GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 13 સંભાવના Exercise 13.2

Chapter 13 संभावना Ex 13.2

 

Question 1. જો A અને B નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોય અને P(A) = \(\frac{3}{5}\) અને P(B) = \(\frac{1}{5}\) હોય, તો P(A n B) શોધો.

Answer: જ્યારે A અને B સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોય, અને P(A) \(\frac{3}{5}\) અને P(B) \(\frac{1}{5}\) હોય, તો P(A ∩ B) શોધો. જો A અને B સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોય, તો A અને B બંને બનવાની સંભાવના (P(A ∩ B)) એ A ની સંભાવનાને B ની સંભાવના વડે ગુણીને મળે છે. તેથી, \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{25}\).
In simple words: જો બે ઘટનાઓ એકબીજા પર અસર ન કરતી હોય, તો બંને ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના શોધવા માટે તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો ગુણાકાર કરો.

🎯 Exam Tip: For independent events, remember to use the formula \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) to calculate the joint probability.

 

Question 2. રમવાની 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી બે પત્તાં યાદૈચ્છિક રીતે પુરવણી વગર પસંદ કરવામાં આવે છે. બંને પત્તાં કાળા રંગનાં હોય તેની સંભાવના શોધો.

Answer: 52 પત્તાની ગંજીફામાંથી, બે પત્તા પુરવણી વગર રેન્ડમલી પસંદ કરવામાં આવે છે. બંને પત્તા કાળા હોય તેની સંભાવના શોધો. 52 પત્તાની ગંજીફામાં કુલ 26 કાળા પત્તા હોય છે. ઘટના A: પ્રથમ પત્તું કાળા રંગનું પસંદ થાય. ઘટના B: દ્વિતીય પત્તું કાળા રંગનું પસંદ થાય. પત્તાની પસંદગી પુરવણી વગર કરવાની હોવાથી, પ્રથમ પત્તું પસંદ કર્યા પછી પાછું મૂકવામાં આવતું નથી. પ્રથમ પત્તું કાળા રંગનું હોવાની સંભાવના, P(A), છે \(\frac{26}{52} = \frac{1}{2}\). હવે, 51 પત્તા બાકી રહ્યા છે, અને જો પ્રથમ પત્તું કાળું હોય, તો 25 કાળા પત્તા બાકી રહ્યા છે. દ્વિતીય પત્તું કાળા રંગનું હોવાની સંભાવના, P(B|A), છે \(\frac{25}{51}\). બંને પત્તા કાળા રંગના હોવાની સંભાવના \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{1}{2} \times \frac{25}{51} = \frac{25}{102}\).
In simple words: જો તમે બે કાળા પત્તા પાછા મૂક્યા વિના મેળવવા માંગતા હો, તો પહેલા એક કાળા પત્તાની સંભાવના શોધો. પછી, બાકીના પત્તામાંથી બીજું કાળું પત્તું મેળવવાની સંભાવના શોધો. આ બંને સંભાવનાઓનો ગુણાકાર કરો.

🎯 Exam Tip: When drawing cards without replacement, remember that the total number of cards and the number of specific cards decrease after each draw, impacting subsequent probabilities.

 

Question 3. નારંગીના ખોખામાંથી યાદૈચ્છિક રીતે પુરવણી વગર ત્રણ નારંગી પસંદ કરીને તે ખોખાને તપાસવામાં આવે છે. જો તમામ ત્રણ નારંગીઓ સારી હોય, તો ખોખાનો વેચાણ માટે સ્વીકાર કરાય છે, અન્યથા તેનો અસ્વીકાર કરવામાં આવે છે. જો ખોખામાં સમાવિષ્ટ 15 નારંગી પૈકી 12 સારી અને 3 ખરાબ હોય, તો તેને વેચાણ માટે મંજૂરી મળે તેની સંભાવના શોધો.

Answer: નારંગીના એક બોક્સમાંથી, પુરવણી વગર ત્રણ નારંગી રેન્ડમલી પસંદ કરવામાં આવે છે. જો ત્રણેય નારંગી સારી હોય, તો બોક્સ વેચાણ માટે સ્વીકારવામાં આવે છે. જો બોક્સમાં 15 નારંગીઓ હોય, જેમાં 12 સારી અને 3 ખરાબ હોય, તો બોક્સ વેચાણ માટે સ્વીકારવામાં આવે તેની સંભાવના શોધો. બોક્સમાં કુલ 15 નારંગીઓ છે: 12 સારી અને 3 ખરાબ. બોક્સને વેચાણ માટે સ્વીકારવા માટે, પસંદ કરેલી ત્રણેય નારંગી સારી હોવી જોઈએ. ચાલો ઘટના A = પ્રથમ નારંગી સારી હોય. ચાલો ઘટના B = દ્વિતીય નારંગી સારી હોય. ચાલો ઘટના C = તૃતીય નારંગી સારી હોય. નારંગીઓ પુરવણી વગર પસંદ કરવામાં આવે છે: P(A) = પ્રથમ નારંગી સારી હોવાની સંભાવના = \(\frac{12}{15}\). P(B|A) = પ્રથમ નારંગી સારી હોય તે પછી દ્વિતીય નારંગી સારી હોવાની સંભાવના = \(\frac{11}{14}\). P(C|A ∩ B) = પ્રથમ બે નારંગી સારી હોય તે પછી તૃતીય નારંગી સારી હોવાની સંભાવના = \(\frac{10}{13}\). ત્રણેય ઘટનાઓ A, B, અને C બનવાની સંભાવના છે: \(P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)\) \(P(A \cap B \cap C) = \frac{12}{15} \times \frac{11}{14} \times \frac{10}{13} = \frac{44}{91}\). તેથી, બોક્સ વેચાણ માટે સ્વીકારવામાં આવે તેની સંભાવના \(\frac{44}{91}\) છે.
In simple words: બોક્સમાંથી પાછા મૂક્યા વિના ત્રણ સારી નારંગી પસંદ કરવાની સંભાવના શોધવા માટે, પ્રથમ સારી નારંગી પસંદ કરવાની સંભાવના, પછી બાકીનીમાંથી બીજી સારી નારંગી પસંદ કરવાની સંભાવના, અને પછી બાકીનીમાંથી ત્રીજી સારી નારંગી પસંદ કરવાની સંભાવનાનો ગુણાકાર કરો.

