસ્તુ મળવી એ સફળતા ગણીએ. સફળતાની સંભાવના \(p = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}\) છે. અસફળતાની સંભાવના \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}\) છે. નિદર્શમાં 10 વસ્તુઓ લેવામાં આવે છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 10\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે. એક કરતાં વધારે ખામીયુક્ત વસ્તુઓ ન હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે, એટલે કે \(P(X \le 1)\). આનો અર્થ થાય છે કે 0 ખામીયુક્ત વસ્તુ હોય અથવા 1 ખામીયુક્ત વસ્તુ હોય. \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)\)
\(P(X = 0) = {}^{10} C_0 (\frac{19}{20})^{10-0} (\frac{1}{20})^0 = 1 \times (\frac{19}{20})^{10} \times 1 = (\frac{19}{20})^{10}\)
\(P(X = 1) = {}^{10} C_1 (\frac{19}{20})^{10-1} (\frac{1}{20})^1 = 10 \times (\frac{19}{20})^9 \times \frac{1}{20}\)
\( = \frac{10}{20} \times (\frac{19}{20})^9 = \frac{1}{2} \times (\frac{19}{20})^9\) તો, \(P(X \le 1) = (\frac{19}{20})^{10} + 10 (\frac{19}{20})^9 (\frac{1}{20})\)
\( = (\frac{19}{20})^9 [\frac{19}{20} + \frac{10}{20}]\)
\( = (\frac{19}{20})^9 [\frac{19 + 10}{20}]\)
\( = (\frac{19}{20})^9 \times \frac{29}{20}\)
\( = \frac{29}{20} (\frac{19}{20})^9\)In simple words: જો 5% વસ્તુઓ ખામીવાળી હોય અને આપણે 10 વસ્તુઓ પસંદ કરીએ, તો તેમાંથી એકથી વધુ વસ્તુ ખામીવાળી ન હોય તેની સંભાવના \( \frac{29}{20} (\frac{19}{20})^9 \) છે.

🎯 Exam Tip: 'એક કરતાં વધારે નહિ' નો અર્થ \(P(X \le 1)\) થાય છે. આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, સંભાવનાની ગણતરી માટે \(P(X=0)\) અને \(P(X=1)\) ને શોધીને તેમનો સરવાળો કરવો જરૂરી છે.

Question 4. સરખી રીતે ચીપેલી 52 પત્તાંની એક થોકડીમાંથી પુરવણી સહિત ખેંચવામાં આવે છે. (i) બધાં જ પાંચ પત્તાં કાળીના હોય (ii) માત્ર 3 પત્તાં કાળીના હોય (iii) એક પણ પત્તું કાળીનું ન હોય તેની સંભાવના કેટલી ?
Answer: સરખી રીતે ચીપેલ 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી, કુલ પત્તાંની સંખ્યા \(n(S) = 52\) છે. આ 52 પત્તાંમાંથી, કાળીના 13 પત્તાં હોય છે. કાળીનું પત્તું ખેંચવાની ઘટનાને સફળતા ગણીએ. સફળતાની સંભાવના \(p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\) છે. અસફળતાની સંભાવના \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) છે. પાંચ પત્તાં પુરવણી સહિત ખેંચવામાં આવે છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 5\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે.
(i) જ્યારે બધાં જ પાંચ પત્તાં કાળીના હોય: આનો અર્થ થાય છે કે \(P(X = 5)\). \(P(X = 5) = {}^5 C_5 (\frac{3}{4})^{5-5} (\frac{1}{4})^5\)
\( = {}^5 C_5 (\frac{3}{4})^0 (\frac{1}{4})^5\)
\( = 1 \times 1 \times (\frac{1}{4})^5\)
\( = \frac{1}{1024}\)
(ii) જ્યારે માત્ર ત્રણ પત્તાં કાળીના હોય: આનો અર્થ થાય છે કે \(P(X = 3)\). \(P(X = 3) = {}^5 C_3 (\frac{3}{4})^{5-3} (\frac{1}{4})^3\)
\( = {}^5 C_3 (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^3\)
\( = \frac{5!}{3!2!} \times \frac{9}{16} \times \frac{1}{64}\)
\( = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{9}{16} \times \frac{1}{64}\)
\( = 10 \times \frac{9}{16} \times \frac{1}{64}\)
\( = \frac{90}{1024}\)
\( = \frac{45}{512}\)
(iii) જ્યારે એક પણ પત્તું કાળીનું ન હોય: આનો અર્થ થાય છે કે \(P(X = 0)\). \(P(X = 0) = {}^5 C_0 (\frac{3}{4})^{5-0} (\frac{1}{4})^0\)
\( = {}^5 C_0 (\frac{3}{4})^5 (\frac{1}{4})^0\)
\( = 1 \times (\frac{3}{4})^5 \times 1\)
\( = \frac{243}{1024}\)In simple words: 52 પત્તાની ગંજીફામાંથી 5 પત્તા પુરવણી સાથે ખેંચીએ ત્યારે, બધા કાળીના હોય તેની સંભાવના \( \frac{1}{1024} \), ફક્ત 3 પત્તા કાળીના હોય તેની સંભાવના \( \frac{45}{512} \), અને એક પણ કાળીનું પત્તું ન હોય તેની સંભાવના \( \frac{243}{1024} \) છે.

