GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Exercise 3.5

કોઈ પણ ત્રિકોણ ABC માટે જો \( a = 18, b = 24, c = 30 \) તો નીચેનાં મૂલ્ય શોધો. (પ્રશ્ન 1 તથા 2)

Question 1. cos A, cos B, cos C
Answer: અહીં, ABC ત્રિકોણમાં \( a = 18, b = 24, c = 30 \) આપેલા છે.
\( \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \)
\( = \frac{(24)^2 + (30)^2-(18)^2}{2 (24)(30)} \)
\( = \frac{576+900-324}{1440} \)
\( = \frac{1152}{1440} = \frac{4}{5} \)
\( \cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \)
\( = \frac{(30)^2+(18)^2-(24)^2}{2 (30)(18)} \)
\( = \frac{900+324-576}{1080} \)
\( = \frac{648}{1080} = \frac{3}{5} \)
\( \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \)
\( = \frac{(18)^2 + (24)^2 - (30)^2}{2(18)(24)} \)
\( = \frac{324+576-900}{864} = \frac{0}{864} = 0 \)
In simple words: ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈઓનો ઉપયોગ કરીને, આપણે કોસાઇન નિયમ દ્વારા દરેક ખૂણા A, B, અને C માટે કોસાઇન મૂલ્યની ગણતરી કરીએ છીએ. આ સૂત્ર બાજુઓની લંબાઈઓને ખૂણાના કોસાઇન સાથે જોડે છે.

Exam Tip: Remember the cosine rule formula for each angle (`cos A`, `cos B`, `cos C`) and substitute the given side lengths carefully. Ensure correct squaring and arithmetic operations.

Question 2. sin A, sin B, sin C
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \), તેથી \( \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} \)
\( \sin A = \sqrt{1-\cos^2 A} = \sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25-16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \)
\( \sin B = \sqrt{1-\cos^2 B} = \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25-9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \)
\( \sin C = \sqrt{1-\cos^2 C} = \sqrt{1-0^2} = \sqrt{1} = 1 \)
In simple words: કોસાઇન મૂલ્યો મેળવ્યા પછી, આપણે જાણીતા ત્રિકોણમિતિય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને દરેક ખૂણા માટે સાઇન મૂલ્યો સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ. આ રીતે આપણે ખૂણાઓના સાઇન શોધી કાઢીએ છીએ.

Exam Tip: After finding the cosine values, use the identity \( \sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta} \) to find the sine values. Remember that for angles in a triangle, sine values are always positive.

Question 3. \( \frac{a+b}{c}=\frac{\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)}{\sin \frac{C}{2}} \)
Answer: ત્રિકોણના સાઇન નિયમ પ્રમાણે,
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k \)
\( \implies a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C \)

ડા.બા. \( = \frac{a+b}{c} \)
\( = \frac{k \sin A + k \sin B}{k \sin C} \)
\( = \frac{\sin A + \sin B}{\sin C} \)
\( = \frac{2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)}{2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમાં \( A+B+C = \pi \), તેથી \( \frac{A+B}{2} = \frac{\pi - C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} \)
\( \implies \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \cos \frac{C}{2} \)

\( = \frac{2 \cos \frac{C}{2} \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)}{2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}} \)
\( = \frac{\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)}{\sin \frac{C}{2}} \)
\( = \) જ.બા.
In simple words: આપણે સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને a, b, c ને ખૂણાઓના સાઇનમાં બદલીએ છીએ. પછી સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રો અને ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ડાબી બાજુને જમણી બાજુ જેટલી સાબિત કરીએ છીએ.

Exam Tip: For proving trigonometric identities in a triangle, always start by applying the sine rule to express sides in terms of sines of angles. Then use sum-to-product formulas and the property \( A+B+C=\pi \).

Question 4. \( \frac{a-b}{c}=\frac{\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)}{\cos \frac{\mathrm{C}}{2}} \)
Answer: ત્રિકોણના સાઇન નિયમ મુજબ,
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k \)
\( \implies a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C \)

ડા.બા. \( = \frac{a-b}{c} \)
\( = \frac{k \sin A - k \sin B}{k \sin C} \)
\( = \frac{\sin A - \sin B}{\sin C} \)
\( = \frac{2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)}{2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમાં \( A+B+C = \pi \), તેથી \( \frac{A+B}{2} = \frac{\pi - C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} \)
\( \implies \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \sin \frac{C}{2} \)

\( = \frac{2 \sin \frac{C}{2} \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)}{2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}} \)
\( = \frac{\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)}{\cos \frac{C}{2}} \)
\( = \) જ.બા.
In simple words: પાછલા પ્રશ્નની જેમ, આપણે સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને a, b, c ને ખૂણાઓના સાઇનમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. પછી તફાવત-ગુણાકારના સૂત્રો અને ખૂણાઓના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ડાબી બાજુને જમણી બાજુ જેટલી સાબિત કરીએ છીએ.

