GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 11 શાંકવો 11.2

નીચેના પ્રશ્નક્રમાંક 1થી 6 માટે નાભિના યામ, પરવલયના અક્ષનું સમીકરણ, નિયામિકાનું સમીકરણ અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો :

Question 1. \( y^2 = 12x \)
Answer: અહીં, આ પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = 12x \) છે. જો આપણે આને \( y^2 = 4ax \) સાથે સરખાવીએ, તો આપણને મળે છે કે,
\( 4a = 12 \)
\( a = 3 \)
તેથી, નાભિના યામ \( (a, 0) = (3, 0) \) છે.
અક્ષનું સમીકરણ \( y = 0 \) છે, જે X-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ \( x + a = 0 \) છે, એટલે કે \( x + 3 = 0 \), જેનો અર્થ છે કે \( x = -3 \) છે.
નાભિલંબની લંબાઈ \( 4a = 12 \) છે.
In simple words: અહીં આપેલ પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = 12x \) છે. આને \( y^2 = 4ax \) સાથે સરખાવીને, આપણે \( a \) નું મૂલ્ય 3 મેળવીએ છીએ. તેથી, પરવલયની નાભિ \( (3, 0) \) છે, તેનો અક્ષ X-અક્ષ છે, નિયામિકાનું સમીકરણ \( x = -3 \) છે, અને નાભિલંબની લંબાઈ 12 છે.

Exam Tip: પરવલયના સમીકરણના પ્રમાણભૂત સ્વરૂપોને યાદ રાખો અને \( a \) નું મૂલ્ય યોગ્ય રીતે શોધો, જે તમને નાભિ, અક્ષ, નિયામિકા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધવામાં મદદ કરશે.

Question 2. \( x^2 = 6y \)
Answer: આ કિસ્સામાં, પરવલયનું સમીકરણ \( x^2 = 6y \) છે. જો આપણે આને \( x^2 = 4ay \) સાથે સરખાવીએ, તો આપણને મળે છે કે,
\( 4a = 6 \)
\( a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
તેથી, નાભિના યામ \( (0, a) = (0, \frac{3}{2}) \) છે.
અક્ષનું સમીકરણ \( x = 0 \) છે, જે Y-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ \( y + a = 0 \) છે, એટલે કે \( y + \frac{3}{2} = 0 \), જેનો અર્થ છે કે \( y = -\frac{3}{2} \) છે.
નાભિલંબની લંબાઈ \( 4a = 6 \) છે.
In simple words: આપેલ પરવલય \( x^2 = 6y \) ને પ્રમાણભૂત સમીકરણ \( x^2 = 4ay \) સાથે સરખાવીને, આપણે \( a \) નું મૂલ્ય \( \frac{3}{2} \) મેળવીએ છીએ. તેથી, નાભિ \( (0, \frac{3}{2}) \), અક્ષ Y-અક્ષ, નિયામિકા \( y = -\frac{3}{2} \), અને નાભિલંબની લંબાઈ 6 છે.

Exam Tip: જ્યારે પરવલય \( x^2 = 4ay \) સ્વરૂપમાં હોય, ત્યારે તે Y-અક્ષ પર ખુલે છે, અને તેના ગુણધર્મો Y-અક્ષના સંબંધમાં હોય છે.

Question 3. \( y^2 = - 8x \)
Answer: અહીં, પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = - 8x \) છે. જો આપણે આને \( y^2 = -4ax \) સાથે સરખાવીએ, તો આપણને મળે છે કે,
\( 4a = 8 \)
\( a = 2 \)
તેથી, નાભિના યામ \( (-a, 0) = (-2, 0) \) છે.
અક્ષનું સમીકરણ \( y = 0 \) છે, જે X-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ \( x - a = 0 \) છે, એટલે કે \( x - 2 = 0 \), જેનો અર્થ છે કે \( x = 2 \) છે.
નાભિલંબની લંબાઈ \( 4a = 8 \) છે.
In simple words: આપેલ પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = -8x \) છે. આને \( y^2 = -4ax \) સાથે સરખાવીને, આપણે \( a \) નું મૂલ્ય 2 મેળવીએ છીએ. તેથી, નાભિ \( (-2, 0) \), અક્ષ X-અક્ષ, નિયામિકા \( x = 2 \), અને નાભિલંબની લંબાઈ 8 છે.

Exam Tip: ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે પરવલય ઋણ X-અક્ષ અથવા ઋણ Y-અક્ષ તરફ ખુલે છે, જે નાભિ અને નિયામિકાની દિશા નક્કી કરે છે.

