GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Exercise 3.4

આપેલ સમીકરણના મુખ્ય અને વ્યાપક ઉકેલ શોધો : (પ્રશ્ન 1થી 4)

Question 1. tan x = \( \sqrt{3} \)
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે, \( \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).
ઉપરાંત, \( \tan (\pi + \theta) = \tan \theta \) હોવાથી, \( \tan (\pi + \frac{\pi}{3}) = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \).
તેથી, \( \tan \frac{\pi}{3} = \tan \frac{4\pi}{3} \).
આનાથી, મુખ્ય ઉકેલો \( x = \frac{\pi}{3} \) અને \( x = \frac{4\pi}{3} \) થાય છે.
હવે, \( \tan x = \tan \alpha \) ના વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર \( x = n\pi + \alpha, n \in Z \) છે.
અહીં \( \tan x = \sqrt{3} \) છે, એટલે કે \( \tan x = \tan \frac{\pi}{3} \).
આથી, વ્યાપક ઉકેલ \( x = n\pi + \frac{\pi}{3}, n \in Z \) મળે છે.
In simple words: આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan (\frac{\pi}{3}) \) નું મૂલ્ય \( \sqrt{3} \) છે. \( \tan \) વિધેય માટે \( \tan (\pi + \theta) = \tan \theta \) હોવાથી, \( \tan (\pi + \frac{\pi}{3}) \) પણ \( \sqrt{3} \) થાય છે. આમ, મુખ્ય ઉકેલ \( \frac{\pi}{3} \) અને \( \frac{4\pi}{3} \) છે. \( \tan x = \tan \alpha \) માટે વ્યાપક ઉકેલ \( x = n\pi + \alpha \) હોય છે, તેથી \( x = n\pi + \frac{\pi}{3} \) આપણો વ્યાપક ઉકેલ છે.

Exam Tip: \( \tan \) વિધેય માટે મુખ્ય ઉકેલો \( [0, 2\pi] \) અંતરાલમાં શોધતી વખતે, પ્રથમ અને તૃતીય ચરણમાં વિધેયનું મૂલ્ય સકારાત્મક હોય છે તે યાદ રાખો.

Question 2. sec x = 2
Answer: અહીં, \( \sec x = 2 \),
\[ \implies \cos x = \frac{1}{2} \] આપણે જાણીએ છીએ કે, \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).
ઉપરાંત, \( \cos (2\pi - \theta) = \cos \theta \) હોવાથી, \( \cos (2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).
તેથી, \( \cos \frac{\pi}{3} = \cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} \).
આનાથી, મુખ્ય ઉકેલો \( x = \frac{\pi}{3} \) અને \( x = \frac{5\pi}{3} \) મળે છે.
હવે, \( \cos x = \cos \alpha \) ના વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર \( x = 2n\pi \pm \alpha, n \in Z \) છે.
અહીં \( \cos x = \frac{1}{2} \) છે, એટલે કે \( \cos x = \cos \frac{\pi}{3} \).
આથી, વ્યાપક ઉકેલ \( x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z \) મળે છે.
In simple words: જો \( \sec x = 2 \) હોય, તો \( \cos x = \frac{1}{2} \). આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cos (\frac{\pi}{3}) \) નું મૂલ્ય \( \frac{1}{2} \) છે. \( \cos \) વિધેય માટે \( \cos (2\pi - \theta) = \cos \theta \) હોવાથી, \( \cos (\frac{5\pi}{3}) \) પણ \( \frac{1}{2} \) થાય છે. આમ, મુખ્ય ઉકેલ \( \frac{\pi}{3} \) અને \( \frac{5\pi}{3} \) છે. \( \cos x = \cos \alpha \) માટે વ્યાપક ઉકેલ \( x = 2n\pi \pm \alpha \) હોય છે, તેથી \( x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \) આપણો વ્યાપક ઉકેલ છે.

Exam Tip: \( \sec x \) વિધેય માટે મુખ્ય ઉકેલો \( [0, 2\pi] \) અંતરાલમાં શોધતી વખતે, પ્રથમ અને ચોથા ચરણમાં વિધેયનું મૂલ્ય સકારાત્મક હોય છે તે યાદ રાખો. જો \( \sec x \) આપેલ હોય, તો પહેલા તેને \( \cos x \) માં રૂપાંતરિત કરો.

