GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Exercise 11.2

Question 1. સાબિત કરો } \(\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}\); \(\frac{-4}{13}\), \(\frac{12}{13}\), \(\frac{3}{13}\); \(\frac{3}{13}\), \(\frac{-4}{13}\), \(\frac{12}{13}\) દિક્કોસાઇનવાળી ત્રણ રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
Answer: ધારો કે ત્રણ રેખાઓ \( L_1 \), \( L_2 \) તથા \( L_3 \) છે. તેમને L1, L2, અને L3 કહીએ.
L1 ની દિશા કોસાઇન: \( l_1 = \frac{12}{13} \), \( m_1 = \frac{-3}{13} \), \( n_1 = \frac{-4}{13} \)
L2 ની દિશા કોસાઇન: \( l_2 = \frac{4}{13} \), \( m_2 = \frac{12}{13} \), \( n_2 = \frac{3}{13} \)
L3 ની દિશા કોસાઇન: \( l_3 = \frac{3}{13} \), \( m_3 = \frac{-4}{13} \), \( n_3 = \frac{12}{13} \)
હવે રેખાઓ \( L_1 \) અને \( L_2 \) માટે, તેમનો ડોટ પ્રોડક્ટ ગણીએ:
\( l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{4}{13}\right) + \left(\frac{-3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) + \left(\frac{-4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right) \)
\( = \frac{48}{169} - \frac{36}{169} - \frac{12}{169} \)
\( = \frac{48 - 36 - 12}{169} \)
\( = \frac{0}{169} = 0 \)
\( \implies L_1 \perp L_2 \). આ બતાવે છે કે \( L_1 \) અને \( L_2 \) એકબીજાને લંબ છે.
હવે રેખાઓ \( L_2 \) અને \( L_3 \) માટે, તેમનો ડોટ પ્રોડક્ટ ગણીએ:
\( l_2 l_3 + m_2 m_3 + n_2 n_3 = \left(\frac{4}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right) + \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{-4}{13}\right) + \left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) \)
\( = \frac{12}{169} - \frac{48}{169} + \frac{36}{169} \)
\( = \frac{12 - 48 + 36}{169} \)
\( = \frac{0}{169} = 0 \)
\( \implies L_2 \perp L_3 \). આ સૂચવે છે કે \( L_2 \) અને \( L_3 \) એકબીજાને લંબ છે.
હવે રેખાઓ \( L_1 \) અને \( L_3 \) માટે, તેમનો ડોટ પ્રોડક્ટ ગણીએ:
\( l_1 l_3 + m_1 m_3 + n_1 n_3 = \left(\frac{12}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right) + \left(\frac{-3}{13}\right)\left(\frac{-4}{13}\right) + \left(\frac{-4}{13}\right)\left(\frac{12}{13}\right) \)
\( = \frac{36}{169} + \frac{12}{169} - \frac{48}{169} \)
\( = \frac{36 + 12 - 48}{169} \)
\( = \frac{0}{169} = 0 \)
\( \implies L_1 \perp L_3 \). આ દર્શાવે છે કે \( L_1 \) અને \( L_3 \) એકબીજાને લંબ છે.
આમ, ત્રણેય રેખાઓ \( L_1 \), \( L_2 \), અને \( L_3 \) પરસ્પર લંબ છે. આથી, આપણે સાબિત કર્યું કે આપેલ ત્રણ રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
In simple words: આપણે ત્રણ રેખાઓના દિશા કોસાઇન આપેલા છે. આપણે દરેક જોડી માટે ડોટ પ્રોડક્ટ ગણીએ છીએ. જો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય આવે, તો રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોય છે. અહીં બધી જોડીઓ માટે ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય છે, તેથી બધી રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.

Exam Tip: બે રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે તે સાબિત કરવા માટે, તેમના દિશા કોસાઇનનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવો જોઈએ.

Question 2. સાબિત કરો કે (1, −1, 2), (3, 4, −2) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા (0, 3, 2) અને (3, 5, 6) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાને લંબ છે.
Answer: ધારો કે રેખા \( L_1 \) એ બિંદુઓ \( A(1, -1, 2) \) તથા \( B(3, 4, -2) \) માંથી પસાર થાય છે.
\( \overrightarrow{AB} \) ના દિશા ગુણોત્તર \( a_1 = x_2 - x_1 = 3 - 1 = 2 \)
\( b_1 = y_2 - y_1 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 \)
\( c_1 = z_2 - z_1 = -2 - 2 = -4 \)
રેખા \( L_2 \) એ બિંદુઓ \( C(0, 3, 2) \) અને \( D(3, 5, 6) \) માંથી પસાર થાય છે.
\( \overrightarrow{CD} \) ના દિશા ગુણોત્તર \( a_2 = x_2 - x_1 = 3 - 0 = 3 \)
\( b_2 = y_2 - y_1 = 5 - 3 = 2 \)
\( c_2 = z_2 - z_1 = 6 - 2 = 4 \)
હવે, આપણે ડોટ પ્રોડક્ટ ગણીએ છીએ:
\( a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(3) + (5)(2) + (-4)(4) \)
\( = 6 + 10 - 16 \)
\( = 16 - 16 = 0 \)
\( \implies \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CD} \). આ દર્શાવે છે કે \( \overrightarrow{AB} \) અને \( \overrightarrow{CD} \) એકબીજાને લંબ છે.
આમ, રેખાઓ \( L_1 \) અને \( L_2 \) પરસ્પર લંબ છે. આથી, આપણે સાબિત કર્યું કે પ્રથમ રેખા બીજી રેખાને લંબ છે.
In simple words: પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તર અને બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર શોધો. જો તેમના ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોય, તો રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોય છે. અહીં ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય છે, તેથી રેખાઓ લંબ છે.

