GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 7 ક્રમચય અને સંચય Exercise 7.3

Question 1. 1થી 9 અંકોનો ઉપયોગ કરીને 3 અંકોની કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય? (અંકોના પુનરાવર્તન સિવાય)
Answer: અહીં, આપણે 9 જુદા જુદા અંકોનો ઉપયોગ કરીને 3 જુદા જુદા અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે. તેથી, 9 અંકોમાંથી 3 અંકોની ક્રમચયોની સંખ્યા આ રીતે મળે છે:
માગેલ સંખ્યાઓ \( = ^9P_3 \)
\( = \frac{9!}{ (9-3)! } \)
\( = \frac{9!}{ 6! } \)
\( = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} \)
\( = 504 \)
In simple words: 1 થી 9 સુધીના અંકોનો ઉપયોગ કરીને, ત્રણ અંકની અલગ અલગ સંખ્યાઓ બનાવવાની છે જ્યાં કોઈ અંકનું પુનરાવર્તન ન થાય. આ માટે ક્રમચયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કુલ 504 સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે.

Exam Tip: જ્યારે અંકોનું પુનરાવર્તન ન હોય અને ક્રમ મહત્વનો હોય, ત્યારે ક્રમચયનો ઉપયોગ કરવો. \( ^nP_r \) એટલે n વસ્તુઓમાંથી r વસ્તુઓને ગોઠવવાના પ્રકારો.

Question 2. અંકોના પુનરાવર્તન સિવાય 4 અંકોની કેટલી સંખ્યાઓ થશે?
Answer: અહીં, અંકોના પુનરાવર્તન સિવાય 4 અંકોની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે.
હજારના અંકનું સ્થાન 1 થી 9 અંકો વડે 9 રીતે ભરી શકાય છે. (કારણ કે હજારના સ્થાને 0 લેવાથી સંખ્યા ચાર અંકની બનતી નથી).
હવે, બાકી રહેલા આઠ અંકો અને 0 એમ કુલ 9 અંકોમાંથી બાકીના ત્રણ અંકોની ગોઠવણી \( ^9P_3 \) રીતે કરી શકાય છે.
માગેલ સંખ્યાઓ \( = 9 \times ^9P_3 \)
\( = 9 \times \frac{9!}{ (9-3)! } \)
\( = 9 \times \frac{9!}{ 6! } \)
\( = 9 \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} \)
\( = 9 \times 504 \)
\( = 4536 \)
In simple words: ચાર અંકની સંખ્યા બનાવતી વખતે, હજારના સ્થાને 0 સિવાયના 9 અંકોમાંથી કોઈ એક અંક પસંદ કરો. બાકીના ત્રણ સ્થાનો માટે વધેલા 9 અંકોમાંથી (જેમાં 0 પણ શામેલ છે) ત્રણ અંકોને ક્રમબદ્ધ ગોઠવો. આ રીતે કુલ 4536 સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે.

Exam Tip: સંખ્યા રચનાના પ્રશ્નોમાં, શૂન્યનો ઉપયોગ કરતી વખતે ધ્યાન રાખવું કે તે કયા સ્થાન પર આવે છે, કારણ કે તે સંખ્યાના મૂલ્યને અસર કરી શકે છે.

Question 3. 1, 2, 3, 4, 6, 7 અંકોનો ઉપયોગ કરીને 8 અંકોની કેટલી યુગ્મ સંખ્યાઓ બને? (અંકોના પુનરાવર્તન સિવાય)
Answer: અહીં, 1, 2, 3, 4, 6, 7 અંકોનો ઉપયોગ કરીને અંકોના પુનરાવર્તન સિવાય 3 અંકની યુગ્મ સંખ્યાઓ બનાવવાની છે. (પ્રશ્નમાં 8 અંકોનો ઉલ્લેખ છે, પરંતુ આપેલા અંકો 6 જ છે, તેથી 3 અંકની સંખ્યાઓ બનાવીશું).
યુગ્મ સંખ્યા બનાવવા માટે, એકમનું સ્થાન 2, 4, 6 વડે ત્રણ રીતે ભરી શકાય છે. ત્યારબાદ, બાકી રહેલા 5 અંકોમાંથી (જેમ કે એક અંકનો ઉપયોગ થઈ ગયો છે) બે અંકોની ગોઠવણી \( ^5P_2 \) રીતે કરી શકાય છે.
માગેલ યુગ્મ સંખ્યાઓ \( = 3 \times ^5P_2 \)
\( = 3 \times \frac{5!}{ (5-2)! } \)
\( = 3 \times \frac{5!}{ 3! } \)
\( = 3 \times (5 \times 4) \)
\( = 3 \times 20 \)
\( = 60 \)
In simple words: 1, 2, 3, 4, 6, 7 આ છ અંકોમાંથી 3 અંકની યુગ્મ સંખ્યાઓ બનાવવી છે, જ્યાં અંકો ફરી વાપરી શકાતા નથી. પહેલા, એકમનો અંક 2, 4, કે 6 માંથી એક પસંદ કરો (3 રીતો). પછી, વધેલા પાંચ અંકોમાંથી કોઈપણ બે અંકોને બાકીના બે સ્થાનો પર ગોઠવો. આ રીતે કુલ 60 યુગ્મ સંખ્યાઓ બની શકે છે.