🎯 Exam Tip: પત્તાના દાખલાઓમાં, 'પુરવણી સહિત' (with replacement) અને 'પુરવણી રહિત' (without replacement) વચ્ચેનો તફાવત સમજવો મહત્વનો છે. 'પુરવણી સહિત' હોય ત્યારે દ્વિપદી વિતરણ લાગુ પડે છે અને દરેક પ્રયાસ સ્વતંત્ર હોય છે.

Question 5. એક ફેક્ટરી દ્વારા ઉત્પાદિત વીજળીના ગોળા 150 દિવસના વપરાશ પછી ઊડી જાય તેની સંભાવના 0.05 છે. વીજળીના 5 ગોળાઓ પૈકી (i) એક પણ નહિ (ii) એક કરતાં વધુ નહિ (iii) એક કરતાં વધારે (iv) ઓછામાં ઓછો એક વીજળીનો ગોળો, 150 દિવસના વપરાશ પછી ઊડી જાય તેની સંભાવના શોધો.
Answer: વીજળીનો ગોળો 150 દિવસના વપરાશ પછી ઊડી જાય તેને સફળતા ગણીએ. સફળતાની સંભાવના \(p = 0.05\) છે. અસફળતાની સંભાવના \(q = 1 - p = 1 - 0.05 = 0.95\) છે. વીજળીના પાંચ ગોળાઓ લેવામાં આવે છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 5\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે.
(i) જ્યારે એક પણ ગોળો ઊડી ન જાય: આનો અર્થ થાય છે કે \(P(X = 0)\). \(P(X = 0) = {}^5 C_0 (0.95)^{5-0} (0.05)^0\)
\( = 1 \times (0.95)^5 \times 1\)
\( = (0.95)^5\)
(ii) જ્યારે એક કરતાં વધુ ગોળો ઊડી ન જાય: આનો અર્થ થાય છે કે \(P(X \le 1)\), એટલે કે \(P(X = 0) + P(X = 1)\). \(P(X = 0) = (0.95)^5\) (જે આપણે (i) માં શોધ્યું છે) \(P(X = 1) = {}^5 C_1 (0.95)^{5-1} (0.05)^1\)
\( = 5 \times (0.95)^4 \times 0.05\)
\( = 5 \times 0.05 \times (0.95)^4\)
\( = 0.25 \times (0.95)^4\)
તો, \(P(X \le 1) = (0.95)^5 + 0.25 \times (0.95)^4\)
\( = (0.95)^4 (0.95 + 0.25)\)
\( = (0.95)^4 (1.2)\)
(iii) જ્યારે એક કરતાં વધારે ગોળો ઊડી જાય: આનો અર્થ થાય છે કે \(P(X > 1)\). આને \(1 - P(X \le 1)\) તરીકે શોધી શકાય છે. \(P(X > 1) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))\)
\( = 1 - (0.95)^4 (1.2)\)
(iv) જ્યારે ઓછામાં ઓછો એક ગોળો ઊડી જાય: આનો અર્થ થાય છે કે \(P(X \ge 1)\). આને \(1 - P(X < 1)\) એટલે કે \(1 - P(X = 0)\) તરીકે શોધી શકાય છે. \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\)
\( = 1 - (0.95)^5\)In simple words: 150 દિવસ પછી બલ્બ ફ્યુઝ થવાની સંભાવના 0.05 છે. 5 બલ્બમાંથી એક પણ ન ફ્યુઝ થાય તેની સંભાવના \( (0.95)^5 \), એકથી વધુ ન ફ્યુઝ થાય તેની \( (0.95)^4 (1.2) \), એકથી વધુ ફ્યુઝ થાય તેની \( 1 - (0.95)^4 (1.2) \), અને ઓછામાં ઓછો એક ફ્યુઝ થાય તેની સંભાવના \( 1 - (0.95)^5 \) છે.

🎯 Exam Tip: 'એક પણ નહિ' એટલે \(P(X=0)\), 'એક કરતાં વધુ નહિ' એટલે \(P(X \le 1)\), 'એક કરતાં વધારે' એટલે \(P(X > 1)\), અને 'ઓછામાં ઓછો એક' એટલે \(P(X \ge 1)\). આ શબ્દસમૂહોનો અર્થ સ્પષ્ટ રીતે સમજવો અને લાગુ પડતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો.