🎯 Exam Tip: For selections without replacement, remember to reduce both the total number of items and the number of favorable items for each subsequent draw.

 

Question 4. એક સમતોલ સિક્કા અને એક સમતોલ પાસાને ઉછાળવામાં આવે છે. ધારો કે ઘટના A, 'સિક્કા પર છાપ મળે” તે અને ઘટના B 'પાસા પર 3 મળે' તે દર્શાવે છે. ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ છે કે નહિ તે ચકાસો.

Answer: એક સમતોલ સિક્કા અને એક સમતોલ પાસાને ઉછાળવામાં આવે છે. ઘટના A 'સિક્કા પર છાપ મળે' અને ઘટના B 'પાસા પર 3 મળે' તે દર્શાવે છે. ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર છે કે નહીં તે ચકાસો. જ્યારે એક સમતોલ સિક્કો અને એક સમતોલ પાસો ઉછાળવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ સંભવિત પરિણામો (નિદર્શાવકાશ S) નીચે મુજબ છે: S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}. કુલ પરિણામોની સંખ્યા, n(S), 12 છે. ઘટના A: સિક્કા પર છાપ મળે. A = {H1, H2, H3, H4, H5, H6}. n(A), 6 છે. P(A) = \(\frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). ઘટના B: પાસા પર 3 મળે. B = {H3, T3}. n(B), 2 છે. P(B) = \(\frac{n(B)}{n(S)} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). હવે, ઘટના A ∩ B (સિક્કા પર છાપ અને પાસા પર 3 મળે) નો વિચાર કરીએ: A ∩ B = {H3}. n(A ∩ B), 1 છે. P(A ∩ B) = \(\frac{1}{12}\). સ્વતંત્રતા ચકાસવા માટે, આપણે P(A ∩ B) ને P(A) ⋅ P(B) સાથે સરખાવીશું. \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\). જેમ કે \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) (\(\frac{1}{12} = \frac{1}{12}\)), ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર છે.
In simple words: બે ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે કે નહીં તે જાણવા માટે, બંને ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના શોધો. પછી, તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો ગુણાકાર કરો. જો આ બંને સંખ્યાઓ સમાન હોય, તો ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.

🎯 Exam Tip: To prove independence, always verify if \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). If this condition is met, the events are independent.

 

Question 5. જેની ઉપર પૂર્ણાંકો 1, 2, 3 લાલ રંગથી અને 4, 5, 6 લીલા રંગથી લખેલ હોય તેવા પાસાને ફેંકવામાં આવે છે. પાસા પર મળતો પૂર્ણાંક યુગ્મ છે તે ઘટનાને A વડે તથા પાસા પરનો પૂર્ણાંક લાલ રંગથી લખેલ છે ઘટનાને B વડે દર્શાવીએ, તો ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ છે ?

Answer: એક પાસા પર 1, 2, 3 લાલ રંગથી અને 4, 5, 6 લીલા રંગથી લખેલા છે. જ્યારે પાસાને ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે ઘટના A એ 'યુગ્મ પૂર્ણાંક મળે' અને ઘટના B એ 'લાલ રંગથી લખેલો પૂર્ણાંક મળે' છે. ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર છે કે નહીં? પાસા પરના અંકો S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} છે. તેથી, n(S) = 6. અંકો 1, 2, 3 લાલ રંગના છે. અંકો 4, 5, 6 લીલા રંગના છે. ઘટના A: યુગ્મ પૂર્ણાંક મળે. A = {2, 4, 6}. n(A), 3 છે. P(A) = \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). ઘટના B: લાલ રંગથી લખેલો પૂર્ણાંક મળે. B = {1, 2, 3}. n(B), 3 છે. P(B) = \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). હવે, ઘટના A ∩ B (યુગ્મ અને લાલ રંગનો પૂર્ણાંક મળે) નો વિચાર કરીએ: A ∩ B = {2}. n(A ∩ B), 1 છે. P(A ∩ B) = \(\frac{1}{6}\). સ્વતંત્રતા ચકાસવા માટે, આપણે P(A ∩ B) ને P(A) ⋅ P(B) સાથે સરખાવીશું. \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). જેમ કે \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) અને \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4}\), આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે \(P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)\). તેથી, ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર નથી.
In simple words: આપણે તપાસીએ છીએ કે લાલ યુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના, યુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના અને લાલ સંખ્યા મળવાની સંભાવનાના ગુણાકાર જેટલી છે કે નહીં. જો તેઓ અલગ હોય, તો ઘટનાઓ સ્વતંત્ર નથી.

🎯 Exam Tip: Always calculate P(A ∩ B) directly from the sample space and then compare it with P(A) ⋅ P(B) to determine independence.

 

Question 6. ઘટનાઓ E ને F માટે P(E) = \(\frac{3}{5}\), P(F) = \(\frac{3}{10}\) ને P(En F) = \(\frac{1}{5}\) &. E અને F નિરપેક્ષ છે ?

