GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Exercise 11.1

Question 1. જો કોઈ રેખા X-અક્ષ, Y-અક્ષ અને Z-અક્ષ સાથે અનુક્રમે 90°, 135°, 45° માપના ખૂણા બનાવે, તો તેની દિક્કોસાઇન શોધો.
Answer: આપેલ છે કે રેખા X-અક્ષ, Y-અક્ષ અને Z-અક્ષ સાથે અનુક્રમે \( \alpha = 90^\circ \), \( \beta = 135^\circ \) અને \( \gamma = 45^\circ \) માપના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી, આપણે તેના દિક્કોસાઇન શોધીશું:
\( \cos \alpha = \cos 90^\circ = 0 \)
\( \cos \beta = \cos 135^\circ = \cos (180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \cos \gamma = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
આથી, આપેલ રેખાના દિક્કોસાઇન \( 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \) છે.
In simple words: આપણે ત્રણ ખૂણા આપ્યા છે જે એક રેખા X, Y, અને Z-અક્ષ સાથે બનાવે છે. દિક્કોસાઇન શોધવા માટે, આપણે આ દરેક ખૂણાનો કોસાઇન (cosine) ગણવો પડશે.

Exam Tip: યાદ રાખો કે દિક્કોસાઇન એ રેખા દ્વારા નિર્દેશક અક્ષોની ધન દિશા સાથે બનતા ખૂણાઓના કોસાઇન મૂલ્યો છે.

Question 2. યામાક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવતી રેખાની દિક્કોસાઇન શોધો.
Answer: ધારોકે રેખા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે \( \alpha \), Y-અક્ષની ધન દિશા સાથે \( \beta \) તથા Z-અક્ષની ધન દિશા સાથે \( \gamma \) માપનો ખૂણો બનાવે છે.
આપેલ છે કે રેખા યામાક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે, તેથી \( \alpha = \beta = \gamma \).
આપણે જાણીએ છીએ કે દિક્કોસાઇન માટે \( \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \).
કારણ કે \( \alpha = \beta = \gamma \), આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
\( \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
\( 3 \cos^2 \alpha = 1 \)
\( \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} \)
\( \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)
તેથી, યામાક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવતી રેખાની દિક્કોસાઇન \( \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \) છે.
In simple words: જો કોઈ રેખા ત્રણેય અક્ષો સાથે સરખા ખૂણા બનાવે, તો આપણે જાણીએ છીએ કે તેના દિક્કોસાઇનના વર્ગનો સરવાળો 1 થાય છે. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તે સરખા દિક્કોસાઇનની કિંમત શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: દિક્કોસાઇન માટે મૂળભૂત ઓળખને હંમેશા યાદ રાખો: દિક્કોસાઇનોના વર્ગનો સરવાળો એક બરાબર હોય છે.

Question 3. જો રેખાના દિર્ગુણોત્તર −18, 12, −4 હોય, તો તેની દિક્કોસાઇન શોધો.
Answer: આપેલ છે કે રેખાના દિર્ગુણોત્તર \( a = -18 \), \( b = 12 \), \( c = -4 \) છે.
પ્રથમ, આપણે \( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \) નું મૂલ્ય શોધીશું:
\( \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{(-18)^2 + (12)^2 + (-4)^2} \)
\( = \sqrt{324 + 144 + 16} \)
\( = \sqrt{484} \)
\( = 22 \)
જો રેખાની દિક્કોસાઇન \( l, m, n \) હોય, તો:
\( l = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{-18}{22} = \frac{-9}{11} \)
\( m = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{12}{22} = \frac{6}{11} \)
\( n = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{-4}{22} = \frac{-2}{11} \)
આમ, આપેલ રેખાના દિક્કોસાઇન \( \frac{-9}{11}, \frac{6}{11}, \frac{-2}{11} \) છે.
In simple words: દિર્ગુણોત્તર એ એક રેખાની દિશાના ગુણોત્તર છે. દિક્કોસાઇન મેળવવા માટે, આપણે દરેક દિર્ગુણોત્તરને તે ગુણોત્તરના વર્ગમૂળના કુલ મૂલ્યથી ભાગીશું.

Exam Tip: યાદ રાખો કે દિર્ગુણોત્તર એ દિક્કોસાઇનના પ્રમાણસર કોઈપણ સંખ્યાઓનો સમૂહ હોઈ શકે છે. તેમને રૂપાંતરિત કરવા માટે, દરેક ગુણોત્તરને તેમના વર્ગના સરવાળાના વર્ગમૂળથી ભાગો.

Question 4. સાબિત કરો કે બિંદુઓ (2, 3, 4), (−1, −2, 1), (5, 8, 7) સમરેખ છે.
Answer: ધારો કે આપેલ બિંદુઓ \( A(2, 3, 4) \), \( B(-1, -2, 1) \), અને \( C(5, 8, 7) \) છે.
પ્રથમ, રેખાખંડ AB ના દિર્ગુણોત્તર શોધીએ:
\( a_1 = x_2 - x_1 = -1 - 2 = -3 \)
\( b_1 = y_2 - y_1 = -2 - 3 = -5 \)
\( c_1 = z_2 - z_1 = 1 - 4 = -3 \)
હવે, રેખાખંડ BC ના દિર્ગુણોત્તર શોધીએ:
\( a_2 = x_2 - x_1 = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6 \)
\( b_2 = y_2 - y_1 = 8 - (-2) = 8 + 2 = 10 \)
\( c_2 = z_2 - z_1 = 7 - 1 = 6 \)
હવે, આપણે તપાસીએ કે દિર્ગુણોત્તર પ્રમાણસર છે કે નહીં:
\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \)
\( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2} \)
\( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \)
અહીં \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \) છે, જેનો અર્થ છે કે રેખા AB રેખા BC ને સમાંતર છે.
વળી, બિંદુ B એ AB અને BC બંનેમાં સામાન્ય છે.
તેથી, બિંદુઓ A, B, અને C સમરેખ છે.
In simple words: ત્રણ બિંદુઓ એક જ રેખા પર છે તે સાબિત કરવા માટે, આપણે પ્રથમ બે બિંદુઓ વચ્ચેના દિશાગુણોત્તર અને પછી બીજા અને ત્રીજા બિંદુઓ વચ્ચેના દિશાગુણોત્તર શોધીએ છીએ. જો આ ગુણોત્તર સમાન હોય અને તેમાં એક સામાન્ય બિંદુ હોય, તો બધા ત્રણ બિંદુઓ એક જ રેખા પર આવેલા છે.