Exam Tip: યુગ્મ કે અયુગ્મ સંખ્યા બનાવતી વખતે, એકમના અંકની શરત પહેલા પૂરી કરવી જોઈએ અને પછી બાકીના સ્થાનો માટે ગણતરી કરવી.

Question 4. 1, 2, 3, 4, 5 અંકોનો ઉપયોગ કરીને 4 અંકોની કેટલી સંખ્યાઓ બને? અને આમાંથી કેટલી સંખ્યાઓ યુગ્મ હોય? (અંકોના પુનરાવર્તન સિવાય)
Answer: અહીં, 1, 2, 3, 4, 5 એમ 5 જુદા જુદા અંકોનો ઉપયોગ કરીને 4 જુદા જુદા અંકોની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે.
કુલ સંખ્યાઓ \( = ^5P_4 \)
\( = \frac{5!}{ (5-4)! } \)
\( = \frac{5!}{ 1! } \)
\( = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
\( = 120 \)
હવે, સંખ્યા યુગ્મ બનાવવા માટે એકમનું સ્થાન 2, 4 વડે 2 રીતે ભરી શકાય છે. ત્યારબાદ, બાકી રહેલા 4 અંકોમાંથી (જેમ કે એક અંકનો ઉપયોગ થઈ ગયો છે) ત્રણ અંકોની ગોઠવણી \( ^4P_3 \) રીતે કરી શકાય છે.
માગેલ યુગ્મ સંખ્યાઓ \( = 2 \times ^4P_3 \)
\( = 2 \times \frac{4!}{ (4-3)! } \)
\( = 2 \times \frac{4!}{ 1! } \)
\( = 2 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) \)
\( = 2 \times 24 \)
\( = 48 \)
In simple words: 1, 2, 3, 4, 5 આ પાંચ અંકોમાંથી 4 અંકની કુલ 120 સંખ્યાઓ બને છે જ્યાં કોઈ અંકનું પુનરાવર્તન થતું નથી. આમાંથી યુગ્મ સંખ્યાઓ શોધવા માટે, એકમનો અંક 2 અથવા 4 હોવો જોઈએ (2 રીતો). પછી, વધેલા 4 અંકોમાંથી 3 અંકોને બાકીના સ્થાનો પર ગોઠવો. આ રીતે કુલ 48 યુગ્મ સંખ્યાઓ મળશે.

Exam Tip: જ્યારે બે જુદી જુદી શરતો (દા.ત., કુલ સંખ્યાઓ અને યુગ્મ સંખ્યાઓ) પૂછવામાં આવે ત્યારે, દરેક શરત માટે અલગથી ગણતરી કરો અને પછી જવાબ આપો.