Answer: ઘટનાઓ E અને F માટે, P(E) = \(\frac{3}{5}\), P(F) = \(\frac{3}{10}\), અને P(E ∩ F) = \(\frac{1}{5}\) આપેલ છે. શું E અને F સ્વતંત્ર છે? આપણને નીચેની સંભાવનાઓ આપેલી છે: P(E) = \(\frac{3}{5}\) P(F) = \(\frac{3}{10}\) P(E ∩ F) = \(\frac{1}{5}\) E અને F સ્વતંત્ર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે, આપણે P(E ∩ F) ને P(E) ⋅ P(F) સાથે સરખાવીશું. \(P(E) \cdot P(F) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{50}\). આપણે જોઈએ છીએ કે \(P(E \cap F) = \frac{1}{5}\) અને \(P(E) \cdot P(F) = \frac{9}{50}\). જેમ કે \(\frac{1}{5} = \frac{10}{50}\), સ્પષ્ટપણે \(P(E \cap F) \neq P(E) \cdot P(F)\). તેથી, ઘટનાઓ E અને F સ્વતંત્ર નથી.
In simple words: બે ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે કે નહીં તે જોવા માટે, બંને બનવાની સંભાવનાની તુલના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓના ગુણાકાર સાથે કરો. જો સંખ્યાઓ અલગ હોય, તો ઘટનાઓ સ્વતંત્ર નથી.

🎯 Exam Tip: Always use the independence test \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) to verify if two events are independent.

 

Question 7. આપે ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(A U B) = \(\frac{3}{5}\) અને P(B) = P આપેલ છે. જો ઘટનાઓ (i) પરસ્પર નિવારક (ii) નિરપેક્ષ હોય તો p શોધો.

Answer: ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(A U B) = \(\frac{3}{5}\), અને P(B) = p આપેલ છે. જો ઘટનાઓ (i) પરસ્પર નિવારક (ii) સ્વતંત્ર હોય તો p નું મૂલ્ય શોધો. આપણને P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(A U B) = \(\frac{3}{5}\), અને P(B) = p આપેલ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે સૂત્ર: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). આ પરથી, આપણે P(A ∩ B) શોધી શકીએ છીએ: \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)\) \(P(A \cap B) = \frac{1}{2} + p - \frac{3}{5} = \frac{5-6}{10} + p = p - \frac{1}{10}\). (i) જો ઘટનાઓ A અને B પરસ્પર નિવારક હોય: પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે, \(A \cap B = \emptyset\), એટલે કે \(P(A \cap B) = 0\). તેથી, \(p - \frac{1}{10} = 0\). આથી, \(p = \frac{1}{10}\). (ii) જો ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર હોય: સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે, \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). જાણીતા મૂલ્યો મૂકીએ: \(p - \frac{1}{10} = \frac{1}{2} \cdot p\) \(p - \frac{p}{2} = \frac{1}{10}\) \(\frac{2p - p}{2} = \frac{1}{10}\) \(\frac{p}{2} = \frac{1}{10}\) \(p = \frac{2}{10}\) આથી, \(p = \frac{1}{5}\).
In simple words: જો ઘટનાઓ એક જ સમયે ન બની શકે, તો તેમની સંયુક્ત સંભાવના શૂન્ય હોય છે. જો ઘટનાઓ એકબીજા પર અસર ન કરતી હોય, તો તેમની સંયુક્ત સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો ગુણાકાર હોય છે. 'p' શોધવા માટે આ નિયમોનો ઉપયોગ કરો.

🎯 Exam Tip: Distinguish carefully between mutually exclusive events (\(P(A \cap B) = 0\)) and independent events (\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)) when solving probability problems.

 

Question 8. નિરપેક્ષ ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = 0.3 અને P(B) = 0.4.
(i) P(A ∩ B)
(ii) P(A U B)
(iii) P(A | B)
(iv) P(B | A) શોધો.

Answer: A અને B સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે P(A) = 0.3 અને P(B) = 0.4 આપેલ છે. શોધો: (i) P(A ∩ B) (ii) P(A U B) (iii) P(A | B) (iv) P(B | A). આપેલ છે કે A અને B સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે, જેમાં P(A) = 0.3 અને P(B) = 0.4. (i) P(A ∩ B) શોધવા માટે: સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે, \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). \(P(A \cap B) = 0.3 \times 0.4 = 0.12\). (ii) P(A U B) શોધવા માટે: ઘટનાઓના યુનિયન માટેનું સૂત્ર છે \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). (i) ના પરિણામનો ઉપયોગ કરીને: \(P(A \cup B) = 0.3 + 0.4 - 0.12\) \(P(A \cup B) = 0.7 - 0.12 = 0.58\). (iii) P(A | B) શોધવા માટે: સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે, શરતી સંભાવના P(A | B) એ ફક્ત P(A) છે. તેથી, \(P(A | B) = P(A) = 0.3\). (iv) P(B | A) શોધવા માટે: સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે, શરતી સંભાવના P(B | A) એ ફક્ત P(B) છે. તેથી, \(P(B | A) = P(B) = 0.4\).
In simple words: એકબીજા પર અસર ન કરતી ઘટનાઓ માટે: બંને બનવાની સંભાવના તેમની સંભાવનાઓના ગુણાકાર જેટલી હોય છે; કોઈપણ એક બનવાની સંભાવના એ સંભાવનાઓનો સરવાળો ઓછા સંયુક્ત સંભાવના જેટલી હોય છે; અને એક ઘટના બની હોય તે જાણીને બીજી ઘટના બનવાની સંભાવના તેની પોતાની સંભાવના જેટલી હોય છે.

🎯 Exam Tip: Remember the special properties of independent events: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) and \(P(A|B) = P(A)\), \(P(B|A) = P(B)\). These simplify calculations significantly.

 

Question 9. જો ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = \(\frac{1}{4}\), P(B) = \(\frac{1}{2}\), અને P(A ∩ B) = \(\frac{1}{8}\) તો P(A – નહિ અને B – નહિ) શોધો.

