GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 13 સંભાવના Exercise 13.1

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 13 संभावना Ex 13.1

 

Question 1. ઘટનાઓ E અને F માટે P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 અને P(E ∩ F) = 0.2 આપેલ છે. P(E | F) અને P(F | E) શોધો.

Answer: ઘટનાઓ E અને F માટે આપણને આ માહિતી આપી છે: P(E) = 0.6, P(F) = 0.3, અને P(E ∩ F) = 0.2.
P(E | F) શોધવા માટે, આપણે સૂત્ર \( P(E | F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( P(E | F) = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3} \)
P(F | E) શોધવા માટે, આપણે સૂત્ર \( P(F | E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)} \) નો ઉપયોગ કરીશું.
\( P(F | E) = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3} \)
In simple words: આપણને બે ઘટનાઓની સંભાવનાઓ અને તેમના છેદગણની સંભાવના આપી છે. આપણે એક ઘટના બની હોય ત્યારે બીજી ઘટના બનવાની સંભાવના શોધવા માટે આપેલા સૂત્રોમાં કિંમતો મૂકીને ગણતરી કરી.

🎯 Exam Tip: જ્યારે શરતી સંભાવનાના પ્રશ્નો આવે, ત્યારે યાદ રાખો કે P(A|B) અને P(B|A) અલગ-અલગ હોય છે, અને તેમના સૂત્રોમાં છેદમાં કઈ ઘટનાની સંભાવના આવે છે તે ખાસ ધ્યાન રાખવું. ગણતરીમાં અપૂર્ણાંકને સરળ બનાવવાનું ભૂલશો નહીં.

 

Question 2. જો P(B) = 0.5 અને P(A ∩ B) = 0.32 હોય, તો P(A | B) શોધો.

Answer: આપણને P(B) = 0.5 અને P(A ∩ B) = 0.32 આપેલ છે.
P(A | B) શોધવા માટે, આપણે શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર \( P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) વાપરીશું.
\( P(A | B) = \frac{0.32}{0.5} \)
\( = \frac{32}{50} \)
\( = \frac{64}{100} \)
\( = 0.64 \)
In simple words: આપણને એક ઘટના B બનવાની સંભાવના અને ઘટના A અને B બંને બનવાની સંભાવના આપી છે. આપણે B ઘટના બની ગઈ હોય ત્યારે A ઘટના બનવાની સંભાવના શોધવા માટે ભાગાકાર કર્યો.

🎯 Exam Tip: દશાંશ સંખ્યાઓ સાથે કામ કરતી વખતે, ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે તેમને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું મદદરૂપ થઈ શકે છે. ખાસ કરીને, છેદમાં દશાંશ સંખ્યા હોય ત્યારે તેને પૂર્ણાંકમાં ફેરવવાથી ભૂલ થવાની શક્યતા ઓછી થાય છે.

 

Question 3. જો P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 અને P(B | A) = 0.4 હોય, તો (i) P(A ∩ B) (ii) P(A | B) (iii) P(A ∪ B) શોધો.

Answer: આપણને P(A) = 0.8, P(B) = 0.5, અને P(B | A) = 0.4 આપેલ છે.
(i) P(A ∩ B) શોધવા માટે:
આપણે જાણીએ છીએ કે \( P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
\( 0.4 = \frac{P(A \cap B)}{0.8} \)
\( P(A \cap B) = 0.4 \times 0.8 \)
\( P(A \cap B) = 0.32 \)
(ii) P(A | B) શોધવા માટે:
\( P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( P(A | B) = \frac{0.32}{0.5} \)
\( = 0.64 \)
(iii) P(A ∪ B) શોધવા માટે:
આપણે સંભાવનાના સરવાળાનો નિયમ જાણીએ છીએ: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( P(A \cup B) = 0.8 + 0.5 - 0.32 \)
\( = 1.3 - 0.32 \)
\( = 0.98 \)
In simple words: આપણને બે ઘટનાઓની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓ અને એકની બીજા પરની શરતી સંભાવના આપી છે. આપણે આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને પહેલા બંને ઘટનાઓ એકસાથે બનવાની સંભાવના શોધી. પછી, એક ઘટના બની હોય ત્યારે બીજી બનવાની શરતી સંભાવના શોધી. છેલ્લે, બંનેમાંથી કોઈ એક ઘટના બનવાની સંભાવના શોધી.

🎯 Exam Tip: સંભાવનાના મૂળભૂત નિયમોનો ઉપયોગ કરીને, તમે જુદી જુદી શરતી સંભાવનાઓ અને સંભાવનાઓના છેદગણ/યોગગણ શોધી શકો છો. P(A ∩ B) ને P(B|A) માંથી મેળવતી વખતે, સૂત્રમાં P(A) ગુણવાનું યાદ રાખો. P(A U B) માટે સરવાળાના નિયમનું ધ્યાન રાખો.

 

Question 4. જો \( 2P(A) = P(B) = \frac{5}{13} \) અને \( P(A | B) = \frac{2}{5} \) હોય, તો P(A ∪ B)ની કિંમત શોધો.