Exam Tip: Pay attention to the sign change when dealing with \( \sin(A-B) \) versus \( \cos(A-B) \). Use the correct sum-to-product or difference-to-product formula for \( \sin A - \sin B \).

Question 5. \( \sin\left(\frac{B-C}{2}\right)=\left(\frac{b-c}{a}\right)\cos\frac{A}{2} \)
Answer: સાઇન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k \)
\( \implies a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C \)

જ.બા. \( = \frac{b-c}{a} \cos \frac{A}{2} \)
\( = \frac{k \sin B - k \sin C}{k \sin A} \cos \frac{A}{2} \)
\( = \frac{\sin B - \sin C}{\sin A} \cos \frac{A}{2} \)
\( = \frac{2 \cos \left(\frac{B+C}{2}\right) \sin \left(\frac{B-C}{2}\right)}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} \cos \frac{A}{2} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમાં \( A+B+C = \pi \), તેથી \( \frac{B+C}{2} = \frac{\pi - A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} \)
\( \implies \cos \left(\frac{B+C}{2}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}\right) = \sin \frac{A}{2} \)

\( = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \sin \left(\frac{B-C}{2}\right)}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} \cos \frac{A}{2} \)
\( = \frac{\sin \left(\frac{B-C}{2}\right)}{\cos \frac{A}{2}} \cos \frac{A}{2} \)
\( = \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \)
\( = \) ડા.બા.
In simple words: આ પ્રશ્નને સાબિત કરવા માટે, આપણે સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને જમણી બાજુથી શરૂઆત કરીએ છીએ. પછી આપણે સાઇન અને કોસાઇન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, તેમજ ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તેને ડાબી બાજુના સમકક્ષ બનાવીએ છીએ.

Exam Tip: When \( \cos \frac{A}{2} \) is part of the expression, remember that \( \sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \) can be helpful for simplification. Also, always leverage \( A+B+C=\pi \).

Question 6. \( a (b \cos C – c \cos B) = b^2 – c^2 \)
Answer: ડા.બા. \( = a (b \cos C - c \cos B) \)
\( = ab \cos C - ac \cos B \)
કોસાઇન સૂત્ર અનુસાર, \( \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \) અને \( \cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \)
\( = ab \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right) - ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right) \)
\( = \frac{a^2+b^2-c^2}{2} - \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \)
\( = \frac{1}{2} (a^2+b^2-c^2 - (a^2+c^2-b^2)) \)
\( = \frac{1}{2} (a^2+b^2-c^2 - a^2-c^2+b^2) \)
\( = \frac{1}{2} (2b^2 - 2c^2) \)
\( = b^2-c^2 \)
\( = \) જ.બા.
In simple words: આપણે ડાબી બાજુથી શરૂઆત કરીએ છીએ અને દરેક કોસાઇન પદને બાજુઓની લંબાઈના સંદર્ભમાં કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને બદલીએ છીએ. પછી બીજગણિતીય ગણતરી કરીને તેને સરળ બનાવીએ છીએ, જે અંતે જમણી બાજુના સમાન બની જાય છે.

Exam Tip: This type of proof directly uses the cosine rule for the angles. Remember to expand the terms carefully and correctly apply the cosine rule for each angle.

Question 7. \( a (\cos C − \cos B) = 2 (b − c) \cos^2\frac{A}{2} \)
Answer: સાઇન નિયમ મુજબ,
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k \)
\( \implies a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C \)

ડા.બા. \( = a (\cos C - \cos B) \)
\( = k \sin A \left(2 \sin \left(\frac{B+C}{2}\right) \sin \left(\frac{B-C}{2}\right)\right) \)
\( = k (2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}) \left(2 \sin \left(\frac{B+C}{2}\right) \sin \left(\frac{B-C}{2}\right)\right) \)
ત્રિકોણમાં \( A+B+C = \pi \), તેથી \( \frac{B+C}{2} = \frac{\pi - A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} \)
\( \implies \sin \left(\frac{B+C}{2}\right) = \cos \frac{A}{2} \)