Question 4. \( x^2 = - 16y \)
Answer: આ કિસ્સામાં, પરવલયનું સમીકરણ \( x^2 = -16y \) છે. જો આપણે આને \( x^2 = -4ay \) સાથે સરખાવીએ, તો આપણને મળે છે કે,
\( 4a = 16 \)
\( a = 4 \)
તેથી, નાભિના યામ \( (0, -a) = (0, -4) \) છે.
અક્ષનું સમીકરણ \( x = 0 \) છે, જે Y-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ \( y - a = 0 \) છે, એટલે કે \( y - 4 = 0 \), જેનો અર્થ છે કે \( y = 4 \) છે.
નાભિલંબની લંબાઈ \( 4a = 16 \) છે.
In simple words: આપેલ પરવલય \( x^2 = -16y \) ને પ્રમાણભૂત સમીકરણ \( x^2 = -4ay \) સાથે સરખાવવામાં આવે છે, જેથી \( a = 4 \). આથી, નાભિ \( (0, -4) \) છે, અક્ષ Y-અક્ષ છે, નિયામિકા \( y = 4 \) છે, અને નાભિલંબની લંબાઈ 16 છે.

Exam Tip: સમીકરણમાં \( x^2 \) હોય અને જમણી બાજુ ઋણ હોય, તો પરવલય ઋણ Y-અક્ષ તરફ ખુલે છે.

Question 5. \( y^2 = 10x \)
Answer: અહીં, પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = 10x \) છે. જો આપણે આને \( y^2 = 4ax \) સાથે સરખાવીએ, તો આપણને મળે છે કે,
\( 4a = 10 \)
\( a = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)
તેથી, નાભિના યામ \( (a, 0) = (\frac{5}{2}, 0) \) છે.
અક્ષનું સમીકરણ \( y = 0 \) છે, જે X-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ \( x + a = 0 \) છે, એટલે કે \( x + \frac{5}{2} = 0 \), જેનો અર્થ છે કે \( x = -\frac{5}{2} \) છે.
નાભિલંબની લંબાઈ \( 4a = 10 \) છે.
In simple words: આપેલ પરવલય \( y^2 = 10x \) છે. તેને \( y^2 = 4ax \) સાથે સરખાવતા, \( a = \frac{5}{2} \) મળે છે. તેથી, નાભિ \( (\frac{5}{2}, 0) \) છે, અક્ષ X-અક્ષ છે, નિયામિકા \( x = -\frac{5}{2} \) છે, અને નાભિલંબની લંબાઈ 10 છે.

Exam Tip: અપૂર્ણાંક મૂલ્યો સાથે કામ કરતી વખતે ગણતરીમાં સાવચેત રહો, ખાસ કરીને જ્યારે નાભિ અને નિયામિકાના યામ શોધી રહ્યા હોય.

Question 6. \( x^2 = - 9y \)
Answer: આ કિસ્સામાં, પરવલયનું સમીકરણ \( x^2 = - 9y \) છે. જો આપણે આને \( x^2 = - 4ay \) સાથે સરખાવીએ, તો આપણને મળે છે કે,
\( 4a = 9 \)
\( a = \frac{9}{4} \)
તેથી, નાભિના યામ \( (0, -a) = (0, -\frac{9}{4}) \) છે.
અક્ષનું સમીકરણ \( x = 0 \) છે, જે Y-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ \( y - a = 0 \) છે, એટલે કે \( y - \frac{9}{4} = 0 \), જેનો અર્થ છે કે \( y = \frac{9}{4} \) છે.
નાભિલંબની લંબાઈ \( 4a = 9 \) છે.
In simple words: આપેલ પરવલય \( x^2 = -9y \) છે. આને \( x^2 = -4ay \) સાથે સરખાવીને, આપણે \( a \) નું મૂલ્ય \( \frac{9}{4} \) મેળવીએ છીએ. તેથી, નાભિ \( (0, -\frac{9}{4}) \), અક્ષ Y-અક્ષ, નિયામિકા \( y = \frac{9}{4} \), અને નાભિલંબની લંબાઈ 9 છે.

Exam Tip: સમીકરણનું સ્વરૂપ (દા.ત., \( x^2 \) અથવા \( y^2 \)) અને ચિહ્ન (ધન અથવા ઋણ) કાળજીપૂર્વક તપાસો જેથી પરવલયની દિશા અને તેના પરિમાણો યોગ્ય રીતે નક્કી કરી શકાય.

