GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 11 શાંકવો 11.1

નીચેના પ્રશ્નો 1થી 5 પૈકી પ્રત્યેકમાં વર્તુળનું સમીકરણ મેળવો:

Question 1. કેન્દ્ર (0, 2) અને 2 ત્રિજ્યાવાળા
Answer: આપણને વર્તુળનું કેન્દ્ર \( (h, k) = (0, 2) \) અને ત્રિજ્યા \( r = 2 \) આપવામાં આવી છે. વર્તુળના સમીકરણનું સામાન્ય સૂત્ર \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) છે.
અહીં, \( (h, k) = (0, 2) \) અને \( r = 2 \) હોવાથી,
માગેલા વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ થશે:
\( (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 2^2 \)
\( \implies x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4 \)
\( \implies x^2 + y^2 - 4y = 0 \)
In simple words: અહીં, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( (0, 2) \) અને ત્રિજ્યા 2 છે. આપણે આ કિંમતોને વર્તુળના સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ, જેથી \( x^2 + (y-2)^2 = 2^2 \) મળે. તેને સરળ કરવાથી અંતિમ સમીકરણ \( x^2 + y^2 - 4y = 0 \) મળે છે.

Exam Tip: વર્તુળનું સમીકરણ શોધવા માટે હંમેશા કેન્દ્ર \( (h, k) \) અને ત્રિજ્યા \( r \) નો ઉપયોગ કરીને સૂત્ર \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) યાદ રાખો.

Question 2. કેન્દ્ર (– 2, 3) અને 4 ત્રિજ્યાવાળા
Answer: આપણને વર્તુળનું કેન્દ્ર \( (h, k) = (-2, 3) \) અને ત્રિજ્યા \( r = 4 \) આપવામાં આવી છે. વર્તુળના સમીકરણનું સામાન્ય સૂત્ર \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) છે.
અહીં, \( (h, k) = (-2, 3) \) અને \( r = 4 \) હોવાથી,
માગેલા વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ થશે:
\( (x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 4^2 \)
\( \implies (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16 \)
\( \implies x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 16 \)
\( \implies x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 16 \)
\( \implies x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0 \)
In simple words: અહીં, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( (-2, 3) \) અને ત્રિજ્યા 4 છે. સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીને તેને સરળ કરવાથી આપણને \( x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0 \) મળે છે, જે આપણું વર્તુળનું સમીકરણ છે.

Exam Tip: જ્યારે કેન્દ્ર ઋણ હોય, ત્યારે \( (x - (-h))^2 \) ને \( (x + h)^2 \) તરીકે લખવાનું યાદ રાખો. આ નાની ભૂલ સમીકરણ બદલી શકે છે.

Question 3. કેન્દ્ર \( \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right) \) અને \( \frac{1}{12} \) ત્રિજ્યાવાળા
Answer: આપણને વર્તુળનું કેન્દ્ર \( (h, k) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right) \) અને ત્રિજ્યા \( r = \frac{1}{12} \) આપવામાં આવી છે. વર્તુળના સમીકરણનું સામાન્ય સૂત્ર \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) છે.
અહીં, \( (h, k) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right) \) અને \( r = \frac{1}{12} \) હોવાથી,
માગેલા વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ થશે:
\( \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{1}{4} \right)^2 = \left( \frac{1}{12} \right)^2 \)
\( \implies x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{16} = \frac{1}{144} \)
સમીકરણને 144 વડે ગુણવાથી અપૂર્ણાંક દૂર થશે:
\( 144x^2 - 144x + 36 + 144y^2 - 72y + 9 = 1 \)
\( \implies 144x^2 + 144y^2 - 144x - 72y + 45 = 1 \)
\( \implies 144x^2 + 144y^2 - 144x - 72y + 44 = 0 \)
આખા સમીકરણને 4 વડે ભાગવાથી,
\( \implies 36x^2 + 36y^2 - 36x - 18y + 11 = 0 \)
In simple words: કેન્દ્ર \( \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right) \) અને ત્રિજ્યા \( \frac{1}{12} \) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે વર્તુળનું સૂત્ર \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) માં કિંમતો મૂકીએ છીએ. અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે, આખા સમીકરણને 144 વડે ગુણીએ છીએ અને પછી તેને સરળ બનાવીએ છીએ. છેલ્લે, 4 વડે ભાગવાથી આપણને \( 36x^2 + 36y^2 - 36x - 18y + 11 = 0 \) મળે છે.

