GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 10 રેખાઓ 10.4

Question 1. રેખાઓ \( 3x + 4y = 7 \) અને \( x - y + 2 = 0 \) ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી અને 5 ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ મેળવો.
Answer: રેખાઓ \( 3x + 4y - 7 = 0 \) અને \( x - y + 2 = 0 \) ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
\( (3x + 4y - 7) + k (x - y + 2) = 0 \)....... (1)
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,
\( (3 + k) x + (4 - k) y + (-7 + 2k) = 0 \)
આ રેખાનો ઢાળ \( = -\frac{A}{B} = -\frac{(3+k)}{4-k} \)
પરંતુ, આપેલી રેખાનો ઢાળ 5 છે.
\( -\frac{(3+k)}{4-k} = 5 \)
\( -(3 + k) = 5(4 - k) \)
\( -3 - k = 20 - 5k \)
\( 5k - k = 20 + 3 \)
\( 4k = 23 \)
\( k = \frac{23}{4} \)
સમીકરણ (1)માં \( k = \frac{23}{4} \) મૂકતાં,
\( (3x + 4y - 7) + \frac{23}{4} (x - y + 2) = 0 \)
ચાર વડે ગુણતા,
\( 4(3x + 4y - 7) + 23(x - y + 2) = 0 \)
\( 12x + 16y - 28 + 23x - 23y + 46 = 0 \)
\( (12 + 23)x + (16 - 23)y + (-28 + 46) = 0 \)
\( 35x - 7y + 18 = 0 \)
જે માગેલી રેખાનું સમીકરણ છે.
In simple words: બે રેખાઓ જ્યાં એકબીજાને છેદે છે, તે બિંદુમાંથી પસાર થતી અને 5 ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ શોધવા માટે, આપણે પહેલા સામાન્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પછી ઢાળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( k \) ની કિંમત શોધીએ છીએ. છેલ્લે, \( k \) ની કિંમત પાછા સમીકરણમાં મૂકીને અંતિમ સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે બે રેખાઓના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધવાનું હોય, ત્યારે \( L_1 + kL_2 = 0 \) ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરો. જો ઢાળ આપેલો હોય, તો \( k \) શોધવા માટે તેનો ઉપયોગ કરો. યાદ રાખો કે \( Ax + By + C = 0 \) રેખાનો ઢાળ \( -\frac{A}{B} \) હોય છે.

Question 2. રેખા \( 5x + 4y - 20 = 0 \) ને સમાંતર અને રેખાઓ \( x + 2y - 3 = 0 \) અને \( 4x - y + 7 = 0 \) ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ મેળવો.
Answer: રેખાઓ \( x + 2y - 3 = 0 \) અને \( 4x - y + 7 = 0 \) ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
\( (x + 2y - 3) + k (4x - y + 7) = 0 \)..... (1)
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,
\( (1 + 4k) x + (2 - k) y + (-3 + 7k) = 0 \)
આ રેખાનો ઢાળ \( = -\frac{A}{B} = -\frac{(1+4k)}{2-k} \)
હવે, આ રેખા \( 5x + 4y - 20 = 0 \) ને સમાંતર છે. આ રેખાનો ઢાળ \( -\frac{5}{4} \) છે.
તેથી, માગેલી રેખાનો ઢાળ પણ \( -\frac{5}{4} \) થશે.
\( -\frac{(1+4k)}{2-k} = -\frac{5}{4} \)
\( 4(1 + 4k) = 5(2 - k) \)
\( 4 + 16k = 10 - 5k \)
\( 16k + 5k = 10 - 4 \)
\( 21k = 6 \)
\( k = \frac{6}{21} = \frac{2}{7} \)
સમીકરણ (1)માં \( k = \frac{2}{7} \) મૂકતાં,
\( (x + 2y - 3) + \frac{2}{7} (4x - y + 7) = 0 \)
સાત વડે ગુણતા,
\( 7(x + 2y - 3) + 2(4x - y + 7) = 0 \)
\( 7x + 14y - 21 + 8x - 2y + 14 = 0 \)
\( (7 + 8)x + (14 - 2)y + (-21 + 14) = 0 \)
\( 15x + 12y - 7 = 0 \)
જે માગેલી રેખાનું સમીકરણ છે.
In simple words: બે રેખાઓના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી અને બીજી રેખાને સમાંતર હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધવા માટે, આપણે પહેલા સામાન્ય સમીકરણ \( L_1 + kL_2 = 0 \) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. સમાંતર રેખાઓના ઢાળ સરખા હોય છે, તેથી આપેલી સમાંતર રેખાના ઢાળનો ઉપયોગ કરીને \( k \) ની કિંમત શોધીએ છીએ. છેલ્લે, \( k \) ની કિંમત પાછા સમીકરણમાં મૂકીને અંતિમ સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: યાદ રાખો કે સમાંતર રેખાઓના ઢાળ હંમેશા સમાન હોય છે. આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ \( k \) ના મૂલ્યને યોગ્ય રીતે નક્કી કરવા માટે મુખ્ય છે. છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધવા માટેનું ફોર્મ્યુલા \( L_1 + kL_2 = 0 \) ને ભૂલશો નહીં.

