GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Exercise 3.2

પ્રશ્ન 1થી 5માં અન્ય પાંચ ત્રિકોણમિતીય વિધેયોનાં મૂલ્યો શોધો:

Question 1. અહીં, \( \cos x = - \frac{1}{2} \), x ત્રીજા ચરણમાં છે.
Answer: અહીં, \( \cos x = - \frac{1}{2} \)
\( x \) ત્રીજા ચરણમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \)
\( \implies \sin^2x = 1 - \cos^2x \)
\( \implies \sin^2x = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \)
\( \implies \sin^2x = 1 - \frac{1}{4} \)
\( \implies \sin^2x = \frac{4-1}{4} \)
\( \implies \sin^2x = \frac{3}{4} \)
\( \implies \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)
પરંતુ, \( x \) ત્રીજા ચરણમાં છે, તેથી \( \sin x \) નું મૂલ્ય નકારાત્મક જ રહેશે.
\( \implies \sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \)
હવે, આપણે અન્ય ત્રિકોણમિતીય વિધેયો શોધીએ.
\( \cosec x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = - \frac{2}{\sqrt{3}} \)
\( \sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2 \)
\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \)
\( \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
આમ, આપણને \( \sin x, \cosec x, \sec x, \tan x, \) અને \( \cot x \) નાં મૂલ્યો મળે છે:
\( \sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}; \cosec x = - \frac{2}{\sqrt{3}}; \sec x = -2; \tan x = \sqrt{3}; \cot x = \frac{1}{\sqrt{3}}. \)
In simple words: પહેલાં, \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( \sin x \) શોધો. યાદ રાખો કે \( x \) ત્રીજા ચરણમાં છે, તેથી \( \sin x \) નું મૂલ્ય ઋણ આવશે. પછી, \( \sin x \) અને \( \cos x \) નો ઉપયોગ કરીને બાકીના ત્રિકોણમિતીય વિધેયો \( \cosec x, \sec x, \tan x, \) અને \( \cot x \) નાં મૂલ્યો ગણો.

Exam Tip: ત્રિકોણમિતીય વિધેયના મૂલ્યો નક્કી કરતી વખતે હંમેશાં આપેલા ચરણ (quadrant) ને ધ્યાનમાં રાખો, કારણ કે તે મૂલ્યના ચિહ્નને અસર કરે છે.

Question 2. \( \sin x = \frac{3}{5} \), x બીજા ચરણમાં છે.
Answer: અહીં, \( \sin x = \frac{3}{5} \)
\( x \) બીજા ચરણમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \)
\( \implies \cos^2x = 1 - \sin^2x \)
\( \implies \cos^2x = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 \)
\( \implies \cos^2x = 1 - \frac{9}{25} \)
\( \implies \cos^2x = \frac{25-9}{25} \)
\( \implies \cos^2x = \frac{16}{25} \)
\( \implies \cos x = \pm \frac{4}{5} \)
પરંતુ, \( x \) બીજા ચરણમાં છે, જ્યાં \( \cos x \) નું મૂલ્ય નકારાત્મક હોય છે.
\( \implies \cos x = - \frac{4}{5} \)
હવે, આપણે અન્ય ત્રિકોણમિતીય વિધેયો શોધીએ.
\( \cosec x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3} \)
\( \sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{-\frac{4}{5}} = - \frac{5}{4} \)
\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = - \frac{3}{4} \)
\( \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = - \frac{4}{3} \)
આમ, આપણે \( \cos x, \cosec x, \sec x, \tan x, \) અને \( \cot x \) નાં મૂલ્યો મેળવી શકીએ છીએ:
\( \cos x = - \frac{4}{5}; \cosec x = \frac{5}{3}; \sec x = - \frac{5}{4}; \tan x = - \frac{3}{4}; \cot x = - \frac{4}{3}. \)
In simple words: પહેલાં, \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( \cos x \) શોધો. યાદ રાખો કે \( x \) બીજા ચરણમાં છે, તેથી \( \cos x \) નું મૂલ્ય ઋણ આવશે. પછી, \( \sin x \) અને \( \cos x \) નો ઉપયોગ કરીને બાકીના ત્રિકોણમિતીય વિધેયો \( \cosec x, \sec x, \tan x, \) અને \( \cot x \) નાં મૂલ્યો ગણો.