Exam Tip: અપૂર્ણાંકવાળા કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા હોય ત્યારે, ગણતરીમાં સાવચેત રહો અને સમીકરણને પૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં લાવવા માટે યોગ્ય ગુણાકાર કરો.

Question 4. કેન્દ્ર (1, 1) અને \( \sqrt{2} \) ત્રિજ્યાવાળા
Answer: આપણને વર્તુળનું કેન્દ્ર \( (h, k) = (1, 1) \) અને ત્રિજ્યા \( r = \sqrt{2} \) આપવામાં આવી છે. વર્તુળના સમીકરણનું સામાન્ય સૂત્ર \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) છે.
અહીં, \( (h, k) = (1, 1) \) અને \( r = \sqrt{2} \) હોવાથી,
માગેલા વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ થશે:
\( (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{2})^2 \)
\( \implies x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 2 \)
\( \implies x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 = 2 \)
\( \implies x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0 \)
In simple words: અહીં, કેન્દ્ર \( (1, 1) \) અને ત્રિજ્યા \( \sqrt{2} \) છે. વર્તુળના સમીકરણના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકીને, આપણે \( (x-1)^2 + (y-1)^2 = (\sqrt{2})^2 \) મેળવીએ છીએ. આ સમીકરણને સરળ કરવાથી \( x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0 \) મળે છે.

Exam Tip: \( (\sqrt{a})^2 = a \) આ નિયમ યાદ રાખવો અગત્યનો છે, ખાસ કરીને જ્યારે ત્રિજ્યા વર્ગમૂળમાં આપેલી હોય.

Question 5. કેન્દ્ર (-a, -b) અને \( \sqrt{a^2-b^2} \) ત્રિજ્યાવાળા
Answer: આપણને વર્તુળનું કેન્દ્ર \( (h, k) = (-a, -b) \) અને ત્રિજ્યા \( r = \sqrt{a^2-b^2} \) આપવામાં આવી છે. વર્તુળના સમીકરણનું સામાન્ય સૂત્ર \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) છે.
અહીં, \( (h, k) = (-a, -b) \) અને \( r = \sqrt{a^2-b^2} \) હોવાથી,
માગેલા વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ થશે:
\( (x - (-a))^2 + (y - (-b))^2 = (\sqrt{a^2-b^2})^2 \)
\( \implies (x + a)^2 + (y + b)^2 = a^2 - b^2 \)
\( \implies x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + 2by + b^2 = a^2 - b^2 \)
\( \implies x^2 + y^2 + 2ax + 2by + 2b^2 = 0 \)
In simple words: આપણે કેન્દ્ર \( (-a, -b) \) અને ત્રિજ્યા \( \sqrt{a^2-b^2} \) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. સૂત્ર \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) માં કિંમતો મૂકતા, \( (x+a)^2 + (y+b)^2 = a^2-b^2 \) મળે છે. તેને સરળ કરવાથી \( x^2 + y^2 + 2ax + 2by + 2b^2 = 0 \) સમીકરણ મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે કેન્દ્રના યામો અને ત્રિજ્યા ચલ સ્વરૂપમાં હોય, ત્યારે બીજગણિતીય ગણતરીઓ ધ્યાનપૂર્વક કરો, ખાસ કરીને વર્ગમૂળ અને ઋણ ચિહ્નો સાથે.

નીચેના પ્રશ્નો 6થી 9 પૈકી પ્રત્યેકમાં વર્તુળનું કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા શોધો :

Question 6. \( (x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 36 \)
Answer: આપેલ સમીકરણ \( (x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 36 \) છે.
આ સમીકરણને વર્તુળના પ્રમાણભૂત સમીકરણ \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) સાથે સરખાવતા,
આપણને મળે છે:
\( (x - (-5))^2 + (y - 3)^2 = 6^2 \)
તેથી, \( h = -5 \), \( k = 3 \) અને \( r^2 = 36 \implies r = 6 \).
આમ, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( C(h, k) \) એટલે કે \( C(-5, 3) \) છે અને ત્રિજ્યા \( r = 6 \) છે.
In simple words: આપેલા વર્તુળના સમીકરણને \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) સૂત્ર સાથે સરખાવો. અહીં \( h = -5 \), \( k = 3 \) અને \( r^2 = 36 \) છે. તેથી, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( (-5, 3) \) અને ત્રિજ્યા \( \sqrt{36} = 6 \) છે.

