GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 10 રેખાઓ 10.2

પ્રશ્નો 1થી 8માં આપેલી શરતોનું સમાધાન કરે રેખાનું સમીકરણ મેળવો:

Question 1. X-અક્ષ અને Y-અક્ષના સમીકરણો મેળવો.
Answer: X-અક્ષ પરના બધા બિંદુઓના Y યામ ઝીરો હોય છે.
\( \therefore \) X-અક્ષનું સમીકરણ \( y = 0 \)
Y-અક્ષ પરના તમામ બિંદુઓના X યામ શૂન્ય હોય છે.
\( \therefore \) Y-અક્ષનું સમીકરણ \( x = 0 \)
In simple words: X-અક્ષ માટે Y-યામ હંમેશા શૂન્ય હોય છે, તેથી તેનું સમીકરણ \( y = 0 \) થાય. Y-અક્ષ માટે X-યામ હંમેશા શૂન્ય હોય છે, તેથી તેનું સમીકરણ \( x = 0 \) થાય.

Exam Tip: Remember that the equation of an axis is always in terms of the *other* coordinate being zero.

Question 2. \( (-4, 3) \) બિંદુમાંથી પસાર થતી અને જેનો ઢાળ \( \frac{1}{2} \) હોય.
Answer: બિંદુ \( (x_1, y_1) \) માંથી પસાર થનારી અને \( m \) ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ \( y - y_1 = m (x - x_1) \) છે. આ જગ્યાએ, \( (x_1, y_1) = (- 4, 3) \) અને \( m = \frac{1}{2} \).
માગેલ રેખાનું સમીકરણ \( y - 3 = \frac{1}{2} (x + 4) \)
\( \therefore 2y - 6 = x + 4 \)
\( \therefore x - 2y + 10 = 0 \)
In simple words: રેખાનું સમીકરણ શોધવા માટે, આપેલા બિંદુ અને ઢાળનો ઉપયોગ કરો. \( y - y_1 = m(x - x_1) \) સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીને ગણતરી કરો અને પછી તેને સરળ સ્વરૂપમાં ગોઠવો.

Exam Tip: Always remember the point-slope form of a line \( y - y_1 = m(x - x_1) \) and substitute values carefully.

Question 3. \( (0, 0) \) માંથી પસાર થતી અને \( m \) ઢાળવાળી.
Answer: બિંદુ \( (x_1, y_1) \) માંથી જતી અને \( m \) ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ \( y - y_1 = m (x - x_1) \) છે. આ જગ્યાએ, \( (x_1, y_1) = (0, 0) \) અને ઢાળ \( = m \) છે.
\( \therefore y - 0 = m (x - 0) \)
\( \therefore y = x \)
In simple words: જો રેખા ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોય અને તેનો ઢાળ \( m \) હોય, તો તેનું સમીકરણ \( y = mx \) થાય. અહીં \( x_1, y_1 \) બંને શૂન્ય છે, જેથી સમીકરણ \( y = mx \) બને.

Exam Tip: For a line passing through the origin \( (0,0) \), the general equation simplifies to \( y = mx \), where \( m \) is the slope.