Answer: આપણને \( 2P(A) = P(B) = \frac{5}{13} \) અને \( P(A | B) = \frac{2}{5} \) આપેલ છે.
આપેલા સંબંધોમાંથી P(A) અને P(B) શોધીએ:
\( P(B) = \frac{5}{13} \)
\( 2P(A) = \frac{5}{13} \implies P(A) = \frac{5}{2 \times 13} = \frac{5}{26} \)
હવે, \( P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( \frac{2}{5} = \frac{P(A \cap B)}{\frac{5}{13}} \)
\( P(A \cap B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} \)
\( P(A \cap B) = \frac{2}{13} \)
છેલ્લે, P(A ∪ B) શોધવા માટે, આપણે સંભાવનાના સરવાળાનો નિયમ વાપરીશું:
\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13} \)
સામાન્ય છેદ 26 લેતા:
\( P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26} \)
\( P(A \cup B) = \frac{5 + 10 - 4}{26} \)
\( P(A \cup B) = \frac{15 - 4}{26} \)
\( P(A \cup B) = \frac{11}{26} \)
In simple words: આપણને P(A), P(B) વચ્ચેનો સંબંધ અને P(A|B) આપેલ છે. પહેલા, આપણે તેમાંથી P(A) અને P(B) ની સાચી કિંમતો શોધી. પછી, શરતી સંભાવનાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને P(A ∩ B) શોધી. છેલ્લે, યોગગણના સૂત્રમાં બધી કિંમતો મૂકીને P(A ∪ B) શોધી.

🎯 Exam Tip: જ્યારે સંભાવનાઓ અપૂર્ણાંક સ્વરૂપે આપેલી હોય, ત્યારે ગણતરીમાં સામાન્ય છેદ લઈને સરવાળા-બાદબાકી કરવાથી ભૂલ થવાની શક્યતા ઘટે છે. P(A ∩ B) શોધતી વખતે શરતી સંભાવનાનું સૂત્ર યોગ્ય રીતે ગોઠવવાનું યાદ રાખો.

 

Question 5. જો \( P(A) = \frac{6}{11}, P(B) = \frac{5}{11} \) અને \( P(A \cup B) = \frac{7}{11} \) હોય, તો (i) P(A ∩ B), (ii) P(A | B), (iii) P(B | A) શોધો.

Answer: આપણને \( P(A) = \frac{6}{11}, P(B) = \frac{5}{11} \), અને \( P(A \cup B) = \frac{7}{11} \) આપેલ છે.
(i) P(A ∩ B) શોધવા માટે:
આપણે સંભાવનાના સરવાળાનો નિયમ જાણીએ છીએ: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
\( \frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B) \)
\( \frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B) \)
\( \frac{7}{11} = 1 - P(A \cap B) \)
\( P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11} \)
\( P(A \cap B) = \frac{11 - 7}{11} \)
\( P(A \cap B) = \frac{4}{11} \)
(ii) P(A | B) શોધવા માટે:
\( P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( P(A | B) = \frac{\frac{4}{11}}{\frac{5}{11}} \)
\( P(A | B) = \frac{4}{5} \)
(iii) P(B | A) શોધવા માટે:
\( P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
\( P(B | A) = \frac{\frac{4}{11}}{\frac{6}{11}} \)
\( P(B | A) = \frac{4}{6} \)
\( P(B | A) = \frac{2}{3} \)
In simple words: આપણને બે ઘટનાઓની સંભાવનાઓ અને તેમના યોગગણની સંભાવના આપી છે. પહેલા, આપણે યોગગણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બંને ઘટનાઓ એકસાથે બનવાની સંભાવના શોધી. પછી, આ કિંમતનો ઉપયોગ કરીને P(A|B) અને P(B|A) જેવી શરતી સંભાવનાઓ શોધી.

🎯 Exam Tip: સંભાવનાના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ P(A ∩ B) શોધવા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. જ્યારે P(A ∩ B) મળી જાય, ત્યારે શરતી સંભાવના P(A|B) અને P(B|A) શોધવી સરળ બને છે. અપૂર્ણાંકના ભાગાકારમાં, છેદના અપૂર્ણાંકને ઊલટાવીને ગુણાકાર કરવાનું યાદ રાખો.

 

પ્રશ્નો 6 થી 9 માં P(E | F) શોધો :

 

Question 6. એક સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
(i) E : ત્રીજી વખત ઉછાળતાં છાપ મળે.
F: પ્રથમ બે વખત ઉછાળતાં છાપ મળે.
(ii) E : ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળશે.
F: વધમાં વધ બે છાપ મળે.
(iii) E : વધુમાં વધુ બે કાંટા મળે.
F : ઓછામાં ઓછો એક કાંટો મળે.

Answer: એક સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ સંભવિત પરિણામોનો નિદર્શાવકાશ (S) આ પ્રમાણે છે:
S = {TTT, HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH}
કુલ પરિણામોની સંખ્યા n(S) = 8.
(i) E : ત્રીજી વખત ઉછાળતાં છાપ મળે.
E = {TTH, HTH, THH, HHH}
n(E) = 4
F: પ્રથમ બે વખત ઉછાળતાં છાપ મળે.
F = {HHT, HHH}
n(F) = 2
હવે, E ∩ F શોધવા માટે, E અને F બંનેમાં હોય તેવા પરિણામો જોઈએ:
E ∩ F = {HHH}
n(E ∩ F) = 1
હવે, P(E | F) શોધવા માટે:
\( P(E | F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} \)
અથવા \( P(E | F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} \) (કારણ કે n(S) બંનેમાં રદ થઈ જશે)
\( P(E | F) = \frac{1}{2} \)
(ii) E : ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે.
E = {HHT, HTH, THH, HHH}
n(E) = 4
F : વધુમાં વધુ બે છાપ મળે.
F = {TTT, HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH}
n(F) = 7
હવે, E ∩ F શોધવા માટે:
E ∩ F = {HHT, HTH, THH}
n(E ∩ F) = 3
હવે, P(E | F) શોધવા માટે:
\( P(E | F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} \)
\( P(E | F) = \frac{3}{7} \)
(iii) E : વધુમાં વધુ બે કાંટા મળે.
E = {HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH}
n(E) = 7
F : ઓછામાં ઓછો એક કાંટો મળે.
F = {TTT, HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH}
n(F) = 7
હવે, E ∩ F શોધવા માટે:
E ∩ F = {HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH}
n(E ∩ F) = 6
હવે, P(E | F) શોધવા માટે:
\( P(E | F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} \)
\( P(E | F) = \frac{6}{7} \)
In simple words: એક સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવાના અલગ-અલગ દૃશ્યોમાં, આપણે દરેક ઘટના E અને F માટે શક્ય પરિણામોની ગણતરી કરી. પછી, E અને F બંનેમાં હોય તેવા સામાન્ય પરિણામો શોધીને તેમના છેદગણની સંખ્યા મેળવી. છેવટે, n(E ∩ F) ને n(F) વડે ભાગીને P(E|F) શોધી.