Question 5. 8 વ્યક્તિઓનો એક સમિતિમાંથી અધ્યક્ષ અને ઉપાધ્યક્ષ કેટલા પ્રકારે પસંદ કરી શકાય? આપણે ધારીશું કે કોઈ પણ વ્યક્તિ એક કરતાં વધુ પદ ને સંભાળતો હોય.
Answer: સમિતિમાંથી અધ્યક્ષ અને ઉપાધ્યક્ષ એટલે કે બે વ્યક્તિઓની ગોઠવણી કરવાની છે. કારણ કે એક વ્યક્તિ એકથી વધુ પદ સંભાળી શકતી નથી અને ક્રમ મહત્વનો છે (અધ્યક્ષ અને ઉપાધ્યક્ષ જુદા પદ છે).
તેના પ્રકાર \( = ^8P_2 \)
\( = \frac{8!}{ (8-2)! } \)
\( = \frac{8!}{ 6! } \)
\( = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} \)
\( = 56 \)
In simple words: 8 લોકોની એક કમિટીમાંથી પ્રમુખ અને ઉપપ્રમુખ પસંદ કરવાના છે. એક વ્યક્તિ એકથી વધુ પદ રાખી શકતી નથી. અહીં ક્રમ મહત્વનો છે, તેથી 8 લોકોમાંથી 2 પદ માટે 56 અલગ અલગ રીતોથી પસંદગી કરી શકાય છે.

Exam Tip: પદની પસંદગી (જેમ કે અધ્યક્ષ અને ઉપાધ્યક્ષ) હંમેશા ક્રમચય (Permutation) દર્શાવે છે, કારણ કે ક્રમ બદલાવાથી પસંદગી જુદી ગણાય છે.

Question 6. જો \( ^{n-1}P_3 : ^nP_4 = 1 : 9 \), તો n શોધો.
Answer: \( ^{n-1}P_3 : ^nP_4 = 1 : 9 \)
\( \frac{^{n-1}P_3}{^nP_4} = \frac{1}{9} \)
\( \frac{\frac{(n-1)!}{(n-1-3)!}}{\frac{n!}{(n-4)!}} = \frac{1}{9} \)
\( \frac{(n-1)!}{(n-4)!} \times \frac{(n-4)!}{n!} = \frac{1}{9} \)
\( \frac{(n-1)!}{n \times (n-1)!} = \frac{1}{9} \)
\( \frac{1}{n} = \frac{1}{9} \)
\( \implies n = 9 \)
In simple words: આપેલ ક્રમચયના ગુણોત્તર સમીકરણને ઉકેલવા માટે, પહેલા ક્રમચયના સૂત્રો મૂકો. પછી, ફેક્ટોરિયલ પદોને સરળ બનાવો. અંતે, સમીકરણ ઉકેલતા n ની કિંમત 9 મળે છે.

Exam Tip: ક્રમચયના ગુણોત્તરના પ્રશ્નોમાં, પહેલા ફેક્ટોરિયલના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પદોને વિગતવાર લખો, પછી સામાન્ય પદોને દૂર કરીને સમીકરણને સરળ બનાવો.

Question 7. (1) \( ^5P_r = 2 \cdot ^6P_{r-1} \) (2) \( ^5P_r = ^6P_{r-1} \), તો r શોધો.
Answer:
(1) \( ^5P_r = 2 \cdot ^6P_{r-1} \)
\( \frac{5!}{(5-r)!} = 2 \times \frac{6!}{(6-(r-1))!} \)
\( \frac{5!}{(5-r)!} = 2 \times \frac{6 \times 5!}{(7-r)!} \)
\( \implies \frac{1}{(5-r)!} = \frac{12}{(7-r)!} \)
\( \implies \frac{(7-r)!}{(5-r)!} = 12 \)
\( \implies (7-r)(6-r)(5-r)! / (5-r)! = 12 \)
\( \implies (7-r)(6-r) = 12 \)
\( \implies 42 - 13r + r^2 = 12 \)
\( \implies r^2 - 13r + 30 = 0 \)
\( \implies (r-10)(r-3) = 0 \)
\( \implies r = 10 \) અથવા \( r = 3 \)
પરંતુ જો \( r = 10 \) લઈએ, તો \( ^5P_{10} \) અને \( ^6P_9 \) નો કોઈ અર્થ નથી (કારણ કે n કરતા r મોટો ન હોઈ શકે).
\( \implies r = 3 \)
નોંધ: નીચે પ્રમાણે પણ r મેળવી શકાય છે:
\( (7-r)(6-r) = 12 = 4 \times 3 \)
\( (7-r)(6-r) = (7-3)(6-3) \)
\( \implies r = 3 \)