Question 4. \( (2, 2\sqrt{3}) \) માંથી પસાર થતી અને જેનો x-અક્ષ સાથે ઝોક 75° હોય.
Answer: અહીં રેખાનો ઢાળ \( = 75^\circ \)
\( \therefore \) રેખાનો ઢાળ \( = \tan 75^\circ \)
\( = \tan (45^\circ + 30^\circ) \)
\( = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} \)
(સૂત્ર \( \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \))
\( = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} \)
\( = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \)
હવે, બિંદુ \( (x_1, y_1) \) માંથી પસાર થતી અને \( m \) ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ \( y - y_1 = m (x - x_1) \) છે.
અહીં, \( (x_1, y_1) = (2, 2\sqrt{3}) \) અને \( m = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \)
\( \therefore \) માગેલ રેખાનું સમીકરણ \( y - 2\sqrt{3} = \left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\right)(x - 2) \)
\( \implies (\sqrt{3} - 1)(y - 2\sqrt{3}) = (\sqrt{3} + 1)(x - 2) \)
\( \implies (\sqrt{3} - 1)y - 2\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3} + 1)x - 2(\sqrt{3} + 1) \)
\( \implies (\sqrt{3} - 1)y - (6 - 2\sqrt{3}) = (\sqrt{3} + 1)x - (2\sqrt{3} + 2) \)
\( \implies (\sqrt{3} + 1)x - (\sqrt{3} - 1)y = (2\sqrt{3} + 2) - (6 - 2\sqrt{3}) \)
\( \implies (\sqrt{3} + 1)x - (\sqrt{3} - 1)y = 2\sqrt{3} + 2 - 6 + 2\sqrt{3} \)
\( \implies (\sqrt{3} + 1)x - (\sqrt{3} - 1)y = 4\sqrt{3} - 4 \)
\( \therefore (\sqrt{3} + 1)x - (\sqrt{3} - 1)y = 4(\sqrt{3} - 1) \)
In simple words: રેખાનો ઝોક 75° હોવાથી, તેનો ઢાળ \( \tan 75^\circ \) થાય છે. આ ઢાળની કિંમત શોધવા માટે \( \tan(45^\circ + 30^\circ) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. પછી આપેલા બિંદુ અને આ ઢાળનો ઉપયોગ કરીને રેખાનું સમીકરણ શોધો.

Exam Tip: Remember the formula for \( \tan(\alpha + \beta) \) and the standard trigonometric values for \( 45^\circ \) and \( 30^\circ \). Rationalize the denominator of the slope if necessary for simplification.

Question 5. X-અક્ષને ઊગમબિંદુથી 3 એકમના અંતરે ડાબી બાજુએ છેદતી અને જેનો ઢાળ \( -2 \) હોય.
Answer: X-અક્ષને ઊગમબિંદુથી 3 એકમના અંતરે ડાબી બાજુએ કાપતી રેખા બિંદુ \( (-3, 0) \) માંથી પસાર થાય છે. અત્રે, \( (x_1, y_1) = (-3, 0) \) અને ઢાળ \( m = -2 \) છે.
હવે, બિંદુ \( (x_1, y_1) \) માંથી પસાર થતી અને \( m \) ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ \( y - y_1 = m (x - x_1) \) છે.
\( \therefore \) માગેલ રેખાનું સમીકરણ \( y - 0 = - 2 (x - (-3)) \)
\( \therefore y = - 2 (x + 3) \)
\( \therefore y = - 2x - 6 \)
\( \therefore 2x + y + 6 = 0 \)
In simple words: જો રેખા X-અક્ષને ઊગમબિંદુથી ડાબી બાજુ 3 એકમ અંતરે કાપે, તો તે બિંદુ \( (-3, 0) \) માંથી પસાર થશે. આ બિંદુ અને આપેલા ઢાળનો ઉપયોગ કરીને રેખાનું સમીકરણ શોધો.

Exam Tip: Carefully identify the coordinates of the point where the line intersects the axis based on the given information (e.g., "left side of origin" means negative x-coordinate).

Question 6. Y-અક્ષને ઊગમબિંદુની ઉપર 2 એકમ અંતરે છેદતી અને X-અક્ષની ધન દિશા સાથે 30ના માપનો ખૂણો બનાવતી.
Answer: અહીં, રેખા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે \( 30^\circ \) ના માપનો ખૂણો રચે છે.
\( \therefore \) રેખાનો ઢાળ \( = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
હવે, \( m \) ઢાળવાળી અને Y-અક્ષ પર \( c \) અંતઃખંડ છેદતી રેખાનું સમીકરણ \( y = mx + c \) છે.
અહીં, Y અંતઃખંડ \( c = 2 \) આપેલ છે અને \( m = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \therefore \) માગેલ રેખાનું સમીકરણ \( y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 2 \)
\( \therefore \sqrt{3}y = x + 2\sqrt{3} \)
\( \therefore x - \sqrt{3}y + 2\sqrt{3} = 0 \)
In simple words: રેખા X-અક્ષ સાથે 30°નો ખૂણો બનાવે છે, તેથી તેનો ઢાળ \( \tan 30^\circ \) થશે. Y-અક્ષને 2 એકમ અંતરે છેદતી હોવાથી, \( c = 2 \) થશે. હવે, ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ \( y = mx + c \) નો ઉપયોગ કરીને રેખાનું સમીકરણ શોધો.