Question 3. cot x = \( -\sqrt{3} \)
Answer: અહીં, \( \cot x = -\sqrt{3} \).
\[ \implies \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] આપણે જાણીએ છીએ કે, \( \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
ઉપરાંત, \( \tan (\pi - \theta) = -\tan \theta \) અને \( \tan (2\pi - \theta) = -\tan \theta \) હોવાથી,
\[ \tan (\pi - \frac{\pi}{6}) = -\tan \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \tan (2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\tan \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] આમ, \( \tan \frac{5\pi}{6} = \tan \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \).
આનાથી, મુખ્ય ઉકેલો \( x = \frac{5\pi}{6} \) અને \( x = \frac{11\pi}{6} \) મળે છે.
હવે, \( \tan x = \tan \alpha \) ના વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર \( x = n\pi + \alpha, n \in Z \) છે.
અહીં \( \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \) છે, એટલે કે \( \tan x = \tan \frac{5\pi}{6} \).
આથી, વ્યાપક ઉકેલ \( x = n\pi + \frac{5\pi}{6}, n \in Z \) મળે છે.
In simple words: જો \( \cot x = -\sqrt{3} \) હોય, તો \( \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \). આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan (\frac{\pi}{6}) \) નું મૂલ્ય \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) છે. \( \tan \) વિધેય બીજા અને ચોથા ચરણમાં ઋણાત્મક હોય છે. તેથી, \( \tan (\pi - \frac{\pi}{6}) \) અને \( \tan (2\pi - \frac{\pi}{6}) \) બંને \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \) થાય છે. આમ, મુખ્ય ઉકેલ \( \frac{5\pi}{6} \) અને \( \frac{11\pi}{6} \) છે. \( \tan x = \tan \alpha \) માટે વ્યાપક ઉકેલ \( x = n\pi + \alpha \) હોય છે, તેથી \( x = n\pi + \frac{5\pi}{6} \) આપણો વ્યાપક ઉકેલ છે.

Exam Tip: \( \cot x \) વિધેય માટે મુખ્ય ઉકેલો \( [0, 2\pi] \) અંતરાલમાં શોધતી વખતે, બીજા અને ચોથા ચરણમાં વિધેયનું મૂલ્ય ઋણાત્મક હોય છે તે યાદ રાખો. જો \( \cot x \) આપેલ હોય, તો પહેલા તેને \( \tan x \) માં રૂપાંતરિત કરો.

Question 4. cosec x = -2
Answer: અહીં, \( \text{cosec } x = -2 \).
\[ \implies \sin x = -\frac{1}{2} \] આપણે જાણીએ છીએ કે, \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
ઉપરાંત, \( \sin (\pi + \theta) = -\sin \theta \) અને \( \sin (2\pi - \theta) = -\sin \theta \) હોવાથી,
\[ \sin (\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} \] \[ \sin (2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} \] આમ, \( \sin \frac{7\pi}{6} = \sin \frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2} \).
આનાથી, મુખ્ય ઉકેલો \( x = \frac{7\pi}{6} \) અને \( x = \frac{11\pi}{6} \) મળે છે.
હવે, \( \sin x = \sin \alpha \) ના વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર \( x = n\pi + (-1)^n \alpha, n \in Z \) છે.
અહીં \( \sin x = -\frac{1}{2} \) છે, એટલે કે \( \sin x = \sin \frac{7\pi}{6} \).
આથી, વ્યાપક ઉકેલ \( x = n\pi + (-1)^n \frac{7\pi}{6}, n \in Z \) મળે છે.
In simple words: જો \( \text{cosec } x = -2 \) હોય, તો \( \sin x = -\frac{1}{2} \). આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin (\frac{\pi}{6}) \) નું મૂલ્ય \( \frac{1}{2} \) છે. \( \sin \) વિધેય ત્રીજા અને ચોથા ચરણમાં ઋણાત્મક હોય છે. તેથી, \( \sin (\pi + \frac{\pi}{6}) \) અને \( \sin (2\pi - \frac{\pi}{6}) \) બંને \( -\frac{1}{2} \) થાય છે. આમ, મુખ્ય ઉકેલ \( \frac{7\pi}{6} \) અને \( \frac{11\pi}{6} \) છે. \( \sin x = \sin \alpha \) માટે વ્યાપક ઉકેલ \( x = n\pi + (-1)^n \alpha \) હોય છે, તેથી \( x = n\pi + (-1)^n \frac{7\pi}{6} \) આપણો વ્યાપક ઉકેલ છે.

