GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 7 ક્રમચય અને સંચય Exercise 7.4

Question 1. જો \(^nC_8 = ^nC_2\) હોય, તો \(^nC_2\) શોધો.
Answer:
\( ^nC_8 = ^nC_2 \)
\( \implies 8 = n-2 \) (જેમ કે, \( ^nC_r = ^nC_{n-r} \) નો નિયમ લાગુ પડે છે)
\( \implies n = 10 \)
\( \implies ^nC_2 = ^{10}C_2 \)
\( = \frac{10!}{2!8!} \)
\( = \frac{10 \times 9 \times 8!}{1 \times 2 \times 8!} \)
\( = 45 \)
In simple words: જ્યારે \(^nC_8\) અને \(^nC_2\) સરખા હોય, ત્યારે n ની કિંમત 10 મળે છે. પછી, \(^{10}C_2\) ની ગણતરી કરતાં જવાબ 45 આવે છે.

Exam Tip: This question tests your understanding of combinations and the property \(^nC_r = ^nC_{n-r}\). Remember to apply the property first to find 'n', then calculate the required combination.

Question 2. n ની કિંમત શોધો :
(1) \( ^{2n}C_3 : ^nC_3 = 12: 1 \)
(2) \( ^{2n}C_3 : ^nC_3 = 11: 1 \)
Answer:
(1) \( ^{2n}C_3 : ^nC_3 = 12 : 1 \)
\( \implies \frac{^{2n}C_3}{^nC_3} = \frac{12}{1} \)
\( \implies \frac{\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}}{\frac{n!}{3!(n-3)!}} = 12 \)
\( \implies \frac{(2n)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{3!(n-3)!}{n!} = 12 \)
\( \implies \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{3!(n-3)!}{n(n-1)(n-2)(n-3)!} = 12 \)
\( \implies \frac{2n(2n-1) \cdot 2(n-1)}{n(n-1)(n-2)} = 12 \)
\( \implies \frac{4(2n-1)}{n-2} = 12 \)
\( \implies 2n-1 = 3(n-2) \)
\( \implies 2n-1 = 3n-6 \)
\( \implies n = 5 \)
(2) \( ^{2n}C_3 : ^nC_3 = 11 : 1 \)
\( \implies \frac{^{2n}C_3}{^nC_3} = \frac{11}{1} \)
\( \implies \frac{\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}}{\frac{n!}{3!(n-3)!}} = 11 \)
\( \implies \frac{(2n)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{3!(n-3)!}{n!} = 11 \)
\( \implies \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{3!(n-3)!}{n(n-1)(n-2)(n-3)!} = 11 \)
\( \implies \frac{2n(2n-1) \cdot 2(n-1)}{n(n-1)(n-2)} = 11 \)
\( \implies \frac{4(2n-1)}{n-2} = 11 \)
\( \implies 4(2n-1) = 11(n-2) \)
\( \implies 8n-4 = 11n-22 \)
\( \implies 3n = 18 \)
\( \implies n = 6 \)
In simple words: પહેલા ભાગમાં, જ્યારે \(^{2n}C_3\) અને \(^nC_3\) નો ગુણોત્તર 12:1 હોય, ત્યારે ગણતરી કરતાં n ની કિંમત 5 મળે છે. બીજા ભાગમાં, જ્યારે ગુણોત્તર 11:1 હોય, ત્યારે ગણતરી કરતાં n ની કિંમત 6 મળે છે.

Exam Tip: When solving for 'n' in combination ratios, always expand the combination formula \(^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) and simplify carefully to form a linear or quadratic equation.

Question 3. વર્તુળ પરનાં 21 બિંદુઓમાંથી કેટલી જીવાઓ દોરી શકાય?
Answer: વર્તુળ પરની જીવા એ બે બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ છે. 21 બિંદુઓમાંથી 2 બિંદુઓની પસંદગી દ્વારા જીવાઓ બનાવી શકાય. આથી, કુલ સંખ્યા \(^{21}C_2\) થાય છે.
\( = \frac{21!}{2!19!} \)
\( = \frac{21 \times 20 \times 19!}{2 \times 1 \times 19!} \)
\( = 210 \)
તેથી, 21 બિંદુઓમાંથી 210 જીવાઓ દોરી શકાય છે.
In simple words: વર્તુળ પર બે બિંદુઓ જોડીને જીવા બને છે. 21 બિંદુઓમાંથી 2 બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો 210 છે, એટલે કે 210 જીવાઓ દોરી શકાય.