\( = 4k \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \left(\cos \frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \)
\( = 4k \sin \frac{A}{2} \cos^2 \frac{A}{2} \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin \frac{A}{2} = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}\right) = \cos \left(\frac{B+C}{2}\right) \)
અહીં, ઉપરોક્ત ગણતરી થોડી લાંબી બને છે. વૈકલ્પિક રીતે જમણી બાજુથી શરૂ કરીએ.
જ.બા. \( = 2 (b - c) \cos^2 \frac{A}{2} \)
\( = 2 (k \sin B - k \sin C) \cos^2 \frac{A}{2} \)
\( = 2k (\sin B - \sin C) \cos^2 \frac{A}{2} \)
\( = 2k \left(2 \cos \left(\frac{B+C}{2}\right) \sin \left(\frac{B-C}{2}\right)\right) \cos^2 \frac{A}{2} \)
\( = 4k \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \cos^2 \frac{A}{2} \)
\( = 4k \sin \frac{A}{2} \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \cos^2 \frac{A}{2} \)
\( = k (2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}) (2 \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \cos \frac{A}{2}) \)
\( = k \sin A (2 \sin \left(\frac{B-C}{2}\right) \cos \frac{A}{2}) \)
\( = k \sin A (\cos C - \cos B) \)
\( = a (\cos C - \cos B) \)
\( = \) ડા.બા.
In simple words: આ સાબિતીમાં, આપણે જમણી બાજુથી શરૂઆત કરીએ છીએ અને બાજુઓને સાઇન નિયમ દ્વારા બદલીએ છીએ. પછી આપણે સાઇન અને કોસાઇનના સૂત્રો, તેમજ ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને તેને ડાબી બાજુના સમકક્ષ બનાવીએ છીએ.

Exam Tip: For complex identities, sometimes it is easier to simplify one side to match the other, or to simplify both sides to a common expression. Often, converting all terms to \( \frac{A}{2}, \frac{B}{2}, \frac{C}{2} \) form is helpful.

Question 8. \( \frac{\sin (B-C)}{\sin (B+C)}=\frac{b^2-c^2}{a^2} \)
Answer: ત્રિકોણના સાઇન નિયમ અનુસાર,
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k \)
\( \implies a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C \)

જ.બા. \( = \frac{b^2-c^2}{a^2} \)
\( = \frac{(k \sin B)^2 - (k \sin C)^2}{(k \sin A)^2} \)
\( = \frac{k^2 \sin^2 B - k^2 \sin^2 C}{k^2 \sin^2 A} \)
\( = \frac{\sin^2 B - \sin^2 C}{\sin^2 A} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin^2 X - \sin^2 Y = \sin(X-Y)\sin(X+Y) \)
\( = \frac{\sin(B-C)\sin(B+C)}{\sin^2 A} \)
ત્રિકોણમાં \( A+B+C = \pi \), તેથી \( A = \pi - (B+C) \)
\( \implies \sin A = \sin(\pi - (B+C)) = \sin(B+C) \)
\( \implies \sin^2 A = \sin^2(B+C) \)

\( = \frac{\sin(B-C)\sin(B+C)}{\sin^2(B+C)} \)
\( = \frac{\sin(B-C)}{\sin(B+C)} \)
\( = \) ડા.બા.
In simple words: આ સાબિતી માટે, આપણે જમણી બાજુથી શરૂ કરીએ છીએ. બાજુઓને સાઇન નિયમ દ્વારા ખૂણાઓના સાઇનમાં બદલીએ છીએ. પછી \( \sin^2 X - \sin^2 Y \) સૂત્ર અને \( A+B+C = \pi \) ના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તેને સરળ બનાવીને ડાબી બાજુના સમાન લાવીએ છીએ.

Exam Tip: The identity \( \sin^2 X - \sin^2 Y = \sin(X-Y)\sin(X+Y) \) is crucial here. Also, remember to substitute \( \sin A = \sin(B+C) \) due to the angle sum property of a triangle.

Question 9. \( (b + c) \cos\left(\frac{B+C}{2}\right) = a \cos\left(\frac{B-C}{2}\right) \)
Answer: સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k \)
\( \implies a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C \)

ડા.બા. \( = (b + c) \cos \left(\frac{B+C}{2}\right) \)
\( = (k \sin B + k \sin C) \cos \left(\frac{B+C}{2}\right) \)
\( = k (\sin B + \sin C) \cos \left(\frac{B+C}{2}\right) \)
\( = k \left(2 \sin \left(\frac{B+C}{2}\right) \cos \left(\frac{B-C}{2}\right)\right) \cos \left(\frac{B+C}{2}\right) \)
\( = k \left(2 \sin \left(\frac{B+C}{2}\right) \cos \left(\frac{B+C}{2}\right)\right) \cos \left(\frac{B-C}{2}\right) \)
\( = k \sin(B+C) \cos \left(\frac{B-C}{2}\right) \)
ત્રિકોણમાં \( A+B+C = \pi \), તેથી \( B+C = \pi - A \)
\( \implies \sin(B+C) = \sin(\pi - A) = \sin A \)

\( = k \sin A \cos \left(\frac{B-C}{2}\right) \)
\( = a \cos \left(\frac{B-C}{2}\right) \)
\( = \) જ.બા.
In simple words: આ સાબિતી માટે, આપણે ડાબી બાજુથી શરૂઆત કરીએ છીએ. બાજુઓ b અને c ને સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને બદલીએ છીએ. પછી સાઇન સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પદોને સરળ બનાવીએ છીએ અને ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અંતિમ પદ a માં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ.