🎯 Exam Tip: સિક્કા ઉછાળવાના પ્રશ્નોમાં, નિદર્શાવકાશ (S) ને સ્પષ્ટપણે લખવો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. ઘટના E અને F ના પરિણામોને ચોકસાઈથી ઓળખો. પછી, તેમના છેદગણ (E ∩ F) ને શોધીને તેની સંખ્યા ગણો. P(E|F) શોધવા માટે, n(E ∩ F) ને n(F) વડે ભાગવાની સરળ પદ્ધતિ યાદ રાખો.

 

Question 7. બે સિક્કાઓ એક વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
(i) E : એક સિક્કા પર કાંટો મળે,
F : એક સિક્કા પર છાપ મળે.
(ii) E : એક પણ કાંટો ન મળે,
F : એક પણ છાપ ન મળે.

Answer: બે સિક્કાઓને એક વખત ઉછાળવામાં આવે છે. આ ઘટનાનો નિદર્શાવકાશ (S) આ પ્રમાણે છે:
S = {HH, HT, TH, TT}
કુલ પરિણામોની સંખ્યા n(S) = 4
(i) E : એક સિક્કા પર કાંટો મળે.
E = {TH, HT}
n(E) = 2
F : એક સિક્કા પર છાપ મળે.
F = {TH, HT}
n(F) = 2
હવે, E ∩ F શોધવા માટે:
E ∩ F = {TH, HT}
n(E ∩ F) = 2
હવે, P(E | F) શોધવા માટે:
\( P(E | F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} \)
\( P(E | F) = \frac{2}{2} \)
\( P(E | F) = 1 \)
(ii) E : એક પણ કાંટો ન મળે.
E = {HH}
n(E) = 1
F : એક પણ છાપ ન મળે.
F = {TT}
n(F) = 1
હવે, E ∩ F શોધવા માટે:
E ∩ F = \( \emptyset \) (કોઈ સામાન્ય પરિણામ નથી)
n(E ∩ F) = 0
હવે, P(E | F) શોધવા માટે:
\( P(E | F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} \)
\( P(E | F) = \frac{0}{1} \)
\( P(E | F) = 0 \)
In simple words: બે સિક્કા ઉછાળવાના જુદા જુદા કિસ્સાઓમાં, આપણે દરેક ઘટના E અને F ના શક્ય પરિણામો લખ્યા. પછી, તેમના છેદગણ (સામાન્ય પરિણામો) ની સંખ્યા શોધી. છેલ્લે, n(E ∩ F) ને n(F) વડે ભાગીને P(E|F) શોધી. જો કોઈ સામાન્ય પરિણામ ન હોય, તો સંભાવના 0 આવે છે.

🎯 Exam Tip: જ્યારે નિદર્શાવકાશ નાનો હોય, ત્યારે દરેક શક્ય પરિણામને સ્પષ્ટપણે લખીને ઘટનાઓ E અને F ને વ્યાખ્યાયિત કરો. E ∩ F એ બંને ઘટનાઓમાં સામાન્ય પરિણામોનો સમૂહ છે, અને તેની ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખવી. P(E|F) માટે n(E ∩ F) / n(F) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી સરળ બને છે.

 

Question 8. પાસાને ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે.
E : ત્રીજી વખત ફેંકતા 4 મળે છે.
F: પ્રથમ બે વખત ફેંકતા અનુક્રમે 6 અને 5 મળે છે.