Question 6. એક થેલામાં 10 દડા છે. પ્રત્યેક પર 0થી 9 માંથી એક સંખ્યા અંકિત છે. જો થેલામાંથી 4 દડા વારાફરતી પુરવણી સહિત કાઢવામાં આવે, તો એક પણ દડા પર સંખ્યા 0 અંતિ ન હોય તેની સંભાવના કેટલી ?
Answer: એક થેલામાં 10 દડા છે અને તેના પર 0 થી 9 સુધીના અંકો લખેલા છે. સંખ્યા 0 અંકિત ન હોય તેવી ઘટનાને સફળતા ગણીએ. કુલ અંકો 10 (0, 1, ..., 9) છે. 0 ન હોય તેવા અંકો 9 છે (1, 2, ..., 9). સફળતાની સંભાવના \(p = \frac{9}{10}\) છે. અસફળતાની સંભાવના \(q = 1 - p = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}\) છે. થેલામાંથી 4 દડા પુરવણી સહિત કાઢવામાં આવે છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 4\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે. એક પણ દડા પર સંખ્યા 0 અંકિત ન હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે, એટલે કે \(P(X = 4)\).
\(P(X = 4) = {}^4 C_4 (\frac{1}{10})^{4-4} (\frac{9}{10})^4\)
\( = {}^4 C_4 (\frac{1}{10})^0 (\frac{9}{10})^4\)
\( = 1 \times 1 \times (\frac{9}{10})^4\)
\( = (\frac{9}{10})^4\)In simple words: જો 0 થી 9 અંકવાળા 10 દડામાંથી 4 દડા પુરવણી સાથે કાઢવામાં આવે, તો એક પણ દડા પર 0 ન હોય તેની સંભાવના \( (\frac{9}{10})^4 \) છે.

🎯 Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં, સફળતાની વ્યાખ્યા (અહીં, '0 અંકિત ન હોય') સ્પષ્ટ રીતે સમજવી અને તે મુજબ p અને q ની ગણતરી કરવી. પુરવણી સહિતનો અર્થ દરેક પ્રયાસ સ્વતંત્ર છે.

Question 7. એક પરીક્ષામાં, 20 પ્રશ્નો સત્ય-અસત્ય પ્રકારના પુછાયા છે. ધારો કે એક વિધાર્થી પોતાના જવાબ નક્કી કરવા માટે એક સમતોલ સિક્કાને પ્રત્યેક પ્રશ્નના ઉત્તર માટે ઉછાળે છે. જો સિક્કા પર છાપ પડે, તો તે જવાબ 'સત્ય' આપે છે; જો સિક્કા પર કાંટો પડે, તો તે જવાબ 'અસત્ય' આપે છે. તે ઓછામાં ઓછા 12 પ્રશ્નોના જવાબ બરાબર આપે તેની સંભાવના શોધો.
Answer: એક સમતોલ સિક્કાને ઉછાળતા મળતો નિદર્શાવકાશ \(S = \{H, T\}\) છે. તેથી, કુલ પરિણામોની સંખ્યા \(n(S) = 2\) છે. 'સિક્કા પર છાપ પડે તો વિદ્યાર્થી જવાબ સત્ય આપે છે' આ ઘટનાને સફળતા ગણીએ. એક સમતોલ સિક્કા માટે છાપ મળવાની સંભાવના \(p = \frac{1}{2}\) છે. તેથી, સફળતાની સંભાવના \(p = \frac{1}{2}\) અને અસફળતાની સંભાવના \(q = 1 - p = \frac{1}{2}\) છે. પરીક્ષામાં 20 સત્ય-અસત્ય પ્રકારના પ્રશ્નો છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 20\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે. આપણે ઓછામાં ઓછા 12 પ્રશ્નોના જવાબ બરાબર મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે, એટલે કે \(P(X \ge 12)\).
\(P(X \ge 12) = P(X = 12) + P(X = 13) + P(X = 14) + \dots + P(X = 20)\)
\( = {}^{20} C_{12} (\frac{1}{2})^{20-12} (\frac{1}{2})^{12} + {}^{20} C_{13} (\frac{1}{2})^{20-13} (\frac{1}{2})^{13} + \dots + {}^{20} C_{20} (\frac{1}{2})^{20-20} (\frac{1}{2})^{20}\)
\( = {}^{20} C_{12} (\frac{1}{2})^{20} + {}^{20} C_{13} (\frac{1}{2})^{20} + \dots + {}^{20} C_{20} (\frac{1}{2})^{20}\)
\( = (\frac{1}{2})^{20} [{}^{20} C_{12} + {}^{20} C_{13} + {}^{20} C_{14} + \dots + {}^{20} C_{20}]\)In simple words: 20 સત્ય-અસત્ય પ્રશ્નોવાળી પરીક્ષામાં, જો વિદ્યાર્થી સિક્કો ઉછાળીને જવાબ આપે, તો ઓછામાં ઓછા 12 પ્રશ્નો સાચા પડે તેની સંભાવના \( (\frac{1}{2})^{20} [{}^{20} C_{12} + {}^{20} C_{13} + {}^{20} C_{14} + \dots + {}^{20} C_{20}] \) છે.