Exam Tip: \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \) એ સૌથી મહત્વપૂર્ણ ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ છે; તેને બરાબર યાદ રાખો અને તેનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો.

Question 3. \( \cot x = \frac{3}{4} \), x ત્રીજા ચરણમાં છે.
Answer: અહીં, \( \cot x = \frac{3}{4} \)
\( x \) ત્રીજા ચરણમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cosec^2x = 1 + \cot^2x \)
\( \implies \cosec^2x = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 \)
\( \implies \cosec^2x = 1 + \frac{9}{16} \)
\( \implies \cosec^2x = \frac{16+9}{16} \)
\( \implies \cosec^2x = \frac{25}{16} \)
\( \implies \cosec x = \pm \frac{5}{4} \)
પરંતુ, \( x \) ત્રીજા ચરણમાં આવેલો છે, જ્યાં \( \cosec x \) નું મૂલ્ય હંમેશાં નકારાત્મક હોય છે.
\( \implies \cosec x = - \frac{5}{4} \)
હવે, આપણે અન્ય ત્રિકોણમિતીય વિધેયો શોધીએ.
\( \sin x = \frac{1}{\cosec x} = \frac{1}{-\frac{5}{4}} = - \frac{4}{5} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \)
\( \implies \cos x = \cot x \cdot \sin x \)
\( \implies \cos x = \left(\frac{3}{4}\right)\left(-\frac{4}{5}\right) = - \frac{3}{5} \)
\( \sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{-\frac{3}{5}} = - \frac{5}{3} \)
\( \tan x = \frac{1}{\cot x} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \)
આમ, આપણે \( \sin x, \cosec x, \cos x, \sec x, \) અને \( \tan x \) નાં મૂલ્યો જાણી શકીએ છીએ:
\( \sin x = - \frac{4}{5}; \cosec x = - \frac{5}{4}; \cos x = - \frac{3}{5}; \sec x = - \frac{5}{3}; \tan x = \frac{4}{3}. \)
In simple words: પહેલાં, \( \cosec^2x = 1 + \cot^2x \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( \cosec x \) શોધો. યાદ રાખો કે \( x \) ત્રીજા ચરણમાં છે, તેથી \( \cosec x \) નું મૂલ્ય ઋણ આવશે. પછી, \( \cosec x \) માંથી \( \sin x \) શોધો. ત્યારબાદ \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \) નો ઉપયોગ કરીને \( \cos x \) શોધો અને પછી બાકીના વિધેયો ગણો.

Exam Tip: \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \) અને \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) ના સંબંધો ખૂબ જ ઉપયોગી છે. તેમને યાદ રાખો અને તેનો ઉપયોગ અન્ય વિધેયો શોધવામાં કરો.

Question 4. \( \sec x = \frac{13}{5} \), x ચોથા ચરણમાં છે.
Answer: અહીં, \( \sec x = \frac{13}{5} \)
\( x \) ચોથા ચરણમાં છે.
\( \cos x = \frac{1}{\sec x} = \frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \)
\( \implies \sin^2x = 1 - \cos^2x \)
\( \implies \sin^2x = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 \)
\( \implies \sin^2x = 1 - \frac{25}{169} \)
\( \implies \sin^2x = \frac{169-25}{169} \)
\( \implies \sin^2x = \frac{144}{169} \)
\( \implies \sin x = \pm \frac{12}{13} \)
પરંતુ, \( x \) ચોથા ચરણમાં આવેલો છે, તેથી \( \sin x \) નું મૂલ્ય નકારાત્મક રહે છે.
\( \implies \sin x = - \frac{12}{13} \)
હવે, આપણે અન્ય ત્રિકોણમિતીય વિધેયો શોધીએ.
\( \cosec x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{-\frac{12}{13}} = - \frac{13}{12} \)
\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = - \frac{12}{5} \)
\( \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{-\frac{12}{5}} = - \frac{5}{12} \)
આમ, આપણે \( \sin x, \cos x, \cosec x, \tan x, \) અને \( \cot x \) નાં બધાં જ મૂલ્યો મેળવી શકીએ છીએ:
\( \sin x = - \frac{12}{13}; \cos x = \frac{5}{13}; \cosec x = - \frac{13}{12}; \tan x = - \frac{12}{5}; \cot x = - \frac{5}{12}. \)
In simple words: પહેલાં, \( \sec x \) પરથી \( \cos x \) શોધો. પછી \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( \sin x \) શોધો. યાદ રાખો કે \( x \) ચોથા ચરણમાં છે, તેથી \( \sin x \) નું મૂલ્ય ઋણ આવશે. પછી, \( \sin x \) અને \( \cos x \) નો ઉપયોગ કરીને બાકીના ત્રિકોણમિતીય વિધેયો \( \cosec x, \tan x, \) અને \( \cot x \) નાં મૂલ્યો ગણો.