Exam Tip: Recognize that \( 2 \sin X \cos X = \sin(2X) \). This identity, along with the sum-to-product formula for \( \sin B + \sin C \), is key. Also, \( \sin(B+C) = \sin A \) is a frequently used property.

Question 10. \( a \cos A+ b \cos B + c \cos C = 2a \sin B \sin C \)
Answer: ત્રિકોણના સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીએ તો,
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k \)
\( \implies a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C \)

ડા.બા. \( = a \cos A + b \cos B + c \cos C \)
\( = k \sin A \cos A + k \sin B \cos B + k \sin C \cos C \)
\( = \frac{k}{2} (2 \sin A \cos A + 2 \sin B \cos B + 2 \sin C \cos C) \)
\( = \frac{k}{2} (\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C) \)
\( = \frac{k}{2} [2 \sin(A+B)\cos(A-B) + \sin 2C] \)
ત્રિકોણમાં \( A+B+C = \pi \), તેથી \( A+B = \pi - C \)
\( \implies \sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C \)

\( = \frac{k}{2} [2 \sin C \cos(A-B) + 2 \sin C \cos C] \)
\( = \frac{k}{2} [2 \sin C (\cos(A-B) + \cos C)] \)
\( = k \sin C [\cos(A-B) + \cos(\pi - (A+B))] \)
\( = k \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)] \)
\( = k \sin C [2 \sin A \sin B] \)
\( = 2k \sin A \sin B \sin C \)
\( = 2(k \sin A) \sin B \sin C \)
\( = 2a \sin B \sin C \)
\( = \) જ.બા.
In simple words: આપણે ડાબી બાજુથી શરૂ કરીને, બાજુઓને સાઇન નિયમ દ્વારા બદલીએ છીએ. પછી \( \sin 2X \) અને \( \sin X + \sin Y \) જેવા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, તેમજ \( A+B+C = \pi \) ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને પદોને સરળ બનાવીએ છીએ. અંતે, તેને જમણી બાજુના સમાન બતાવીએ છીએ.

Exam Tip: This is a classic proof. Remember to convert \( \sin 2A + \sin 2B \) using \( 2 \sin(A+B)\cos(A-B) \) and then use \( A+B = \pi-C \) repeatedly. The identity \( \cos(X-Y) - \cos(X+Y) = 2 \sin X \sin Y \) is also key.

Question 11. \( \frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2 a b c} \)
Answer: ડા.બા. \( = \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} \)
કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને,
\( \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \)
\( \cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \)
\( \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \)

\( = \frac{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}{a} + \frac{\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)}{b} + \frac{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}{c} \)
\( = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} + \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc} \)
\( = \frac{(b^2+c^2-a^2) + (a^2+c^2-b^2) + (a^2+b^2-c^2)}{2abc} \)
\( = \frac{b^2+c^2-a^2+a^2+c^2-b^2+a^2+b^2-c^2}{2abc} \)
\( = \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc} \)
\( = \) જ.બા.
In simple words: આપણે ડાબી બાજુથી શરૂ કરીએ છીએ. દરેક કોસાઇન પદને બાજુઓની લંબાઈના સંદર્ભમાં કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને બદલીએ છીએ. પછી બધા પદોનો છેદ 2abc કરી, અંશમાં પદોનો સરવાળો કરીએ છીએ, જે જમણી બાજુના સમાન બની જાય છે.

Exam Tip: This proof is a direct application of the cosine rule. The key is to write each cosine term in terms of the sides and then find a common denominator for all terms.

Question 12. \( (b^2 – c^2) \cot A + (c^2 – a^2) \cot B + (a^2 – b^2) \cot C = 0 \)
Answer: **પદ્ધતિ 1:**
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને,
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k \)
\( \implies a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C \)

આપણે (b² – c²) cot A પદને લઈએ તો,
\( (b^2 – c^2) \cot A \)
\( = ( (k \sin B)^2 – (k \sin C)^2 ) \frac{\cos A}{\sin A} \)
\( = k^2 (\sin^2 B – \sin^2 C) \frac{\cos A}{\sin A} \)
\( = k^2 (\sin(B-C)\sin(B+C)) \frac{\cos A}{\sin A} \)
ત્રિકોણમાં \( A+B+C = \pi \), તેથી \( B+C = \pi - A \)
\( \implies \sin(B+C) = \sin(\pi - A) = \sin A \)

\( = k^2 (\sin(B-C)\sin A) \frac{\cos A}{\sin A} \)
\( = k^2 \sin(B-C) \cos A \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos A = \cos(\pi - (B+C)) = -\cos(B+C) \)
\( = k^2 \sin(B-C) (-\cos(B+C)) \)
\( = -k^2 \sin(B-C) \cos(B+C) \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( 2 \sin X \cos Y = \sin(X+Y) + \sin(X-Y) \) અને \( 2 \sin X \cos X = \sin(2X) \).
\( \sin(B-C)\cos(B+C) = \frac{1}{2} (\sin(B-C+B+C) + \sin(B-C-B-C)) \)
\( = \frac{1}{2} (\sin(2B) + \sin(-2C)) = \frac{1}{2} (\sin(2B) - \sin(2C)) \)
\( = -k^2 \frac{1}{2} (\sin(2B) - \sin(2C)) \)
\( = \frac{k^2}{2} (\sin(2C) - \sin(2B)) \) ... (1)