(2) \( ^5P_r = ^6P_{r-1} \)
\( \frac{5!}{(5-r)!} = \frac{6!}{(6-(r-1))!} \)
\( \frac{5!}{(5-r)!} = \frac{6 \times 5!}{(7-r)!} \)
\( \implies \frac{1}{(5-r)!} = \frac{6}{(7-r)!} \)
\( \implies \frac{(7-r)!}{(5-r)!} = 6 \)
\( \implies (7-r)(6-r)(5-r)! / (5-r)! = 6 \)
\( \implies (7-r)(6-r) = 6 \)
\( \implies 42 - 13r + r^2 = 6 \)
\( \implies r^2 - 13r + 36 = 0 \)
\( \implies (r-9)(r-4) = 0 \)
\( \implies r = 9 \) અથવા \( r = 4 \)
પરંતુ જો \( r = 9 \) લઈએ, તો \( ^5P_9 \) અને \( ^6P_8 \) નો કોઈ અર્થ નથી.
\( \implies r = 4 \)
નોંધ: નીચે પ્રમાણે પણ r મેળવી શકાય છે:
\( (7-r)(6-r) = 6 = 3 \times 2 \)
\( (7-r)(6-r) = (7-4)(6-4) \)
\( \implies r = 4 \)
In simple words: આ પ્રશ્નમાં r ની કિંમત શોધવા માટે, આપેલા ક્રમચય સમીકરણોને ફેક્ટોરિયલના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલો. પછી, દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવીને r ના મૂલ્યો મેળવો. ધ્યાન રાખો કે \( ^nP_r \) માં હંમેશા \( n \ge r \) હોવો જોઈએ, તેથી અર્થહીન મૂલ્યોને બાકાત રાખો.

Exam Tip: ક્રમચયના સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, અંતિમ જવાબ ચકાસી લો કે તે \( ^nP_r \) ની શરત (\( n \ge r \)) ને સંતોષે છે કે નહીં. અયોગ્ય મૂલ્યોને છોડી દેવા જોઈએ.

Question 8. EQUATION શબ્દના દરેક મૂળાક્ષરોનો ફક્ત એક વખત ઉપયોગ કરી અર્થસભર કે અર્થ રહિત કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય?
Answer: અહીં, EQUATION શબ્દમાં E, Q, U, A, T, I, O, N એમ 8 જુદા જુદા મૂળાક્ષરો છે. દરેક મૂળાક્ષરનો ફક્ત એક વખત ઉપયોગ કરીને શબ્દો બનાવવાના છે.
તેથી, 8 જુદા જુદા મૂળાક્ષરોમાંથી બધા જ 8 મૂળાક્ષરો એકસાથે લેવાથી મળતા ક્રમચયોની સંખ્યા આ રીતે મળે છે:
\( = ^8P_8 \)
\( = 8! \)
\( = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
\( = 40320 \)
In simple words: 'EQUATION' શબ્દમાં 8 અલગ અલગ અક્ષરો છે. આ બધા અક્ષરોનો એક જ વાર ઉપયોગ કરીને, ક્રમને મહત્વ આપીને, કુલ કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય તે શોધવાનું છે. આ માટે 8! (8 ફેક્ટોરિયલ) ની ગણતરી કરતા 40320 શબ્દો મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે આપેલા બધા જુદા જુદા ઘટકોનો ઉપયોગ કરીને ગોઠવણી કરવાની હોય ત્યારે, ફેક્ટોરિયલનો સીધો ઉપયોગ થાય છે.

Question 9. MONDAY શબ્દના મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરી પુનરાવર્તન સિવાય અર્થસભર કે અર્થ રહિત કેટલા શબ્દો નીચેના વિકલ્પો અનુસાર બનાવી શકાય?
Answer: અહીં, M, O, N, D, A, Y એ 6 જુદા જુદા મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને, પુનરાવર્તન સિવાય, આપેલા વિકલ્પો અનુસાર શબ્દો બનાવવાના છે.
(1) કોઈ પણ 4 મૂળાક્ષરો એકસાથે લેતાં:
અહીં, 6 મૂળાક્ષરોમાંથી 4 મૂળાક્ષરો એકસાથે લેતાં મળતા ક્રમચયોની સંખ્યા \( = ^6P_4 \)
\( = \frac{6!}{ (6-4)! } \)
\( = \frac{6!}{ 2! } \)
\( = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} \)
\( = 360 \)
આમ, માગેલા શબ્દોની સંખ્યા \( = 360 \).