Exam Tip: Remember the slope-intercept form \( y = mx + c \), where \( m \) is the slope and \( c \) is the y-intercept. The y-intercept is positive if above the origin and negative if below.

Question 7. \( (- 1, 1) \) અને \( (2, – 4) \) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી.
Answer: બિંદુઓ \( (x_1, y_1) \) અને \( (x_2, y_2) \) માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ \( \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \)
અહીં, \( (x_1, y_1) = (- 1, 1) \) અને \( (x_2, y_2) = (2, - 4) \)
\( \therefore \) માગેલ રેખાનું સમીકરણ \( \frac{y-1}{x+1}=\frac{-4-1}{2-(-1)} \)
\( \therefore \frac{y-1}{x+1}=\frac{-5}{3} \)
\( \implies 3(y - 1) = - 5(x + 1) \)
\( \implies 3y - 3 = - 5x - 5 \)
\( \therefore 5x + 3y + 2 = 0 \)
In simple words: જો રેખા બે બિંદુઓ \( (x_1, y_1) \) અને \( (x_2, y_2) \) માંથી પસાર થતી હોય, તો તેનું સમીકરણ \( \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય. આપેલા બિંદુઓના યામ મૂકીને સરળ કરો.

Exam Tip: Be careful with the signs, especially when substituting negative coordinates into the two-point form of the line equation.

Question 8. ઊગમબિંદુમાંથી રેખા પર દોરેલા લંબનું માપ 5 હોય તથા લંબરેખાખંડ X-અક્ષની ધન દિશા સાથે 30° માપનો ખૂણો બનાવે.
Answer: ઊગમબિંદુમાંથી રેખા પર દોરેલા લંબનું માપ \( p \) હોય તથા લંબરેખાખંડ X-અક્ષની ધન દિશા સાથે \( \omega \) માપનો ખૂણો બનાવે તેવી રેખાનું સમીકરણ \( x \cos \omega + y \sin \omega = p \) છે.
અહીં, \( p = 5 \) અને \( \omega = 30^\circ \)
\( \therefore \) માગેલ રેખાનું સમીકરણ \( x \cos 30^\circ + y \sin 30^\circ = 5 \)
\( \implies x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + y \cdot \frac{1}{2} = 5 \)
\( \therefore \sqrt{3}x + y = 10 \)
In simple words: જો ઊગમબિંદુમાંથી રેખા પર દોરેલા લંબનું માપ \( p \) અને X-અક્ષ સાથેનો ખૂણો \( \omega \) હોય, તો રેખાનું સમીકરણ \( x \cos \omega + y \sin \omega = p \) દ્વારા મળે છે. અહીં \( p \) અને \( \omega \) ની કિંમતો મૂકીને રેખાનું સમીકરણ શોધો.

Exam Tip: Recall the normal form of the line equation \( x \cos \omega + y \sin \omega = p \), where \( p \) is the perpendicular distance from the origin and \( \omega \) is the angle the normal makes with the positive x-axis.

Question 9. \( \Delta PQR \) નાં શિરોબિંદુઓ \( P (2, 1), Q(– 2, 3) \) અને \( R (4, 5) \) હોય, તો શિરોબિંદુ Rમાંથી દોરેલ મધ્યગાનું સમીકરણ મેળવો.
Answer: અહીં, \( P (2, 1), (- 2, 3) \) અને \( R (4, 5) \) \( \Delta PQR \) નાં શીર્ષબિંદુઓ છે.
ધારો કે, શિરોબિંદુ R માંથી દોરેલ મધ્યગા RM છે.
\( \therefore \) બિંદુ \( M \) બાજુ \( PQ \) નું મધ્યબિંદુ બનશે.
\( \therefore M \) ના યામ \( = \left(\frac{2-2}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (0, 2) \)
આમ, મધ્યગા RM બિંદુઓ \( R (4, 5) \) અને \( M (0, 2) \) માંથી પસાર થાય છે.
\( \therefore \) મધ્યગા RM નું સમીકરણ \( \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \)
\( \therefore \frac{y-5}{x-4}=\frac{2-5}{0-4} \)
\( \implies \frac{y-5}{x-4}=\frac{-3}{-4} \)
\( \implies 4(y - 5) = 3(x - 4) \)
\( \implies 4y - 20 = 3x - 12 \)
\( \therefore 3x - 4y + 8 = 0 \)
In simple words: R માંથી દોરેલી મધ્યગા RM એ PQ બાજુના મધ્યબિંદુ M પર મળે છે. પહેલા M ના યામ શોધો અને પછી R અને M બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

