GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Exercise 3.1

Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Ex 3.1

Question 1. નીચેના અંશમાપને સંગત રેડિયન માપ શોધો:
(1) 25°
(2) – 47° 30′
(3) 240°
(4) 520°
Answer:
આપણે જાણીએ છીએ કે, \( 180° = \pi \) રેડિયન.
તેથી, \( 1° = \frac{\pi}{180} \) રેડિયન.

(1) \( 25° = 25 \times \frac{\pi}{180} \) રેડિયન
\( = \frac{5 \pi}{36} \) રેડિયન

(2) \( -47° 30' = \left(-47\frac{1}{2}\right)° \)
\( = \left(-\frac{95}{2}\right)° \)
\( = -\frac{95}{2} \times \frac{\pi}{180} \) રેડિયન
\( = -\frac{19 \pi}{72} \) રેડિયન

(3) \( 240° = 240 \times \frac{\pi}{180} \) રેડિયન
\( = \frac{4 \pi}{3} \) રેડિયન

(4) \( 520° = 520 \times \frac{\pi}{180} \) રેડિયન
\( = \frac{26 \pi}{9} \) રેડિયન
In simple words: આપણે જાણીએ છીએ કે 180 ડિગ્રી એટલે પાઇ રેડિયન. તેથી, 1 ડિગ્રીને પાઇ બાય 180 વડે ગુણવાથી તે રેડિયનમાં રૂપાંતરિત થાય છે. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને બધા ડિગ્રી માપને રેડિયન માપમાં બદલી શકાય છે.

Exam Tip: Remember the core conversion factor: \( 180° = \pi \) radians. Use this to convert degrees to radians by multiplying by \( \frac{\pi}{180} \) and radians to degrees by multiplying by \( \frac{180}{\pi} \).

Question 2. નીચેના રેડિયન માપને સંગત અંશમાપ શોધો : ( \( \pi = \frac{22}{7} \) લો.)
(1) \( \frac{11}{16} \)
(2) - 4
(3) \( \frac{5 \pi}{3} \)
(4) \( \frac{7 \pi}{6} \)
Answer:
આપણને ખબર છે કે, \( \pi \) રેડિયન \( = 180° \).
તેથી, 1 રેડિયન \( = \frac{180}{\pi} \) અંશ.

(1) \( \frac{11}{16} \) રેડિયન
\( = \frac{11}{16} \times \frac{180}{\pi} \) અંશ
\( = \frac{11}{16} \times \frac{180}{22} \times 7 \) અંશ
\( = \frac{315}{8} \) અંશ
\( = 39\frac{3}{8} \) અંશ
\( = 39° + \frac{3}{8} \times 60 \) મિનિટ (કારણ કે \( 1° = 60 \) મિનિટ)
\( = 39° + \frac{45}{2} \) મિનિટ
\( = 39° + 22\frac{1}{2} \) મિનિટ
\( = 39° + 22' + \frac{1}{2} \times 60 \) સેકન્ડ (કારણ કે \( 1 \) મિનિટ \( = 60 \) સેકન્ડ)
\( = 39° + 22' + 30" \)
\( = 39° 22' 30" \)

(2) - 4 રેડિયન
\( = -4 \times \frac{180}{\pi} \) અંશ
\( = -4 \times \frac{180}{22} \times 7 \) અંશ
\( = -\frac{2520}{11} \) અંશ
\( = -229\frac{1}{11} \) અંશ
\( = -229° + \frac{1}{11} \times 60 \) મિનિટ (કારણ કે \( 1° = 60 \) મિનિટ)
\( = -229° + 5\frac{5}{11} \) મિનિટ
\( = -229° + 5' + \frac{5}{11} \times 60 \) સેકન્ડ (કારણ કે \( 1 \) મિનિટ \( = 60 \) સેકન્ડ)
\( = -229° + 5' + 27" \)
\( = -229° 5' 27" \)