Exam Tip: બે રેખાઓ વચ્ચે લંબતા સાબિત કરવા માટે, તેમના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય છે તે દર્શાવવું પૂરતું છે.

Question 3. સાબિત કરો કે (4, 7, 8), (2, 3, 4) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા (−1, −2, 1), (1, 2, 5) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાને સમાંતર છે.
Answer: રેખા \( L_1 \) એ બિંદુઓ \( A(4, 7, 8) \) અને \( B(2, 3, 4) \) માંથી પસાર થાય છે.
\( \overrightarrow{AB} \) ના દિશા ગુણોત્તર \( a_1 = x_2 - x_1 = 2 - 4 = -2 \)
\( b_1 = y_2 - y_1 = 3 - 7 = -4 \)
\( c_1 = z_2 - z_1 = 4 - 8 = -4 \)
રેખા \( L_2 \) એ બિંદુઓ \( C(-1, -2, 1) \) અને \( D(1, 2, 5) \) માંથી પસાર થાય છે.
\( \overrightarrow{CD} \) ના દિશા ગુણોત્તર \( a_2 = x_2 - x_1 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \)
\( b_2 = y_2 - y_1 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4 \)
\( c_2 = z_2 - z_1 = 5 - 1 = 4 \)
હવે, આપણે ગુણોત્તર તપાસીએ છીએ:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{4} = -1 \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{4} = -1 \)
કારણ કે \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \), આપણે કહી શકીએ કે \( \overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD} \).
આમ, રેખા \( L_1 \) અને રેખા \( L_2 \) સમાંતર છે. આથી, આપણે સાબિત કર્યું કે બંને રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
In simple words: પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તર અને બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર શોધો. જો તેમના ગુણોત્તર સરખા હોય, તો રેખાઓ સમાંતર હોય છે. અહીં ગુણોત્તર સરખા છે, તેથી રેખાઓ સમાંતર છે.

Exam Tip: બે રેખાઓ સમાંતર છે તે સાબિત કરવા માટે, તેમના દિશા ગુણોત્તર સમાનુપાતી હોવા જોઈએ (એટલે કે, ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ).

Question 4. બિંદુ (1, 2, 3) માંથી પસાર થતી અને સદિશ \(3\hat{i} + 2\hat{j} – 2\hat{k}\) ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ શોધો.
Answer: રેખા \( L \) એ બિંદુ \( A(\vec{a}) = (1, 2, 3) \) માંથી પસાર થાય છે.
આથી, સ્થાન સદિશ \( \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \).
તે સદિશ \( \vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} – 2\hat{k} \) ને સમાંતર છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ નીચે મુજબ અપાય છે:
\( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \), જ્યાં \( \lambda \) એ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
\( \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda (3\hat{i} + 2\hat{j} – 2\hat{k}) \)
In simple words: રેખાનું સદિશ સમીકરણ શોધવા માટે, આપણને એક બિંદુનો સ્થાન સદિશ અને રેખા જે દિશામાં છે તેનો સદિશ જોઈએ. તેમને સૂત્રમાં મૂકો: \(\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}\).

Exam Tip: સદિશ સમીકરણ માટે, પસાર થતું બિંદુ અને દિશા સદિશ ઓળખો અને તેમને \(\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}\) સૂત્રમાં યોગ્ય રીતે મૂકો.

Question 5. જેનો સ્થાનસદિશ \(2\hat{i} – 5\hat{j} + 4\hat{k}\) હોય તેવા બિંદુમાંથી પસાર થતી અને \(\hat{i} + 2\hat{j} – \hat{k}\) દિશાવાળી રેખાનું સમીકરણ સદિશ અને કાર્તેઝિય સ્વરૂપમાં મેળવો.
Answer: રેખા \( L \) એ બિંદુ \( A(\vec{a}) \) માંથી પસાર થાય છે, જ્યાં \( \vec{a} = 2\hat{i} – 5\hat{j} + 4\hat{k} \).
તેની દિશા સદિશ \( \vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ:
\( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \), જ્યાં \( \lambda \in R \)
\( \vec{r} = (2\hat{i} - 5\hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda (\hat{i} + 2\hat{j} – \hat{k}) \)
રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ:
ધારો કે \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \)
\( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = (2\hat{i} – 5\hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda (\hat{i} + 2\hat{j} – \hat{k}) \)
\( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = (2 + \lambda)\hat{i} + (-5 + 2\lambda)\hat{j} + (4 - \lambda)\hat{k} \)
બંને બાજુ, \( \hat{i}, \hat{j} \) તથા \( \hat{k} \) ના સહગુણકો સરખાવતાં,
\( x = 2 + \lambda \implies \lambda = x - 2 \)
\( y = -5 + 2\lambda \implies \lambda = \frac{y + 5}{2} \)
\( z = 4 - \lambda \implies \lambda = 4 - z \)
\( \implies \frac{x-2}{1} = \frac{y+5}{2} = \frac{z-4}{-1} \)
જે રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ છે.
In simple words: રેખાનું સદિશ સમીકરણ શોધવા માટે, આપેલ બિંદુનો સ્થાન સદિશ અને દિશા સદિશનો ઉપયોગ કરો. કાર્તેઝિય સમીકરણ માટે, સદિશ સમીકરણના ઘટકોને \(x, y, z\) સાથે સરખાવીને \(\lambda\) ને દૂર કરો.