Exam Tip: To find the equation of a median, first find the midpoint of the opposite side using the midpoint formula, and then use the two-point form to find the line equation.

Question 10. \( (2, 5) \) અને \( (-3, 6) \) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાને લંબ અને \( (-3, 5) \) બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ મેળવો.
Answer: ધારો કે, \( A (2, 5) \) અને \( B (- 3, 6) \) છે.
રેખા ABનો ઢાળ \( = \frac{6-5}{-3-2} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5} \)
માગેલ રેખા, રેખા ABને લંબરૂપ છે.
\( \therefore \) તેનો ઢાળ \( = - \frac{1}{\text{ઢાળ AB}} = - \frac{1}{-\frac{1}{5}} = 5 \) થશે અને તે \( (- 3, 5) \) માંથી પસાર થાય છે.
\( \therefore \) માગેલ રેખાનું સમીકરણ \( y - 5 = 5 (x - (-3)) \)
\( \therefore y - 5 = 5 (x + 3) \)
\( \therefore y - 5 = 5x + 15 \)
\( \therefore 5x - y + 20 = 0 \)
In simple words: પહેલા આપેલા બે બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને રેખા ABનો ઢાળ શોધો. પછી, લંબ રેખાનો ઢાળ એ AB ના ઢાળનો ઋણ વ્યસ્ત (નેગેટિવ રેસીપ્રોકલ) હશે. આ ઢાળ અને આપેલા ત્રીજા બિંદુનો ઉપયોગ કરીને રેખાનું સમીકરણ શોધો.

Exam Tip: For perpendicular lines, the product of their slopes is -1. If \( m_1 \) is the slope of the first line, then the slope of the perpendicular line \( m_2 = -1/m_1 \).

Question 11. \( (1, 0) \) અને \( (2, 3) \) ને જોડતા રેખાખંડને લંબ અને તેનું \( 1:n \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
Answer: ધારો કે, \( A (1, 0) \) અને \( B (2, 3) \) છે.
રેખાખંડ ABનો ઢાળ \( = \frac{3-0}{2-1} = \frac{3}{1} = 3 \)
હવે, માગેલ રેખા એ AB ને લંબ છે.
\( \therefore \) તેનો ઢાળ \( = -\frac{1}{3} \) થશે.
ધારો કે, બિંદુ \( P (x, y) \), રેખાખંડ ABનું \( 1 : n \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
\( \therefore x = \frac{1(2)+n(1)}{1+n} \) અને \( y = \frac{1(3)+n(0)}{1+n} \)
\( \therefore x = \frac{n+2}{n+1} \) અને \( y = \frac{3}{n+1} \)
\( \therefore P \left(\frac{n+2}{n+1}, \frac{3}{n+1}\right) \) પ્રાપ્ત થાય, જે માગેલ રેખા પર આવેલું એક બિંદુ છે.
માગેલ રેખાનું સમીકરણ \( y - \frac{3}{n+1} = -\frac{1}{3} \left(x - \frac{n+2}{n+1}\right) \)
\( \implies 3 \left(y - \frac{3}{n+1}\right) = -1 \left(x - \frac{n+2}{n+1}\right) \)
\( \implies 3(n+1)y - 9 = -(n+1)x + (n+2) \)
\( \therefore (n+1)x + 3(n+1)y = n + 11 \)
In simple words: પ્રથમ, આપેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા ABનો ઢાળ શોધો. પછી, લંબ રેખાનો ઢાળ શોધો. ત્યારબાદ, વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \( 1:n \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ P શોધો. છેલ્લે, આ બિંદુ P અને લંબ ઢાળનો ઉપયોગ કરીને રેખાનું સમીકરણ શોધો.