Answer: એક પાસાને ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે.
આ પ્રયોગ માટેનો નિદર્શાવકાશ (S) એ (1, 2, 3, 4, 5, 6) x (1, 2, 3, 4, 5, 6) x (1, 2, 3, 4, 5, 6) છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા n(S) = \( 6 \times 6 \times 6 = 216 \)
E : ત્રીજી વખત ફેંકતા 4 મળે છે.
આનો અર્થ છે કે પ્રથમ બે ફેંકમાં કોઈપણ સંખ્યા આવી શકે છે, પરંતુ ત્રીજી ફેંકમાં ફક્ત 4 જ આવે છે.
E = {(x, y, 4) | x, y \( \in \) {1, 2, 3, 4, 5, 6}}
n(E) = \( 6 \times 6 \times 1 = 36 \)
F: પ્રથમ બે વખત ફેંકતા અનુક્રમે 6 અને 5 મળે છે.
આનો અર્થ છે કે પ્રથમ ફેંકમાં 6, બીજી ફેંકમાં 5, અને ત્રીજી ફેંકમાં કોઈપણ સંખ્યા આવી શકે છે.
F = {(6, 5, z) | z \( \in \) {1, 2, 3, 4, 5, 6}}
n(F) = \( 1 \times 1 \times 6 = 6 \)
હવે, E ∩ F શોધવા માટે, E અને F બંનેમાં હોય તેવા પરિણામો જોઈએ:
E ∩ F એટલે કે પ્રથમ ફેંકમાં 6, બીજી ફેંકમાં 5, અને ત્રીજી ફેંકમાં 4 મળે.
E ∩ F = {(6, 5, 4)}
n(E ∩ F) = \( 1 \times 1 \times 1 = 1 \)
હવે, P(E | F) શોધવા માટે:
\( P(E | F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} \)
\( P(E | F) = \frac{1}{6} \)
In simple words: એક પાસાને ત્રણ વાર ફેંકવાના પ્રયોગમાં, આપણે બે ઘટનાઓ E અને F ને વ્યાખ્યાયિત કરી. ઘટના E માટે ત્રીજા નંબરે 4 આવવાની અને ઘટના F માટે પહેલા બે નંબરે 6 અને 5 આવવાની શક્યતાઓને ધ્યાનમાં લીધી. પછી, બંને ઘટનાઓ એકસાથે બનવાની શક્યતા શોધી અને n(E ∩ F) ને n(F) વડે ભાગીને P(E|F) શોધી.

🎯 Exam Tip: પાસાના પ્રશ્નોમાં, નિદર્શાવકાશની કુલ સંખ્યા (n(S)) ને યોગ્ય રીતે ગણવી મહત્વપૂર્ણ છે. ઘટના E અને F ના પરિણામોને ધ્યાનપૂર્વક વ્યાખ્યાયિત કરો. છેદગણ (E ∩ F) માં આવતા પરિણામોને ચોકસાઈથી ઓળખીને P(E|F) ની ગણતરી કરો.

 

Question 9. કુટુંબના ફોટા માટે માતા-પિતા અને પુત્ર યાદૈચ્છિક રીતે એકસાથે હારમાં ઊભા રહે છે.
E : પુત્ર એક છેડા પર છે.
F : પિતા મધ્યમાં છે.

Answer: કુટુંબના ફોટા માટે માતા (M), પિતા (F), અને પુત્ર (S) યાદચ્છિક રીતે એકસાથે હારમાં ઊભા રહે છે. આ પ્રયોગ માટેનો નિદર્શાવકાશ (S) આ પ્રમાણે છે:
S = {MFS, SFM, SMF, MSF, FMS, FSM}
કુલ પરિણામોની સંખ્યા n(S) = 6
E : પુત્ર એક છેડા પર છે.
આનો અર્થ છે કે પુત્ર કાં તો સૌથી ડાબી બાજુએ (પ્રથમ સ્થાને) અથવા સૌથી જમણી બાજુએ (છેલ્લા સ્થાને) છે.
E = {SFM, SMF, MFS, FMS}
n(E) = 4
F : પિતા મધ્યમાં છે.
આનો અર્થ છે કે પિતા (F) વચ્ચેના સ્થાને છે.
F = {MFS, SFM}
n(F) = 2
હવે, E ∩ F શોધવા માટે, E અને F બંનેમાં હોય તેવા પરિણામો જોઈએ:
E ∩ F = {MFS, SFM}
n(E ∩ F) = 2
હવે, P(E | F) શોધવા માટે:
\( P(E | F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} \)
\( P(E | F) = \frac{2}{2} \)
\( P(E | F) = 1 \)
In simple words: કુટુંબના ત્રણ સભ્યોના ફોટા માટે ઊભા રહેવાની ગોઠવણીમાં, આપણે પુત્ર એક છેડે હોય અને પિતા વચ્ચે હોય તેવી ઘટનાઓ વ્યાખ્યાયિત કરી. પછી, આ બંને ઘટનાઓ એકસાથે બનવાના શક્ય પરિણામો શોધીને તેમના છેદગણની સંખ્યા મેળવી. છેવટે, n(E ∩ F) ને n(F) વડે ભાગીને P(E|F) શોધી.

🎯 Exam Tip: ક્રમચય અને સંચયના પ્રશ્નોમાં, નિદર્શાવકાશના દરેક શક્ય ક્રમને સ્પષ્ટપણે લખવો એ શ્રેષ્ઠ રીત છે. ઘટના E અને F ના પરિણામોને ચોકસાઈથી ઓળખો. જો E ∩ F ના પરિણામો F ના પરિણામો જેટલા જ હોય, તો શરતી સંભાવના 1 આવે છે.

 

Question 10. એક કાળા રંગના અને એક લાલ રંગના પાસાને ફેંકવામાં આવે છે.
(a) જો કાળા રંગના પાસા પર સંખ્યા 5 મળે છે તેમ આપેલ હોય, તો બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 9 કરતાં વધુ હોય તેની શરતી સંભાવના શોધો.
(b) જો લાલ રંગના પાસા પર 4 કરતાં નાની સંખ્યા મળે છે તેમ આપેલ હોય, તો બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 8 મળે તેની શરતી સંભાવના શોધો.