Exam Tip: ચોથા ચરણમાં, \( \cos x \) અને \( \sec x \) ધન હોય છે, જ્યારે અન્ય તમામ ત્રિકોણમિતીય વિધેયો ઋણ હોય છે. આ નિયમ યાદ રાખવાથી ચિહ્ન નક્કી કરવામાં મદદ મળે છે.

Question 5. \( \tan x = - \frac{5}{12} \), x બીજા ચરણમાં છે.
Answer: અહીં, \( \tan x = - \frac{5}{12} \)
\( x \) બીજા ચરણમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sec^2x = 1 + \tan^2x \)
\( \implies \sec^2x = 1 + \left(-\frac{5}{12}\right)^2 \)
\( \implies \sec^2x = 1 + \frac{25}{144} \)
\( \implies \sec^2x = \frac{144+25}{144} \)
\( \implies \sec^2x = \frac{169}{144} \)
\( \implies \sec x = \pm \frac{13}{12} \)
પરંતુ, \( x \) બીજા ચરણમાં છે, જ્યાં \( \sec x \) નું મૂલ્ય નકારાત્મક રહે છે.
\( \implies \sec x = - \frac{13}{12} \)
હવે, આપણે અન્ય ત્રિકોણમિતીય વિધેયો શોધીએ.
\( \cos x = \frac{1}{\sec x} = \frac{1}{-\frac{13}{12}} = - \frac{12}{13} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)
\( \implies \sin x = \tan x \cdot \cos x \)
\( \implies \sin x = \left(-\frac{5}{12}\right)\left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{5}{13} \)
\( \cosec x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\frac{5}{13}} = \frac{13}{5} \)
\( \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{-\frac{5}{12}} = - \frac{12}{5} \)
આમ, આપણે \( \sin x, \cos x, \cosec x, \sec x, \) અને \( \cot x \) નાં મૂલ્યો શોધી શકીએ છીએ:
\( \sin x = \frac{5}{13}; \cos x = - \frac{12}{13}; \cosec x = \frac{13}{5}; \sec x = - \frac{13}{12}; \cot x = - \frac{12}{5}. \)
In simple words: પહેલાં, \( \sec^2x = 1 + \tan^2x \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( \sec x \) શોધો. યાદ રાખો કે \( x \) બીજા ચરણમાં છે, તેથી \( \sec x \) નું મૂલ્ય ઋણ આવશે. પછી, \( \sec x \) પરથી \( \cos x \) શોધો. ત્યારબાદ \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) નો ઉપયોગ કરીને \( \sin x \) શોધો અને પછી બાકીના વિધેયો ગણો.

Exam Tip: બીજા ચરણમાં, \( \sin x \) અને \( \cosec x \) ધન હોય છે, જ્યારે અન્ય તમામ ત્રિકોણમિતીય વિધેયો ઋણ હોય છે. આ નિયમ યાદ રાખવાથી ગણતરીમાં મદદ મળશે.