Exam Tip: સમીકરણમાં \( (x+h)^2 \) હોય ત્યારે કેન્દ્રનો \( x \)-યામ \( -h \) અને \( (y+k)^2 \) હોય ત્યારે \( y \)-યામ \( -k \) હોય તે યાદ રાખો.

Question 7. \( x^2 + y^2 - 4x - 8y - 45 = 0 \)
Answer: આપેલ સમીકરણ \( x^2 + y^2 - 4x - 8y - 45 = 0 \) છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા શોધવા માટે, આપણે આ સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવું પડશે. આ માટે, આપણે \( x \) અને \( y \) પદોને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીશું.
\( (x^2 - 4x) + (y^2 - 8y) = 45 \)
\( (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 8y + 16) = 45 + 4 + 16 \)
\( \implies (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 65 \)
આ સમીકરણને વર્તુળના પ્રમાણભૂત સમીકરણ \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) સાથે સરખાવતા,
આપણને મળે છે:
\( h = 2 \), \( k = 4 \) અને \( r^2 = 65 \).
તેથી, ત્રિજ્યા \( r = \sqrt{65} \).
આમ, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( C(h, k) \) એટલે કે \( C(2, 4) \) છે અને ત્રિજ્યા \( r = \sqrt{65} \) છે.
In simple words: આપેલા સમીકરણ \( x^2 + y^2 - 4x - 8y - 45 = 0 \) માં, \( x \) અને \( y \) પદોને પૂર્ણ વર્ગ બનાવો. આમ કરવાથી, આપણને \( (x-2)^2 + (y-4)^2 = 65 \) મળે છે. આ સમીકરણમાંથી કેન્દ્ર \( (2, 4) \) અને ત્રિજ્યા \( \sqrt{65} \) જોઈ શકાય છે.

Exam Tip: સામાન્ય સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, \( x^2 \) અને \( y^2 \) ના સહગુણાંકો 1 હોવા જોઈએ. જો ન હોય, તો તેમને 1 બનાવવા માટે સમીકરણને ભાગો. પછી પૂર્ણ વર્ગ બનાવવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.

Question 8. \( x^2 + y^2 - 8x + 10y - 12 = 0 \)
Answer: આપેલ સમીકરણ \( x^2 + y^2 - 8x + 10y - 12 = 0 \) છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, \( x \) અને \( y \) પદોને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીશું.
\( (x^2 - 8x) + (y^2 + 10y) = 12 \)
\( (x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 10y + 25) = 12 + 16 + 25 \)
\( \implies (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 53 \)
આ સમીકરણને વર્તુળના પ્રમાણભૂત સમીકરણ \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) સાથે સરખાવતા,
આપણને મળે છે:
\( h = 4 \), \( k = -5 \) અને \( r^2 = 53 \).
તેથી, ત્રિજ્યા \( r = \sqrt{53} \).
આમ, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( C(h, k) \) એટલે કે \( C(4, -5) \) છે અને ત્રિજ્યા \( r = \sqrt{53} \) છે.
In simple words: \( x^2 + y^2 - 8x + 10y - 12 = 0 \) સમીકરણને પૂર્ણ વર્ગ બનાવવાની રીતનો ઉપયોગ કરીને \( (x-4)^2 + (y+5)^2 = 53 \) માં ફેરવો. આના પરથી, કેન્દ્ર \( (4, -5) \) અને ત્રિજ્યા \( \sqrt{53} \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે \( x \) કે \( y \) પદ ઋણ હોય ત્યારે પૂર્ણ વર્ગ બનાવતી વખતે ચિહ્નોની ભૂલ ન થાય તેનું ધ્યાન રાખો. દા.ત., \( x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 \).

Question 9. \( 2x^2 + 2y^2 - x = 0 \)
Answer: આપેલ સમીકરણ \( 2x^2 + 2y^2 - x = 0 \) છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, આપણે \( x^2 \) અને \( y^2 \) ના સહગુણાંકોને 1 બનાવીશું. આ માટે, આખા સમીકરણને 2 વડે ભાગીશું.
\( \implies x^2 + y^2 - \frac{1}{2}x = 0 \)
હવે, \( x \) પદોને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીશું.
\( (x^2 - \frac{1}{2}x) + y^2 = 0 \)
\( (x^2 - \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2) + y^2 = (\frac{1}{4})^2 \)
\( (x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}) + y^2 = \frac{1}{16} \)
\( \implies \left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + (y - 0)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \)
આ સમીકરણને વર્તુળના પ્રમાણભૂત સમીકરણ \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) સાથે સરખાવતા,
આપણને મળે છે:
\( h = \frac{1}{4} \), \( k = 0 \) અને \( r^2 = \frac{1}{16} \).
તેથી, ત્રિજ્યા \( r = \frac{1}{4} \).
આમ, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( C(h, k) \) એટલે કે \( C \left( \frac{1}{4}, 0 \right) \) છે અને ત્રિજ્યા \( r = \frac{1}{4} \) છે.
In simple words: સમીકરણ \( 2x^2 + 2y^2 - x = 0 \) ને પહેલા 2 વડે ભાગીને \( x^2 + y^2 - \frac{1}{2}x = 0 \) મેળવો. પછી \( x \) પદને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીને \( \left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + (y - 0)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \) મેળવો. આના પરથી, કેન્દ્ર \( \left( \frac{1}{4}, 0 \right) \) અને ત્રિજ્યા \( \frac{1}{4} \) મળે છે.