Exam Tip: \( \text{cosec } x \) વિધેય માટે મુખ્ય ઉકેલો \( [0, 2\pi] \) અંતરાલમાં શોધતી વખતે, ત્રીજા અને ચોથા ચરણમાં વિધેયનું મૂલ્ય ઋણાત્મક હોય છે તે યાદ રાખો. જો \( \text{cosec } x \) આપેલ હોય, તો પહેલા તેને \( \sin x \) માં રૂપાંતરિત કરો.

Question 5. cos 4x = cos 2x
Answer: અહીં, આપેલ સમીકરણ \( \cos 4x = \cos 2x \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો \( \cos A = \cos B \) હોય, તો \( A = 2n\pi \pm B, n \in Z \).
આથી, \( 4x = 2n\pi \pm 2x, n \in Z \).
આના બે કેસ શક્ય છે:
કેસ 1: \( 4x = 2n\pi + 2x \)
\[ \implies 2x = 2n\pi \] \[ \implies x = n\pi \] કેસ 2: \( 4x = 2n\pi - 2x \)
\[ \implies 6x = 2n\pi \] \[ \implies x = \frac{2n\pi}{6} \] \[ \implies x = \frac{n\pi}{3} \] આથી, માગેલ વ્યાપક ઉકેલ \( x = n\pi \) અથવા \( x = \frac{n\pi}{3}, n \in Z \) છે.
In simple words: જ્યારે \( \cos \) ના બે ખૂણા સરખા હોય, ત્યારે એક ખૂણો બીજા ખૂણાના \( 2n\pi \) જેટલો વત્તા કે ઓછા હોય છે. આ નિયમ વાપરીને, \( 4x \) ને \( 2n\pi \pm 2x \) સમાન કરી શકાય. આને બે રીતે ઉકેલી શકાય છે: એકવાર વત્તા \( 2x \) સાથે અને એકવાર ઓછા \( 2x \) સાથે. આનાથી આપણને \( x = n\pi \) અને \( x = \frac{n\pi}{3} \) એવા બે ઉકેલ મળે છે.

Exam Tip: \( \cos A = \cos B \) પ્રકારના સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે, \( A = 2n\pi \pm B \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બંને સંભવિત કેસો (વત્તા અને ઓછા) ધ્યાનમાં લેવાનું સુનિશ્ચિત કરો.

Question 6. cos 3x + cos x - cos 2x = 0
Answer: અહીં, આપેલ સમીકરણ \( \cos 3x + \cos x - \cos 2x = 0 \) છે.
અમે \( \cos A + \cos B = 2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
\[ \implies 2\cos \left(\frac{3x+x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x-x}{2}\right) - \cos 2x = 0 \] \[ \implies 2\cos \left(\frac{4x}{2}\right) \cos \left(\frac{2x}{2}\right) - \cos 2x = 0 \] \[ \implies 2\cos 2x \cos x - \cos 2x = 0 \] \( \cos 2x \) ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા,
\[ \implies \cos 2x (2\cos x - 1) = 0 \] આના બે કેસ શક્ય છે:
કેસ 1: \( \cos 2x = 0 \)
જો \( \cos \theta = 0 \) હોય, તો \( \theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in Z \).
આથી, \( 2x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \)
\[ \implies x = (2n+1)\frac{\pi}{4}, n \in Z \] કેસ 2: \( 2\cos x - 1 = 0 \)
\[ \implies 2\cos x = 1 \] \[ \implies \cos x = \frac{1}{2} \] જો \( \cos x = \frac{1}{2} \) હોય, તો \( \cos x = \cos \frac{\pi}{3} \).
જો \( \cos \theta = \cos \alpha \) હોય, તો \( \theta = 2n\pi \pm \alpha, n \in Z \).
આથી, \( x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z \).
આથી, માગેલ વ્યાપક ઉકેલ \( x = (2n+1)\frac{\pi}{4} \) અથવા \( x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z \) છે.
In simple words: આપેલા સમીકરણમાં, આપણે \( \cos 3x + \cos x \) માટે સરવાળામાંથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. તેનાથી \( 2\cos 2x \cos x \) મળે છે. પછી, આપણે \( \cos 2x \) ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢીએ છીએ. હવે, આપણી પાસે બે ભાગ છે જે શૂન્યની બરાબર છે. પ્રથમ ભાગ \( \cos 2x = 0 \) છે, જેનો ઉકેલ \( x = (2n+1)\frac{\pi}{4} \) છે. બીજો ભાગ \( 2\cos x - 1 = 0 \) છે, જેનો ઉકેલ \( \cos x = \frac{1}{2} \) છે, અને આનાથી \( x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \) મળે છે.