Exam Tip: Remember the section formula for finding a point that divides a line segment in a given ratio, and the condition for perpendicular slopes.

Question 12. \( (2, 3) \) બિંદુમાંથી પસાર થતી અને યામાક્ષો પર સમાન અંતઃખંડો કાપતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
Answer: ધારો કે, માગેલ રેખા X-અક્ષ અને Y-અક્ષ પર ક્રમશઃ \( a \) અને \( b \) અંતઃખંડ કાપે છે.
અહીં, બંને અંતઃખંડ સમાન આપેલા છે, તેથી \( a = b \).....(1)
વળી માગેલ રેખા બિંદુ \( (2, 3) \) માંથી પસાર થાય છે.
હવે, અક્ષો પર \( a \) અને \( b \) અંતઃખંડો કાપતી રેખાનું સમીકરણ \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1 \) છે.
અહીં, \( a = b \) અને \( (x, y) = (2, 3) \) સ્થાપિત કરતાં,
\( \frac{2}{b}+\frac{3}{b} = 1 \)
\( \therefore 2 + 3 = b \)
\( \therefore b = 5 \)
આથી \( a = 5 \) [પરિણામ (1) પરથી]
\( \therefore \) માગેલ રેખાનું સમીકરણ \( \frac{x}{5}+\frac{y}{5} = 1 \)
\( \therefore x + y = 5 \)
In simple words: જો રેખા યામાક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપતી હોય, તો \( a=b \) થશે. રેખા \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \) સ્વરૂપમાં લખાય છે. આપેલા બિંદુ \( (2, 3) \) નો ઉપયોગ કરીને \( a \) અને \( b \) ની કિંમત શોધો અને પછી સમીકરણ બનાવો.

Exam Tip: For a line making equal intercepts on the coordinate axes, the equation is of the form \( x + y = a \).

Question 13. જેના અક્ષો પરના અંતઃખંડોનો સરવાળો 9 હોય અને જે બિંદુ \( (2, 2) \) માંથી પસાર થતી હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
Answer: ધારો કે, રેખા અક્ષો પર \( a \) અને \( b \) અંતઃખંડ કાપે છે.
અહીં, \( a + b = 9 \).....(1)
હવે, માગેલ રેખાનું સમીકરણ \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1 \) સ્વરૂપનું થાય અને તે બિંદુ \( (2, 2) \) માંથી પસાર થાય છે.
\( \therefore \frac{2}{a}+\frac{2}{b} = 1 \)
\( \therefore 2b + 2a = ab \)
(1) પરથી \( a = 9-b \) ને પરિણામ (2)માં મૂકતાં,
\( \therefore 2b + 2 (9 - b) = (9 - b) b \)
\( \therefore 2b + 18 - 2b = 9b - b^2 \)
\( \therefore b^2 - 9b + 18 = 0 \)
\( \therefore (b - 6) (b - 3) = 0 \)
\( \therefore b = 6 \) અથવા \( b = 3 \)
હવે, \( a + b = 9 \) છે.
આથી \( b = 6 \) ત્યારે \( a = 3 \) અને \( b = 3 \) ત્યારે \( a = 6 \)
\( \therefore \) માગેલ રેખાનું સમીકરણ \( \frac{x}{3}+\frac{y}{6} = 1 \) અને \( \frac{x}{6}+\frac{y}{3} = 1 \)
\( \therefore 2x + y = 6 \) અને \( x + 2y = 6 \)
\( \therefore 2x + y - 6 = 0 \) અને \( x + 2y - 6 = 0 \)
In simple words: પ્રથમ, આપેલા બિંદુ અને અંતઃખંડોના સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને \( a \) અને \( b \) વચ્ચે સંબંધ શોધો. પછી, રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકીને \( a \) અને \( b \) ના મૂલ્યો શોધો. છેલ્લે, આ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને રેખાના સમીકરણો મેળવો.

Exam Tip: When solving quadratic equations for intercepts, remember there might be two possible lines satisfying the given conditions. Express both final equations clearly.