🎯 Exam Tip: 'ઓછામાં ઓછા x' એટલે \(P(X \ge x)\) સમજવું. આવા લાંબા સરવાળાવાળા પ્રશ્નોમાં, સામાન્ય પદ (અહીં \( (\frac{1}{2})^{20} \)) ને બહાર કાઢીને સંયોજનોનો સરવાળો દર્શાવવો યોગ્ય છે.

Question 8. ધારો કે x નું દ્વિપદી વિતરણ \( B(6, \frac{1}{2}) \) છે. સાબિત કરો કે X = 3 એ સૌથી વધુ મળતું પરિબ્રામ છે. (સૂચન : P(X = 3) અને બધા જ P(xi), X; = ¡ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 मां मत्तम छे.)
Answer: અહીં x નું દ્વિપદી વિતરણ \( B(6, \frac{1}{2}) \) આપેલું છે. આનો અર્થ થાય છે કે \(n = 6\) અને સફળતાની સંભાવના \(p = \frac{1}{2}\) છે. અસફળતાની સંભાવના \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે. તેથી, \(P(X = x) = {}^6 C_x (\frac{1}{2})^{6-x} (\frac{1}{2})^x\)
\( = {}^6 C_x (\frac{1}{2})^6\) આપણે \(P(X=x)\) ના મૂલ્યો \(x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\) માટે ગણીશું:
\(P(X=0) = {}^6 C_0 (\frac{1}{2})^6 = 1 \times \frac{1}{64} = \frac{1}{64}\)
\(P(X=1) = {}^6 C_1 (\frac{1}{2})^6 = 6 \times \frac{1}{64} = \frac{6}{64}\)
\(P(X=2) = {}^6 C_2 (\frac{1}{2})^6 = 15 \times \frac{1}{64} = \frac{15}{64}\)
\(P(X=3) = {}^6 C_3 (\frac{1}{2})^6 = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{20}{64}\)
\(P(X=4) = {}^6 C_4 (\frac{1}{2})^6 = 15 \times \frac{1}{64} = \frac{15}{64}\)
\(P(X=5) = {}^6 C_5 (\frac{1}{2})^6 = 6 \times \frac{1}{64} = \frac{6}{64}\)
\(P(X=6) = {}^6 C_6 (\frac{1}{2})^6 = 1 \times \frac{1}{64} = \frac{1}{64}\) ઉપરના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા, \(P(X = 3) = \frac{20}{64}\) એ બધા P(x) મૂલ્યોમાં સૌથી મોટું છે. તેથી, \(X = 3\) એ સૌથી વધુ મળતું પરિણામ છે.In simple words: એક દ્વિપદી વિતરણ \( B(6, \frac{1}{2}) \) માટે, 0 થી 6 સુધીના દરેક શક્ય પરિણામ માટે સંભાવનાની ગણતરી કરતા, \(X=3\) ની સંભાવના સૌથી વધારે આવે છે, તેથી \(X=3\) એ સૌથી વધુ સંભવિત પરિણામ છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, બધા સંભવિત x મૂલ્યો માટે P(X=x) ની ગણતરી કરવી અને પછી સૌથી મોટું મૂલ્ય ઓળખવું. સંયોજન \( {}^n C_x \) ના મૂલ્યોની સાચી ગણતરી કરવી નિર્ણાયક છે.

Question 9. પાંચ પ્રશ્નો પૈકી પ્રત્યેક માટે ત્રણ શક્ય જવાબો ધરાવતી બહુવિકલ્પ પસંદગી પરીક્ષામાં ઉમેદવાર માત્ર અટકળ કરીને ચાર અથવા ચાર કરતાં વધારે સાચા જવાબો મેળવશે તેની સંભાવના કેટલી ?
Answer: બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોમાં ત્રણ શક્ય જવાબો છે, તેમાંથી એક સાચો હોય છે. અટકળ કરીને સાચો જવાબ આપવાની ઘટનાને સફળતા ગણીએ. સફળતાની સંભાવના \(p = \frac{1}{3}\) છે. અસફળતાની સંભાવના \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) છે. પરીક્ષામાં પાંચ પ્રશ્નો છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 5\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે. ઉમેદવાર ચાર અથવા ચાર કરતાં વધારે સાચા જવાબો મેળવશે તેની સંભાવના શોધવાની છે, એટલે કે \(P(X \ge 4)\).
\(P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)\)
\(P(X = 4) = {}^5 C_4 (\frac{2}{3})^{5-4} (\frac{1}{3})^4 = {}^5 C_4 (\frac{2}{3})^1 (\frac{1}{3})^4 = 5 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{81} = \frac{10}{243}\)
\(P(X = 5) = {}^5 C_5 (\frac{2}{3})^{5-5} (\frac{1}{3})^5 = {}^5 C_5 (\frac{2}{3})^0 (\frac{1}{3})^5 = 1 \times 1 \times \frac{1}{243} = \frac{1}{243}\) તો, \(P(X \ge 4) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243}\)
\( = \frac{11}{243}\)In simple words: જો કોઈ વિદ્યાર્થી 5 બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોમાં અટકળ કરીને જવાબ આપે, જ્યાં દરેક પ્રશ્નના 3 વિકલ્પો હોય, તો તેને 4 કે તેથી વધુ સાચા જવાબો મળે તેની સંભાવના \( \frac{11}{243} \) છે.