Answer: જો ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = \(\frac{1}{4}\), P(B) = \(\frac{1}{2}\), અને P(A ∩ B) = \(\frac{1}{8}\) આપેલ છે, તો P(A' ∩ B') (A અને B બંને ન બને તેની સંભાવના) શોધો. આપણને P(A) = \(\frac{1}{4}\), P(B) = \(\frac{1}{2}\), અને P(A ∩ B) = \(\frac{1}{8}\) આપેલ છે. પ્રથમ, A અને B સ્વતંત્ર છે કે નહીં તે ચકાસીએ: \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\). જેમ કે \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\), ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર છે. સ્વતંત્ર ઘટનાઓનો એક ગુણધર્મ એ છે કે તેમના પૂરક (A' અને B') પણ સ્વતંત્ર હોય છે. આપણે P(A' ∩ B') શોધવાનું છે. સ્વતંત્ર પૂરકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને: \(P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B')\). આપણે જાણીએ છીએ કે \(P(A') = 1 - P(A)\) અને \(P(B') = 1 - P(B)\). \(P(A') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). \(P(B') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). તેથી, \(P(A' \cap B') = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}\).
In simple words: પહેલા, ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે કે નહીં તે તપાસો. જો હોય, તો તેમના 'ન બનવાની' ઘટનાઓ પણ સ્વતંત્ર હોય છે. બંને ન બનવાની સંભાવના એ 'A નહિ' ની સંભાવના અને 'B નહિ' ની સંભાવનાનો ગુણાકાર છે.

🎯 Exam Tip: Remember that if events A and B are independent, then A' and B' are also independent, simplifying calculations for \(P(A' \cap B')\).

 

Question 10. ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{7}{12}\) અને P(A નહિ અથવા B નહિ) = \(\frac{1}{4}\). A અને B નિરપેક્ષ છે કે નહિ?

Answer: ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{7}{12}\), અને P(A' U B') = \(\frac{1}{4}\) (A ન બને અથવા B ન બને તેની સંભાવના) આપેલ છે. શું A અને B સ્વતંત્ર છે? આપણને P(A) = \(\frac{1}{2}\) અને P(B) = \(\frac{7}{12}\) આપેલ છે. આપણને P(A' U B') = \(\frac{1}{4}\) પણ આપેલ છે. ડી મોર્ગનનો નિયમ (\(P(A' \cup B') = P((A \cap B)')\)) નો ઉપયોગ કરીને. તેથી, \(P((A \cap B)') = \frac{1}{4}\). આપણે જાણીએ છીએ કે \(P((A \cap B)') = 1 - P(A \cap B)\). તેથી, \(1 - P(A \cap B) = \frac{1}{4}\). P(A ∩ B) માટે ઉકેલતા: \(P(A \cap B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\). હવે, સ્વતંત્રતા ચકાસવા માટે, આપણે P(A ∩ B) ને P(A) ⋅ P(B) સાથે સરખાવીશું. \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{7}{12} = \frac{7}{24}\). જેમ કે \(P(A \cap B) = \frac{3}{4}\) અને \(P(A) \cdot P(B) = \frac{7}{24}\), આપણે જોઈએ છીએ કે \(\frac{3}{4} = \frac{18}{24}\). સ્પષ્ટપણે, \(P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)\). તેથી, ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર નથી.
In simple words: પહેલા, ડી મોર્ગનનો નિયમ વાપરીને A અને B બંને બનવાની સંભાવના શોધો. પછી, A અને B ની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો ગુણાકાર કરો. જો આ બે પરિણામો અલગ હોય, તો ઘટનાઓ સ્વતંત્ર નથી.

🎯 Exam Tip: De Morgan's Laws are crucial for manipulating probabilities of unions and intersections of complements. Always use them carefully to simplify expressions before checking for independence.

 

Question 11. આપેલ બે નિરપેક્ષ ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = 0.3 અને P(B) = 0.6 હોય, તો
(i) P (A અને B)
(ii) P (A અને B નહિ.)
(iii) P (A અથવા B)
(iv) P (A નહિ અને B નહિ.) શોધો.

Answer: આપેલ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = 0.3 અને P(B) = 0.6 છે, તો શોધો: (i) P(A અને B) (ii) P(A અને B નહિ) (iii) P(A અથવા B) (iv) P(A પણ નહિ અને B પણ નહિ). આપેલ છે કે A અને B સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે, જેમાં P(A) = 0.3 અને P(B) = 0.6. (i) P(A અને B) શોધવા માટે, જે \(P(A \cap B)\) છે: સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે, \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). \(P(A \cap B) = 0.3 \times 0.6 = 0.18\). (ii) P(A અને B નહિ) શોધવા માટે, જે \(P(A \cap B')\) છે: સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે, \(P(A \cap B') = P(A) \cdot P(B')\). પહેલા, \(P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.6 = 0.4\) શોધો. તેથી, \(P(A \cap B') = 0.3 \times 0.4 = 0.12\). વૈકલ્પિક રીતે, \(P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = 0.3 - 0.18 = 0.12\). (iii) P(A અથવા B) શોધવા માટે, જે \(P(A \cup B)\) છે: સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). \(P(A \cup B) = 0.3 + 0.6 - 0.18\) \(P(A \cup B) = 0.9 - 0.18 = 0.72\). (iv) P(A પણ નહિ અને B પણ નહિ) શોધવા માટે, જે \(P(A' \cap B')\) છે: ડી મોર્ગનનો નિયમ (\(P(A' \cap B') = P((A \cup B)')\)) નો ઉપયોગ કરીને. આ \(1 - P(A \cup B)\) જેટલું છે. (iii) ના પરિણામનો ઉપયોગ કરીને: \(P(A' \cap B') = 1 - 0.72 = 0.28\). વૈકલ્પિક રીતે, જો A અને B સ્વતંત્ર હોય, તો A' અને B' પણ સ્વતંત્ર હોય છે. તેથી, \(P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B') = (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B))\) \(= (1 - 0.3) \cdot (1 - 0.6) = 0.7 \times 0.4 = 0.28\).
In simple words: સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે, બંનેની સંભાવના ગુણાકાર કરીને શોધો; 'A અને B નહિ' ની સંભાવના P(A) અને P(B નહિ) નો ગુણાકાર કરીને શોધો; 'A અથવા B' ની સંભાવના સંભાવનાઓનો સરવાળો કરીને અને સંયુક્ત સંભાવના બાદ કરીને શોધો; અને 'A પણ નહિ અને B પણ નહિ' ની સંભાવના P(A અથવા B) ને 1 માંથી બાદ કરીને શોધો.