Question 14. \( (0, 2) \) માંથી પસાર થતી અને X-અક્ષની ધન દિશા સાથે \( \frac{2 \pi}{3} \) માપનો ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ મેળવો તથા તે રેખાને સમાંતર હોય અને Y-અક્ષને ઊગમબિંદુથી નીચે 2 એકમ અંતરે છેદતી હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ પણ મેળવો.
Answer: અહીં, રેખા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે \( \frac{2 \pi}{3} \) માપનો ખૂણો રચે છે.
\( \therefore \) રેખાનો ઢાળ \( = m = \tan \frac{2 \pi}{3} \)
\( \therefore m = \tan (\pi - \frac{\pi}{3}) = -\tan \frac{\pi}{3} \)
\( \therefore m = -\sqrt{3} \)
અને રેખા \( (0, 2) \) માંથી પસાર થાય છે.
\( \therefore \) રેખાનું સમીકરણ \( y - 2 = -\sqrt{3}(x - 0) \)
\( \therefore y - 2 = -\sqrt{3} x \)
\( \therefore \sqrt{3}x + y - 2 = 0 \).....(1)
હવે, આ રેખાને સમાંતર રેખાનો ઢાળ પણ \( -\sqrt{3} \) થાય.
તે Y-અક્ષને ઊગમબિંદુથી નીચે 2 એકમ અંતરે છેદે છે.
\( \therefore \) તેનો Y અંતઃખંડ \( C = - 2 \)
રેખા \( y = mx + c \) પ્રમાણે,
\( \therefore y = -\sqrt{3}x - 2 \)
\( \therefore \sqrt{3}x + y + 2 = 0 \)
આમ, માગેલ રેખાઓના સમીકરણો: \( \sqrt{3}x + y - 2 = 0 \) અને \( \sqrt{3}x + y + 2 = 0 \)
In simple words: પ્રથમ, આપેલા ખૂણા પરથી રેખાનો ઢાળ શોધો. પછી, આપેલા બિંદુ અને આ ઢાળનો ઉપયોગ કરીને પહેલી રેખાનું સમીકરણ શોધો. બીજી રેખા પહેલી રેખાને સમાંતર હોવાથી તેનો ઢાળ સમાન હશે. Y-અક્ષને ઊગમબિંદુથી નીચે 2 એકમ અંતરે છેદતી હોવાથી, Y-અંતઃખંડ \( -2 \) થશે. આ ઢાળ અને Y-અંતઃખંડનો ઉપયોગ કરીને બીજી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

Exam Tip: When a question asks for two different lines, make sure to find both equations. Parallel lines have equal slopes. An intercept below the origin is negative.

Question 15. ઊગમબિંદુમાંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ \( (- 2, 9) \) હોય, તો તે રેખાનું સમીકરણ મેળવો.
Answer: ધારો કે, લંબપાદ \( P (- 2, 9) \) છે.
OP નો ઢાળ \( = \frac{9-0}{-2-0} = \frac{9}{-2} = -\frac{9}{2} \)
અહીં, રેખા OP એ માગેલ રેખાને લંબરૂપ છે.
આથી માગેલ રેખાનો ઢાળ \( = - \frac{1}{\text{OP નો ઢાળ}} = - \frac{1}{-\frac{9}{2}} = \frac{2}{9} \) થશે અને તે બિંદુ \( P (- 2, 9) \) માંથી પસાર થાય છે.
માગેલ રેખાનું સમીકરણ \( y - 9 = \frac{2}{9}(x - (-2)) \)
\( \implies 9(y - 9) = 2(x + 2) \)
\( \implies 9y - 81 = 2x + 4 \)
\( \therefore 2x - 9y + 85 = 0 \)
In simple words: લંબપાદ એ ઊગમબિંદુથી રેખા પર દોરેલા લંબનું પદબિંદુ છે. પહેલા ઊગમબિંદુ O અને લંબપાદ P નો ઉપયોગ કરીને OP નો ઢાળ શોધો. માગેલ રેખા એ OP ને લંબ છે, તેથી લંબ રેખાનો ઢાળ શોધો. પછી, લંબપાદ P અને લંબ ઢાળનો ઉપયોગ કરીને રેખાનું સમીકરણ શોધો.