🎯 Exam Tip: બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોમાં, સાચા જવાબની સંભાવના \( \frac{1}{\text{કુલ વિકલ્પોની સંખ્યા}} \) તરીકે ગણવામાં આવે છે. 'ચાર અથવા ચાર કરતાં વધારે' નો અર્થ \(P(X=4) + P(X=5)\) થાય છે.

Question 10. એક વ્યક્તિ 50 લૉટરીમાં એક લૉટરી ટિકિટ ખરીદે છે. તેમાંથી પ્રત્યેકમાં તેની ઇનામ જીતવાની તક \( \frac{1}{100} \) છે. તે (a) ઓછામાં ઓછી એકવાર (b) ફક્ત એક જ વાર (c) ઓછામાં ઓછી બે વાર ઇનામ જીતવાની સંભાવના કેટલી ?
Answer: લૉટરીની ટિકિટમાં ઇનામ લાગવાની ઘટનાને સફળતા ગણીએ. સફળતાની સંભાવના \(p = \frac{1}{100}\) છે. અસફળતાની સંભાવના \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}\) છે. એક વ્યક્તિ 50 લૉટરી ટિકિટો ખરીદે છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 50\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે.
(a) જ્યારે ઓછામાં ઓછી એકવાર ઇનામ જીતે: આનો અર્થ થાય છે કે \(P(X \ge 1)\). આને \(1 - P(X = 0)\) તરીકે શોધી શકાય છે. \(P(X = 0) = {}^{50} C_0 (\frac{99}{100})^{50-0} (\frac{1}{100})^0\)
\( = 1 \times (\frac{99}{100})^{50} \times 1\)
\( = (\frac{99}{100})^{50}\) તો, \(P(X \ge 1) = 1 - (\frac{99}{100})^{50}\)
(b) જ્યારે ફક્ત એક જ વાર ઇનામ જીતે: આનો અર્થ થાય છે કે \(P(X = 1)\). \(P(X = 1) = {}^{50} C_1 (\frac{99}{100})^{50-1} (\frac{1}{100})^1\)
\( = 50 \times (\frac{99}{100})^{49} \times \frac{1}{100}\)
\( = \frac{50}{100} \times (\frac{99}{100})^{49}\)
\( = \frac{1}{2} (\frac{99}{100})^{49}\)
(c) જ્યારે ઓછામાં ઓછી બે વાર ઇનામ જીતે: આનો અર્થ થાય છે કે \(P(X \ge 2)\). આને \(1 - P(X < 2)\) એટલે કે \(1 - (P(X = 0) + P(X = 1))\) તરીકે શોધી શકાય છે. \(P(X \ge 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]\)
\( = 1 - [(\frac{99}{100})^{50} + \frac{1}{2} (\frac{99}{100})^{49}]\)
\( = 1 - (\frac{99}{100})^{49} [\frac{99}{100} + \frac{1}{2}]\)
\( = 1 - (\frac{99}{100})^{49} [\frac{99 + 50}{100}]\)
\( = 1 - (\frac{99}{100})^{49} \frac{149}{100}\)
\( = 1 - \frac{149}{100} (\frac{99}{100})^{49}\)In simple words: એક વ્યક્તિ 50 લોટરી ટિકિટ ખરીદે છે, જેમાં જીતવાની સંભાવના \( \frac{1}{100} \) છે. તે ઓછામાં ઓછી એકવાર જીતે તેની સંભાવના \( 1 - (\frac{99}{100})^{50} \), ફક્ત એક જ વાર જીતે તેની \( \frac{1}{2} (\frac{99}{100})^{49} \), અને ઓછામાં ઓછી બે વાર જીતે તેની \( 1 - \frac{149}{100} (\frac{99}{100})^{49} \) છે.

🎯 Exam Tip: લૉટરીના પ્રશ્નોમાં, જીતવાની સંભાવના (p) ઘણી ઓછી હોય છે. 'ઓછામાં ઓછી એકવાર' અને 'ઓછામાં ઓછી બે વાર' જેવી શરતોને \(1 - P(\text{કોઈ જીત નહીં})\) અથવા \(1 - P(\text{એકથી ઓછી જીત})\) નો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી ગણી શકાય છે.