Exam Tip: સદિશ સમીકરણથી કાર્તેઝિય સમીકરણ મેળવવા માટે, \(\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\) નો ઉપયોગ કરો અને સમાન ઘટકોની સરખામણી કરો.

Question 6. બિંદુ (-2, 4, −5) માંથી પસાર થતી અને રેખા \(\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}\) ને સમાંતર રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ શોધો.
Answer: રેખા \( L \) એ બિંદુ \( A(-2, 4, -5) \) માંથી પસાર થાય છે.
આથી, \( (x_1, y_1, z_1) = (-2, 4, -5) \).
રેખા \( L \) એ રેખા \(\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}\) ને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર સરખા હોય છે. તેથી, રેખા \( L \) ની દિશા \( (a, b, c) = (3, 5, 6) \) થશે.
રેખા \( L \) નું કાર્તેઝિય સમીકરણ નીચેના સૂત્રથી અપાય છે:
\( \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} \)
મૂલ્યો મૂકતાં,
\( \frac{x-(-2)}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z-(-5)}{6} \)
\( \implies \frac{x+2}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+5}{6} \)
આ માંગેલું કાર્તેઝિય સમીકરણ છે.
In simple words: એક બિંદુમાંથી પસાર થતી અને બીજી રેખાને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ શોધવા માટે, સમાંતર રેખાના દિશા ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરો. પછી આપેલા બિંદુ અને આ દિશા ગુણોત્તરને કાર્તેઝિય સમીકરણના સૂત્રમાં મૂકો.

Exam Tip: જો બે રેખાઓ સમાંતર હોય, તો તેમના દિશા ગુણોત્તર સમાન હોય છે. આથી, સમાંતર રેખાના દિશા ગુણોત્તરને નવી રેખા માટે વાપરી શકાય છે.

Question 7. રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ \(\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}\) છે. તેનું સદિશ સ્વરૂપ લખો.
Answer: આપેલ રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ છે:
\( \frac{x-5}{3} = \frac{y+4}{7} = \frac{z-6}{2} \)
આ સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ \(\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}\) સાથે સરખાવતાં,
આપણને બિંદુ \( (x_1, y_1, z_1) = (5, -4, 6) \) મળે છે.
અને દિશા ગુણોત્તર \( (a, b, c) = (3, 7, 2) \) મળે છે.
તેથી, રેખા \( L \) એ બિંદુ \( A(\vec{a}) = (5, -4, 6) \) માંથી પસાર થાય છે, એટલે કે \( \vec{a} = 5\hat{i} – 4\hat{j} + 6\hat{k} \).
અને તેની દિશા સદિશ \( \vec{b} = 3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k} \) છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ નીચે મુજબ અપાય છે:
\( \vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} \), જ્યાં \( \lambda \in R \)
\( \vec{r} = (5\hat{i} – 4\hat{j} + 6\hat{k}) + \lambda (3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k}) \)
આ માંગેલું સદિશ સ્વરૂપ છે.
In simple words: કાર્તેઝિય સમીકરણમાંથી, આપણે એક બિંદુ અને દિશા ગુણોત્તર મેળવી શકીએ છીએ. પછી આ મૂલ્યોને સદિશ સમીકરણના સૂત્રમાં (\(\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}\)) મૂકીએ.

Exam Tip: કાર્તેઝિય સમીકરણ \(\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}\) માંથી, \((x_1, y_1, z_1)\) એ પસાર થતું બિંદુ અને \((a, b, c)\) એ દિશા ગુણોત્તર દર્શાવે છે.