Exam Tip: To find the number of chords from 'n' points on a circle, use the combination formula \(^nC_2\), as each chord requires selecting two distinct points.

Question 4. 5 કુમાર અને 4 કુમારીમાંથી ૩ કુમારો અને ૩ કુમારીઓની કેટલી ટુકડી બનાવી શકાય?
Answer: 5 કુમારોમાંથી 3 કુમારો પસંદ કરવા માટે \(^5C_3\) રીતો છે, અને 4 કુમારીઓમાંથી 3 કુમારીઓ પસંદ કરવા માટે \(^4C_3\) રીતો છે. આથી, કુલ ટુકડીઓ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા \(^5C_3 \times ^4C_3\) થાય.
\( = \frac{5!}{3!2!} \times \frac{4!}{3!1!} \)
\( = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3!}{3! \times 1} \)
\( = 10 \times 4 \)
\( = 40 \)
તેથી, 40 રીતે ટુકડીઓ બનાવી શકાય છે.
In simple words: 5 છોકરાઓમાંથી 3 અને 4 છોકરીઓમાંથી 3 પસંદ કરવાની કુલ 40 રીતો છે.

Exam Tip: When forming a group with specific counts from different categories (e.g., boys and girls), calculate the combinations for each category separately and then multiply them to find the total number of ways.

Question 5. 6 લાલ દડા, 5 સફેદ દડા અને 5 વાદળી દડામાંથી દરેક રંગના 8 દડા એમ છ દડાની પસંદગી કેટલા પ્રકારે કરી શકાય?
Answer: 6 લાલ દડામાંથી 3 દડા, 5 સફેદ દડામાંથી 3 દડા, અને 5 વાદળી દડામાંથી 3 દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા શોધવામાં આવે છે. આ સંચય ગણતરી \(^6C_3 \times ^5C_3 \times ^5C_3\) દ્વારા મળે છે.
\( = \frac{6!}{3!3!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{5!}{3!2!} \)
\( = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \)
\( = 20 \times 10 \times 10 \)
\( = 2000 \)
ગણતરી કરતાં, કુલ 2000 પ્રકારે પસંદગી કરી શકાય.
In simple words: 6 લાલ, 5 સફેદ અને 5 વાદળી દડામાંથી, 3 લાલ, 3 સફેદ અને 3 વાદળી દડા પસંદ કરવાની 2000 રીતો છે.

Exam Tip: When a selection involves multiple categories with a fixed number of items from each, calculate the combinations for each category and multiply the results.

Question 6. 52 પત્તાંમાંથી 5 પત્તાંની પસંદગીમાં બરાબર એક જ એક્કો આવે તે કેટલા પ્રકારે બને?
Answer: 52 પત્તાંના ડેકમાં 4 એક્કા હોય છે. 5 પત્તાં પસંદ કરવાના છે જેમાં ફક્ત એક જ એક્કો હોય. આ માટે, 4 એક્કામાંથી 1 એક્કો પસંદ કરવો પડે (\(^4C_1\)) અને બાકીના 48 પત્તાંમાંથી 4 પત્તાં પસંદ કરવા પડે (\(^{48}C_4\)). કુલ પસંદગીની રીતો \(^4C_1 \times ^{48}C_4\) થશે.
\( = 4 \times \frac{48!}{4! \times 44!} \)
\( = 4 \times \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 44!} \)
\( = 7,78,320 \)
ગણતરી કરતાં, કુલ 7,78,320 રીતો મળે છે.
In simple words: 52 પત્તાંમાંથી 5 પત્તાં પસંદ કરવાના છે, જેમાં બરાબર એક એક્કો હોય. આ માટે 4 એક્કામાંથી 1 એક્કો અને બાકીના 48 પત્તાંમાંથી 4 પત્તાં પસંદ કરવા પડે, જે કુલ 7,78,320 રીતો આપે છે.

Exam Tip: When selecting a specific number of items with a constraint (e.g., exactly one ace), separate the selection into required and remaining categories, calculate combinations for each, and then multiply.