Answer: એક કાળા રંગના અને એક લાલ રંગના પાસાને ફેંકવામાં આવે છે.
આ ઘટનાનો નિદર્શાવકાશ S છે, જેમાં n(S) = \( 6 \times 6 = 36 \) પરિણામો હોય છે. દરેક પરિણામ (કાળા પાસા પરનો અંક, લાલ પાસા પરનો અંક) સ્વરૂપમાં હોય છે.
(a) A : બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 9 કરતાં વધુ હોય.
B : કાળા રંગના પાસા પર સંખ્યા 5 મળે.
પહેલા, B ઘટનાના પરિણામો લખીએ (કાળા પાસા પર 5):
B = {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
n(B) = 6
હવે, A ઘટનાના પરિણામો લખીએ (સરવાળો 9 કરતાં વધુ, એટલે કે 10, 11, 12):
A = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(A) = 6
હવે, A ∩ B શોધવા માટે, A અને B બંનેમાં હોય તેવા પરિણામો જોઈએ:
A ∩ B = {(5, 5), (5, 6)}
n(A ∩ B) = 2
આપણે P(A | B) શોધવાનું છે, એટલે કે કાળા રંગના પાસા પર 5 મળે તેમ આપેલ હોય ત્યારે બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 9 કરતાં વધુ હોય તેની સંભાવના.
\( P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
અથવા \( P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} \)
\( P(A | B) = \frac{2}{6} \)
\( P(A | B) = \frac{1}{3} \)
(b) A : બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 8 મળે.
B : લાલ રંગના પાસા પર 4 કરતાં નાની સંખ્યા મળે.
પહેલા, B ઘટનાના પરિણામો લખીએ (લાલ પાસા પર 1, 2, અથવા 3 મળે):
B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}
n(B) = \( 6 \times 3 = 18 \)
હવે, A ઘટનાના પરિણામો લખીએ (સરવાળો 8 મળે):
A = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
n(A) = 5
હવે, A ∩ B શોધવા માટે, A અને B બંનેમાં હોય તેવા પરિણામો જોઈએ:
A ∩ B = {(5, 3), (6, 2)}
n(A ∩ B) = 2
આપણે P(A | B) શોધવાનું છે, એટલે કે લાલ રંગના પાસા પર 4 કરતાં નાની સંખ્યા મળે તેમ આપેલ હોય ત્યારે બંને પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 8 મળે તેની સંભાવના.
\( P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} \)
\( P(A | B) = \frac{2}{18} \)
\( P(A | B) = \frac{1}{9} \)
In simple words: બે જુદા-જુદા રંગના પાસા ફેંકવાના પ્રયોગમાં, આપણે બે અલગ-અલગ દૃશ્યોમાં શરતી સંભાવના શોધી. પહેલા કાળા પાસા પર 5 હોય ત્યારે સરવાળો 9 થી વધુ થવાની સંભાવના શોધી. પછી લાલ પાસા પર 4 થી ઓછી સંખ્યા હોય ત્યારે સરવાળો 8 થવાની સંભાવના શોધી. દરેક વખતે, આપણે સંબંધિત ઘટનાઓના પરિણામોનો છેદગણ શોધીને ગણતરી કરી.

🎯 Exam Tip: બે પાસાના પ્રશ્નોમાં, કયા પાસા પર કઈ શરત લાગુ પડે છે તે સ્પષ્ટપણે ઓળખો (દા.ત., કાળા પાસા પર 5, લાલ પાસા પર 4 થી નાની સંખ્યા). દરેક ઘટના A અને B ના પરિણામોની યાદી બનાવવાથી છેદગણ (A ∩ B) શોધવાનું સરળ બને છે. P(A|B) માટે હંમેશા n(A ∩ B) ને n(B) વડે ભાગો.

 

Question 11. એક સમતોલ પાસાને ફેંકવામાં આવે છે. ઘટનાઓ E = {1, 3, 5}, F = {2, 3} અને G = {2, 3, 4, 5} નો વિચાર કરો.
(i) P(E | F) અને P(F | E) શોધો.
(ii) P(E | G) અને P(G | E) શોધો.
(iii) P((E ∪ F) | G) અને P((E ∩ F) | G) શોધો.

Answer: એક સમતોલ પાસાને ફેંકવામાં આવે છે.
નિદર્શાવકાશ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
ઘટનાઓ E = {1, 3, 5} \( \implies \) n(E) = 3
ઘટના F = {2, 3} \( \implies \) n(F) = 2
ઘટના G = {2, 3, 4, 5} \( \implies \) n(G) = 4
(i) P(E | F) અને P(F | E) શોધો.
પહેલા E ∩ F શોધીએ:
E ∩ F = {3} \( \implies \) n(E ∩ F) = 1
\( P(E | F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{1}{2} \)
\( P(F | E) = \frac{n(E \cap F)}{n(E)} = \frac{1}{3} \)
(ii) P(E | G) અને P(G | E) શોધો.
પહેલા E ∩ G શોધીએ:
E ∩ G = {3, 5} \( \implies \) n(E ∩ G) = 2
\( P(E | G) = \frac{n(E \cap G)}{n(G)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( P(G | E) = \frac{n(E \cap G)}{n(E)} = \frac{2}{3} \)
(iii) P((E ∪ F) | G) અને P((E ∩ F) | G) શોધો.
પહેલા E ∪ F શોધીએ:
E ∪ F = {1, 2, 3, 5}
હવે, (E ∪ F) ∩ G શોધીએ:
(E ∪ F) ∩ G = {2, 3, 5} \( \implies \) n((E ∪ F) ∩ G) = 3
\( P((E \cup F) | G) = \frac{n((E \cup F) \cap G)}{n(G)} = \frac{3}{4} \)
હવે P((E ∩ F) | G) માટે:
આપણે E ∩ F = {3} પહેલા જ શોધી લીધું છે.
હવે, (E ∩ F) ∩ G શોધીએ:
(E ∩ F) ∩ G = {3} \( \implies \) n((E ∩ F) ∩ G) = 1
\( P((E \cap F) | G) = \frac{n((E \cap F) \cap G)}{n(G)} = \frac{1}{4} \)
In simple words: એક પાસાને ફેંકવાના પ્રયોગમાં આપણને ત્રણ ઘટનાઓ E, F, G આપી છે. આપણે દરેક ભાગમાં માંગેલી શરતી સંભાવનાઓ શોધી. આ માટે, પહેલા સંબંધિત ઘટનાઓનો છેદગણ કે યોગગણ શોધી, પછી તેમાંથી જરૂરી સંખ્યાઓ મેળવી અને છેલ્લે n(A ∩ B) / n(B) જેવા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી.