Question 8. ઊગમબિંદુ અને (5, −2, 3) માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ અને કાર્તેઝિય સમીકરણ શોધો.
Answer: રેખા \( L \) એ ઊગમબિંદુ \( O(\vec{O}) = (0, 0, 0) \) અને બિંદુ \( A(\vec{a}) = (5, -2, 3) \) માંથી પસાર થાય છે.
તેથી, રેખાનો દિશા સદિશ \( \vec{b} = \overrightarrow{OA} = (5-0)\hat{i} + (-2-0)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \).
રેખાનું સદિશ સમીકરણ, જે બિંદુ \(\vec{a}\) માંથી પસાર થાય છે અને દિશા \(\vec{b}\) ધરાવે છે:
\( \vec{r} = \vec{O} + \lambda \overrightarrow{OA} \), જ્યાં \( \lambda \in R \)
\( \vec{r} = (0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) + \lambda (5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \)
\( \implies \vec{r} = \lambda (5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \)
રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ:
ધારો કે \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \).
\( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = \lambda (5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \)
\( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = 5\lambda\hat{i} - 2\lambda\hat{j} + 3\lambda\hat{k} \)
બંને બાજુ, \( \hat{i}, \hat{j} \) અને \( \hat{k} \) ના સહગુણકો સરખાવતાં,
\( x = 5\lambda \implies \lambda = \frac{x}{5} \)
\( y = -2\lambda \implies \lambda = \frac{y}{-2} \)
\( z = 3\lambda \implies \lambda = \frac{z}{3} \)
\( \implies \frac{x}{5} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{3} \)
આ માંગેલું કાર્તેઝિય સમીકરણ છે.
In simple words: બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધવા માટે, પહેલા દિશા સદિશ શોધો. પછી બિંદુ અને દિશા સદિશનો ઉપયોગ કરીને સદિશ અને કાર્તેઝિય સ્વરૂપો લખો.

Exam Tip: ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાના સદિશ સમીકરણમાં, \(\vec{a}\) સદિશ શૂન્ય સદિશ બને છે, અને દિશા સદિશ એ ઊગમબિંદુથી બીજા બિંદુ સુધીનો સદિશ હોય છે.

Question 9. બિંદુઓ (3, −2, −5), (3, -2, 6) માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ અને કાર્તેઝિય સમીકરણ શોધો.
Answer: રેખા \( L \) એ બિંદુઓ \( A(\vec{a}) = (3, -2, -5) \) અને \( B(\vec{b}) = (3, -2, 6) \) માંથી પસાર થાય છે.
તેથી, \( \vec{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k} \) અને \( \vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k} \).
રેખાનો દિશા સદિશ \( \vec{b} - \vec{a} = (3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) - (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) \)
\( = (3-3)\hat{i} + (-2-(-2))\hat{j} + (6-(-5))\hat{k} \)
\( = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 11\hat{k} \)
રેખાનું સદિશ સમીકરણ:
\( \vec{r} = \vec{a} + \lambda (\vec{b} - \vec{a}) \), જ્યાં \( \lambda \in R \)
\( \vec{r} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) + \lambda (0\hat{i} + 0\hat{j} + 11\hat{k}) \)
\( \implies \vec{r} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) + 11\lambda \hat{k} \)
રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ:
ધારો કે \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \).
\( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) + \lambda (0\hat{i} + 0\hat{j} + 11\hat{k}) \)
\( x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + (-5+11\lambda)\hat{k} \)
બંને બાજુ, \( \hat{i}, \hat{j} \) અને \( \hat{k} \) ના સહગુણકો સરખાવતાં,
\( x = 3 \)
\( y = -2 \)
\( z = -5 + 11\lambda \implies \lambda = \frac{z+5}{11} \)
આથી, રેખાનું કાર્તેઝિય સમીકરણ છે:
\( \frac{x-3}{0} = \frac{y-(-2)}{0} = \frac{z-(-5)}{11} \)
\( \implies \frac{x-3}{0} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+5}{11} \)
In simple words: બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ મેળવવા માટે, પહેલા બે બિંદુઓના સ્થાન સદિશોનો તફાવત લઈને દિશા સદિશ શોધો. પછી આ દિશા સદિશ અને એક બિંદુનો સ્થાન સદિશ વાપરીને સદિશ અને કાર્તેઝિય સમીકરણો લખો.

Exam Tip: જ્યારે રેખા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી હોય, ત્યારે દિશા સદિશ એ બે બિંદુઓના સ્થાન સદિશોનો તફાવત હોય છે. કાર્તેઝિય સ્વરૂપમાં, જો કોઈ દિશા ગુણોત્તર શૂન્ય હોય, તો અનુરૂપ પદ છેદમાં શૂન્ય સાથે લખાય છે.