(2) બધા જ મૂળાક્ષરો એકસાથે લેતાં:
અહીં, 6 મૂળાક્ષરોમાંથી બધા જ મૂળાક્ષરો એકસાથે લેવાથી મળતા ક્રમચયોની સંખ્યા \( = ^6P_6 \)
\( = 6! \)
\( = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)
\( = 720 \)
આમ, માગેલા શબ્દોની સંખ્યા \( = 720 \).

(3) પ્રથમ મૂળાક્ષર સ્વર હોય તે રીતે બધા જ મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરતાં:
અહીં, M, O, N, D, A, Y એ 6 મૂળાક્ષરોમાં O અને A એ 2 મૂળાક્ષરો સ્વર છે. આમ, પ્રથમ મૂળાક્ષરની ગોઠવણી 2 રીતે થાય છે. ત્યારબાદ, બાકી રહેલા 5 મૂળાક્ષરોની ગોઠવણી \( ^5P_5 \) રીતે થાય છે.
આથી મળતા પ્રકાર \( = 2 \times ^5P_5 \)
\( = 2 \times 5! \)
\( = 2 \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \)
\( = 2 \times 120 \)
\( = 240 \)
આમ, માગેલા શબ્દોની સંખ્યા \( = 240 \).
In simple words: 'MONDAY' શબ્દના અક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને ત્રણ જુદી જુદી શરતો હેઠળ શબ્દો બનાવવાના છે. (1) જો 4 અક્ષરો પસંદ કરવા હોય, તો 360 શબ્દો બને. (2) જો બધા 6 અક્ષરોનો ઉપયોગ કરવો હોય, તો 720 શબ્દો બને. (3) જો પહેલો અક્ષર સ્વર હોય (O કે A) અને બાકીના બધા અક્ષરોનો ઉપયોગ કરવો હોય, તો 240 શબ્દો બને.

Exam Tip: શબ્દ રચનાના પ્રશ્નોમાં, પુનરાવર્તન, ક્રમ, અને વિશિષ્ટ સ્થાન (જેમ કે પ્રથમ અક્ષર સ્વર) જેવી શરતોને ધ્યાનપૂર્વક લાગુ કરો.

Question 10. MISSISSIPPI શબ્દના કેટલા ભિન્ન ક્રમચયોમાં ચાર I સાથે ન આવે?
Answer: અહીં, MISSISSIPPI શબ્દમાં કુલ 11 મૂળાક્ષરો છે. જેમાં I 4 વખત, S 4 વખત, P 2 વખત આવે છે અને બાકીના મૂળાક્ષરો જુદા જુદા છે.
અહીં, બધા જ 11 મૂળાક્ષરોની ગોઠવણીના પ્રકારોની સંખ્યા \( = \frac{11!}{ 4! 4! 2! } \)
\( = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} \)
\( = 34,650 \)
હવે, બધા જ 4 I સાથે હોય તેવા પ્રકારોની સંખ્યા શોધીએ. તે માટે બધા જ 4 I ને એક જ વસ્તુ છે તેમ માનીએ. આ એક વસ્તુ તથા બાકી રહેલા 7 બીજા અક્ષરો (વસ્તુઓ) ને 8 વસ્તુઓ છે એમ ગણીએ. જેમાં S 4 વખત અને P 2 વખત આવે છે અને બાકીની વસ્તુઓ જુદી છે.
આથી બધા જ I સાથે હોય તેવા પ્રકારોની સંખ્યા \( = \frac{8!}{ 4! 2! } \)
\( = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times (2 \times 1)} \)
\( = 840 \)
આમ, ચાર I સાથે ન આવે તેવા ક્રમચયોની સંખ્યા \( = 34,650 - 840 \)
\( = 33,810 \)
In simple words: 'MISSISSIPPI' શબ્દના કુલ 34,650 અલગ અલગ ગોઠવણીઓ કરી શકાય છે. હવે, જો બધા ચાર 'I' અક્ષરો હંમેશા સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ ગણીએ તો તે 840 થાય. ચાર 'I' અક્ષરો સાથે ન હોય તેવી ગોઠવણીઓ શોધવા માટે, કુલ ગોઠવણીઓમાંથી 'I' સાથે હોય તેવી ગોઠવણીઓ બાદ કરો, જેથી 33,810 જવાબ મળે છે.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, પહેલા કુલ ક્રમચયો શોધો અને પછી "સાથે હોય" તેવી શરતવાળા ક્રમચયો શોધીને કુલમાંથી બાદ કરો.