Exam Tip: દિર્ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને સમરેખતા સાબિત કરવા માટે, હંમેશા બે રેખાખંડો વચ્ચે પ્રમાણસરતા તપાસો અને એક સામાન્ય બિંદુની ખાતરી કરો.

Question 5. (3, 5, 4), (−1, 1, 2) અને (–5, 5, −2) શિરોબિંદુવાળા ત્રિકોણની બાજુઓની દિક્કોસાઇન શોધો.
Answer: ધારો કે ત્રિકોણ ABC ના શિરોબિંદુઓ \( A(3, 5, -4) \), \( B(-1, 1, 2) \), અને \( C(-5, -5, -2) \) છે.

**બાજુ AB માટે:**
AB ના દિર્ગુણોત્તર છે:
\( x_2 - x_1 = -1 - 3 = -4 \)
\( y_2 - y_1 = 1 - 5 = -4 \)
\( z_2 - z_1 = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6 \)
AB નું માપ \( = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 16 + 36} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \)
AB ના દિક્કોસાઇન \( (l_1, m_1, n_1) \):
\( l_1 = \frac{-4}{2\sqrt{17}} = \frac{-2}{\sqrt{17}} \)
\( m_1 = \frac{-4}{2\sqrt{17}} = \frac{-2}{\sqrt{17}} \)
\( n_1 = \frac{6}{2\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}} \)

**બાજુ BC માટે:**
BC ના દિર્ગુણોત્તર છે:
\( x_2 - x_1 = -5 - (-1) = -5 + 1 = -4 \)
\( y_2 - y_1 = -5 - 1 = -6 \)
\( z_2 - z_1 = -2 - 2 = -4 \)
BC નું માપ \( = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 36 + 16} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \)
BC ના દિક્કોસાઇન \( (l_2, m_2, n_2) \):
\( l_2 = \frac{-4}{2\sqrt{17}} = \frac{-2}{\sqrt{17}} \)
\( m_2 = \frac{-6}{2\sqrt{17}} = \frac{-3}{\sqrt{17}} \)
\( n_2 = \frac{-4}{2\sqrt{17}} = \frac{-2}{\sqrt{17}} \)

**બાજુ CA માટે:**
CA ના દિર્ગુણોત્તર છે:
\( x_2 - x_1 = 3 - (-5) = 3 + 5 = 8 \)
\( y_2 - y_1 = 5 - (-5) = 5 + 5 = 10 \)
\( z_2 - z_1 = -4 - (-2) = -4 + 2 = -2 \)
CA નું માપ \( = \sqrt{(8)^2 + (10)^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 100 + 4} = \sqrt{168} = 2\sqrt{42} \)
CA ના દિક્કોસાઇન \( (l_3, m_3, n_3) \):
\( l_3 = \frac{8}{2\sqrt{42}} = \frac{4}{\sqrt{42}} \)
\( m_3 = \frac{10}{2\sqrt{42}} = \frac{5}{\sqrt{42}} \)
\( n_3 = \frac{-2}{2\sqrt{42}} = \frac{-1}{\sqrt{42}} \)
આમ, ત્રિકોણની બાજુઓ \( \overrightarrow{\mathrm{AB}} \), \( \overrightarrow{\mathrm{BC}} \), \( \overrightarrow{\mathrm{CA}} \) ના દિક્કોસાઇન અનુક્રમે \( (\frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{3}{\sqrt{17}}) \), \( (\frac{-2}{\sqrt{17}}, \frac{-3}{\sqrt{17}}, \frac{-2}{\sqrt{17}}) \) અને \( (\frac{4}{\sqrt{42}}, \frac{5}{\sqrt{42}}, \frac{-1}{\sqrt{42}}) \) છે.
In simple words: ત્રિકોણની દરેક બાજુ માટે, આપણે તેના છેડાના બિંદુઓના યામો બાદ કરીને દિર્ગુણોત્તર શોધીએ છીએ. પછી, આપણે તે બાજુની "લંબાઈ" અથવા માપ શોધીએ છીએ. છેલ્લે, આપણે દરેક દિર્ગુણોત્તરને બાજુના માપથી ભાગીને દિક્કોસાઇન મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: દિર્ગુણોત્તરની ગણતરી કરતી વખતે તમારા ચિહ્નો (ધન/ઋણ) ને કાળજીપૂર્વક ટ્રૅક કરો, ખાસ કરીને ઋણ યામોનો સમાવેશ કરતી બાદબાકીમાં. અંતિમ જવાબો માટે જ્યારે શક્ય હોય ત્યારે વર્ગમૂળને સરળ બનાવો.