(3) \( \frac{5 \pi}{3} \) રેડિયન
\( = \frac{5 \pi}{3} \times \frac{180}{\pi} \) અંશ
\( = 300° \)

(4) \( \frac{7 \pi}{6} \) રેડિયન
\( = \frac{7 \pi}{6} \times \frac{180}{\pi} \) અંશ
\( = 210° \)
In simple words: રેડિયન માપને અંશમાં બદલવા માટે, આપણે તેને 180/પાઇ વડે ગુણીએ છીએ. જો પાઇની કિંમત 22/7 હોય, તો તેનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ. જો જવાબ અપૂર્ણાંકમાં આવે, તો તેને ડિગ્રી, મિનિટ અને સેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, જ્યાં 1 ડિગ્રી 60 મિનિટ અને 1 મિનિટ 60 સેકન્ડ બરાબર હોય છે.

Exam Tip: Remember to use \( \pi = \frac{22}{7} \) when specified, and carefully convert fractional degrees into minutes and seconds using the 60-unit conversion for each step.

Question 3. એક ચક્ર એક મિનિટમાં 360° પરિભ્રમણ કરે છે, તો તે એક સેકન્ડમાં કેટલા રેડિયન માપ જેટલું ફરશે?
Answer:
ચક્ર એક મિનિટમાં 360° પરિભ્રમણ કરે છે.
તેથી, એક સેકન્ડમાં પરિભ્રમણની સંખ્યા \( = \frac{360}{60} = 6 \).
એક પરિભ્રમણમાં ચક્ર દ્વારા બનતો ખૂણો \( = 360° \).
આથી, 6 પરિભ્રમણમાં ચક્ર દ્વારા બનતો ખૂણો \( = 360° \times 6 = 2160° \).
હવે, 2160 અંશને રેડિયનમાં બદલવા માટે:
\( 2160 \times \frac{\pi}{180} \) રેડિયન (કારણ કે 1 અંશ \( = \frac{\pi}{180} \) રેડિયન)
\( = 12\pi \) રેડિયન.
આમ, ચક્ર એક સેકન્ડમાં \( 12\pi \) રેડિયન માપ જેટલું ફરશે.
In simple words: જો એક ચક્ર એક મિનિટમાં 360 વખત ગોળ ફરે, તો એક સેકન્ડમાં તે 6 વાર ફરશે. દરેક વાર ફરવામાં તે 360 ડિગ્રીનો ખૂણો બનાવે છે, તેથી કુલ ખૂણો 2160 ડિગ્રી થશે. આ ખૂણાને રેડિયનમાં બદલવા માટે 2160 ને પાઇ બાય 180 વડે ગુણવાથી 12 પાઇ રેડિયન મળે છે.

Exam Tip: First calculate the number of revolutions per second, then the total angle in degrees, and finally convert that degree measure to radians.

Question 4. 100 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના ચાપની લંબાઈ 22 સેમી હોય, તો તેણે કેન્દ્ર આગળ બનાવેલ ખૂણાનું અંશમાપ શોધો. ( \( \pi = \frac{22}{7} \) લો.)
Answer:
ધારો કે, વર્તુળની ત્રિજ્યા \( r \) અને ચાપની લંબાઈ \( l \) છે.
અહીં, \( r = 100 \) સેમી અને \( l = 22 \) સેમી.
ધારો કે, લંબાઈનો ચાપ વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ \( \theta \) રેડિયન ખૂણો બનાવે છે.
હવે, \( l = r\theta \).
તેથી, \( \theta = \frac{l}{r} \)
\( \theta = \frac{22}{100} \) રેડિયન.
આપણે રેડિયન માપને અંશમાપમાં બદલવાનું છે.
\( \theta = \frac{22}{100} \times \frac{180}{\pi} \) અંશ (કારણ કે 1 રેડિયન \( = \frac{180}{\pi} \) અંશ)
\( = \frac{22}{100} \times \frac{180}{22} \times 7 \) અંશ
\( = \frac{63}{5} \) અંશ
\( = 12\frac{3}{5} \) અંશ
\( = 12° + \frac{3}{5} \times 60 \) મિનિટ
\( = 12° + 36 \) મિનિટ.
આમ, માંગેલા ખૂણાનું અંશમાપ \( 12°36′ \) છે.
In simple words: એક વર્તુળમાં, ચાપની લંબાઈ અને ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર વડે કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો રેડિયનમાં મળે છે. આ રેડિયન માપને ડિગ્રીમાં ફેરવવા માટે, તેને 180/પાઇ વડે ગુણો અને જો પાઇની કિંમત 22/7 હોય, તો તેનો ઉપયોગ કરો. પછી, અપૂર્ણાંક ડિગ્રીને મિનિટમાં બદલો.