Exam Tip: \( \cos A + \cos B \) જેવા પદો હોય ત્યારે ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સરળ બનાવવાનો પ્રયાસ કરો. જ્યારે બે અવયવોનો ગુણાકાર શૂન્ય હોય, ત્યારે દરેક અવયવને શૂન્યની બરાબર લઈને અલગ-અલગ ઉકેલ શોધો.

Question 7. sin 2x + cos x = 0
Answer: અહીં, આપેલ સમીકરણ \( \sin 2x + \cos x = 0 \) છે.
આપણે \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
\[ \implies 2\sin x \cos x + \cos x = 0 \] \( \cos x \) ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા,
\[ \implies \cos x (2\sin x + 1) = 0 \] આના બે કેસ શક્ય છે:
કેસ 1: \( \cos x = 0 \)
જો \( \cos \theta = 0 \) હોય, તો \( \theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in Z \).
આથી, \( x = (2n+1)\frac{\pi}{2}, n \in Z \).
કેસ 2: \( 2\sin x + 1 = 0 \)
\[ \implies 2\sin x = -1 \] \[ \implies \sin x = -\frac{1}{2} \] જો \( \sin x = -\frac{1}{2} \) હોય, તો \( \sin x = \sin \frac{7\pi}{6} \). (કારણ કે \( \sin (\pi + \theta) = -\sin \theta \) અને \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)).
જો \( \sin \theta = \sin \alpha \) હોય, તો \( \theta = n\pi + (-1)^n \alpha, n \in Z \).
આથી, \( x = n\pi + (-1)^n \frac{7\pi}{6}, n \in Z \).
આથી, માગેલ વ્યાપક ઉકેલ \( x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \) અથવા \( x = n\pi + (-1)^n \frac{7\pi}{6}, n \in Z \) છે.
In simple words: આપેલા સમીકરણમાં, આપણે \( \sin 2x \) ને \( 2\sin x \cos x \) માં બદલીએ છીએ. પછી, \( \cos x \) ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢીએ છીએ. આનાથી આપણને \( \cos x = 0 \) અને \( 2\sin x + 1 = 0 \) એમ બે સમીકરણો મળે છે. \( \cos x = 0 \) નો ઉકેલ \( x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \) છે. જ્યારે \( 2\sin x + 1 = 0 \) એટલે \( \sin x = -\frac{1}{2} \), જેનો ઉકેલ \( x = n\pi + (-1)^n \frac{7\pi}{6} \) છે.

Exam Tip: \( \sin 2x \) જેવા બહુવિધ કોણના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણને સરળ બનાવવું એ સામાન્ય યુક્તિ છે. જ્યારે \( \sin x \) ઋણાત્મક હોય, ત્યારે ત્રીજા અથવા ચોથા ચરણમાંના ખૂણાને પસંદ કરો જે \( [0, 2\pi] \) અંતરાલમાં હોય, જેમ કે \( \frac{7\pi}{6} \).

Question 8. sec²2x = 1 – tan 2x
Answer: અહીં, આપેલ સમીકરણ \( \sec^2 2x = 1 - \tan 2x \) છે.
આપણે \( \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta \) નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું.
\[ \implies 1 + \tan^2 2x = 1 - \tan 2x \] બંને બાજુથી 1 રદ કરતા,
\[ \implies \tan^2 2x = -\tan 2x \] બધા પદોને એક બાજુ લાવતા,
\[ \implies \tan^2 2x + \tan 2x = 0 \] \( \tan 2x \) ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા,
\[ \implies \tan 2x (\tan 2x + 1) = 0 \] આના બે કેસ શક્ય છે:
કેસ 1: \( \tan 2x = 0 \)
જો \( \tan \theta = 0 \) હોય, તો \( \theta = n\pi, n \in Z \).
આથી, \( 2x = n\pi \)
\[ \implies x = \frac{n\pi}{2}, n \in Z \] કેસ 2: \( \tan 2x + 1 = 0 \)
\[ \implies \tan 2x = -1 \] જો \( \tan 2x = -1 \) હોય, તો \( \tan 2x = \tan \frac{3\pi}{4} \). (કારણ કે \( \tan \frac{\pi}{4} = 1 \) અને \( \tan (\pi - \theta) = -\tan \theta \), તેથી \( \tan (\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tan \frac{\pi}{4} = -1 \)).
જો \( \tan \theta = \tan \alpha \) હોય, તો \( \theta = n\pi + \alpha, n \in Z \).
આથી, \( 2x = n\pi + \frac{3\pi}{4} \)
\[ \implies x = \frac{n\pi}{2} + \frac{3\pi}{8}, n \in Z \] આથી, માગેલ વ્યાપક ઉકેલ \( x = \frac{n\pi}{2} \) અથવા \( x = \frac{n\pi}{2} + \frac{3\pi}{8}, n \in Z \) છે.
In simple words: પહેલા, \( \sec^2 2x \) ને \( 1 + \tan^2 2x \) માં બદલો. પછી, સમીકરણને સરળ બનાવો અને \( \tan^2 2x + \tan 2x = 0 \) મેળવો. \( \tan 2x \) ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢવાથી આપણને \( \tan 2x = 0 \) અથવા \( \tan 2x + 1 = 0 \) મળે છે. પ્રથમ કેસનો ઉકેલ \( x = \frac{n\pi}{2} \) છે. બીજા કેસમાં \( \tan 2x = -1 \), જેનો ઉકેલ \( x = \frac{n\pi}{2} + \frac{3\pi}{8} \) છે.