Question 11. પાસાને 7 વાર ફેંકવામાં બરાબર બે વખત 5 મળે તેની સંભાવના શોધો.
Answer: પાસાને એકવાર ફેંકતા મળતો નિદર્શાવકાશ \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) છે. તેથી, કુલ પરિણામોની સંખ્યા \(n(S) = 6\) છે. પાસા પર 5 મળે તે ઘટનાને સફળતા કહીએ. 5 મળવાની સંભાવના \(p = \frac{1}{6}\) છે. અસફળતાની સંભાવના \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\) છે. પાસાને 7 વાર ફેંકવામાં આવે છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 7\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે. બરાબર બે વખત 5 મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે, એટલે કે \(P(X = 2)\).
\(P(X = 2) = {}^7 C_2 (\frac{5}{6})^{7-2} (\frac{1}{6})^2\)
\( = {}^7 C_2 (\frac{5}{6})^5 (\frac{1}{6})^2\)
\( = \frac{7!}{2!5!} \times (\frac{5}{6})^5 \times (\frac{1}{6})^2\)
\( = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \times \frac{5^5}{6^5} \times \frac{1}{6^2}\)
\( = 21 \times \frac{5^5}{6^7}\)
\( = 21 \times \frac{3125}{279936}\)
\( = \frac{65625}{279936}\)
\( = \frac{21875}{93312}\)
(સરળ સ્વરૂપમાં લખતા)
\( = \frac{7}{12} (\frac{5}{6})^5\)In simple words: જ્યારે પાસાને 7 વાર ફેંકીએ, ત્યારે બરાબર બે વખત '5' આવવાની સંભાવના \( \frac{21875}{93312} \) છે.

🎯 Exam Tip: પાસાના દાખલાઓમાં, કોઈ ચોક્કસ સંખ્યા (જેમ કે 5 અથવા 6) મળવાની સંભાવના \( \frac{1}{6} \) હોય છે. સંયોજન \( {}^n C_x \) અને ઘાતાંકનું ધ્યાનપૂર્વક ગણતરી કરવી.

Question 12. એક પાસાને 6 વાર ફેંકવામાં વધુમાં વધુ બે વખત 6 મળવાની સંભાવના શોધો.
Answer: પાસાને એક વખત ફેંકતા મળતો નિદર્શાવકાશ \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) છે. તેથી, કુલ પરિણામોની સંખ્યા \(n(S) = 6\) છે. પાસા પર 6 મળે તે ઘટનાને સફળતા કહીએ. સફળતાની સંભાવના \(p = \frac{1}{6}\) છે. અસફળતાની સંભાવના \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\) છે. પાસાને 6 વાર ફેંકવામાં આવે છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 6\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે. વધુમાં વધુ બે વખત 6 મળવાની સંભાવના શોધવાની છે, એટલે કે \(P(X \le 2)\).
\(P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\)
\(P(X = 0) = {}^6 C_0 (\frac{5}{6})^{6-0} (\frac{1}{6})^0 = 1 \times (\frac{5}{6})^6 \times 1 = (\frac{5}{6})^6\)
\(P(X = 1) = {}^6 C_1 (\frac{5}{6})^{6-1} (\frac{1}{6})^1 = 6 \times (\frac{5}{6})^5 \times \frac{1}{6} = (\frac{5}{6})^5\)
\(P(X = 2) = {}^6 C_2 (\frac{5}{6})^{6-2} (\frac{1}{6})^2 = 15 \times (\frac{5}{6})^4 \times \frac{1}{36}\)
\(P(X \le 2) = (\frac{5}{6})^6 + (\frac{5}{6})^5 + 15 \times (\frac{5}{6})^4 \times \frac{1}{36}\)
\( = (\frac{5}{6})^4 [(\frac{5}{6})^2 + \frac{5}{6} + \frac{15}{36}]\)
\( = (\frac{5}{6})^4 [\frac{25}{36} + \frac{30}{36} + \frac{15}{36}]\)
\( = (\frac{5}{6})^4 [\frac{25 + 30 + 15}{36}]\)
\( = (\frac{5}{6})^4 [\frac{70}{36}]\)
\( = (\frac{5}{6})^4 \frac{35}{18}\)In simple words: જો એક પાસાને 6 વાર ફેંકીએ, તો વધુમાં વધુ બે વખત '6' મળવાની સંભાવના \( \frac{35}{18} (\frac{5}{6})^4 \) છે.

🎯 Exam Tip: 'વધુમાં વધુ x' એટલે \(P(X \le x)\) સમજવું. આમાં \(P(X=0), P(X=1), \dots, P(X=x)\) નો સરવાળો થાય છે. ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે સામાન્ય પદને બહાર કાઢવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો.