Exam Tip: The line whose equation is to be found is perpendicular to the line joining the origin and the foot of the perpendicular. Use the perpendicular slope condition and the point-slope form.

Question 16. તાંબાના તારની લંબાઈ \( L \) (સેમીમાં) અને તેના સેલ્સિયસ તાપમાન \( C \) વચ્ચે સુરેખ સંબંધ છે. એક પ્રયોગમાં જ્યારે \( L = 124.942 \) હોય ત્યારે \( C = 20 \) અને જ્યારે \( L = 125.184 \) હોય ત્યારે \( C = 110 \) છે, તો \( L \) અને \( C \) વચ્ચેનો સુરેખ સંબંધ મેળવો.
Answer: અહીં, \( L \) (સેમીમાં) અને સેલ્સિયસ તાપમાન \( C \) વચ્ચે સીધો સંબંધ છે. આથી રેખાનું સમીકરણ \( y = mx + c \) મુજબ \( L = mC + b \) લઈ શકાય. (જ્યાં, \( m \) અને \( b \) કોન્સ્ટન્ટ છે.)
હવે, જ્યારે \( C = 20 \) ત્યારે \( L = 124.942 \).
\( \therefore 124.942 = 20m + b \) .....(1)
અને જ્યારે \( C = 110 \) ત્યારે \( L = 125.134 \).
\( \therefore 125.134 = 110m + b \) .....(2)
સમીકરણ (2) માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં,
\( 0.192 = 90 m \)
\( m = \frac{0.192}{90} \)
\( m = 0.002133... \)
\( m = \frac{0.192}{90} \) અને આ કિંમત પરિણામ (1) માં મૂકતાં,
\( 124.942 = 20 \left(\frac{0.192}{90}\right) + b \)
\( b = 124.942 - \frac{0.384}{90} \)
હવે, \( L = mC + b \) માં \( m \) અને \( b \) ની કિંમતો મૂકતાં,
\( L = \frac{0.192}{90}C + 124.942 - \frac{0.384}{90} \)
\( \therefore L = \frac{0.192}{90}(C - 20) + 124.942 \) એ માગેલ સુરેખ સંબંધ છે.
In simple words: લંબાઈ \( L \) અને તાપમાન \( C \) વચ્ચેનો સંબંધ \( L = mC + b \) દ્વારા આપી શકાય છે. આપેલા બે ડેટા પોઈન્ટ્સનો ઉપયોગ કરીને \( m \) અને \( b \) ના મૂલ્યો શોધો. પછી આ મૂલ્યોને સમીકરણમાં મૂકીને \( L \) અને \( C \) વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.

Exam Tip: Linear relationships can be found by treating the given data points as \( (x, y) \) coordinates and then finding the equation of the line passing through them.

Question 17. એક દૂધના વેચાણકેન્દ્રનો માલિક પ્રત્યેક અઠવાડિયે 980 લિટર દૂધ Rs 14 પ્રતિલિટર અને 1220 લિટર દૂધ Rs 16 પ્રતિલિટર વેચે છે. હવે દૂધની વેચાણકિંમત અને માંગ વચ્ચે સુરેખ સંબંધ છે તેમ માની લઈએ, તો તે પ્રત્યેક અઠવાડિયે Rs 17 પ્રતિલિટરના ભાવે કેટલા લિટર દૂધ વેચી શકે?
Answer: ધારો કે, દૂધના વિક્રેતા \( x \) રૂપિયા દર લિટરના ભાવે દૂધ વેચે છે અને દૂધની માંગ \( l \) છે. માંગ \( l \) અને ભાવ \( x \) વચ્ચેનો લીનિયર સંબંધ \( l = mx + b \) છે. જ્યાં, \( m \) અને \( b \) કોન્સ્ટન્ટ છે.
જ્યારે, \( x = 14 \) ત્યારે \( l = 980 \).
\( \therefore 980 = 14m + b \) .....(1)
જ્યારે \( x = 16 \) ત્યારે \( l = 1220 \).
\( \therefore 1220 = 16m + b \) .....(2)
સમીકરણ (2) માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં,
\( 240 = 2m \)
\( \therefore m = 120 \). આ કિંમત પરિણામ (1) માં મૂકતાં,
\( 980 = 14(120) + b \)
\( 980 = 1680 + b \)
\( \therefore b = 980 - 1680 = -700 \).
હવે, \( l = mx + b \) માં \( m \) અને \( b \) ની કિંમતો મૂકતાં,
\( l = 120x - 700 \).
હવે, જ્યારે \( x = 17 \) લેતાં,
\( l = 120 \times 17 - 700 \)
\( l = 2040 - 700 \)
\( l = 1340 \).
આમ, તે પ્રત્યેક અઠવાડિયે Rs 17 દર લિટરના ભાવે 1340 લિટર દૂધ સેલ કરી શકશે.
In simple words: દૂધની કિંમત અને માંગ વચ્ચે સીધો સંબંધ છે. આપેલા બે ભાવ અને માંગના મુદ્દાઓનો ઉપયોગ કરીને \( l = mx + b \) સૂત્રમાં \( m \) અને \( b \) ની કિંમતો શોધો. પછી, \( x = 17 \) રૂપિયા પ્રતિલિટર ભાવ માટે કેટલી માંગ હશે તેની ગણતરી કરો.