Question 10. નીચે આપેલી રેખાઓની જોડ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો :
(i) \(\vec{r} = 2\hat{i} – 5\hat{j} + \hat{k} + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k})\) અને \(\vec{r} = 7\hat{i} - 6\hat{k} + \mu (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})\)
Answer:
(i) રેખા \( L_1 \) નો દિશા સદિશ \( \vec{b_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k} \) છે.
રેખા \( L_2 \) નો દિશા સદિશ \( \vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} \) છે.
ધારો કે રેખા \( L_1 \) અને \( L_2 \) વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta \) છે. આપણે કોસાઇન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
\( \cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|} \)
\( \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \)
\( = (3)(1) + (2)(2) + (6)(2) \)
\( = 3 + 4 + 12 = 19 \)
\( |\vec{b_1}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7 \)
\( |\vec{b_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \)
\( \implies \cos \theta = \frac{19}{(7)(3)} = \frac{19}{21} \)
\( \implies \theta = \cos^{-1} \left(\frac{19}{21}\right) \)
(ii) \(\vec{r} = 3\hat{i} + \hat{j} − 2\hat{k} + \lambda(\hat{i} − \hat{j} – 2\hat{k})\) અને \(\vec{r} = 2\hat{i} - \hat{j} – 56\hat{k} + \mu (3\hat{i} – 5\hat{j} – 4\hat{k})\)
રેખા \( L_1 \) નો દિશા સદિશ \( \vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k} \) છે.
રેખા \( L_2 \) નો દિશા સદિશ \( \vec{b_2} = 3\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k} \) છે.
ધારો કે રેખા \( L_1 \) અને \( L_2 \) વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta \) છે. આપણે કોસાઇન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
\( \cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|} \)
\( \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}) \)
\( = (1)(3) + (-1)(-5) + (-2)(-4) \)
\( = 3 + 5 + 8 = 16 \)
\( |\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \)
\( |\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
\( \implies \cos \theta = \frac{16}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{50}} = \frac{16}{\sqrt{300}} = \frac{16}{10\sqrt{3}} = \frac{8}{5\sqrt{3}} \)
\( \implies \theta = \cos^{-1} \left(\frac{8}{5\sqrt{3}}\right) \)
In simple words: બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે, તેમના દિશા સદિશોને ઓળખો. પછી તે સદિશોના ડોટ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીને કોસાઇન સૂત્ર લગાવો. અંતે, કોસાઇનનું ઇનવર્સ લઈને ખૂણો મેળવો.

Exam Tip: સદિશ સમીકરણ \(\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}\) માં \(\vec{b}\) એ રેખાની દિશા દર્શાવે છે. ખૂણો શોધતી વખતે ફક્ત દિશા સદિશોનો ઉપયોગ થાય છે.

Question 11. નીચેની રેખાઓની જોડ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો :
(i) \(\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{-3}\) અને \(\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{8}=\frac{z-5}{4}\)
Answer:
(i) રેખા \( L_1 \) નું કાર્તેઝિય સમીકરણ \(\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z-(-3)}{-3}\) છે.
તેથી, રેખા \( L_1 \) નો દિશા સદિશ \( \vec{b_1} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k} \) છે.
રેખા \( L_2 \) નું કાર્તેઝિય સમીકરણ \(\frac{x-(-2)}{-1}=\frac{y-4}{8}=\frac{z-5}{4}\) છે.
તેથી, રેખા \( L_2 \) નો દિશા સદિશ \( \vec{b_2} = -\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k} \) છે.
ધારો કે રેખા \( L_1 \) અને \( L_2 \) વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta \) છે. આપણે કોસાઇન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
\( \cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|} \)
\( \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (2\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (-\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}) \)
\( = (2)(-1) + (5)(8) + (-3)(4) \)
\( = -2 + 40 - 12 \)
\( = 26 \)
\( |\vec{b_1}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38} \)
\( |\vec{b_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 64 + 16} = \sqrt{81} = 9 \)
\( \implies \cos \theta = \frac{26}{\sqrt{38} \cdot 9} = \frac{26}{9\sqrt{38}} \)
\( \implies \theta = \cos^{-1} \left(\frac{26}{9\sqrt{38}}\right) \)
In simple words: કાર્તેઝિય સમીકરણોમાંથી દરેક રેખાના દિશા ગુણોત્તર શોધો. તેમને સદિશો તરીકે લખો. પછી તે સદિશોના ડોટ પ્રોડક્ટ અને માનનો ઉપયોગ કરીને ખૂણાનું કોસાઇન ગણો.

Exam Tip: કાર્તેઝિય સમીકરણ \(\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}\) માંથી દિશા ગુણોત્તર \((a, b, c)\) સીધા જ મેળવી શકાય છે. આ ગુણોત્તરોનો ઉપયોગ દિશા સદિશ માટે થાય છે.