પ્રશ્ન 6થી 10માં ત્રિકોણમિતીય વિધેયોનાં મૂલ્યો શોધો:

Question 6. \( \sin 765^\circ \)
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin \) ફંક્શનમાં કિંમતોનું પુનરાવર્તન \( 2\pi \) અથવા \( 360^\circ \) ના અંતરાલ પછી થાય છે.
તેથી,
\( \sin 765^\circ = \sin (2 \times 360^\circ + 45^\circ) \)
\( \implies \sin 765^\circ = \sin 45^\circ \)
\( \implies \sin 765^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
In simple words: \( \sin \) ફંક્શન દર 360° પછી તેના મૂલ્યોનું પુનરાવર્તન કરે છે. 765° ને 360° વડે ભાગવાથી શેષ 45° મળે છે. તેથી, \( \sin 765^\circ \) એ \( \sin 45^\circ \) જેટલું જ છે, જેનું મૂલ્ય \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) છે.

Exam Tip: \( \sin (n \times 360^\circ + \theta) = \sin \theta \) અને \( \cos (n \times 360^\circ + \theta) = \cos \theta \) જેવા સૂત્રોનો ઉપયોગ મોટા ખૂણાઓને સરળ બનાવવામાં મદદ કરે છે.

Question 7. \( \cosec (-1410^\circ) \)
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cosec x \) ફંક્શનમાં કિંમતોનું પુનરાવર્તન \( 2\pi \) અથવા \( 360^\circ \) ના અંતરાલ પછી થાય છે.
તેથી,
\( \cosec (-1410^\circ) = - \cosec (1410^\circ) \) (કારણ કે \( \cosec (-\theta) = -\cosec \theta \))
\( \implies - \cosec (1410^\circ) = - \cosec (4 \times 360^\circ - 30^\circ) \)
\( \implies - \cosec (1410^\circ) = - \cosec (-30^\circ) \)
\( \implies - \cosec (-30^\circ) = - (-\cosec 30^\circ) \)
\( \implies \cosec (-1410^\circ) = \cosec 30^\circ \)
\( \implies \cosec (-1410^\circ) = 2 \)
In simple words: \( \cosec \) ફંક્શનમાં, ઋણ ખૂણા માટે \( \cosec (-\theta) = -\cosec \theta \) નો ઉપયોગ કરો. પછી, 1410° માંથી 360° ના ગુણાકાર બાદ કરીને ખૂણાને નાનો કરો. 1410° એ \( 4 \times 360^\circ - 30^\circ \) છે. અંતે, \( \cosec 30^\circ \) નું મૂલ્ય શોધો, જે 2 છે.

Exam Tip: ઋણ ખૂણાના સૂત્રો જેમ કે \( \sin (-\theta) = -\sin \theta \), \( \cos (-\theta) = \cos \theta \), \( \tan (-\theta) = -\tan \theta \), વગેરે યાદ રાખવા અગત્યના છે.

Question 8. \( \tan \frac{19 \pi}{3} \)
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan x \) ફંક્શનમાં કિંમતોનું પુનરાવર્તન \( \pi \) અથવા \( 180^\circ \) ના અંતરાલ પછી થાય છે.
તેથી,
\( \tan \frac{19 \pi}{3} = \tan \left(6\pi + \frac{\pi}{3}\right) \)
\( \implies \tan \left(6\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \tan \left(6 \times \pi + \frac{\pi}{3}\right) \)
\( \implies \tan \left(6 \times \pi + \frac{\pi}{3}\right) = \tan \frac{\pi}{3} \)
\( \implies \tan \frac{19 \pi}{3} = \sqrt{3} \)
In simple words: \( \tan \) ફંક્શન દર \( \pi \) (અથવા 180°) પછી તેના મૂલ્યોનું પુનરાવર્તન કરે છે. \( \frac{19 \pi}{3} \) ને \( 6\pi + \frac{\pi}{3} \) તરીકે લખી શકાય છે. \( 6\pi \) એ \( \pi \) નો ગુણાકાર હોવાથી, તે અવગણી શકાય છે. તેથી, \( \tan \frac{19 \pi}{3} \) એ \( \tan \frac{\pi}{3} \) જેટલું જ છે, જેનું મૂલ્ય \( \sqrt{3} \) છે.

Exam Tip: રેડિયનમાં આપેલા ખૂણાઓને સરળ કરતી વખતે, \( \tan(n\pi + \theta) = \tan \theta \) અને \( \cot(n\pi + \theta) = \cot \theta \) જેવા સૂત્રો યાદ રાખો.