Exam Tip: જો \( x^2 \) અને \( y^2 \) ના સહગુણાંકો 1 ન હોય, તો પહેલા તેમને 1 બનાવવા માટે સમગ્ર સમીકરણને યોગ્ય સંખ્યા વડે ભાગો. પછી પૂર્ણ વર્ગ બનાવવાની પ્રક્રિયા કરો.

Question 10. જેનું કેન્દ્ર રેખા \( 4x + y = 16 \) ઉપર હોય તથા જે \( (4, 1) \) અને \( (6, 5) \)માંથી પસાર થતું હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ મેળવો.
Answer: ધારો કે, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( C(h, k) \) છે. આ કેન્દ્ર રેખા \( 4x + y = 16 \) ઉપર આવેલું છે.
તેથી, કેન્દ્રના યામો આ રેખાના સમીકરણનું પાલન કરશે:
\( 4h + k = 16 \) ......(1)
વળી, વર્તુળ બિંદુઓ \( A(4, 1) \) અને \( B(6, 5) \) માંથી પસાર થાય છે. તેથી, \( CA^2 = CB^2 \).
\( (h - 4)^2 + (k - 1)^2 = (h - 6)^2 + (k - 5)^2 \)
\( h^2 - 8h + 16 + k^2 - 2k + 1 = h^2 - 12h + 36 + k^2 - 10k + 25 \)
\( -8h - 2k + 17 = -12h - 10k + 61 \)
\( -8h + 12h - 2k + 10k = 61 - 17 \)
\( 4h + 8k = 44 \)
સમીકરણને 4 વડે ભાગતા:
\( h + 2k = 11 \) ......(2)
સમીકરણ (1) માંથી \( k = 16 - 4h \) કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતા:
\( h + 2(16 - 4h) = 11 \)
\( h + 32 - 8h = 11 \)
\( -7h = 11 - 32 \)
\( -7h = -21 \)
\( \implies h = 3 \)
\( h \) ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતા:
\( 4(3) + k = 16 \)
\( 12 + k = 16 \)
\( \implies k = 4 \)
તેથી, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( C(3, 4) \) છે.
હવે, ત્રિજ્યા \( r = CA \) શોધીશું:
\( r = \sqrt{(4-3)^2 + (1-4)^2} \)
\( r = \sqrt{(1)^2 + (-3)^2} \)
\( r = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \)
આમ, કેન્દ્ર \( (h, k) = (3, 4) \) અને ત્રિજ્યા \( r = \sqrt{10} \) છે.
માગેલ વર્તુળનું સમીકરણ:
\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)
\( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{10})^2 \)
\( \implies x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 10 \)
\( \implies x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 10 \)
\( \implies x^2 + y^2 - 6x - 8y + 15 = 0 \)
In simple words: સૌપ્રથમ, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( (h, k) \) રેખા \( 4x + y = 16 \) પર છે તે શરતનો ઉપયોગ કરીને એક સમીકરણ (1) બનાવો. પછી, વર્તુળ બિંદુઓ \( (4, 1) \) અને \( (6, 5) \) માંથી પસાર થાય છે, તેથી કેન્દ્રથી બંને બિંદુઓનું અંતર સરખું છે \( (CA^2 = CB^2) \). આમાંથી બીજું સમીકરણ (2) મેળવો. આ બંને સમીકરણોને ઉકેલીને કેન્દ્ર \( (3, 4) \) મળે છે. ત્યારબાદ, કેન્દ્ર અને કોઈ એક બિંદુ વચ્ચેનું અંતર શોધીને ત્રિજ્યા \( \sqrt{10} \) મેળવો. છેલ્લે, કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યાનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળનું સમીકરણ \( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 15 = 0 \) શોધો.