Question 13. એ જાણીતું છે કે નિશ્ચિત ચીજવસ્તુઓના ઉત્પાદનમાં 10 % ખામીયુક્ત હોય છે. 12 પ્રકારની ચીજવસ્તુઓના યાદચ્છિક નિદર્શમાં 9 ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના કેટલી ?
Answer: નિશ્ચિત ચીજવસ્તુઓના ઉત્પાદનમાં ખામીયુક્ત વસ્તુ મળવાની ઘટનાને સફળતા કહીએ. ઉત્પાદનમાં 10% ખામીયુક્ત વસ્તુઓ હોય છે, તેથી સફળતાની સંભાવના \(p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}\) છે. અસફળતાની સંભાવના \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\) છે. 12 પ્રકારની ચીજવસ્તુઓ લેવામાં આવે છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 12\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે. નિદર્શમાં 9 ખામીયુક્ત વસ્તુઓ હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે, એટલે કે \(P(X = 9)\).
\(P(X = 9) = {}^{12} C_9 (\frac{9}{10})^{12-9} (\frac{1}{10})^9\)
\( = {}^{12} C_9 (\frac{9}{10})^3 (\frac{1}{10})^9\)
\( = \frac{12!}{9!3!} \times \frac{9^3}{10^3} \times \frac{1}{10^9}\)
\( = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{9^3}{10^{12}}\)
\( = 220 \times \frac{9^3}{10^{12}}\)
\( = \frac{22 \times 9^3}{10^{11}}\)In simple words: જો કોઈ વસ્તુના ઉત્પાદનમાં 10% ખામી હોય અને 12 વસ્તુઓનો સમૂહ લેવાય, તો તેમાંથી બરાબર 9 વસ્તુઓ ખામીવાળી હોય તેની સંભાવના \( \frac{22 \times 9^3}{10^{11}} \) છે.

🎯 Exam Tip: જ્યારે ટકાવારીમાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓ આપેલી હોય, ત્યારે તેને સંભાવના (p) માં રૂપાંતરિત કરવી. \( {}^n C_x \) ની ગણતરી કરતી વખતે n અને x ના મોટા મૂલ્યો માટે સાવચેતી રાખવી.

Question 14. પ્રશ્નો 14 તથા 15 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો:
પ્રશ્ન 14. 100 વીજળીના ગોળા ધરાવતા ખોખામાં, 10 ખામીયુક્ત છે. 5 ગોળાના નિદર્શમાંથી, એક પણ ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના........ . .
(A) \( 10^{-1} \)
(B) \( (\frac{1}{2})^5 \)
(C) \( (\frac{9}{10})^5 \)
(D) \( \frac{9}{10} \)
Answer: (C) \( (\frac{9}{10})^5 \) 100 વીજળીના ગોળા ધરાવતા ખોખામાં 10 ખામીયુક્ત છે. ખામીયુક્ત ગોળો મળવાની સંભાવના \(p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}\) છે. ખામીયુક્ત ન હોય તેવા ગોળા મળવાની સંભાવના \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\) છે. 5 ગોળાનો નિદર્શ લેવામાં આવે છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 5\) છે. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) છે. એક પણ ગોળો ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે, એટલે કે \(P(X = 0)\) જ્યાં X ખામીયુક્ત ગોળાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે. પરંતુ, જો આપણે સફળતાને 'ગોળો ખામીયુક્ત ન હોય' તરીકે લઈએ, તો p = \( \frac{9}{10} \) અને q = \( \frac{1}{10} \). આપણને બધા 5 ગોળા ખામીયુક્ત ન હોય તે જોઈએ છે, એટલે કે \(P(X = 5)\) જ્યાં X ખામીયુક્ત ન હોય તેવા ગોળાઓની સંખ્યા છે. \(P(X = 5) = {}^5 C_5 (\frac{1}{10})^{5-5} (\frac{9}{10})^5\)
\( = 1 \times (\frac{1}{10})^0 \times (\frac{9}{10})^5\)
\( = (\frac{9}{10})^5\) તેથી, વિકલ્પ (C) સાચો છે.In simple words: 100 બલ્બના બોક્સમાં 10 ખામીવાળા હોય તો, 5 બલ્બના સેમ્પલમાંથી એક પણ ખામીવાળો ન હોય તેની સંભાવના \( (\frac{9}{10})^5 \) છે.

🎯 Exam Tip: MCQ પ્રશ્નોમાં, પ્રશ્ન કયા પરિણામને 'સફળતા' માને છે તે સ્પષ્ટ કરવું અને તે મુજબ p અને q ના મૂલ્યો નક્કી કરવા. અહીં, 'ખામીયુક્ત ન હોય' તે સફળતા છે.