Exam Tip: \( \sec^2 \theta \) અને \( \tan^2 \theta \) ને એકબીજા સાથે જોડતા નિત્યસમ \( \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta \) નો ઉપયોગ કરવો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. \( \tan \theta \) ઋણાત્મક હોય ત્યારે યોગ્ય ચરણમાંના ખૂણાને ઓળખવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 9. sin x + sin 3x + sin 5x = 0
Answer: અહીં, આપેલ સમીકરણ \( \sin x + \sin 3x + \sin 5x = 0 \) છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવીએ અને \( \sin A + \sin B = 2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
\[ \implies (\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 0 \] \[ \implies 2\sin \left(\frac{5x+x}{2}\right) \cos \left(\frac{5x-x}{2}\right) + \sin 3x = 0 \] \[ \implies 2\sin 3x \cos 2x + \sin 3x = 0 \] \( \sin 3x \) ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા,
\[ \implies \sin 3x (2\cos 2x + 1) = 0 \] આના બે કેસ શક્ય છે:
કેસ 1: \( \sin 3x = 0 \)
જો \( \sin \theta = 0 \) હોય, તો \( \theta = n\pi, n \in Z \).
આથી, \( 3x = n\pi \)
\[ \implies x = \frac{n\pi}{3}, n \in Z \] કેસ 2: \( 2\cos 2x + 1 = 0 \)
\[ \implies 2\cos 2x = -1 \] \[ \implies \cos 2x = -\frac{1}{2} \] જો \( \cos 2x = -\frac{1}{2} \) હોય, તો \( \cos 2x = \cos \frac{2\pi}{3} \). (કારણ કે \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \) અને \( \cos (\pi - \theta) = -\cos \theta \), તેથી \( \cos (\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} \)).
જો \( \cos \theta = \cos \alpha \) હોય, તો \( \theta = 2n\pi \pm \alpha, n \in Z \).
આથી, \( 2x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \)
\[ \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z \] આથી, માગેલ વ્યાપક ઉકેલ \( x = \frac{n\pi}{3} \) અથવા \( x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z \) છે.
In simple words: આપણે \( \sin 5x \) અને \( \sin x \) ને એકસાથે જોડીને સરવાળામાંથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે \( 2\sin 3x \cos 2x \) આપે છે. પછી, \( \sin 3x \) ને સામાન્ય અવયવ તરીકે બહાર કાઢીએ છીએ. આનાથી આપણને \( \sin 3x = 0 \) અથવા \( 2\cos 2x + 1 = 0 \) એમ બે સમીકરણો મળે છે. પ્રથમનો ઉકેલ \( x = \frac{n\pi}{3} \) છે. બીજા સમીકરણમાંથી \( \cos 2x = -\frac{1}{2} \) મળે છે, જેનો ઉકેલ \( x = n\pi \pm \frac{\pi}{3} \) છે.

Exam Tip: ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોમાં, પદોને એવી રીતે ગોઠવો કે તમે સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો અને સામાન્ય અવયવો કાઢી શકો. જ્યારે \( \cos \theta \) ઋણાત્મક હોય, ત્યારે બીજા અથવા ત્રીજા ચરણમાંના ખૂણાને પસંદ કરો, જેમ કે \( \frac{2\pi}{3} \).