Exam Tip: જ્યારે વર્તુળનું કેન્દ્ર કોઈ રેખા પર હોય અને બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતું હોય, ત્યારે કેન્દ્રના યામો તે રેખાના સમીકરણનું પાલન કરશે અને કેન્દ્રથી બંને બિંદુઓનું અંતર સરખું હશે. આ બે શરતોનો ઉપયોગ કરીને \( h \) અને \( k \) શોધો.

Question 11. જેનું કેન્દ્ર રેખા \( x – 3y – 11 = ૦ \) ઉપર હોય તથા જે \( (2, 3) \) અને \( (– 1, 19) \)માંથી પસાર થતું હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ મેળવો.
Answer: ધારો કે, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( C(h, k) \) છે. આ કેન્દ્ર રેખા \( x - 3y - 11 = 0 \) ઉપર આવેલું છે.
તેથી, કેન્દ્રના યામો આ રેખાના સમીકરણનું પાલન કરશે:
\( h - 3k - 11 = 0 \)
\( \implies h = 3k + 11 \) ......(1)
વળી, વર્તુળ બિંદુઓ \( A(2, 3) \) અને \( B(-1, 19) \) માંથી પસાર થાય છે. તેથી, \( CA^2 = CB^2 \).
\( (h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h - (-1))^2 + (k - 19)^2 \)
\( (h - 2)^2 + (k - 3)^2 = (h + 1)^2 + (k - 19)^2 \)
\( h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 + 2h + 1 + k^2 - 38k + 361 \)
\( -4h - 6k + 13 = 2h - 38k + 362 \)
\( -4h - 2h - 6k + 38k = 362 - 13 \)
\( -6h + 32k = 349 \) ......(2)
સમીકરણ (1) માંથી \( h = 3k + 11 \) કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતા:
\( -6(3k + 11) + 32k = 349 \)
\( -18k - 66 + 32k = 349 \)
\( 14k = 349 + 66 \)
\( 14k = 415 \)
\( \implies k = \frac{415}{14} \)
\( k \) ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતા:
\( h = 3 \left( \frac{415}{14} \right) + 11 \)
\( h = \frac{1245}{14} + \frac{154}{14} = \frac{1399}{14} \)
તેથી, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( C \left( \frac{1399}{14}, \frac{415}{14} \right) \) છે.
હવે, ત્રિજ્યા \( r = CA \) શોધીશું:
\( r = \sqrt{\left( 2 - \frac{1399}{14} \right)^2 + \left( 3 - \frac{415}{14} \right)^2} \)
\( r = \sqrt{\left( \frac{28 - 1399}{14} \right)^2 + \left( \frac{42 - 415}{14} \right)^2} \)
\( r = \sqrt{\left( \frac{-1371}{14} \right)^2 + \left( \frac{-373}{14} \right)^2} \)
\( r = \sqrt{\frac{1879641 + 139129}{196}} = \sqrt{\frac{2018770}{196}} = \frac{\sqrt{2018770}}{14} \)
આમ, કેન્દ્ર \( \left( \frac{1399}{14}, \frac{415}{14} \right) \) અને ત્રિજ્યા \( r = \frac{\sqrt{2018770}}{14} \) છે.
માગેલ વર્તુળનું સમીકરણ:
\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)
\( \left( x - \frac{1399}{14} \right)^2 + \left( y - \frac{415}{14} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{2018770}}{14} \right)^2 \)
\( \left( \frac{14x - 1399}{14} \right)^2 + \left( \frac{14y - 415}{14} \right)^2 = \frac{2018770}{196} \)
\( (14x - 1399)^2 + (14y - 415)^2 = 2018770 \)
\( 196x^2 - 2 \cdot 14x \cdot 1399 + 1399^2 + 196y^2 - 2 \cdot 14y \cdot 415 + 415^2 = 2018770 \)
\( 196x^2 - 39172x + 1957201 + 196y^2 - 11620y + 172225 = 2018770 \)
\( 196x^2 + 196y^2 - 39172x - 11620y + 2129426 = 2018770 \)
\( 196x^2 + 196y^2 - 39172x - 11620y + 110656 = 0 \)
સમીકરણને 4 વડે ભાગતા (જો શક્ય હોય તો):
\( 49x^2 + 49y^2 - 9793x - 2905y + 27664 = 0 \)
(Note: The answer given in the OCR `x + 2 – 7x + 59-14 = 0` appears to be incorrect or simplified to a wrong form. The above solution is derived correctly.)
In simple words: પહેલા, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( (h, k) \) રેખા \( x - 3y - 11 = 0 \) પર છે તે શરતથી એક સમીકરણ (1) બનાવો. પછી, વર્તુળ બે બિંદુઓ \( (2, 3) \) અને \( (-1, 19) \) માંથી પસાર થાય છે, તેથી કેન્દ્રથી બંને બિંદુઓનું અંતર સરખું છે. આનાથી બીજું સમીકરણ (2) મેળવો. આ બે સમીકરણોને ઉકેલીને કેન્દ્રના યામ \( h = \frac{1399}{14} \) અને \( k = \frac{415}{14} \) મળે છે. ત્યારબાદ, ત્રિજ્યા \( r \) શોધો અને પછી વર્તુળનું અંતિમ સમીકરણ મેળવો.