🎯 Exam Tip: જ્યારે બહુવિધ ઘટનાઓ (E, F, G) આપેલી હોય, ત્યારે દરેક ઘટનાના ઘટકો અને તેમની સંખ્યા સ્પષ્ટપણે લખો. (E ∪ F) અથવા (E ∩ F) જેવા સંયોજનો માટે પહેલા તે સમૂહોની ગણતરી કરો, પછી તેમનો G સાથેનો છેદગણ શોધો. આ પદ્ધતિ ગણતરીને વધુ વ્યવસ્થિત અને ભૂલ-મુક્ત બનાવે છે.

 

Question 12. ધારો કે પ્રત્યેક જન્મેલું બાળક છોકરો અથવા છોકરી હોય તે સમસંભાવી છે. એક કુટુંબમાં બે બાળકો છે.
(i) સૌથી નાનું બાળક છોકરી છે, (ii) ઓછામાં ઓછી એક છોકરી છે, તેમ આપેલ હોય, તો બંને છોકરીઓ હોય તેની શરતી સંભાવના કેટલી થાય ?

Answer: ધારો કે પ્રથમ અને દ્વિતીય બાળક છોકરી હોય તેને G1 અને G2 વડે દર્શાવીએ, તથા પ્રથમ અને દ્વિતીય બાળક છોકરો હોય તેને B1 અને B2 વડે દર્શાવીએ. એક કુટુંબમાં બે બાળકો છે.
આ પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ S = {G1 G2, G1 B2, B1 G2, B1 B2}
n(S) = 4
ઘટના A : બંને બાળકો છોકરીઓ હોય.
A = {G1 G2}
n(A) = 1
(i) B : સૌથી નાનું બાળક છોકરી છે. (બીજું બાળક G2)
B = {G1 G2, B1 G2}
n(B) = 2
હવે, A ∩ B શોધવા માટે:
A ∩ B = {G1 G2}
n(A ∩ B) = 1
આપણે P(A | B) શોધવાનું છે, એટલે કે સૌથી નાનું બાળક છોકરી છે તેમ આપેલ હોય તો બંને છોકરીઓ હોય તેની સંભાવના.
\( P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} \)
\( P(A | B) = \frac{1}{2} \)
(ii) C : ઓછામાં ઓછી એક છોકરી છે.
C = {G1 G2, G1 B2, B1 G2}
n(C) = 3
હવે, A ∩ C શોધવા માટે:
A ∩ C = {G1 G2}
n(A ∩ C) = 1
આપણે P(A | C) શોધવાનું છે, એટલે કે ઓછામાં ઓછી એક છોકરી છે તેમ આપેલ હોય તો બંને છોકરીઓ હોય તેની સંભાવના.
\( P(A | C) = \frac{n(A \cap C)}{n(C)} \)
\( P(A | C) = \frac{1}{3} \)
In simple words: બે બાળકોના કુટુંબમાં, આપણે બાળકો છોકરા કે છોકરી હોવાની શક્યતાઓનો નિદર્શાવકાશ બનાવ્યો. પછી, બંને બાળકો છોકરી હોય તેવી ઘટના A ને વ્યાખ્યાયિત કરી. બે અલગ-અલગ શરતો હેઠળ (સૌથી નાનું બાળક છોકરી હોય, અથવા ઓછામાં ઓછી એક છોકરી હોય), આપણે ઘટના A ની શરતી સંભાવના શોધી.

🎯 Exam Tip: જ્યારે બાળકોના લિંગ જેવા પ્રશ્નો હોય, ત્યારે નિદર્શાવકાશને સ્પષ્ટપણે લખવાથી (દા.ત., G1 G2, G1 B2) ભૂલો ટાળી શકાય છે. ઘટનાઓની વ્યાખ્યા અને તેમના છેદગણને ચોકસાઈથી ઓળખો. P(A|B) માટે n(A ∩ B) / n(B) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.

 

Question 13. એક માર્ગદર્શક પાસે પ્રશ્નબૅન્ક છે, તેમાં સત્ય-અસત્ય પ્રકારના 300 સરળ તથા 200 કઠિન પ્રશ્નો છે. તદુપરાંત, બહુવિકલ્પી પ્રકારના 500 સરળ તથા 400 કઠિન પ્રશ્નો છે. આ પ્રશ્નબૅન્કમાંથી એક પ્રશ્ન યાદૈચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. જો આ પ્રશ્ન બહુવિકલ્પી પ્રકારનો છે તેમ આપેલ હોય, તો તે સરળ પ્રશ્ન હોય તેની સંભાવના શોધો.