🎯 Exam Tip: Master the fundamental probability rules for independent events and De Morgan's Laws to efficiently solve problems involving combinations of events and their complements.

 

Question 12. એક પાસાને ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે, ઓછામાં ઓછી એક વખત અયુગ્મ સંખ્યા મળે તેની સંભાવના શોધો.

Answer: એક પાસાને ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછી એક વખત અયુગ્મ સંખ્યા મળે તેની સંભાવના શોધો. જ્યારે પાસાને ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે સંભવિત પરિણામો S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} હોય છે. અયુગ્મ સંખ્યાઓ {1, 3, 5} છે. એક વાર ફેંકતા અયુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) છે. ચાલો A' એ પ્રથમ ફેંકમાં અયુગ્મ સંખ્યા ન મળવાની (એટલે ​​કે યુગ્મ સંખ્યા મળવાની) ઘટના હોય. \(P(A') = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). તેવી જ રીતે, દ્વિતીય ફેંક માટે, \(P(B') = \frac{1}{2}\). તૃતીય ફેંક માટે, \(P(C') = \frac{1}{2}\). ત્રણેય ફેંકમાં કોઈ અયુગ્મ સંખ્યા ન મળવાની (એટલે ​​કે ત્રણેય યુગ્મ સંખ્યાઓ) સંભાવના છે \(P(A' \cap B' \cap C') = P(A') \cdot P(B') \cdot P(C') = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\). ઓછામાં ઓછી એક વખત અયુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના છે \(1 - P(\text{કોઈ અયુગ્મ સંખ્યા નહીં}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\).
In simple words: ઓછામાં ઓછી એક અયુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના શોધવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે કોઈ અયુગ્મ સંખ્યા ન મળવાની (એટલે કે બધી યુગ્મ સંખ્યાઓ) સંભાવના શોધો અને પછી તેને 1 માંથી બાદ કરો.

🎯 Exam Tip: For 'at least one' probability problems, it's often simpler to calculate the probability of the complementary event (none occur) and subtract it from 1.

 

Question 13. એક ખોખામાં 10 કાળા રંગના અને 8 લાલ રંગના દડા છે. તે ખોખામાંથી બે દડા યાદચ્છિક રીતે પુરવણી સહિત પસંદ કરવામાં આવે છે.
(i) બંને દડા લાલ શોધો.
(ii) પહેલો દડો કાળા રંગનો અને બીજો દડો લાલ રંગનો હોય તેની સંભાવના શોધો.
(iii) તેમાંનો એક દડો કાળા રંગનો અને અન્ય લાલ રંગનો હોય તેની સંભાવના શોધો.

Answer: એક બોક્સમાં 10 કાળા અને 8 લાલ દડા છે, કુલ 18 દડા છે. બોક્સમાંથી બે દડા પુરવણી સાથે રેન્ડમલી પસંદ કરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે: (i) બંને દડા લાલ હોય. (ii) પ્રથમ દડો કાળો અને બીજો દડો લાલ હોય. (iii) એક દડો કાળો અને બીજો દડો લાલ હોય. બોક્સમાં 10 કાળા દડા અને 8 લાલ દડા છે, આમ કુલ \(10 + 8 = 18\) દડા છે. બે દડા પુરવણી સાથે પસંદ કરવામાં આવે છે. (i) બંને દડા લાલ હોય: ચાલો A એ પ્રથમ દડો લાલ હોય તે ઘટના હોય. ચાલો B એ દ્વિતીય દડો લાલ હોય તે ઘટના હોય. દડા પુરવણી સાથે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી, ઘટનાઓ A અને B સ્વતંત્ર છે. \(P(A) = \frac{8}{18}\) (પ્રથમ દડો લાલ હોવાની સંભાવના). \(P(B) = \frac{8}{18}\) (દ્વિતીય દડો લાલ હોવાની સંભાવના, કારણ કે પ્રથમ દડો પાછો મૂકવામાં આવે છે). બંને દડા લાલ હોવાની સંભાવના \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{8}{18} \times \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{16}{81}\). (ii) પ્રથમ દડો કાળો અને દ્વિતીય દડો લાલ હોય: ચાલો E એ પ્રથમ દડો કાળો હોય તે ઘટના હોય. ચાલો F એ દ્વિતીય દડો લાલ હોય તે ઘટના હોય. દડા પુરવણી સાથે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી, ઘટનાઓ E અને F સ્વતંત્ર છે. \(P(E) = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}\) (પ્રથમ દડો કાળો હોવાની સંભાવના). \(P(F) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}\) (દ્વિતીય દડો લાલ હોવાની સંભાવના). સંભાવના છે \(P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{81}\). (iii) એક દડો કાળો અને બીજો દડો લાલ હોય: આ બે રીતે થઈ શકે છે: (પ્રથમ કાળો અને દ્વિતીય લાલ) અથવા (પ્રથમ લાલ અને દ્વિતીય કાળો). કેસ 1: પ્રથમ દડો કાળો (B) અને દ્વિતીય દડો લાલ (R) હોય. \(P(B \cap R) = P(\text{પ્રથમ કાળો}) \cdot P(\text{દ્વિતીય લાલ}) = \frac{10}{18} \times \frac{8}{18} = \frac{5}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{81}\). કેસ 2: પ્રથમ દડો લાલ (R) અને દ્વિતીય દડો કાળો (B) હોય. \(P(R \cap B) = P(\text{પ્રથમ લાલ}) \cdot P(\text{દ્વિતીય કાળો}) = \frac{8}{18} \times \frac{10}{18} = \frac{4}{9} \times \frac{5}{9} = \frac{20}{81}\). એક કાળો અને એક લાલ દડો હોવાની કુલ સંભાવના આ બે પરસ્પર નિવારક કેસોનો સરવાળો છે: \(P(\text{એક કાળો, એક લાલ}) = P(B \cap R) + P(R \cap B) = \frac{20}{81} + \frac{20}{81} = \frac{40}{81}\).
In simple words: જ્યારે દડાઓને પુરવણી સાથે પસંદ કરવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક પસંદગી સ્વતંત્ર હોય છે. બે લાલ દડા માટે, લાલ દડા મળવાની સંભાવનાનો બે વાર ગુણાકાર કરો. કાળા પછી લાલ માટે, તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો ગુણાકાર કરો. એક કાળો અને એક લાલ કોઈપણ ક્રમમાં હોય, તો બંને ક્રમ (કાળો પછી લાલ, અને લાલ પછી કાળો) ની ગણતરી કરો અને તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો કરો.