Exam Tip: જ્યારે સંકલન બિંદુઓ અને રેખાના સમીકરણ અપૂર્ણાંકમાં પરિણમે, ત્યારે ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખવી જરૂરી છે. લાંબા સમીકરણોને ધીમે ધીમે સરળ બનાવવાની પ્રેક્ટિસ કરો.

Question 12. જેનું કેન્દ્ર X-અક્ષ પર હોય અને જે \( (2, 3) \)માંથી પસાર થતું હોય અને જેની ત્રિજ્યા 5 હોય એવા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.
Answer: વર્તુળનું કેન્દ્ર X-અક્ષ પર છે, તેથી તેના યામ \( (h, 0) \) હશે.
વર્તુળ બિંદુ \( A(2, 3) \) માંથી પસાર થાય છે અને તેની ત્રિજ્યા \( r = 5 \) છે.
કેન્દ્ર \( (h, 0) \) અને બિંદુ \( (2, 3) \) વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હશે.
\( CA = r \)
\( \sqrt{(h - 2)^2 + (0 - 3)^2} = 5 \)
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
\( (h - 2)^2 + (-3)^2 = 5^2 \)
\( (h - 2)^2 + 9 = 25 \)
\( (h - 2)^2 = 25 - 9 \)
\( (h - 2)^2 = 16 \)
\( h - 2 = \pm \sqrt{16} \)
\( h - 2 = \pm 4 \)
આથી, બે કિસ્સા બને છે:
(1) \( h - 2 = 4 \implies h = 6 \)
(2) \( h - 2 = -4 \implies h = -2 \)
તેથી, બે આવા વર્તુળો શક્ય છે, અને તેમના કેન્દ્રો \( (6, 0) \) અને \( (-2, 0) \) છે.

કિસ્સો 1: કેન્દ્ર \( (6, 0) \) અને ત્રિજ્યા \( r = 5 \)
માગેલ વર્તુળનું સમીકરણ:
\( (x - 6)^2 + (y - 0)^2 = 5^2 \)
\( x^2 - 12x + 36 + y^2 = 25 \)
\( x^2 + y^2 - 12x + 11 = 0 \)

કિસ્સો 2: કેન્દ્ર \( (-2, 0) \) અને ત્રિજ્યા \( r = 5 \)
માગેલ વર્તુળનું સમીકરણ:
\( (x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = 5^2 \)
\( (x + 2)^2 + y^2 = 25 \)
\( x^2 + 4x + 4 + y^2 = 25 \)
\( x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0 \)
In simple words: વર્તુળનું કેન્દ્ર X-અક્ષ પર હોવાથી તેને \( (h, 0) \) ધારી લો. વર્તુળ બિંદુ \( (2, 3) \) માંથી પસાર થાય છે અને તેની ત્રિજ્યા 5 છે. આથી, કેન્દ્ર અને આ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર ત્રિજ્યા (5) જેટલું થશે. આનો ઉપયોગ કરીને, આપણે \( h \) ની બે કિંમતો \( 6 \) અને \( -2 \) મેળવીએ છીએ. તેથી, બે વર્તુળો શક્ય છે, જેમના કેન્દ્રો \( (6, 0) \) અને \( (-2, 0) \) છે. આ દરેક કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યાનો ઉપયોગ કરીને બે અલગ-અલગ વર્તુળના સમીકરણો શોધો.

Exam Tip: જ્યારે કેન્દ્ર કોઈ અક્ષ પર હોય, ત્યારે તે અક્ષ પરનો બીજો યામ શૂન્ય હોય છે. (દા.ત., X-અક્ષ પર કેન્દ્ર હોય તો \( y \)-યામ 0). બે શક્ય કેન્દ્રો અને સમીકરણો શોધવાની અપેક્ષા રાખો.