Question 9. \( \sin \left(-\frac{11 \pi}{3}\right) \)
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે \( \sin x \) ફંક્શનમાં કિંમતોનું પુનરાવર્તન \( 2\pi \) અથવા \( 360^\circ \) ના અંતરાલ પછી થાય છે.
તેથી,
\( \sin \left(-\frac{11 \pi}{3}\right) = - \sin \left(\frac{11 \pi}{3}\right) \) (કારણ કે \( \sin (-\theta) = - \sin \theta \))
\( \implies - \sin \left(\frac{11 \pi}{3}\right) = - \sin \left(4\pi - \frac{\pi}{3}\right) \)
\( \implies - \sin \left(4\pi - \frac{\pi}{3}\right) = - \sin \left(2 \times 2\pi - \frac{\pi}{3}\right) \)
\( \implies - \sin \left(2 \times 2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = - \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) \)
\( \implies - \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) = - \left(-\sin \frac{\pi}{3}\right) \)
\( \implies \sin \left(-\frac{11 \pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} \)
\( \implies \sin \left(-\frac{11 \pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
In simple words: \( \sin \) ફંક્શનમાં, ઋણ ખૂણા માટે \( \sin (-\theta) = -\sin \theta \) નો ઉપયોગ કરો. પછી, \( \frac{11 \pi}{3} \) માંથી \( 2\pi \) ના ગુણાકાર બાદ કરીને ખૂણાને સરળ બનાવો. \( \frac{11 \pi}{3} \) ને \( 4\pi - \frac{\pi}{3} \) તરીકે લખી શકાય છે. ત્યારબાદ, \( \sin \frac{\pi}{3} \) નું મૂલ્ય શોધો.

Exam Tip: રેડિયનમાં આપેલા ખૂણાઓ માટે, \( \sin(2n\pi + \theta) = \sin \theta \) અને \( \cos(2n\pi + \theta) = \cos \theta \) જેવા સૂત્રો યાદ રાખવા ઉપયોગી છે.

Question 10. \( \cot \left(-\frac{15 \pi}{4}\right) \)
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે \( \cot x \) ફંક્શનમાં કિંમતોનું પુનરાવર્તન \( \pi \) અથવા \( 180^\circ \) ના અંતરાલ પછી થાય છે.
તેથી,
\( \cot \left(-\frac{15 \pi}{4}\right) = - \cot \left(\frac{15 \pi}{4}\right) \) (કારણ કે \( \cot (-\theta) = - \cot \theta \))
\( \implies - \cot \left(\frac{15 \pi}{4}\right) = - \cot \left(4\pi - \frac{\pi}{4}\right) \)
\( \implies - \cot \left(4\pi - \frac{\pi}{4}\right) = - \cot \left(4 \times \pi - \frac{\pi}{4}\right) \)
\( \implies - \cot \left(4 \times \pi - \frac{\pi}{4}\right) = - \cot \left(-\frac{\pi}{4}\right) \)
\( \implies - \cot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = - \left(-\cot \frac{\pi}{4}\right) \)
\( \implies \cot \left(-\frac{15 \pi}{4}\right) = \cot \frac{\pi}{4} \)
\( \implies \cot \left(-\frac{15 \pi}{4}\right) = 1 \)
In simple words: \( \cot \) ફંક્શનમાં, ઋણ ખૂણા માટે \( \cot (-\theta) = -\cot \theta \) નો ઉપયોગ કરો. પછી, \( \frac{15 \pi}{4} \) માંથી \( \pi \) ના ગુણાકાર બાદ કરીને ખૂણાને સરળ બનાવો. \( \frac{15 \pi}{4} \) ને \( 4\pi - \frac{\pi}{4} \) તરીકે લખી શકાય છે. ત્યારબાદ, \( \cot \frac{\pi}{4} \) નું મૂલ્ય શોધો.

Exam Tip: \( \tan \) અને \( \cot \) ફંક્શન માટે, \( \pi \) નો ગુણાકાર ઉમેરવાથી કે બાદ કરવાથી મૂલ્ય બદલાતું નથી, જેમ કે \( \tan(n\pi + \theta) = \tan \theta \) અને \( \cot(n\pi + \theta) = \cot \theta \).