નીચેના પ્રશ્નક્રમાંક 7થી 12માં આપેલી શરતો પ્રમાણે પરવલયનું સમીકરણ મેળવો :

Question 7. નાભિ \( (6, 0) \); નિયામિકા \( x = - 6 \)
Answer: અહીં, નિયામિકાનું સમીકરણ \( x = - 6 \) છે, જે Y-અક્ષને સમાંતર છે.
તેથી, પરવલયનો અક્ષ X-અક્ષ છે અને શિરોબિંદુ \( (0,0) \) છે.
ધારો કે, પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = 4ax \) ........(1)
તેની નાભિ \( (a, 0) = (6, 0) \) આપેલ છે.
આથી, \( a = 6 \).
જો આપણે \( a = 6 \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકીએ, તો,
પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = 4(6)x \)
\( y^2 = 24x \) થશે.
In simple words: અહીં નિયામિકા \( x = -6 \) છે, જે Y-અક્ષને સમાંતર છે. આનો અર્થ એ થાય કે પરવલય X-અક્ષ પર ખુલે છે અને તેનું શિરોબિંદુ \( (0,0) \) છે. પ્રમાણભૂત સમીકરણ \( y^2 = 4ax \) નો ઉપયોગ કરીને અને આપેલ નાભિ \( (6,0) \) પરથી \( a = 6 \) મૂકીને, આપણને પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = 24x \) મળે છે.

Exam Tip: નિયામિકાનું સમીકરણ પરવલયના અક્ષની દિશા નક્કી કરવામાં મદદ કરે છે. જો નિયામિકા \( x = -a \) હોય, તો અક્ષ X-અક્ષ હોય છે અને પરવલય જમણી બાજુ ખુલે છે.

Question 8. નાભિ \( (0, -3) \); નિયામિકા \( y = 3 \)
Answer: અહીં, નિયામિકાનું સમીકરણ \( y = 3 \) છે, જે X-અક્ષને સમાંતર છે.
તેથી, પરવલયનો અક્ષ Y-અક્ષ છે અને શિરોબિંદુ \( (0,0) \) છે.
ધારો કે, પરવલયનું સમીકરણ \( x^2 = - 4ay \) ........(1)
તેની નાભિ \( (0, -a) = (0, -3) \) આપેલ છે.
આથી, \( a = 3 \).
જો આપણે \( a = 3 \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકીએ, તો,
પરવલયનું સમીકરણ \( x^2 = -4(3)y \)
\( x^2 = -12y \) થશે.
In simple words: નિયામિકા \( y = 3 \) એ X-અક્ષને સમાંતર છે, તેથી પરવલય Y-અક્ષ પર ખુલે છે અને તેનું શિરોબિંદુ \( (0,0) \) છે. આપેલ નાભિ \( (0,-3) \) પરથી \( a = 3 \) મળે છે. આને પ્રમાણભૂત સમીકરણ \( x^2 = -4ay \) માં મૂકવાથી, પરવલયનું સમીકરણ \( x^2 = -12y \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે નિયામિકા \( y = a \) હોય અને નાભિ \( (0, -a) \) હોય, ત્યારે પરવલય ઋણ Y-અક્ષ તરફ ખુલે છે, અને તેનું સમીકરણ \( x^2 = -4ay \) હોય છે.

Question 9. શિરોબિંદુ \( (0, 0) \); નાભિ \( (3, 0) \)
Answer: અહીં, શિરોબિંદુ \( (0, 0) \) અને નાભિ \( (3, 0) \) છે.
આ પરવલયનો અક્ષ X-અક્ષ છે, અને તે જમણી બાજુ ખુલે છે.
તેથી, પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = 4ax \) ........(1)
તેની નાભિ \( (a, 0) = (3, 0) \) આપેલ છે.
આથી, \( a = 3 \).
જો આપણે \( a = 3 \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકીએ, તો,
પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = 4(3)x \)
\( y^2 = 12x \) થશે.
In simple words: જો પરવલયનું શિરોબિંદુ \( (0,0) \) અને નાભિ \( (3,0) \) હોય, તો તેનો અક્ષ X-અક્ષ છે અને તે જમણી બાજુ ખુલે છે. પ્રમાણભૂત સમીકરણ \( y^2 = 4ax \) માં \( a=3 \) મૂકતા, આપણને પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = 12x \) મળે છે.

Exam Tip: શિરોબિંદુ અને નાભિના યામ પરથી પરવલયનો અક્ષ અને ખુલ્લી દિશા નક્કી કરો જેથી તમે યોગ્ય પ્રમાણભૂત સમીકરણ પસંદ કરી શકો.