Question 13. જે વર્તુળ ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતું હોય અને અક્ષો પર અંતઃખંડ \( a \) અને \( b \) બનાવતું હોય તેનું સમીકરણ મેળવો.
Answer: અહીં, વર્તુળ ઊગમબિંદુ \( O(0, 0) \) માંથી પસાર થાય છે અને X-અક્ષ પર \( a \) અને Y-અક્ષ પર \( b \) અંતઃખંડ કાપે છે.
તેથી, વર્તુળ X-અક્ષને બિંદુ \( A(a, 0) \) માં અને Y-અક્ષને બિંદુ \( B(0, b) \) માં છેદે છે.
અહીં, \( \angle AOB = 90^\circ \) (કારણ કે અક્ષો એકબીજાને લંબ હોય છે).
આમ, \( AB \) એ આ વર્તુળનો વ્યાસ છે. વ્યાસનું મધ્યબિંદુ \( C \) વર્તુળનું કેન્દ્ર થશે.
કેન્દ્ર \( C = \left( \frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right) \)
વર્તુળની ત્રિજ્યા \( r = OC \) અથવા \( r = \frac{1}{2} AB \).
\( r = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{b}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \)
માગેલા વર્તુળનું સમીકરણ \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) અનુસાર,
\( \left( x - \frac{a}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{b}{2} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \right)^2 \)
\( \implies x^2 - ax + \frac{a^2}{4} + y^2 - by + \frac{b^2}{4} = \frac{a^2+b^2}{4} \)
\( \implies x^2 + y^2 - ax - by + \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} - \frac{a^2+b^2}{4} = 0 \)
\( \implies x^2 + y^2 - ax - by = 0 \)

બીજી રીત:
અહીં, \( AB \) એ આ વર્તુળનો વ્યાસ છે, જ્યાં \( A(a, 0) \) અને \( B(0, b) \) છે.
વ્યાસાંત બિંદુ સમીકરણ અનુસાર, વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ આપી શકાય છે:
\( (x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0 \)
અહીં \( (x_1, y_1) = (a, 0) \) અને \( (x_2, y_2) = (0, b) \).
તેથી,
\( (x - a)(x - 0) + (y - 0)(y - b) = 0 \)
\( \implies x(x - a) + y(y - b) = 0 \)
\( \implies x^2 - ax + y^2 - by = 0 \)
આમ, માગેલ વર્તુળનું સમીકરણ \( x^2 + y^2 - ax - by = 0 \) છે.

In simple words: વર્તુળ ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને X-અક્ષ પર \( a \) તથા Y-અક્ષ પર \( b \) અંતઃખંડ કાપે છે. આનો અર્થ છે કે વર્તુળ \( O(0, 0) \), \( A(a, 0) \) અને \( B(0, b) \) માંથી પસાર થાય છે. \( AB \) એ વર્તુળનો વ્યાસ છે. વ્યાસના મધ્યબિંદુથી કેન્દ્ર \( C \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right) \) મળે છે, અને ત્રિજ્યા \( r = OC \) છે. આ કિંમતોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ મેળવી શકાય છે. વૈકલ્પિક રીતે, વ્યાસાંત બિંદુ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરીને સીધું જ \( (x - a)(x - 0) + (y - 0)(y - b) = 0 \) લખી શકાય છે, જે સરળ બનતા \( x^2 + y^2 - ax - by = 0 \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે વર્તુળ ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતું હોય અને અક્ષો પર અંતઃખંડ બનાવતું હોય, ત્યારે વ્યાસાંત બિંદુ સ્વરૂપ \( (x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0 \) નો ઉપયોગ કરવાથી ગણતરી ઝડપી બને છે. \( (a, 0) \) અને \( (0, b) \) ને વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ તરીકે લો.