🎯 Exam Tip: For sampling with replacement, events are independent, so multiply individual probabilities. For 'one of each type', consider all possible orders and sum their probabilities.

 

Question 14. A અને B એક ચોક્કસ સવાલને સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલે તેની સંભાવના અનુક્રમે \(\frac{1}{2}\) અને \(\frac{1}{3}\) છે. જો A અને B બંને સ્વતંત્ર રીતે સવાલને ઉકેલવાનો પ્રયત્ન કરે, તો
(i) સવાલનો ઉકેલ મળે.
(ii) બેમાંથી એકને જ સવાલનો ઉકેલ મળે તેની સંભાવના શોધો.

Answer: A અને B એક સમસ્યાને સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલે તેની સંભાવના અનુક્રમે P(A) = \(\frac{1}{2}\) અને P(B) = \(\frac{1}{3}\) છે. જો બંને સ્વતંત્ર રીતે સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાનો પ્રયાસ કરે, તો સંભાવના શોધો કે: (i) સમસ્યાનો ઉકેલ આવે. (ii) તેમાંથી ફક્ત એક જ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવે. ચાલો ઘટના A એ 'A સમસ્યાનો ઉકેલ લાવે' અને ઘટના B એ 'B સમસ્યાનો ઉકેલ લાવે' હોય. આપેલ છે P(A) = \(\frac{1}{2}\) અને P(B) = \(\frac{1}{3}\). જેમ કે A અને B સ્વતંત્ર રીતે કાર્ય કરે છે, ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે. (i) સમસ્યાનો ઉકેલ આવે: સમસ્યાનો ઉકેલ આવે જો A ઉકેલે, અથવા B ઉકેલે, અથવા બંને ઉકેલે. આ \(P(A \cup B)\) છે. સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). જેમ કે A અને B સ્વતંત્ર છે, \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). તેથી, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)\). \(P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3})\) \(P(A \cup B) = \frac{3+2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). (ii) તેમાંથી ફક્ત એક જ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવે: આનો અર્થ એ છે કે (A ઉકેલે અને B ઉકેલતો નથી) અથવા (A ઉકેલતો નથી અને B ઉકેલે છે). આને \(P(A \cap B') + P(A' \cap B)\) તરીકે લખી શકાય. જેમ કે A અને B સ્વતંત્ર છે, A અને B' સ્વતંત્ર છે, અને A' અને B સ્વતંત્ર છે. તેથી, \(P(A \cap B') = P(A) \cdot P(B') = P(A) \cdot (1 - P(B))\). અને \(P(A' \cap B) = P(A') \cdot P(B) = (1 - P(A)) \cdot P(B)\). \(P(\text{ફક્ત એક જ ઉકેલે}) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3}) + (1 - \frac{1}{2})\frac{1}{3}\) \(P(\text{ફક્ત એક જ ઉકેલે}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\) \(P(\text{ફક્ત એક જ ઉકેલે}) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
In simple words: સમસ્યાનો ઉકેલ આવે તે માટે, ઓછામાં ઓછો એક વ્યક્તિ તેને ઉકેલે. ફક્ત એક વ્યક્તિ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવે તે માટે, A ઉકેલે અને B ન ઉકેલે, અથવા B ઉકેલે અને A ન ઉકેલે. આ અલગ-અલગ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરો.

🎯 Exam Tip: For problems involving 'at least one' or 'exactly one' with independent events, use the union formula or sum of mutually exclusive cases respectively, leveraging the property \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\).

 

Question 15. સારી રીતે ચીપેલાં 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી એક પત્તું થાઇચ્છિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. નીચેનામાંથી કયા કિસ્સાઓમાં ઘટનાઓ E અને F નિરપેક્ષ છે ?
(i) E : “પસંદ કરેલ પત્તું કાળીનું છે.' F : “પસંદ કરેલ પનું એક્કો છે”.
(ii) E : “પસંદ કરેલ પત્તુ કાળા રંગનું છે.” F : “પસંદ કરેલ પત્તું રાજા છે'.
(iii) E : “પસંદ કરેલ પત્તું રાજા અથવા રાણી છે.' F : “પસંદ કરેલ પત્તું રાણી અથવા ગુલામ છે'.