Answer: પ્રશ્નબૅન્કમાં પ્રશ્નોની માહિતી નીચે મુજબ છે:
સત્ય/અસત્ય પ્રકારના સરળ પ્રશ્નોની સંખ્યા = 300
સત્ય/અસત્ય પ્રકારના કઠિન પ્રશ્નોની સંખ્યા = 200
બહુવિકલ્પી પ્રકારના સરળ પ્રશ્નોની સંખ્યા = 500
બહુવિકલ્પી પ્રકારના કઠિન પ્રશ્નોની સંખ્યા = 400
પ્રશ્નોની કુલ સંખ્યા n(S) = \( 300 + 200 + 500 + 400 = 1400 \)
ઘટના A : યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ પ્રશ્ન સરળ હોય.
n(A) = (સત્ય/અસત્ય સરળ) + (બહુવિકલ્પી સરળ)
n(A) = \( 300 + 500 = 800 \)
ઘટના B : યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ પ્રશ્ન બહુવિકલ્પી પ્રકારનો હોય.
n(B) = (બહુવિકલ્પી સરળ) + (બહુવિકલ્પી કઠિન)
n(B) = \( 500 + 400 = 900 \)
હવે, A ∩ B : યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ પ્રશ્ન બહુવિકલ્પી પ્રકારનો અને સરળ હોય.
n(A ∩ B) = 500 (બહુવિકલ્પી સરળ પ્રશ્નોની સંખ્યા)
આપણે P(A | B) શોધવાનું છે, એટલે કે પ્રશ્ન બહુવિકલ્પી પ્રકારનો છે તેમ આપેલ હોય તો તે સરળ પ્રશ્ન હોય તેની સંભાવના.
\( P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
અથવા \( P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} \)
\( P(A | B) = \frac{500}{900} \)
\( P(A | B) = \frac{5}{9} \)
In simple words: એક પ્રશ્નબૅન્કમાં જુદા જુદા પ્રકારના અને મુશ્કેલીના સ્તરના પ્રશ્નોની સંખ્યા આપી છે. આપણે એક પ્રશ્ન યાદચ્છિક રીતે પસંદ કર્યો. આપણને પૂછવામાં આવ્યું છે કે જો આ પ્રશ્ન બહુવિકલ્પી પ્રકારનો હોય, તો તે સરળ પ્રશ્ન હોવાની સંભાવના કેટલી. આપણે બહુવિકલ્પી અને સરળ પ્રશ્નોની સંખ્યાને બહુવિકલ્પી પ્રશ્નોની કુલ સંખ્યા વડે ભાગીને જવાબ મેળવ્યો.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, પહેલા કુલ નિદર્શાવકાશ (n(S)) અને સંબંધિત ઘટનાઓની સંખ્યા (n(A), n(B), n(A ∩ B)) ને સ્પષ્ટપણે ગણી લો. શરતી સંભાવના P(A|B) માટે n(A ∩ B) ને n(B) વડે ભાગવાનું સૂત્ર વાપરવું વધુ સરળ છે, કારણ કે કુલ પરિણામો (n(S)) બંનેમાં રદ થઈ જાય છે.

 

Question 14. બે પાસાં ફેંકવામાં આવે છે. મળતી સંખ્યાઓ ભિન્ન છે તેમ આપેલ હોય, તો 'બે પાસાઓ પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો 4 હોય' તેની સંભાવના શોધો.

Answer: બે પાસાંને ફેંકવામાં આવે છે.
નિદર્શાવકાશ S માં કુલ \( 6 \times 6 = 36 \) પરિણામો હોય છે.
S = {(1, 1), (1, 2), ..., (6, 6)}
ઘટના A : પાસા પર મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો 4 હોય.
A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
n(A) = 3
ઘટના B : પાસા પર મળતી સંખ્યાઓ ભિન્ન હોય (એટલે કે, બંને પાસા પર સમાન સંખ્યા ન હોય).
કુલ પરિણામો n(S) = 36.
સમાન સંખ્યાવાળા પરિણામો (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) છે, જેની સંખ્યા 6 છે.
તેથી, ભિન્ન સંખ્યાવાળા પરિણામો n(B) = \( 36 - 6 = 30 \)
B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}
હવે, A ∩ B શોધવા માટે, A અને B બંનેમાં હોય તેવા પરિણામો જોઈએ:
A ∩ B એવા પરિણામો છે જ્યાં સરવાળો 4 હોય અને સંખ્યાઓ ભિન્ન હોય.
A ના પરિણામો છે: (1, 3), (2, 2), (3, 1).
આમાંથી, (2, 2) માં સંખ્યાઓ સમાન છે.
તેથી, A ∩ B = {(1, 3), (3, 1)}
n(A ∩ B) = 2
આપણે P(A | B) શોધવાનું છે, એટલે કે મળતી સંખ્યાઓ ભિન્ન છે તેમ આપેલ હોય ત્યારે સરવાળો 4 હોય તેની સંભાવના.
\( P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} \)
\( P(A | B) = \frac{2}{30} \)
\( P(A | B) = \frac{1}{15} \)
In simple words: બે પાસા ફેંકવાના પ્રયોગમાં, આપણે બે ઘટનાઓ લીધી: સરવાળો 4 થવો અને પાસા પરની સંખ્યાઓ અલગ-અલગ હોવી. પહેલા, કુલ શક્ય પરિણામોમાંથી પાસા પરની સંખ્યાઓ ભિન્ન હોય તેવા પરિણામોની ગણતરી કરી. પછી, સરવાળો 4 થાય અને સંખ્યાઓ ભિન્ન હોય તેવા સામાન્ય પરિણામો શોધીને, તેમની સંખ્યાનો ભિન્ન સંખ્યાવાળા કુલ પરિણામોની સંખ્યા સાથે ગુણોત્તર કર્યો.