તે જ રીતે,
\( (c^2 – a^2) \cot B = \frac{k^2}{2} (\sin(2A) - \sin(2C)) \) ... (2)
અને
\( (a^2 – b^2) \cot C = \frac{k^2}{2} (\sin(2B) - \sin(2A)) \) ... (3)

આ બધા પદોનો સરવાળો કરતા, ડા.બા. \( = (1) + (2) + (3) \)
\( = \frac{k^2}{2} [\sin(2C) - \sin(2B) + \sin(2A) - \sin(2C) + \sin(2B) - \sin(2A)] \)
\( = \frac{k^2}{2} [0] = 0 \)
\( = \) જ.બા.

**વૈકલ્પિક રીત:**
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને,
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k \)
\( \implies a = k \sin A, b = k \sin B, c = k \sin C \)

ડા.બા. \( = (b^2 – c^2) \cot A + (c^2 – a^2) \cot B + (a^2 – b^2) \cot C \)
\( = (k^2 \sin^2 B – k^2 \sin^2 C) \frac{\cos A}{\sin A} + (k^2 \sin^2 C – k^2 \sin^2 A) \frac{\cos B}{\sin B} + (k^2 \sin^2 A – k^2 \sin^2 B) \frac{\cos C}{\sin C} \)
\( = k^2 \left[ (\sin^2 B - \sin^2 C) \frac{\cos A}{\sin A} + (\sin^2 C - \sin^2 A) \frac{\cos B}{\sin B} + (\sin^2 A - \sin^2 B) \frac{\cos C}{\sin C} \right] \)
કોસાઇન નિયમ મુજબ, \( \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \). સાઇન નિયમથી \( \sin A = \frac{a}{k} \)
તેથી \( \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{k(b^2+c^2-a^2)}{2abc} \)

\( = k^2 \left[ ( \frac{b^2}{k^2} - \frac{c^2}{k^2} ) \frac{k(b^2+c^2-a^2)}{2abc} + \dots \right] \) આ રીતે ગણતરી આગળ વધે છે.
\( = \frac{k^2}{k^2} \frac{k}{2abc} [ (b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2) + (c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2) + (a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2) ] \)
\( = \frac{1}{2abc} [ (b^4 + b^2c^2 - a^2b^2 - c^4 - c^2b^2 + a^2c^2) + (c^4 + c^2a^2 - b^2c^2 - a^4 - a^2c^2 + b^2a^2) + (a^4 + a^2b^2 - c^2a^2 - b^4 - b^2a^2 + c^2b^2) ] \)
વિકસાવતા, બધા પદો રદ થાય છે.
\( = \frac{1}{2abc} [0] \)
\( = 0 \)
\( = \) જ.બા.
In simple words: આ લાંબી સાબિતીમાં, આપણે સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓને ખૂણાના સાઇનમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ અને પછી \( \sin^2 X - \sin^2 Y \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દરેક પદને સરળ બનાવીએ છીએ. બધા પદોનો સરવાળો કરતા, તેઓ એકબીજાને રદ કરીને શૂન્ય આપે છે. બીજી રીતમાં કોસાઇન નિયમ અને સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને પદોને લંબાઈના ગુણાકારમાં ફેરવીને શૂન્ય મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: This proof can be lengthy. Method 1 requires careful application of \( \sin^2 B - \sin^2 C \) and angle sum properties. Method 2 involves algebraic expansion of products of terms, which cancel out. Choose the method you are most comfortable with and practice the algebra.

Question 13. \( \left(\frac{b^2-c^2}{a^2}\right) \sin 2A + \left(\frac{c^2-a^2}{b^2}\right) \sin 2B + \left(\frac{a^2-b^2}{c^2}\right)\sin 2C = 0 \)
Answer: ડા.બા. \( = \left(\frac{b^2-c^2}{a^2}\right) \sin 2A + \left(\frac{c^2-a^2}{b^2}\right) \sin 2B + \left(\frac{a^2-b^2}{c^2}\right)\sin 2C \)
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને, \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k \)
\( \implies \sin A = \frac{a}{k}, \sin B = \frac{b}{k}, \sin C = \frac{c}{k} \)
અને \( \sin 2A = 2 \sin A \cos A, \sin 2B = 2 \sin B \cos B, \sin 2C = 2 \sin C \cos C \)