Question 14. કેન્દ્ર \( (2, 2) \) વાળા અને બિંદુ \( (4, 5) \) માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ મેળવો.
Answer: ધારો કે, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( C(h, k) = (2, 2) \) છે અને વર્તુળ બિંદુ \( A(4, 5) \) માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા \( r \) એ કેન્દ્ર \( C \) અને બિંદુ \( A \) વચ્ચેનું અંતર છે.
\( r = CA = \sqrt{(4-2)^2 + (5-2)^2} \)
\( r = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} \)
\( r = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \)
આમ, કેન્દ્ર \( (h, k) = (2, 2) \) અને ત્રિજ્યા \( r = \sqrt{13} \) છે.
માગેલ વર્તુળનું સમીકરણ \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) અનુસાર,
\( (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{13})^2 \)
\( \implies x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 13 \)
\( \implies x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 = 13 \)
\( \implies x^2 + y^2 - 4x - 4y - 5 = 0 \)
In simple words: પહેલા, કેન્દ્ર \( (2, 2) \) અને વર્તુળ પરના બિંદુ \( (4, 5) \) વચ્ચેનું અંતર શોધીને ત્રિજ્યા \( r = \sqrt{13} \) મેળવો. પછી, કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યાનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણના સૂત્ર \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \) માં કિંમતો મૂકો. આનાથી \( x^2 + y^2 - 4x - 4y - 5 = 0 \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે કેન્દ્ર અને વર્તુળ પરનું એક બિંદુ આપેલ હોય, ત્યારે ત્રિજ્યા શોધવા માટે અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. પછી પ્રમાણભૂત સમીકરણમાં કિંમતો મૂકીને અંતિમ સમીકરણ મેળવો.

Question 15. બિંદુ \( (– 2.5, 3.5) \) એ વર્તુળ \( x^2 + y^2 = 25 \) ની અંદર, બહાર કે ઉપર છે તે નક્કી કરો.
Answer: આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ \( x^2 + y^2 = 25 \) છે.
આ સમીકરણને \( (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2 \) તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી, વર્તુળનું કેન્દ્ર \( O(0, 0) \) છે અને ત્રિજ્યા \( r = 5 \) છે.
હવે, આપણે બિંદુ \( A(-2.5, 3.5) \) અને કેન્દ્ર \( O(0, 0) \) વચ્ચેનું અંતર \( OA \) શોધીશું.
\( OA = \sqrt{(-2.5 - 0)^2 + (3.5 - 0)^2} \)
\( OA = \sqrt{(-2.5)^2 + (3.5)^2} \)
\( OA = \sqrt{6.25 + 12.25} \)
\( OA = \sqrt{18.5} \)
હવે, આપણે \( OA \) ની સરખામણી ત્રિજ્યા \( r = 5 \) સાથે કરીશું.
\( OA = \sqrt{18.5} \). આપણે જાણીએ છીએ કે \( 4^2 = 16 \) અને \( 5^2 = 25 \).
તેથી, \( \sqrt{18.5} \) ની કિંમત 4 અને 5 ની વચ્ચે હશે.
આમ, \( OA < r \) (કારણ કે \( \sqrt{18.5} < 5 \)).
જો કેન્દ્રથી બિંદુનું અંતર ત્રિજ્યા કરતાં ઓછું હોય, તો બિંદુ વર્તુળની અંદર હોય છે.
તેથી, બિંદુ \( (-2.5, 3.5) \) આપેલા વર્તુળની અંદર આવેલું છે.

નોંધ: જો વર્તુળનું કેન્દ્ર \( C \) અને ત્રિજ્યા \( r \) હોય, અને \( A \) કોઈ બિંદુ હોય તો:
(1) જો \( CA > r \) હોય, તો બિંદુ \( A \) વર્તુળની બહાર છે.
(2) જો \( CA < r \) હોય, તો બિંદુ \( A \) વર્તુળની અંદર છે.
(3) જો \( CA = r \) હોય, તો બિંદુ \( A \) વર્તુળ પર છે.
In simple words: આપેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર \( (0, 0) \) છે અને ત્રિજ્યા 5 છે. આપણે બિંદુ \( (-2.5, 3.5) \) થી કેન્દ્ર સુધીનું અંતર \( OA \) શોધીએ છીએ. અંતર \( OA = \sqrt{18.5} \) છે. કારણ કે \( \sqrt{18.5} \) એ 5 (ત્રિજ્યા) કરતાં નાનું છે, તેથી બિંદુ \( (-2.5, 3.5) \) વર્તુળની અંદર આવેલું છે.

Exam Tip: કોઈ બિંદુ વર્તુળની અંદર, બહાર કે ઉપર છે તે નક્કી કરવા માટે, કેન્દ્રથી બિંદુનું અંતર શોધો અને તેની ત્રિજ્યા સાથે તુલના કરો. જો અંતર ત્રિજ્યા કરતાં ઓછું હોય, તો અંદર; જો વધારે હોય, તો બહાર; અને જો સરખું હોય, તો વર્તુળ પર જ આવેલું છે.