GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 10 રેખાઓ 10.5

Question 1. જો ઊગમબિંદુનું \( (-3, -2) \) પર સ્થાનાંતર કરવામાં આવે, તો અક્ષોના સ્થાનાંતરના કારણે નીચે આપેલાં બિંદુઓના નવા યામ શોધો :
(1) \( (1, 1) \)
(2) \( (0, 1) \)
(3) \( (5, 0) \)
(4) \( (-1, -2) \)
(5) \( (3, -5) \)
Answer:
માની લો કે, ઊગમબિંદુનું સ્થાનાંતર \( (-3, -2) \) પર ખસેડવામાં આવે છે, તો અક્ષોના સ્થાનાંતરના કારણે બિંદુ \( P \)ના યામ \( (x, y) \) ફેરવાઈને નવા અક્ષોમાં \( (x', y') \) થાય છે.
\( \therefore x = x' + h \) અને \( y = y' + k \)
અહીં, \( h = -3 \) અને \( k = -2 \)
\( \therefore x = x' - 3 \) અને \( y = y' - 2 \)
\( \therefore x' = x + 3 \) અને \( y' = y + 2 \)
\( \therefore (x, y) \)ના અંતિમ યામ \( (x + 3, y + 2) \) મળશે.
(1) \( (1, 1) \)ના અંતિમ યામ \( (1 + 3, 1 + 2) = (4, 8) \) થશે.
(2) \( (0, 1) \)ના અંતિમ યામ \( (0 + 3, 1 + 2) = (3, 3) \) થશે.
(3) \( (5, 0) \)ના અંતિમ યામ \( (5 + 3, 0 + 2) = (8, 2) \) થશે.
(4) \( (-1, -2) \)ના અંતિમ યામ \( (-1 + 3, -2 + 2) = (2, 0) \) થશે.
(5) \( (3, -5) \)ના અંતિમ યામ \( (3 + 3, -5 + 2) = (6, -3) \) થશે.
In simple words: જ્યારે ઊગમબિંદુ \( (-3, -2) \) પર બદલાય છે, ત્યારે દરેક બિંદુ \( (x, y) \)ના નવા યામ શોધવા માટે, આપણે \( x' = x + 3 \) અને \( y' = y + 2 \) નો ઉપયોગ કરવો પડે છે. આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બધા આપેલા બિંદુઓ માટે નવા યામ મેળવી શકીએ છીએ.

Exam Tip: યામ ભૂમિતિમાં ઊગમબિંદુના સ્થાનાંતરનો અભ્યાસ કરતી વખતે, નવા અને જૂના યામ વચ્ચેના સંબંધને ધ્યાનપૂર્વક યાદ રાખવો. `\( x' = x - h \)` અને `\( y' = y - k \)` સૂત્રોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો, જ્યાં `\( (h, k) \)` એ ઊગમબિંદુનું નવું સ્થાન છે.

Question 2. ઊગમબિંદુનું સ્થાનાંતર \( (1, 10) \) બિંદુએ કરતાં નીચેના સમીકરણનું પરિવર્તિત સ્વરૂપ શું થશે તે શોધો :
(1) \( x^2 + xy - 3y^2 - y + 2 = 0 \)
(2) \( xy - y^2 - x + y = 0 \)
(3) \( xy - x - y + 1 = 0 \)
Answer:
માની લો કે, ઊગમબિંદુનું સ્થાનાંતર \( (1, 1) \) બિંદુએ કરતાં અક્ષોના સ્થાનાંતરના કારણે બિંદુ \( P \)ના યામ \( (x, y) \) બદલાઈને નવા અક્ષોમાં \( (x', y') \) થાય છે.
\( \therefore x = x' + h \) અને \( y = y' + k \)
અહીં, \( h = 1; k = 1 \)
\( \therefore x = x' + 1 \) અને \( y = y' + 1 \)
આપેલા સમીકરણમાં \( x \) અને \( y \)નાં આ મૂલ્યો મૂકતાં,
(1) \( x^2 + xy - 3y^2 - y + 2 = 0 \)
\( \therefore (x' + 1)^2 + (x' + 1) (y' + 1) - 3 (y' + 1)^2 - (y' + 1) + 2 = 0 \)
\( \therefore x'^2 + 2x' + 1 + x'y' + x' + y' + 1 - 3 (y'^2 + 2y' + 1) - y' - 1 + 2 = 0 \)
\( \therefore x'^2 - 3y'^2 + x'y' + 3x' - 6y' = 0 \)
આમ નવી પદ્ધતિમાં સમીકરણ \( x^2 - 3y^2 + xy + 3x - 6y = 0 \) છે.
(2) \( xy - y^2 - x + y = 0 \)
\( \therefore (x' + 1) (y' + 1) - (y' + 1)^2 - (x' + 1) + (y' + 1) = 0 \)
\( \therefore x'y' + x' + y' + 1 - y'^2 - 2y' - 1 - x' - 1 + y' + 1 = 0 \)
\( \therefore x'y' - y'^2 = 0 \)
આમ નવી પદ્ધતિમાં સમીકરણ \( xy - y^2 = 0 \) છે.
(3) \( xy - x - y + 1 = 0 \)
\( \therefore (x' + 1) (y' + 1) - (x' + 1) - (y' + 1) + 1 = 0 \)
\( \therefore x'y' + x' + y' + 1 - x' - 1 - y' - 1 + 1 = 0 \)
\( \therefore x'y' = 0 \)
આમ નવી પદ્ધતિમાં સમીકરણ \( xy = 0 \) છે.
In simple words: જો ઊગમબિંદુને નવા બિંદુ \( (h, k) \) પર ખસેડવામાં આવે, તો મૂળ સમીકરણમાં \( x \) અને \( y \) ના બદલે અનુક્રમે \( (x' + h) \) અને \( (y' + k) \) મૂકવામાં આવે છે. આ સમીકરણને સરળ કરીને, આપણે નવા યામમાં પરિવર્તિત સમીકરણ મેળવી શકીએ છીએ.

Exam Tip: ઊગમબિંદુના સ્થાનાંતરના દાખલામાં, `\( x = x' + h \)` અને `\( y = y' + k \)` સૂત્રોનો હંમેશા ઉપયોગ કરો અને જૂના યામને નવા યામમાં બદલો. કાળજીપૂર્વક ગણતરી કરો અને પદોને ભેગા કરો.