Answer: એક સારી રીતે ચીપેલા 52 પત્તાના ડેકમાંથી એક પત્તું રેન્ડમલી ખેંચવામાં આવે છે. નીચેનામાંથી કયા કિસ્સાઓમાં ઘટનાઓ E અને F સ્વતંત્ર છે? (i) E: 'પસંદ કરેલું પત્તું કાળીનું છે.' F: 'પસંદ કરેલું પત્તું એક્કો છે.' (ii) E: 'પસંદ કરેલું પત્તું કાળા રંગનું છે.' F: 'પસંદ કરેલું પત્તું રાજા છે.' (iii) E: 'પસંદ કરેલું પત્તું રાજા અથવા રાણી છે.' F: 'પસંદ કરેલું પત્તું રાણી અથવા ગુલામ છે.' સારી રીતે ચીપેલા 52 પત્તાના ડેકમાંથી, એક પત્તું રેન્ડમલી ખેંચવામાં આવે છે. કુલ પરિણામોની સંખ્યા, n(S), 52 છે. (i) E: 'પસંદ કરેલું પત્તું કાળીનું છે.' F: 'પસંદ કરેલું પત્તું એક્કો છે.' કાળીના પત્તાની સંખ્યા, n(E) = 13. તેથી, \(P(E) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\). એક્કાની સંખ્યા, n(F) = 4. તેથી, \(P(F) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\). ઘટના 'E ∩ F' એટલે પત્તું કાળીનું અને એક્કો બંને છે (એટલે ​​કે કાળીનો એક્કો). E ∩ F માટે પરિણામોની સંખ્યા, n(E ∩ F) = 1. તેથી, \(P(E \cap F) = \frac{1}{52}\). હવે, સ્વતંત્રતા ચકાસીએ: \(P(E) \cdot P(F) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52}\). જેમ કે \(P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)\), આ કિસ્સામાં ઘટનાઓ E અને F સ્વતંત્ર છે. (ii) E: 'પસંદ કરેલું પત્તું કાળા રંગનું છે.' F: 'પસંદ કરેલું પત્તું રાજા છે.' કાળા પત્તાની સંખ્યા, n(E) = 26. તેથી, \(P(E) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}\). રાજાની સંખ્યા, n(F) = 4. તેથી, \(P(F) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\). ઘટના 'E ∩ F' એટલે પત્તું કાળો રાજા છે. કાળા રાજા બે હોય છે (કાળીનો રાજા, ફુલ્લીનો રાજા). E ∩ F માટે પરિણામોની સંખ્યા, n(E ∩ F) = 2. તેથી, \(P(E \cap F) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}\). હવે, સ્વતંત્રતા ચકાસીએ: \(P(E) \cdot P(F) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{26}\). જેમ કે \(P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)\), આ કિસ્સામાં ઘટનાઓ E અને F સ્વતંત્ર છે. (iii) E: 'પસંદ કરેલું પત્તું રાજા અથવા રાણી છે.' F: 'પસંદ કરેલું પત્તું રાણી અથવા ગુલામ છે.' રાજા અથવા રાણીની સંખ્યા, n(E) = 4 (રાજા) + 4 (રાણી) = 8. તેથી, \(P(E) = \frac{8}{52} = \frac{2}{13}\). રાણી અથવા ગુલામની સંખ્યા, n(F) = 4 (રાણી) + 4 (ગુલામ) = 8. તેથી, \(P(F) = \frac{8}{52} = \frac{2}{13}\). ઘટના 'E ∩ F' એટલે પત્તું (રાજા અથવા રાણી) અને (રાણી અથવા ગુલામ) છે. આનો અર્થ એ છે કે પત્તું રાણી હોવું જોઈએ. E ∩ F માટે પરિણામોની સંખ્યા, n(E ∩ F) = 4 (રાણી). તેથી, \(P(E \cap F) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\). હવે, સ્વતંત્રતા ચકાસીએ: \(P(E) \cdot P(F) = \frac{2}{13} \times \frac{2}{13} = \frac{4}{169}\). જેમ કે \(P(E \cap F) = \frac{1}{13}\) અને \(P(E) \cdot P(F) = \frac{4}{169}\), અને \(\frac{1}{13} = \frac{13}{169}\), આપણે જોઈએ છીએ કે \(P(E \cap F) \neq P(E) \cdot P(F)\). તેથી, આ કિસ્સામાં ઘટનાઓ E અને F સ્વતંત્ર નથી.
In simple words: દરેક જોડી માટે, બંને ઘટનાઓ એકસાથે બનવાની સંભાવનાની ગણતરી કરો, અને પછી તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો ગુણાકાર કરો. જો આ બે સંખ્યાઓ સમાન હોય, તો ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.

🎯 Exam Tip: Carefully define the outcomes for each event and their intersection (E ∩ F). Use the formula \(P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)\) as the direct test for independence.

 

Question 16. એક છાત્રાલયમાં 60 % વિદ્યાર્થીઓ હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચે છે, 40 % અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચે છે અને 20 % હિન્દી અને અંગ્રેજી બંને સમાચારપત્ર વાંચે છે. એક વિદ્યાર્થી યાદૈચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યો.
(a) તે હિન્દી કે અંગ્રેજી પૈકી એક પણ સમાચારપત્ર વાંચતો ન હોય તેની સંભાવના શોધો.
(b) જો તે હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચતો હોય, તો તે અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચે છે તેની સંભાવના સંભાવના શોધો.
(c) જો તે અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચતો હોય, તો તે હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચે છે તેની સંભાવના શોધો.

Answer: એક છાત્રાલયમાં, 60% વિદ્યાર્થીઓ હિન્દી અખબાર વાંચે છે, 40% અંગ્રેજી અખબાર વાંચે છે, અને 20% હિન્દી અને અંગ્રેજી બંને અખબાર વાંચે છે. એક વિદ્યાર્થીને રેન્ડમલી પસંદ કરવામાં આવે છે. સંભાવના શોધો કે: (a) વિદ્યાર્થી હિન્દી કે અંગ્રેજીમાંથી એક પણ અખબાર વાંચતો નથી. (b) જો વિદ્યાર્થી હિન્દી અખબાર વાંચે છે, તો તે અંગ્રેજી અખબાર પણ વાંચે છે. (c) જો વિદ્યાર્થી અંગ્રેજી અખબાર વાંચે છે, તો તે હિન્દી અખબાર પણ વાંચે છે. ચાલો A એ ઘટના હોય કે વિદ્યાર્થી હિન્દી અખબાર વાંચે છે. ચાલો B એ ઘટના હોય કે વિદ્યાર્થી અંગ્રેજી અખબાર વાંચે છે. આપેલ છે: \(P(A) = 60\% = \frac{60}{100}\) \(P(B) = 40\% = \frac{40}{100}\) \(P(A \cap B) = 20\% = \frac{20}{100}\) (a) વિદ્યાર્થી હિન્દી કે અંગ્રેજીમાંથી એક પણ અખબાર વાંચતો નથી તેની સંભાવના: આ \(P(A' \cap B')\) છે. ડી મોર્ગનનો નિયમ (\(P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)\)) નો ઉપયોગ કરીને. પહેલા, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) શોધો. \(P(A \cup B) = \frac{60}{100} + \frac{40}{100} - \frac{20}{100} = \frac{100 - 20}{100} = \frac{80}{100}\). તેથી, \(P(A' \cap B') = 1 - \frac{80}{100} = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}\). (b) જો વિદ્યાર્થી હિન્દી અખબાર વાંચે છે, તો તે અંગ્રેજી અખબાર પણ વાંચે છે તેની સંભાવના: આ \(P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) છે. \(P(B | A) = \frac{20/100}{60/100} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}\). (c) જો વિદ્યાર્થી અંગ્રેજી અખબાર વાંચે છે, તો તે હિન્દી અખબાર પણ વાંચે છે તેની સંભાવના: આ \(P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) છે. \(P(A | B) = \frac{20/100}{40/100} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}\).
In simple words: (a) માટે, ઓછામાં ઓછું એક અખબાર વાંચવાની સંભાવના શોધો, પછી તેને 1 માંથી બાદ કરો. (b) અને (c) માટે, શરતી સંભાવના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: બંને ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના, તે ઘટનાની સંભાવના વડે ભાગો જે બનતી હોવાનું પહેલેથી જ જાણીતું છે.