🎯 Exam Tip: પાસાના પ્રશ્નોમાં, 'ભિન્ન સંખ્યાઓ' જેવી શરતોને ધ્યાનપૂર્વક સમજો. સમાન સંખ્યાવાળા પરિણામો (1,1), (2,2) વગેરેને કુલ પરિણામોમાંથી બાદ કરીને n(B) શોધી શકાય છે. છેદગણ (A ∩ B) માં કયા પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે તે નક્કી કરતી વખતે બંને શરતોનું પાલન થાય તેની ખાતરી કરો.

 

Question 15. પાસાને ફેંકવાના પ્રયોગનો વિચાર કરો, પાસા પર મળતો પૂર્ણાંક ૩ નો ગુણિત હોય, તો તે પાસાને ફરીથી ફેંકો અને જો પાસા પર અન્ય કોઈ પૂર્ણાંક મળે તો એક સિક્કાને ઉછાળો. પાસા પર ઓછામાં ઓછી એક વખત પૂર્ણાંક ૩ મળે તેમ આપેલ હોય, તો સિક્કા પર કાંટો મળે તે ઘટનાની શરતી સંભાવના શોધો.
Answer:Consider an experiment where a die is rolled. If the number shown is a multiple of 3 (i.e., 3 or 6), the die is rolled again. If the number is not a multiple of 3 (i.e., 1, 2, 4, or 5), a coin is flipped. The sample space (S) for this experiment includes outcomes from rolling a 3 first and then another die, or rolling a 6 first and then another die, or rolling 1, 2, 4, 5 first and then flipping a coin (H for Head, T for Tail). So, the sample space is: S = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (1, H), (1, T), (2, H), (2, T), (4, H), (4, T), (5, H), (5, T)} The total number of outcomes in S is n(S) = 6 + 6 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20. Let Event A be getting a tail (કાંટો) on the coin. A = {(1, T), (2, T), (4, T), (5, T)} Thus, n(A) = 4. Let Event B be getting the number 3 at least once on the die. B = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} Thus, n(B) = 6. Now, we need to find the intersection of A and B, denoted as A ∩ B. Event A consists of outcomes with coin flips, while Event B consists of outcomes with die rolls (where the first roll was 3). These two events have no common outcomes. So, A ∩ B = Φ (an empty set). Therefore, n(A ∩ B) = 0. The conditional probability P(A | B) is given by the formula: \( P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) Since P(A ∩ B) = \( \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{0}{20} = 0 \) And P(B) = \( \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{6}{20} \) So, \( P(A | B) = \frac{0}{\frac{6}{20}} = 0 \) The required conditional probability is 0.
In simple words: In this game, you either roll a die twice or roll a die and flip a coin. Event A is getting a 'tail' on the coin, and Event B is getting a '3' on the die. Since you can't get a 'tail' and a '3' from the die roll in the same outcome, there's no overlap between these two events. So, the chance of A happening if B already happened is zero.

🎯 Exam Tip: Clearly define the sample space and events A and B. Carefully identify the intersection of events. Conditional probability becomes 0 if the intersection is an empty set, provided the conditioning event's probability is non-zero.

 

પ્રશ્નો 16 તથા 17માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

 

Question 16. જો P(A) = \( \frac{1}{2} \), P(B) = 0 હોય, તો P (A | B) =
(A) 0
(B) \( \frac{1}{2} \)
(C) અવ્યાખ્યાયિત
(D) 1
Answer: (C) અવ્યાખ્યાયિતThe formula for conditional probability P(A | B) is \( P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \). Given that P(B) = 0. When the denominator P(B) is 0, the expression becomes division by zero, which is undefined. Therefore, P(A | B) is undefined.
In simple words: The chance of event A happening when event B has already happened is calculated using P(B) in the bottom of the fraction. If P(B) is zero, it means event B can never happen, so we can't talk about A happening when B has already happened. That's why it's "undefined."

🎯 Exam Tip: Remember that conditional probability is only defined if the probability of the conditioning event (the one after the '|') is greater than zero. If P(B) = 0, P(A|B) is undefined.

 

Question 17. જો ઘટનાઓ A અને B માટે P(A | B) = P(B | A) હોય, તો
(A) A C B પરંતુ A ≠ B
(B) A = B
(C) A ∩ B = Φ
(D) P(A) = P(B)
Answer: (D) P(A) = P(B)We are given that P(A | B) = P(B | A). Using the definition of conditional probability: \( \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} \) Since \( P(A \cap B) = P(B \cap A) \), we can write: \( \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \) For this equality to hold true (assuming \( P(A \cap B) \neq 0 \)), the denominators must be equal. Thus, P(B) = P(A). If \( P(A \cap B) = 0 \), then \( 0 = 0 \), which means P(A) and P(B) can be anything (as long as not both are 0, or the definition would break). However, in the context of MCQs with specific options, we usually look for the most general implication. If \( P(A \cap B) \neq 0 \), then P(A) = P(B) is the direct result. If \( P(A \cap B) = 0 \), then the condition holds true for any P(A) and P(B) (provided they are not 0). But the most direct and generally expected outcome from the algebraic manipulation is P(A) = P(B).
In simple words: If the chance of A happening given B, is the same as the chance of B happening given A, it means that the individual chances of A and B must be equal. When you write out the formulas for both, you'll see that P(A) and P(B) have to be the same for the equation to work.

🎯 Exam Tip: This question tests your understanding of the conditional probability formula. When P(A|B) = P(B|A), it directly implies that the probabilities of the individual events, P(A) and P(B), must be equal, assuming the intersection probability is non-zero. Otherwise, if \( P(A \cap B) = 0 \), the condition holds for any P(A) and P(B).