Question 12. રેખાઓ \(\frac{1-x}{3}=\frac{7y-14}{2p}=\frac{z-3}{2}\) અને \(\frac{7-7x}{3p}=\frac{y-5}{1}=\frac{6-z}{5}\) પરસ્પર લંબ હોય, તો p નું મૂલ્ય શોધો.
Answer: પ્રથમ રેખા \( L_1 \) નું સમીકરણ છે:
\( \frac{1-x}{3}=\frac{7y-14}{2p}=\frac{z-3}{2} \)
આને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં બદલતાં, આપણે માઇનસ સાઇન બહાર કાઢીશું અને \( y \) માંથી 7 કોમન કાઢીશું:
\( \frac{-(x-1)}{3}=\frac{7(y-2)}{2p}=\frac{z-3}{2} \)
\( \implies \frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2p/7}=\frac{z-3}{2} \)
તેથી, રેખા \( L_1 \) નો દિશા સદિશ \( \vec{b_1} = -3\hat{i} + \frac{2p}{7}\hat{j} + 2\hat{k} \) છે.
બીજી રેખા \( L_2 \) નું સમીકરણ છે:
\( \frac{7-7x}{3p}=\frac{y-5}{1}=\frac{6-z}{5} \)
આને પણ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં બદલતાં, આપણે માઇનસ સાઇન બહાર કાઢીશું:
\( \frac{-7(x-1)}{3p}=\frac{y-5}{1}=\frac{-(z-6)}{5} \)
\( \implies \frac{x-1}{-3p/7}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5} \)
તેથી, રેખા \( L_2 \) નો દિશા સદિશ \( \vec{b_2} = -\frac{3p}{7}\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k} \) છે.
આપેલ છે કે રેખાઓ \( L_1 \) અને \( L_2 \) પરસ્પર લંબ છે. તેથી, તેમના દિશા સદિશોનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
\( \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = 0 \)
\( \left(-3\hat{i} + \frac{2p}{7}\hat{j} + 2\hat{k}\right) \cdot \left(-\frac{3p}{7}\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}\right) = 0 \)
\( (-3)\left(-\frac{3p}{7}\right) + \left(\frac{2p}{7}\right)(1) + (2)(-5) = 0 \)
\( \frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0 \)
\( \frac{9p + 2p}{7} = 10 \)
\( \frac{11p}{7} = 10 \)
\( \implies 11p = 70 \)
\( \implies p = \frac{70}{11} \)
In simple words: જો બે રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોય, તો તેમના દિશા સદિશોનો ડોટ પ્રોડક્ટ હંમેશા શૂન્ય હોય છે. પહેલા આપેલા સમીકરણોને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવો. પછી બંને રેખાઓના દિશા સદિશો શોધો. તેમનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય સેટ કરો અને \(p\) નું મૂલ્ય ગણો.

Exam Tip: કાર્તેઝિય સમીકરણોને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ \(\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}\) માં રૂપાંતરિત કરવું મહત્વપૂર્ણ છે જેથી દિશા ગુણોત્તર \((a,b,c)\) ને યોગ્ય રીતે ઓળખી શકાય.

Question 13. દર્શાવો કે રેખાઓ \(\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}\) અને \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\) પરસ્પર લંબ છે.
Answer: રેખા \( L_1 \) નું સમીકરણ \(\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}\) છે.
તેથી, રેખા \( L_1 \) ને સમાંતર સદિશ \( \vec{b_1} = 7\hat{i} – 5\hat{j} + \hat{k} \) છે.
રેખા \( L_2 \) નું સમીકરણ \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\) છે.
તેથી, રેખા \( L_2 \) ને સમાંતર સદિશ \( \vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \) છે.
હવે, આપણે તેમના દિશા સદિશોનો ડોટ પ્રોડક્ટ ગણીએ છીએ:
\( \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (7\hat{i} – 5\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \)
\( = (7)(1) + (-5)(2) + (1)(3) \)
\( = 7 - 10 + 3 \)
\( = 10 - 10 = 0 \)
કારણ કે \( \vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = 0 \), રેખા \( L_1 \) અને રેખા \( L_2 \) પરસ્પર લંબ છે. આથી, આપણે સાબિત કર્યું કે આપેલ રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
In simple words: બે રેખાઓ લંબ છે તે બતાવવા માટે, તેમના દિશા સદિશો શોધો. જો તેમનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોય, તો રેખાઓ લંબ હોય છે. અહીં ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય છે, તેથી રેખાઓ લંબ છે.

Exam Tip: જો રેખાઓ લંબ હોય તો તેમના દિશા સદિશોનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવો જોઈએ. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ લંબતા સંબંધને ચકાસી શકાય છે.

Question 14. રેખાઓ \(\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} – \hat{j} + \hat{k})\) અને \(\vec{r} = 2\hat{i} − \hat{j} − \hat{k} +\mu (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})\) વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર શોધો.
Answer: પ્રથમ રેખા \( L_1 \) છે: \( \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} – \hat{j} + \hat{k}) \)
આને \( \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1} \) સાથે સરખાવતાં,
\( \vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{b_1} = \hat{i} – \hat{j} + \hat{k} \)
બીજી રેખા \( L_2 \) છે: \( \vec{r} = 2\hat{i} − \hat{j} − \hat{k} +\mu (2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \)
આને \( \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2} \) સાથે સરખાવતાં,
\( \vec{a_2} = 2\hat{i} − \hat{j} − \hat{k} \)
\( \vec{b_2} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} \)
હવે, \( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (2\hat{i} − \hat{j} − \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \)
\( = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (-1-1)\hat{k} \)
\( = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k} \)
આગળ, \( \vec{b_1} \times \vec{b_2} \) ગણીએ:
\[ \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]
\( = \hat{i}(-1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - \hat{j}(1 \cdot 2 - 1 \cdot 2) + \hat{k}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) \)
\( = \hat{i}(-2 - 1) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(1 + 2) \)
\( = -3\hat{i} - 0\hat{j} + 3\hat{k} \)
\( = -3\hat{i} + 3\hat{k} \)
\( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
લઘુતમ અંતરનું સૂત્ર છે:
\( d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \)
\( (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (-3\hat{i} + 3\hat{k}) \)
\( = (1)(-3) + (-3)(0) + (-2)(3) \)
\( = -3 + 0 - 6 = -9 \)
\( \implies d = \frac{|-9|}{3\sqrt{2}} = \frac{9}{3\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \)
અંતરને વધુ સરળ કરવા માટે, આપણે તેને \( \sqrt{2} \) વડે ગુણી અને ભાગી શકીએ છીએ:
\( d = \frac{3\sqrt{2}}{2} \)
In simple words: બે વિષમ રેખાઓ વચ્ચેનું સૌથી ટૂંકું અંતર શોધવા માટે, પહેલા દરેક રેખાના સ્થાન સદિશ અને દિશા સદિશને ઓળખો. પછી \(\vec{a_2} - \vec{a_1}\) અને \(\vec{b_1} \times \vec{b_2}\) ગણો. અંતે, આ મૂલ્યોને લઘુતમ અંતરના સૂત્રમાં મૂકીને ગણતરી કરો.