🎯 Exam Tip: Clearly define events and use percentages as probabilities. Apply De Morgan's Laws for complements and the conditional probability formula \(P(X|Y) = P(X \cap Y) / P(Y)\) accurately.

 

Question 17. પાસાઓની જોડને ફેંકવામાં આવે, તો પ્રત્યેક પાસા પર યુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે તેની સંભાવના .......... છે.
(A) 0
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{1}{12}\)
(D) \(\frac{1}{36}\)

Answer: જ્યારે બે પાસાને ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક પાસા પર યુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા મળવાની સંભાવના કેટલી છે? (A) 0 (B) \(\frac{1}{3}\) (C) \(\frac{1}{12}\) (D) \(\frac{1}{36}\) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ સંભવિત પરિણામોની સંખ્યા (નિદર્શાવકાશ n(S)) \(6 \times 6 = 36\) હોય છે. પાસા પરની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ {2, 3, 5} છે. પાસા પરની એકમાત્ર યુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા {2} છે. ચાલો ઘટના A એ 'દરેક પાસા પર યુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે' હોય. આનો અર્થ છે કે પ્રથમ પાસા પર 2 અને દ્વિતીય પાસા પર 2 મળે. અનુકૂળ પરિણામ છે {(2, 2)}. અનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા, n(A), 1 છે. ઘટના A ની સંભાવના, \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{36}\). તેથી, સાચો વિકલ્પ (D) \(\frac{1}{36}\) છે.
In simple words: એક પાસા પર, ફક્ત 2 એ યુગ્મ અને અવિભાજ્ય બંને છે. તેથી, બંને પાસા પર યુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા મેળવવા માટે, બંને પાસા પર 2 આવવા જોઈએ. બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે 36 કુલ શક્યતાઓમાંથી આ ફક્ત એક જ રીતે થઈ શકે છે.

🎯 Exam Tip: Identify the prime numbers and even numbers on a die carefully. The only number that satisfies both conditions is 2. The sample space for two dice is \(6^2 = 36\) outcomes.

 

Question 18. નીચેના પૈકી વિકલ્પ માટે ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ થશે :
(A) A અને B પરસ્પર નિવારક છે.
(B) P(A'B') = [1 – P(A)] [1 – P(B)]
(C) P(A) = P(B)
(D) P(A) + P(B) = 1

Answer: નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ A અને B નું વર્ણન કરે છે? (A) A અને B પરસ્પર નિવારક છે. (B) \(P(A' \cap B') = [1 - P(A)][1 - P(B)]\) (C) \(P(A) = P(B)\) (D) \(P(A) + P(B) = 1\) સ્વતંત્ર ઘટનાઓ A અને B ની વ્યાખ્યા એ છે કે \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). આપેલા વિકલ્પોનું વિશ્લેષણ કરીએ: (A) A અને B પરસ્પર નિવારક છે: આનો અર્થ છે \(P(A \cap B) = 0\). આ સામાન્ય રીતે સ્વતંત્રતા સૂચવતું નથી સિવાય કે P(A) અથવા P(B) 0 હોય. તેથી, આ ખોટું છે. (B) \(P(A' \cap B') = [1 - P(A)][1 - P(B)]\): જો A અને B સ્વતંત્ર હોય, તો A' અને B' પણ સ્વતંત્ર હોય છે. તેથી, \(P(A' \cap B') = P(A') \cdot P(B') = (1 - P(A)) \cdot (1 - P(B))\). આ વિધાન A અને B સ્વતંત્ર હોવાના સીધા પરિણામ રૂપે છે. તેથી, આ સાચું છે. (C) \(P(A) = P(B)\): આનો અર્થ એ છે કે A અને B ની સંભાવનાઓ સમાન છે, પરંતુ તે સ્વતંત્રતા સૂચવતું નથી. તેથી, આ ખોટું છે. (D) \(P(A) + P(B) = 1\): આ એક ગુણધર્મ છે, પરંતુ તે સ્વતંત્રતાને વ્યાખ્યાયિત કરતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જો A અને B પૂરક ઘટનાઓ હોય, તો \(P(A) + P(B) = 1\), પરંતુ તે સ્વતંત્ર નથી સિવાય કે એકની સંભાવના 0 હોય. તેથી, આ ખોટું છે. આમ, સાચો વિકલ્પ (B) છે.
In simple words: સ્વતંત્ર ઘટનાઓ માટે, બંને ન બનવાની સંભાવના 'A નહિ' ની સંભાવનાનો 'B નહિ' ની સંભાવના સાથે ગુણાકાર કરીને શોધી શકાય છે. વિકલ્પ (B) આ ગુણધર્મને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

🎯 Exam Tip: Understand that if events A and B are independent, then their complements A' and B' are also independent. This is a key property used in various probability problems.