Question 11. PERMUTATIONS શબ્દના મૂળાક્ષરોની ગોઠવણી કેટલા પ્રકારે નીચેના વિકલ્પોમાં કરી શકાય?
(1) શબ્દો Pથી શરૂ થાય અને Sમાં અંત પામે.
(2) બધા સ્વરો સાથે હોય.
(3) P અને Sની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોય.
Answer: PERMUTATIONS શબ્દમાં કુલ 12 મૂળાક્ષરો છે. જેમાં T 2 વખત આવે છે અને બાકીના મૂળાક્ષરો જુદા જુદા છે. હવે, નીચે આપેલા વિકલ્પો અનુસાર શબ્દો બનાવવાના છે.
(1) શબ્દો Pથી શરૂ થાય અને Sમાં અંત પામે :
અહીં પ્રથમ સ્થાને અક્ષર P અને છેલ્લા સ્થાને એટલે કે 12મા સ્થાને અક્ષર S ને સ્થિર કરીએ. બાકીના 10 અક્ષરોની ગોઠવણી વચ્ચેનાં 10 સ્થાનમાં કરીએ. અક્ષરો E, R, M, U, T, A, T, I, O, N છે. જેમાં T 2 વખત અને અન્ય મૂળાક્ષરો જુદા જુદા છે. આ 10 અક્ષરોને વચ્ચેનાં 10 સ્થાનમાં ગોઠવવાના પ્રકારોની સંખ્યા \( = \frac{10!}{ 2! } \)
\( = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} \)
\( = 18,14,400 \)
આમ, માગેલા શબ્દોની સંખ્યા \( = 18,14,400 \).

(2) બધા સ્વરો સાથે હોય :
અહીં, E, U, A, I, O એ 5 સ્વરો છે. જેમને અંદરોઅંદર \( 5! \) રીતે ગોઠવી શકાય છે. હવે, આ 5 સ્વરોનું જૂથ એક જ વસ્તુ છે તેમ માનીએ અને બાકીના 7 અક્ષરો (વસ્તુઓ) એમ કુલ 8 વસ્તુઓ છે એમ ગણીએ. જેમાં T 2 વખત અને બાકીની વસ્તુઓ જુદી છે.
આથી બધા જ સ્વરો સાથે હોય તેના પ્રકારો \( = \frac{8!}{ 2! } \times 5! \)
\( = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} \times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \)
\( = 20,160 \times 120 \)
\( = 24,19,200 \)

(3) P અને Sની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોય:
અહીં, P અને Sની ગોઠવણી માટેનાં સ્થાન 7 પ્રકારે નક્કી થાય છે: (1,6), (2,7), (3,8), (4,9), (5,10), (6,11), (7,12). P અને S ની અદલાબદલી 2 રીતે થાય છે.
આમ, P અને Sની ગોઠવણીના પ્રકાર \( = 2 \times 7 = 14 \).
હવે, બાકી રહેલા 10 અક્ષરો (જેમાં T બે વખત છે અને અન્ય અક્ષરો જુદા છે) તેમની બાકી રહેલાં 10 સ્થાનોમાં ગોઠવણીના પ્રકાર \( = \frac{10!}{ 2! } \)
આમ, P અને Sની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોય તેના પ્રકાર \( = 14 \times \frac{10!}{ 2! } \)
\( = 14 \times 3,628,800 \)
\( = 50,803,200 \)
In simple words: 'PERMUTATIONS' શબ્દમાં 12 અક્ષરો છે જેમાં T બે વાર આવે છે. (1) જો P થી શરૂ થાય અને S પર પૂરું થાય, તો 1,814,400 શબ્દો બને. (2) જો બધા સ્વરો (E, U, A, I, O) હંમેશા સાથે હોય, તો 2,419,200 શબ્દો બને. (3) જો P અને S ની વચ્ચે હંમેશા 4 અક્ષરો રહે, તો 50,803,200 શબ્દો બને.

Exam Tip: પુનરાવર્તિત અક્ષરો ધરાવતા શબ્દોની ગોઠવણીમાં, કુલ ફેક્ટોરિયલને પુનરાવર્તિત અક્ષરોના ફેક્ટોરિયલ વડે ભાગવાનું ભૂલશો નહીં. "સાથે હોય" તેવી શરતોમાં, તે ઘટકોને એક એકમ ગણો.