Question 10. શિરોબિંદુ \( (0, 0) \); નાભિ \( (- 2, 0) \)
Answer: અહીં, શિરોબિંદુ \( (0, 0) \) અને નાભિ \( (-2, 0) \) છે.
આ પરવલયનો અક્ષ X-અક્ષ છે, અને તે ડાબી બાજુ ખુલે છે.
ધારો કે, પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = - 4ax \) ........(1)
તેની નાભિ \( (-a, 0) = (-2, 0) \) આપેલ છે.
આથી, \( a = 2 \).
જો આપણે \( a = 2 \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકીએ, તો,
પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = - 4(2)x \)
\( y^2 = - 8x \) થશે.
In simple words: શિરોબિંદુ \( (0,0) \) અને નાભિ \( (-2,0) \) સાથે, પરવલયનો અક્ષ X-અક્ષ છે અને તે ડાબી બાજુ ખુલે છે. પ્રમાણભૂત સમીકરણ \( y^2 = -4ax \) નો ઉપયોગ કરીને અને \( a=2 \) મૂકવાથી, આપણને પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = -8x \) મળે છે.

Exam Tip: જો નાભિ ઋણ X-અક્ષ પર હોય, તો પરવલય ઋણ X-અક્ષ તરફ ખુલે છે, અને તેનું સમીકરણ \( y^2 = -4ax \) હોય છે.

Question 11. શિરોબિંદુ \( (0, 0) \), \( (2, 3) \) માંથી પસાર થતાં અને X-અક્ષ જેનો અક્ષ હોય.
Answer: અહીં, પરવલયનું શિરોબિંદુ \( (0, 0) \) છે અને તેનો અક્ષ X-અક્ષ છે. ધારો કે, પરવલયનું સમીકરણ
\( y^2 = 4ax \) ........(1)
આ પરવલય બિંદુ \( (2, 3) \) માંથી પસાર થાય છે.
તેથી, આપણે \( x = 2 \) અને \( y = 3 \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકી શકીએ.
\( (3)^2 = 4a(2) \)
\( 9 = 8a \)
આથી, \( a = \frac{9}{8} \).
જો આપણે \( a = \frac{9}{8} \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકીએ, તો,
પરવલયનું સમીકરણ \( y^2 = 4(\frac{9}{8})x \)
\( y^2 = \frac{9}{2}x \)
આથી, \( 2y^2 = 9x \) થશે.
In simple words: પરવલયનું શિરોબિંદુ \( (0,0) \) છે અને તેનો અક્ષ X-અક્ષ છે, તેથી તેનું સમીકરણ \( y^2 = 4ax \) છે. તે બિંદુ \( (2,3) \) માંથી પસાર થતું હોવાથી, આપણે આ બિંદુના યામ સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ. ગણતરી કરતા, આપણને \( a = \frac{9}{8} \) મળે છે. આ \( a \) નું મૂલ્ય મૂળ સમીકરણમાં પાછું મૂકવાથી, પરવલયનું સમીકરણ \( 2y^2 = 9x \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે પરવલય કોઈ ચોક્કસ બિંદુમાંથી પસાર થાય, ત્યારે તે બિંદુના યામને સમીકરણમાં મૂકીને અજ્ઞાત \( a \) નું મૂલ્ય શોધી શકાય છે.

Question 12. શિરોબિંદુ \( (0, 0) \), \( (5, 2) \) માંથી પસાર થતાં અને Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત.
Answer: અહીં, પરવલયનું શિરોબિંદુ \( (0, 0) \) છે અને તે Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત છે.
તેથી, તેનો અક્ષ Y-અક્ષ છે.
ધારો કે, પરવલયનું સમીકરણ \( x^2 = 4ay \) ........(1)
આ પરવલય બિંદુ \( (5, 2) \) માંથી પસાર થાય છે.
તેથી, આપણે \( x = 5 \) અને \( y = 2 \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકી શકીએ.
\( (5)^2 = 4a(2) \)
\( 25 = 8a \)
આથી, \( a = \frac{25}{8} \).
જો આપણે \( a = \frac{25}{8} \) ને સમીકરણ (1) માં મૂકીએ, તો,
પરવલયનું સમીકરણ \( x^2 = 4(\frac{25}{8})y \)
\( x^2 = \frac{25}{2}y \)
આથી, \( 2x^2 = 25y \) થશે.
In simple words: પરવલયનું શિરોબિંદુ \( (0,0) \) છે અને તે Y-અક્ષની આસપાસ સમાન છે, તેથી તેનો અક્ષ Y-અક્ષ છે. પ્રમાણભૂત સમીકરણ \( x^2 = 4ay \) માં, બિંદુ \( (5,2) \) ના યામ મૂકવામાં આવે છે, જેનાથી \( a = \frac{25}{8} \) મળે છે. આ મૂલ્યને સમીકરણમાં પાછું મૂકવાથી, પરવલયનું સમીકરણ \( 2x^2 = 25y \) મળે છે.

Exam Tip: "Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત" નો અર્થ છે કે Y-અક્ષ પરવલયનો અક્ષ છે, અને આ સ્થિતિમાં પરવલયનું સમીકરણ \( x^2 = 4ay \) અથવા \( x^2 = -4ay \) હોય છે.