Question 7. ક્રિકેટની રમતના 17 ખેલાડીઓ આવેલા છે. તે પૈકી 5 ખેલાડીઓ બૉલિંગ કરી શકે છે. દરેક ટુકડીમાં 4 બૉલર હોય એવી 11 ખેલાડીઓની ક્રિકેટની કેટલી ટુકડી બનાવી શકાય?
Answer: કુલ 17 ખેલાડીઓ છે, જેમાં 5 બોલર છે. 11 ખેલાડીઓની એવી ટીમ બનાવવાની છે જેમાં 4 બોલર હોય. આ માટે, 5 બોલરોમાંથી 4 બોલર (\(^5C_4\)) પસંદ કરવા પડશે. બાકીના \(17 - 5 = 12\) નોન-બોલરોમાંથી \(11 - 4 = 7\) ખેલાડીઓ પસંદ કરવા પડશે (\(^{12}C_7\)). આમ, કુલ ટીમોની સંખ્યા \(^5C_4 \times ^{12}C_7\) થશે.
\( = \frac{5!}{4!1!} \times \frac{12!}{7!5!} \)
\( = \frac{5 \times 4!}{4! \times 1} \times \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{7! \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
\( = 5 \times 792 \)
\( = 3960 \)
ગણતરી કરતાં, કુલ 3960 ટીમો બનાવી શકાય.
In simple words: 17 ખેલાડીઓમાંથી, 5 બોલર છે. 11 ખેલાડીઓની ટીમ બનાવવાની છે જેમાં 4 બોલર હોય. આ માટે 5 બોલરોમાંથી 4 બોલર અને બાકીના 12 ખેલાડીઓમાંથી 7 ખેલાડીઓ પસંદ કરવાથી 3960 ટીમો બને.

Exam Tip: When forming a team with specific roles, first identify the total players available for each role. Then, calculate combinations for each role separately and multiply them for the total number of teams.

Question 8. એક થેલીમાં 5 કાળા અને 6 લાલ દડા છે. 2 કાળા તથા ૩ લાલ દડાની પસંદગી કેટલા પ્રકારે થઈ શકે?
Answer: એક થેલીમાં 5 કાળા અને 6 લાલ દડા છે. તેમાંથી 2 કાળા દડા (\(^5C_2\)) અને 3 લાલ દડા (\(^6C_3\)) પસંદ કરવાના છે. કુલ પસંદગીની રીતો \(^5C_2 \times ^6C_3\) દ્વારા મળે છે.
\( = \frac{5!}{2!3!} \times \frac{6!}{3!3!} \)
\( = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \)
\( = 10 \times 20 \)
\( = 200 \)
ગણતરી કરતાં, કુલ 200 પ્રકારે પસંદગી કરી શકાય.
In simple words: થેલીમાંથી 5 કાળા અને 6 લાલ દડામાંથી 2 કાળા અને 3 લાલ દડા પસંદ કરવાની 200 રીતો છે.

Exam Tip: Similar to team selection, when choosing items of different types (e.g., balls of different colors), calculate the combination for each type and multiply the results for the total number of selections.

Question 9. જો વિદ્યાર્થીએ 2 ચોક્કસ વિષયો પસંદ કરવાના ફરજિયાત હોય, તો વિદ્યાર્થી ઉપલબ્ધ 9 વિષયોમાંથી 5 વિષયો કેટલા પ્રકારે પસંદ કરી શકે?
Answer: વિદ્યાર્થીએ 9 વિષયોમાંથી 5 વિષયો પસંદ કરવાના છે, અને 2 વિષયો ફરજિયાત છે. તેથી, બાકીના \(9 – 2 = 7\) વિષયોમાંથી \(5 – 2 = 3\) વિષયો પસંદ કરવાના રહે છે. આની ગણતરી \(^7C_3\) વડે કરી શકાય છે.
\( = \frac{7!}{3! \times 4!} \)
\( = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!} \)
\( = 35 \)
ગણતરી કરતાં, કુલ 35 પ્રકારે વિષયો પસંદ કરી શકાય.
In simple words: 9 વિષયોમાંથી 5 પસંદ કરવાના છે, જેમાં 2 ફરજિયાત છે. તેથી, બાકીના 7 વિષયોમાંથી 3 પસંદ કરવાના થાય, જેની કુલ 35 રીતો છે.

Exam Tip: When certain choices are mandatory, subtract those choices from both the total available options and the required number of selections, then apply the combination formula to the remaining options.