દરેક પદમાં કિંમતો મૂકતા:
પ્રથમ પદ: \( \left(\frac{b^2-c^2}{a^2}\right) (2 \sin A \cos A) \)
\( = \left(\frac{b^2-c^2}{a^2}\right) \left(2 \frac{a}{k} \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) \)
\( = \left(\frac{b^2-c^2}{a^2}\right) \left(\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{kbc}\right) \)
\( = \frac{(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)}{akbc} \)

આ જ રીતે, બીજા અને ત્રીજા પદો માટે:
બીજું પદ: \( \left(\frac{c^2-a^2}{b^2}\right) \sin 2B = \frac{(c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)}{bkac} \)
ત્રીજું પદ: \( \left(\frac{a^2-b^2}{c^2}\right) \sin 2C = \frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}{clab} \)

ડા.બા. \( = \frac{1}{akbc} [ (b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2) + (c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2) + (a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2) ] \)
નોંધ લો કે ચોરસ કૌંસમાં રહેલા પદોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે (જે પ્રશ્ન 12 માં દર્શાવેલ છે).
\( = \frac{1}{akbc} [0] = 0 \)
\( = \) જ.બા.
In simple words: આપણે ડાબી બાજુથી શરૂ કરીને, બાજુઓને સાઇન નિયમ દ્વારા અને \( \sin 2X \) ને \( 2 \sin X \cos X \) દ્વારા બદલીએ છીએ. પછી કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને \( \cos A, \cos B, \cos C \) ને પણ બાજુઓના સંદર્ભમાં લખીએ છીએ. આના પરિણામે મળતા પદોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે, જેમ પાછલા પ્રશ્નમાં સાબિત થયું હતું.

Exam Tip: This problem is very similar to Question 12. Recognize the pattern in the terms. Substitute \( \sin 2A = 2 \sin A \cos A \), then apply the sine rule and cosine rule for each term. The algebraic cancellation is the final step.

Question 14. એક ટેકરી પર શિરોલંબ દિશામાં એક વૃક્ષ ઊભું છે. તે ક્ષિતિજ સાથે 15નો ખૂણો બનાવે છે. ટેકરી પરના વૃક્ષના તળિયેથી 35 મી નીચે આવેલા મેદાનના એક બિંદુએથી જોતાં વૃક્ષની ટોચનો ઉત્સેધકોણ 60° માલૂમ પડે છે. વૃક્ષની ઊંચાઈ શોધો.
Answer: અહીં, આપેલી આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ, વૃક્ષ BC છે. વૃક્ષના તળિયેથી ટેકરીના ઢાળ પર 35 મીટર દૂર એક બિંદુ P છે. વૃક્ષની ઊંચાઈને h મીટર માનીએ.


અહીં, \( \angle APB = 15^\circ \) અને \( \angle APC = 60^\circ \) આપેલ છે.
તેથી, \( \angle BPC = \angle APC - \angle APB = 60^\circ - 15^\circ = 45^\circ \)
ઝાડ BC ટેકરીના ઢોળાવ (PB) પર ઊભું છે, અને ટેકરીનો ઢાળ ક્ષિતિજ સાથે \( 15^\circ \) નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી, \( \angle CBP = 90^\circ + 15^\circ = 105^\circ \)
હવે, ત્રિકોણ \( \triangle PBC \) માં,
\( \angle BCP = 180^\circ - (\angle BPC + \angle CBP) = 180^\circ - (45^\circ + 105^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \)

સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,
\( \frac{BC}{\sin(\angle BPC)} = \frac{PB}{\sin(\angle BCP)} \)
\( \frac{h}{\sin 45^\circ} = \frac{35}{\sin 30^\circ} \)
\( h = 35 \times \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} \)
\( h = 35 \times \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} \)
\( h = 35 \times \frac{2}{\sqrt{2}} \)
\( h = 35\sqrt{2} \)
આમ, વૃક્ષની ઊંચાઈ \( 35\sqrt{2} \) મીટર છે.
In simple words: આપણે આપેલા ખૂણાઓ અને અંતરનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણ બનાવીએ છીએ. પછી, ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાનો નિયમ અને સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને વૃક્ષની ઊંચાઈ શોધીએ છીએ. આ રીતે આપણે ભૂમિતિ અને ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરીએ છીએ.

Exam Tip: For problems involving angles of elevation/depression and slopes, draw a clear diagram. Correctly identify the internal angles of the relevant triangle using the given information and then apply the sine rule or cosine rule.

Question 15. બે જહાજ એકસાથે બંદર છોડે છે. એક જહાજ 24 કિમી / કલાકની ઝડપે ઈશાન દિશામાં અને બીજું 32 કિમી / કલાકની ઝડપે દક્ષિણથી પૂર્વ દિશા સાથે 75ના ખૂણે જાય છે. ત્રણ કલાક પછી બંને જહાજ વચ્ચેનું ગાંતર શોધો
Answer: માની લો કે, ત્રણ કલાક પછી જહાજ A અને જહાજ B બિંદુઓ પર પહોંચે છે. બંદરને O તરીકે દર્શાવીએ.