Exam Tip: Remember the formula \( l = r\theta \) where \( \theta \) is always in radians. Convert the result to degrees only at the final step, using the given value of \( \pi \).

Question 5. 40 સેમી વ્યાસવાળા વર્તુળમાં જીવાની લંબાઈ 20 સેમી છે. જીવાને સંગત લઘુચાપનું માપ શોધો.
Answer:
અહીં, વર્તુળનો વ્યાસ \( = 40 \) સેમી.
તેથી, વર્તુળની ત્રિજ્યા \( r = \frac{40}{2} = 20 \) સેમી.
અને જીવાની લંબાઈ \( = 20 \) સેમી છે.
ધારો કે, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( O \) અને જીવા \( AB \) છે.
તેથી, \( OA = OB = 20 \) સેમી (કારણ કે આ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે).
વળી, \( AB = 20 \) સેમી (આપેલ છે).
આમ, \( \triangle AOB \) એક સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે (કારણ કે તેની બધી બાજુઓ 20 સેમી છે).
તેથી, \( m\angle AOB = 60° \).
હવે, આ ખૂણાને રેડિયનમાં બદલતા:
\( 60° = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \) રેડિયન.
આમ, જીવા \( AB \) વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ \( \frac{\pi}{3} \) રેડિયન ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે, લઘુચાપ \( AB \) ની લંબાઈ \( l \) છે.
હવે, \( l = r\theta \).
\( l = 20 \times \frac{\pi}{3} \)
\( l = \frac{20 \pi}{3} \) સેમી.
આમ, જીવાને સંગત લઘુચાપનું માપ \( \frac{20 \pi}{3} \) સેમી છે.
In simple words: જો એક વર્તુળનો વ્યાસ 40 સેમી હોય, તો તેની ત્રિજ્યા 20 સેમી થાય. જો જીવાની લંબાઈ પણ 20 સેમી હોય, તો કેન્દ્રથી જીવાના છેડા સુધીની રેખાઓ અને જીવા મળીને એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે, જેથી કેન્દ્ર પર 60 ડિગ્રીનો ખૂણો બને. આ ખૂણાને રેડિયનમાં બદલ્યા પછી, ચાપની લંબાઈ શોધવા માટે ત્રિજ્યાને રેડિયન ખૂણા વડે ગુણવામાં આવે છે.

Exam Tip: Recognize that if a chord length equals the radius, it forms an equilateral triangle with the center, meaning the central angle is 60° (or \( \frac{\pi}{3} \) radians). Then use \( l = r\theta \) to find the arc length.