Question 15. વિદ્યાર્થી તરવૈયો નથી તેની સંભાવના \( \frac{1}{5} \) છે, તો આપેલ પાંચ વિદ્યાર્થીઓમાંથી ચાર તરવૈયા હોય તેની સંભાવના છે.
(A) \( 5C_4 (\frac{4}{5})^4 \frac{1}{5} \)
(B) \( (\frac{4}{5})^4 \frac{1}{5} \)
(C) \( 5C_1 (\frac{4}{5})^4 \frac{1}{5} \)
(D) આમાંથી કોઈ પણ નહિ.
Answer: (A) \( 5C_4 (\frac{4}{5})^4 \frac{1}{5} \) વિદ્યાર્થી તરવૈયો નથી તેની સંભાવના \(q = \frac{1}{5}\) આપેલ છે. વિદ્યાર્થી તરવૈયો હોય તે ઘટનાને સફળતા કહીએ. સફળતાની સંભાવના \(p = 1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\) છે. પાંચ વિદ્યાર્થીઓ લેવામાં આવે છે, તેથી પ્રયત્નોની કુલ સંખ્યા \(n = 5\) છે. આપણે ચાર વિદ્યાર્થીઓ તરવૈયા હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે, એટલે કે \(P(X = 4)\). દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર \(P(X = x) = {}^n C_x q^{n-x} p^x\) નો ઉપયોગ કરીએ.
\(P(X = 4) = {}^5 C_4 (\frac{1}{5})^{5-4} (\frac{4}{5})^4\)
\( = {}^5 C_4 (\frac{1}{5})^1 (\frac{4}{5})^4\)
\( = {}^5 C_4 (\frac{4}{5})^4 \frac{1}{5}\) તેથી, વિકલ્પ (A) સાચો છે. (નોંધ: વિકલ્પ (A) અને (C) સમાન નથી, કારણ કે \( {}^5 C_4 = 5 \) અને \( {}^5 C_1 = 5 \), પરંતુ (C) માં p અને q ના ઘાતાંક અલગ હોઈ શકે છે. અહીં (A) સાચું છે.)In simple words: જો વિદ્યાર્થી તરવૈયો ન હોય તેની સંભાવના \( \frac{1}{5} \) હોય, તો પાંચ વિદ્યાર્થીઓમાંથી ચાર તરવૈયા હોય તેની સંભાવના \( 5C_4 (\frac{4}{5})^4 \frac{1}{5} \) છે.

🎯 Exam Tip: જ્યારે 'ન હોય' તેની સંભાવના (q) આપેલી હોય, ત્યારે 'હોય' તેની સંભાવના (p) શોધવા માટે \( p = 1-q \) નો ઉપયોગ કરો. દ્વિપદી વિતરણ સૂત્રમાં \(p\) અને \(q\) ના મૂલ્યોને યોગ્ય રીતે ગોઠવવા જરૂરી છે.

 

Question 15. વિદ્યાર્થી તરવૈયો નથી તેની સંભાવના \(\frac{1}{5}\) છે, તો આપેલ પાંચ વિદ્યાર્થીઓમાંથી ચાર તરવૈયા હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?
(A) \(5C_4 \left(\frac{4}{5}\right)^4 \left(\frac{1}{5}\right)\)
(B) \(\left(\frac{4}{5}\right)^4 \left(\frac{1}{5}\right)\)
(C) \(5C_4 \left(\frac{4}{5}\right)^4 \left(\frac{1}{5}\right)\)
(D) આમાંથી કોઈ પણ નહિ.
Answer: (A) \(5C_4 \left(\frac{4}{5}\right)^4 \left(\frac{1}{5}\right)\)
Answer:Let's consider the event of a student being a swimmer as a "success." The problem states that the probability of a student *not* being a swimmer is \(\frac{1}{5}\). This is our \(q\). So, \(q = \frac{1}{5}\). The probability of a student *being* a swimmer (success) is \(p = 1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\). We are selecting five students, so the number of trials is \(n = 5\). We want to find the probability that exactly four students are swimmers. So, \(x = 4\). We use the binomial probability formula: \(P(X = x) = {}^n C_x p^x q^{n-x}\) Substituting the values: \(P(X = 4) = {}^5 C_4 \left(\frac{4}{5}\right)^4 \left(\frac{1}{5}\right)^{5-4}\)
\(P(X = 4) = {}^5 C_4 \left(\frac{4}{5}\right)^4 \left(\frac{1}{5}\right)^1\) Comparing this result with the given options, it matches option (A). (Note: Options (A) and (C) are identical).
In simple words: If the chance of not being a swimmer is \(\frac{1}{5}\), then the chance of being one is \(\frac{4}{5}\). For 5 students, the probability that 4 of them are swimmers is calculated using a specific formula that combines the chances of success and failure for the number of students needed.

🎯 Exam Tip: When dealing with binomial distribution problems, always clearly identify 'n' (number of trials), 'p' (probability of success), 'q' (probability of failure), and 'x' (number of successes required) to correctly apply the formula. Pay close attention to how 'success' and 'failure' are defined in the problem statement.