Exam Tip: વિષમ રેખાઓ માટે લઘુતમ અંતરના સૂત્રને યાદ રાખો: \( d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \). સદિશ ગુણાકાર અને ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરીમાં સાવચેત રહો.

Question 15. રેખાઓ \(\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}\) અને \(\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}\) વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર શોધો.
Answer: પ્રથમ રેખા \( L_1 \) છે: \(\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}\)
આને \(\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}\) સાથે સરખાવતાં,
બિંદુ \( (-1, -1, -1) \) માંથી પસાર થાય છે, તેથી \( \vec{a_1} = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k} \).
દિશા સદિશ \( \vec{b_1} = 7\hat{i} – 6\hat{j} + \hat{k} \).
બીજી રેખા \( L_2 \) છે: \(\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}\)
આને \(\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}\) સાથે સરખાવતાં,
બિંદુ \( (3, 5, 7) \) માંથી પસાર થાય છે, તેથી \( \vec{a_2} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k} \).
દિશા સદિશ \( \vec{b_2} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \).
હવે, \( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (3\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) - (-\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) \)
\( = (3-(-1))\hat{i} + (5-(-1))\hat{j} + (7-(-1))\hat{k} \)
\( = 4\hat{i} + 6\hat{j} + 8\hat{k} \)
આગળ, \( \vec{b_1} \times \vec{b_2} \) ગણીએ:
\[ \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} \]
\( = \hat{i}(-6 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) - \hat{j}(7 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \hat{k}(7 \cdot (-2) - (-6) \cdot 1) \)
\( = \hat{i}(-6 + 2) - \hat{j}(7 - 1) + \hat{k}(-14 + 6) \)
\( = -4\hat{i} - 6\hat{j} - 8\hat{k} \)
\( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-8)^2} \)
\( = \sqrt{16 + 36 + 64} = \sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29} \)
હવે, \( (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (4\hat{i} + 6\hat{j} + 8\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} - 6\hat{j} - 8\hat{k}) \)
\( = (4)(-4) + (6)(-6) + (8)(-8) \)
\( = -16 - 36 - 64 = -116 \)
લઘુતમ અંતરનું સૂત્ર છે:
\( d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \)
\( d = \frac{|-116|}{2\sqrt{29}} = \frac{116}{2\sqrt{29}} = \frac{58}{\sqrt{29}} \)
અંતરને વધુ સરળ કરવા માટે, આપણે તેને \( \sqrt{29} \) વડે ગુણી અને ભાગી શકીએ છીએ:
\( d = \frac{58\sqrt{29}}{29} = 2\sqrt{29} \)
In simple words: કાર્તેઝિય સમીકરણોમાંથી દરેક રેખા માટે બિંદુ અને દિશા સદિશ મેળવો. પછી \(\vec{a_2} - \vec{a_1}\) અને \(\vec{b_1} \times \vec{b_2}\) ની ગણતરી કરો. આ મૂલ્યોનો ઉપયોગ લઘુતમ અંતરના સૂત્રમાં કરીને અંતિમ જવાબ શોધો.