Question 3. રેખાઓ \( 2x + 3y - 4 = 0 \) અને \( x - 5y = 7 \) ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી તથા જેનો x-અંતઃખંડ -4 હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
Answer: રેખાઓ \( 2x + 3y - 4 = 0 \) અને \( x - 5y - 7 = 0 \) ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
\( (2x + 3y - 4) + k (x - 5y - 7) = 0 \)..... (1)
હવે, આ રેખાનો x-અંતઃખંડ -4 છે.
એટલે કે, તે બિંદુ \( (-4, 0) \) માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણ (1) માં \( x = -4 \) અને \( y = 0 \) મૂકતાં,
\( (2(-4) + 3(0) - 4) + k (-4 - 5(0) - 7) = 0 \)
\( (-8 + 0 - 4) + k (-4 - 0 - 7) = 0 \)
\( -12 + k (-11) = 0 \)
\( -12 - 11k = 0 \)
\( -11k = 12 \)
\( k = -\frac{12}{11} \)
સમીકરણ (1) માં \( k = -\frac{12}{11} \) મૂકતાં,
\( (2x + 3y - 4) - \frac{12}{11} (x - 5y - 7) = 0 \)
અગિયાર વડે ગુણતા,
\( 11(2x + 3y - 4) - 12(x - 5y - 7) = 0 \)
\( 22x + 33y - 44 - 12x + 60y + 84 = 0 \)
\( (22 - 12)x + (33 + 60)y + (-44 + 84) = 0 \)
\( 10x + 93y + 40 = 0 \)
જે માગેલી રેખાનું સમીકરણ છે.
In simple words: જો કોઈ રેખાનો x-અંતઃખંડ આપેલો હોય, તો તેનો અર્થ એ થાય કે તે રેખા \( (x\text{-અંતઃખંડ}, 0) \) બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આ બિંદુનો ઉપયોગ કરીને અને \( L_1 + kL_2 = 0 \) ફોર્મ્યુલા વાપરીને \( k \) ની કિંમત શોધી શકાય છે. પછી, \( k \) ની કિંમત પાછા સમીકરણમાં મૂકીને જરૂરી રેખાનું સમીકરણ મેળવી શકાય છે.

Exam Tip: જ્યારે x-અંતઃખંડ આપેલો હોય, ત્યારે તેનો અર્થ થાય છે કે રેખા \( (x_{\text{int}}, 0) \) બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તેવી જ રીતે, જો y-અંતઃખંડ આપેલો હોય, તો રેખા \( (0, y_{\text{int}}) \) બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આ બિંદુઓને સમીકરણમાં મૂકીને \( k \) ની કિંમત શોધો.

Question 4. રેખાઓ \( 5x - 3y = 1 \) અને \( 2x + 3y - 23 = 0 \) ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી તથા \( 5x - 3y - 1 = 0 \) ને લંબરેખાનું સમીકરણ મેળવો.
Answer: રેખાઓ \( 5x - 3y - 1 = 0 \) અને \( 2x + 3y - 23 = 0 \) ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
\( (5x - 3y - 1) + k (2x + 3y - 23) = 0 \).................(1)
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,
\( (5 + 2k) x + (-3 + 3k) y + (-1 - 23k) = 0 \)
આ રેખાનો ઢાળ \( = -\frac{A}{B} = -\frac{(5+2k)}{-3+3k} = \frac{(5+2k)}{(3-3k)} \)
હવે, તે રેખા \( 5x - 3y - 1 = 0 \) ને લંબ છે. આ રેખાનો ઢાળ \( \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3} \) છે.
લંબરેખાઓના ઢાળનો ગુણાકાર -1 થાય છે.
તેથી, માગેલી રેખાનો ઢાળ \( = -\frac{1}{(\text{ઢાળ})_1} = -\frac{1}{5/3} = -\frac{3}{5} \) થશે.
\( \frac{(5+2k)}{(3-3k)} = -\frac{3}{5} \)
\( 5(5 + 2k) = -3(3 - 3k) \)
\( 25 + 10k = -9 + 9k \)
\( 10k - 9k = -9 - 25 \)
\( k = -34 \)
સમીકરણ (1) માં \( k = -34 \) મૂકતાં,
\( (5x - 3y - 1) - 34 (2x + 3y - 23) = 0 \)
\( 5x - 3y - 1 - 68x - 102y + 782 = 0 \)
\( (5 - 68)x + (-3 - 102)y + (-1 + 782) = 0 \)
\( -63x - 105y + 781 = 0 \)
માઇનસ વડે ગુણતા,
\( 63x + 105y - 781 = 0 \)
જે માગેલી રેખાનું સમીકરણ છે.
In simple words: બે રેખાઓના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી અને બીજી રેખાને લંબ હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધવા માટે, આપણે \( L_1 + kL_2 = 0 \) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. લંબરેખાઓના ઢાળનો ગુણાકાર -1 હોય છે, તેથી આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને \( k \) ની કિંમત શોધીએ છીએ. છેલ્લે, \( k \) ની કિંમત પાછા સમીકરણમાં મૂકીને અંતિમ સમીકરણ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: લંબરેખાઓના ઢાળનો ગુણાકાર હંમેશા -1 હોય છે. આ મુખ્ય નિયમનો ઉપયોગ કરીને \( k \) ના મૂલ્યને શોધી શકાય છે. ગણતરીમાં સાવચેત રહો અને નિશાનીની ભૂલો ટાળો.