જહાજ A ઈશાન દિશામાં જાય છે, જે ઉત્તર દિશાથી \( 45^\circ \) નો ખૂણો બનાવે છે, તેથી \( \angle NOA = 45^\circ \).
જહાજ B દક્ષિણથી પૂર્વ તરફ \( 75^\circ \) નો ખૂણો બનાવે છે, તેથી \( \angle SOB = 75^\circ \).

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,
\( \angle AOB = \angle NOE - \angle NOA - \angle SOB \)
\( \angle AOB = 90^\circ - 45^\circ - (90^\circ - 75^\circ) \)
\( \angle AOB = 90^\circ - 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ \).
વૈકલ્પિક રીતે,
\( \angle AOE = 90^\circ - \angle NOA = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \)
\( \angle BOE = 90^\circ - \angle SOB = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ \)
તેથી, \( \angle AOB = \angle AOE + \angle BOE = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ \)

જહાજ A ની ગતિ 24 કિમી/કલાક છે. ત્રણ કલાકમાં કાપેલું અંતર \( OA = 24 \times 3 = 72 \) કિમી.
જહાજ B ની ગતિ 32 કિમી/કલાક છે. ત્રણ કલાકમાં કાપેલું અંતર \( OB = 32 \times 3 = 96 \) કિમી.

ધારો કે ત્રણ કલાક પછી બંને જહાજો વચ્ચેનું અંતર x કિમી છે, એટલે કે \( AB = x \).
ત્રિકોણ \( \triangle AOB \) માં કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,
\( AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 (OA)(OB) \cos(\angle AOB) \)
\( x^2 = (72)^2 + (96)^2 - 2 (72)(96) \cos 60^\circ \)
\( x^2 = 5184 + 9216 - 2 (72)(96) \left(\frac{1}{2}\right) \)
\( x^2 = 14400 - 6912 \)
\( x^2 = 7488 \)
\( x = \sqrt{7488} \)
\( x \approx 86.5 \) કિમી (આશરે)
આમ, ત્રણ કલાક પછી બંને જહાજો વચ્ચેનું અંતર આશરે 86.5 કિમી હશે.
In simple words: જહાજોની ગતિ અને સમયનો ઉપયોગ કરીને આપણે દરેક જહાજે કાપેલું અંતર શોધીએ છીએ. પછી, દિશાઓમાંથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો નક્કી કરીએ છીએ. અંતે, કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને જહાજ વચ્ચેનું અંતર શોધીએ છીએ.

Exam Tip: Always start by drawing a compass rose and plotting the directions and distances. Calculate the distances travelled by each object. The key is to correctly find the angle between their paths using geometry, then apply the cosine rule.

Question 16. નદીની એક જ બાજુએ બે વૃક્ષ A અને B આવેલાં છે. નદીમાંના બિંદુ Cથી વૃક્ષ A અને B વૃક્ષનાં અંતર 250 મીટર અને 300 મીટર છે. જો ખૂણો C એ 45નો હોય, તો તે બે વૃક્ષ વચ્ચેનું અંતર શોધો. (√2 = 1.44)
Answer: માની લઈએ કે, બે વૃક્ષ A અને B વચ્ચેનું અંતર x મીટર છે.


અહીં, \( CA = 250 \) મીટર, \( CB = 300 \) મીટર અને \( \angle C = 45^\circ \) આપેલ છે.
વૃક્ષ A અને B વચ્ચેનું અંતર x શોધવા માટે, ત્રિકોણ \( \triangle ABC \) માં કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,
\( AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2 (CA)(CB) \cos C \)
\( x^2 = (250)^2 + (300)^2 - 2 (250)(300) \cos 45^\circ \)
\( x^2 = 62500 + 90000 - 2 (250)(300) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)
\( x^2 = 152500 - \frac{150000}{\sqrt{2}} \)
\( x^2 = 152500 - \frac{150000}{1.414} \) (કારણ કે \( \sqrt{2} \approx 1.414 \))
\( x^2 = 152500 - 106082.04 \)
\( x^2 = 46417.96 \)
\( x = \sqrt{46417.96} \)
\( x \approx 215.45 \) મીટર
આમ, બે વૃક્ષો વચ્ચેનું અંતર લગભગ 215.5 મીટર હશે.
In simple words: આપણે જાણીતી બાજુઓ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાનો ઉપયોગ કરીને કોસાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આનાથી આપણે ખૂણા C ની સામેની બાજુ x ની લંબાઈની ગણતરી કરી શકીએ છીએ, જે બંને વૃક્ષો વચ્ચેનું અંતર છે.

Exam Tip: When two sides and the included angle (SAS) are given in a triangle, use the cosine rule to find the length of the third side. Be careful with calculations involving square roots.