Exam Tip: જ્યારે કાર્તેઝિય સમીકરણો અપાયેલા હોય, ત્યારે પહેલા તેમને સદિશ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરો. \(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{b_1}, \vec{b_2}\) ને યોગ્ય રીતે ઓળખવા ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 16. જે રેખાઓનાં સદિશ સમીકરણ \(\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda (\hat{i} – 3\hat{j} + 2\hat{k})\) અને \(\vec{r} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k} + \mu (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})\) હોય, તે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર શોધો.
Answer: પ્રથમ રેખા \( L_1 \) છે: \( \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda (\hat{i} – 3\hat{j} + 2\hat{k}) \)
આને \( \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1} \) સાથે સરખાવતાં,
\( \vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \)
\( \vec{b_1} = \hat{i} – 3\hat{j} + 2\hat{k} \)
બીજી રેખા \( L_2 \) છે: \( \vec{r} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k} + \mu (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) \)
આને \( \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2} \) સાથે સરખાવતાં,
\( \vec{a_2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k} \)
\( \vec{b_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k} \)
હવે, \( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \)
\( = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (6-3)\hat{k} \)
\( = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} \)
આગળ, \( \vec{b_1} \times \vec{b_2} \) ગણીએ:
\[ \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} \]
\( = \hat{i}(-3 \cdot 1 - 2 \cdot 3) - \hat{j}(1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + \hat{k}(1 \cdot 3 - (-3) \cdot 2) \)
\( = \hat{i}(-3 - 6) - \hat{j}(1 - 4) + \hat{k}(3 + 6) \)
\( = -9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k} \)
\( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-9)^2 + 3^2 + 9^2} \)
\( = \sqrt{81 + 9 + 81} = \sqrt{171} = \sqrt{9 \cdot 19} = 3\sqrt{19} \)
હવે, \( (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}) \)
\( = (3)(-9) + (3)(3) + (3)(9) \)
\( = -27 + 9 + 27 = 9 \)
લઘુતમ અંતરનું સૂત્ર છે:
\( d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \)
\( d = \frac{|9|}{3\sqrt{19}} = \frac{9}{3\sqrt{19}} = \frac{3}{\sqrt{19}} \)
In simple words: બે રેખાઓ વચ્ચેનું સૌથી ટૂંકું અંતર શોધવા માટે, પહેલા દરેક રેખાના સ્થાન સદિશ અને દિશા સદિશ ઓળખો. પછી \(\vec{a_2} - \vec{a_1}\) અને \(\vec{b_1} \times \vec{b_2}\) ગણો. અંતે, આ મૂલ્યોને લઘુતમ અંતરના સૂત્રમાં મૂકીને ગણતરી કરો.

Exam Tip: સદિશ સમીકરણોમાંથી \(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{b_1}, \vec{b_2}\) ને યોગ્ય રીતે ઓળખવા એ લઘુતમ અંતરની ગણતરીનો પ્રથમ અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ તબક્કો છે. ભૂલ વગર ગણતરી કરવા માટે કાળજી લો.

Question 17. જે બે રેખાનાં સદિશ સમીકરણ \(\vec{r} = (1 - t) \hat{i} + (t − 2) \hat{j} + (3 −2t) \hat{k}\) અને \(\vec{r} = (s + 1)\hat{i} + (2s − 1)\hat{j} – (2s + 1)\hat{k}\) રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર શોધો.
Answer: પ્રથમ રેખા \( L_1 \) નું સમીકરણ છે:
\( \vec{r} = (1 - t) \hat{i} + (t - 2) \hat{j} + (3 - 2t) \hat{k} \)
આને \( t \) ના પદોને અલગ કરીને ફરીથી લખીએ:
\( \vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \)
આને \( \vec{r} = \vec{a_1} + t\vec{b_1} \) સાથે સરખાવતાં,
\( \vec{a_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \)
\( \vec{b_1} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} \)
બીજી રેખા \( L_2 \) નું સમીકરણ છે:
\( \vec{r} = (s + 1)\hat{i} + (2s - 1)\hat{j} - (2s + 1)\hat{k} \)
આને \( s \) ના પદોને અલગ કરીને ફરીથી લખીએ:
\( \vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + s(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) \)
આને \( \vec{r} = \vec{a_2} + s\vec{b_2} \) સાથે સરખાવતાં,
\( \vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k} \)
\( \vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k} \)
હવે, \( \vec{a_2} - \vec{a_1} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \)
\( = (1-1)\hat{i} + (-1-(-2))\hat{j} + (-1-3)\hat{k} \)
\( = 0\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k} \)
આગળ, \( \vec{b_1} \times \vec{b_2} \) ગણીએ:
\[ \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} \]
\( = \hat{i}(1 \cdot (-2) - (-2) \cdot 2) - \hat{j}(-1 \cdot (-2) - (-2) \cdot 1) + \hat{k}(-1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \)
\( = \hat{i}(-2 + 4) - \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-2 - 1) \)
\( = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k} \)
\( |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-3)^2} \)
\( = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29} \)
હવે, \( (\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}) \)
\( = (0)(2) + (1)(-4) + (-4)(-3) \)
\( = 0 - 4 + 12 = 8 \)
લઘુતમ અંતરનું સૂત્ર છે:
\( d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \)
\( d = \frac{|8|}{\sqrt{29}} = \frac{8}{\sqrt{29}} \)
In simple words: પહેલા દરેક રેખાને તેના \(\vec{a} + \lambda\vec{b}\) સ્વરૂપમાં ગોઠવો. પછી \(\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{a_2}\) અને \(\vec{b_2}\) ને ઓળખો. ત્યારબાદ \(\vec{a_2} - \vec{a_1}\) અને \(\vec{b_1} \times \vec{b_2}\) ગણો. છેલ્લે, આ મૂલ્યોને લઘુતમ અંતરના સૂત્રમાં મૂકીને જવાબ મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે રેખાના સમીકરણો પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં (જેમ કે \(t\) અથવા \(s\) ના પદોમાં) હોય, ત્યારે તેમને પહેલા \(\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}\) પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું મહત્વપૂર્ણ છે.