Question 6. જો બે વર્તુળોમાં સમાન લંબાઈના ચાપ કેન્દ્ર આગળ 60° અને 75ના ખૂણા આંતરે, તો તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર શોધો.
Answer:
ધારો કે, વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ \( r_1 \) અને \( r_2 \) છે.
આપેલ છે કે, પ્રથમ ચાપ કેન્દ્ર આગળ \( \theta_1 = 60° \) ખૂણો આંતરે છે.
\( \theta_1 = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \) રેડિયન.
અને બીજો ચાપ કેન્દ્ર આગળ \( \theta_2 = 75° \) ખૂણો આંતરે છે.
\( \theta_2 = 75 \times \frac{\pi}{180} = \frac{15 \pi}{36} = \frac{5 \pi}{12} \) રેડિયન.
ધારો કે, ચાપની લંબાઈ \( l \) છે. બંને ચાપની લંબાઈ સમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( l = r\theta \).
તેથી, પ્રથમ વર્તુળ માટે: \( l = r_1 \theta_1 \)
અને બીજા વર્તુળ માટે: \( l = r_2 \theta_2 \)
તેથી, \( r_1 \theta_1 = r_2 \theta_2 \).
\( r_1 \left(\frac{\pi}{3}\right) = r_2 \left(\frac{5 \pi}{12}\right) \)
\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{\frac{5 \pi}{12}}{\frac{\pi}{3}} \)
\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{5 \pi}{12} \times \frac{3}{\pi} \)
\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{15}{12} \)
\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{4} \).
આથી, \( r_1 : r_2 = 5:4 \).
In simple words: જો બે વર્તુળોમાં સમાન લંબાઈના ચાપ અલગ-અલગ ખૂણા બનાવે, તો તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર શોધવા માટે પહેલા ખૂણાઓને રેડિયનમાં બદલો. પછી, ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર \( l = r\theta \) નો ઉપયોગ કરો. બંને ચાપની લંબાઈ સરખી હોવાથી, \( r_1 \theta_1 = r_2 \theta_2 \) લખીને ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર શોધી શકાય છે.

Exam Tip: When comparing two circles with equal arc lengths, remember that \( r_1\theta_1 = r_2\theta_2 \). Ensure all angles are converted to radians before using this relationship to find the ratio of radii.

Question 7. જો 75 સેમી લંબાઈવાળા લોલકનું અંત્યબિંદુ (1) 10 સેમી (2) 15 સેમી (3) 21 સેમીના ચાપ બનાવે, તો તેણે કેન્દ્ર આગળ બનાવેલ ખૂણાનાં રેડિયન માપ શોધો.
Answer:
ધારો કે, લોલકની લંબાઈ \( r \), તેના છેડા દ્વારા બનતા ચાપની લંબાઈ \( l \), અને કેન્દ્ર આગળ બનતા ખૂણાનું માપ \( \theta \) છે.
અહીં, લોલકની લંબાઈ \( r = 75 \) સેમી છે.
સૂત્ર \( \theta = \frac{l}{r} \) નો ઉપયોગ કરીશું.

(1) જો લોલકનું અંત્યબિંદુ 10 સેમીનો ચાપ બનાવે, તો કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો:
\( \theta = \frac{l}{r} = \frac{10}{75} = \frac{2}{15} \) રેડિયન.

(2) જો લોલકનું અંત્યબિંદુ 15 સેમીનો ચાપ બનાવે, તો કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો:
\( \theta = \frac{l}{r} = \frac{15}{75} = \frac{1}{5} \) રેડિયન.

(3) જો લોલકનું અંત્યબિંદુ 21 સેમીનો ચાપ બનાવે, તો કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો:
\( \theta = \frac{l}{r} = \frac{21}{75} = \frac{7}{25} \) રેડિયન.
In simple words: લોલકની લંબાઈ તેની ત્રિજ્યા બરાબર હોય છે. જ્યારે લોલક કોઈ ચાપ બનાવે છે, ત્યારે કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો શોધવા માટે ચાપની લંબાઈને લોલકની લંબાઈ વડે ભાગવામાં આવે છે. આ ખૂણો હંમેશા રેડિયનમાં મળે છે.

Exam Tip: For pendulum problems, the length of the pendulum acts as the radius of the circular arc. Use the direct formula \( \theta = \frac{l}{r} \) to find the angle in radians, where \( l \) is the arc length and \( r \) is the pendulum's length.