Question 16. નદીની એક જ બાજુએ બે વૃક્ષ A અને B આવેલાં છે. નદીમાંના બિંદુ Cથી વૃક્ષ A અને B વૃક્ષનાં અંતર ₹250 મીટર અને ₹300 મીટર છે. જો ખૂણો C એ 45નો હોય, તો તે બે વૃક્ષ વચ્ચેનું અંતર શોધો. (\( \sqrt{2} = 1.44 \))
Answer: ધારો કે, ત્રણ કલાક પછી જહાજ અનુક્રમે બિંદુ A અને B આગળ છે. આકૃતિ પરથી, \( \angle NOA = 45^\circ \) અને \( \angle SOB = 75^\circ \) છે. આથી, \( \angle AOB = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ \) થાય. જહાજ Aની ઝડપ 24 કિમી/કલાક અને જહાજ Bની ઝડપ 32 કિમી/કલાક છે.
તેથી, \( OA = 24 \times 3 = 72 \) અને \( OB = 32 \times 3 = 96 \) થાય.
ધારો કે, ત્રણ કલાક પછી બંને જહાજો વચ્ચેનું અંતર \( x \) કિમી છે.
આથી, \( AB = x \).
કોસાઇન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં:
\( \cos \angle AOB = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2 \times OA \times OB} \)
\( \cos 60^\circ = \frac{72^2 + 96^2 - x^2}{2 \times 72 \times 96} \)
\( \frac{1}{2} = \frac{5184 + 9216 - x^2}{13824} \)
\( \frac{1}{2} = \frac{14400 - x^2}{13824} \)
\( 13824 = 2(14400 - x^2) \)
\( 13824 = 28800 - 2x^2 \)
\( 2x^2 = 28800 - 13824 \)
\( 2x^2 = 14976 \)
\( x^2 = \frac{14976}{2} \)
\( x^2 = 7488 \)
\( x \approx 86.5 \) (આશરે)
આમ, ત્રણ કલાક પછી બંને જહાજો વચ્ચેનું અંતર લગભગ 86.5 કિમી હશે.
In simple words: ત્રણ કલાક પછી, પહેલા જહાજે 72 કિમી અને બીજા જહાજે 96 કિમીનું અંતર કાપ્યું. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો 60 ડિગ્રી હતો. કોસાઇન નિયમ વાપરીને, તેમની વચ્ચેનું અંતર આશરે 86.5 કિમી મળે છે.

Exam Tip: Always draw a clear diagram for such navigation problems, properly marking angles and distances to visualize the problem better before applying trigonometric formulas.

Question 16. નદીની એક જ બાજુએ બે વૃક્ષ A અને B આવેલાં છે. નદીમાંના બિંદુ Cથી વૃક્ષ A અને B વૃક્ષનાં અંતર 250 મીટર અને 300 મીટર છે. જો ખૂણો C એ 45નો હોય, તો તે બે વૃક્ષ વચ્ચેનું અંતર શોધો. (\( \sqrt{2} = 1.44 \))
Answer: ધારો કે, બે વૃક્ષ A અને B વચ્ચેનું અંતર \( x \) મીટર છે.
આથી, \( AB = x \).
આપેલ છે કે \( CA = 250 \) મીટર, \( CB = 300 \) મીટર અને \( \angle C = 45^\circ \).
કોસાઇન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં:
\( \cos C = \frac{CA^2 + CB^2 - x^2}{2 \times CA \times CB} \)
\( \cos 45^\circ = \frac{(250)^2 + (300)^2 - x^2}{2 \times 250 \times 300} \)
\( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{62500 + 90000 - x^2}{150000} \)
\( \frac{1}{1.414} = \frac{152500 - x^2}{150000} \)
\( 150000 = 1.414(152500 - x^2) \)
\( 150000 = 215585 - 1.414x^2 \)
\( 1.414x^2 = 215585 - 150000 \)
\( 1.414x^2 = 65585 \)
\( x^2 = \frac{65585}{1.414} \)
\( x^2 \approx 46382.5 \) (આશરે)
\( x \approx \sqrt{46382.5} \)
\( x \approx 215.36 \) (આશરે)
આમ, બે વૃક્ષ વચ્ચેનું અંતર લગભગ 215.36 મીટર હશે.
In simple words: બે વૃક્ષો અને એક બિંદુ વચ્ચે ત્રિકોણ બને છે. આપણને બે બાજુઓની લંબાઈ (250m, 300m) અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો (45°) આપ્યો છે. કોસાઇન નિયમ વાપરીને, આપણે ત્રીજી બાજુની લંબાઈ (બે વૃક્ષો વચ્ચેનું અંતર) આશરે 215.36 મીટર શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: When using the cosine rule, make sure to correctly substitute the side lengths and angle. Pay attention to calculations involving square roots and decimals, especially if an approximate value is given for \( \sqrt{2} \).