Exam Tip: For linear demand problems, identify two points \( (P_1, Q_1) \) and \( (P_2, Q_2) \) where P is price and Q is quantity. Use these to find the slope and then the equation of the demand line.

Question 18. અક્ષો વચ્ચે બનતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ \( P (a, b) \) હોય. તો તે રેખાનું સમીકરણ \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 2 \) છે તેમ બતાવો.
Answer: ધારો કે, રેખાના X-અક્ષ અને Y-અક્ષ પરના અંતઃખંડો ક્રમશઃ \( p \) અને \( q \) છે.
અહીં, રેખાનું સમીકરણ \( \frac{x}{p}+\frac{y}{q} = 1 \) .....(1)
ધારો કે, રેખા X-અક્ષને \( A \) અને Y-અક્ષને \( B \) બિંદુઓમાં કાપે છે.
\( \therefore A (p, 0) \) અને \( B (0, q) \) મળે.
હવે, રેખાખંડ AB નું મિડપોઇન્ટ \( P (a, b) \) છે.
\( \therefore a = \frac{p+0}{2} \) અને \( b = \frac{0+q}{2} \)
\( \therefore p = 2a \) અને \( q = 2b \).
\( p = 2a \) અને \( q = 2b \) ની કિંમતો પરિણામ (1) માં મૂકતાં,
\( \frac{x}{2a}+\frac{y}{2b} = 1 \)
\( \therefore \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 2 \)
In simple words: જો કોઈ રેખા X-અક્ષને \( (p, 0) \) અને Y-અક્ષને \( (0, q) \) પર કાપે, તો તેનું સમીકરણ \( \frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1 \) થાય. રેખાખંડ AB નું મધ્યબિંદુ P ના યામ \( (a, b) \) નો ઉપયોગ કરીને \( p \) અને \( q \) ને \( a \) અને \( b \) ના સ્વરૂપમાં શોધો. પછી આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકીને સાબિત કરો.

Exam Tip: Remember the midpoint formula and the intercept form of a line equation. Clearly show how the intercepts \( p \) and \( q \) are related to the midpoint coordinates \( a \) and \( b \).

Question 19. બિંદુ \( R (h, k) \) જે રેખાના અક્ષો વચ્ચે બનતા રેખાખંડનું બિંદુ \( 1 : 2 \) ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે તે રેખાનું સમીકરણ શોધો.
Answer: ધારો કે, રેખાનાં X-અક્ષ અને Y-અક્ષ પરનાં અંતઃખંડો ક્રમશઃ \( a \) અને \( b \) છે.
\( \therefore \) રેખાનું સમીકરણ \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b} = 1 \) .....(1)
ધારો કે, રેખા X-અક્ષને \( A \) અને Y-અક્ષને \( B \) બિંદુમાં કાપે છે.
\( \therefore A (a, 0) \) અને \( B (0, b) \) થશે.
હવે, બિંદુ \( R (h, k) \) રેખાખંડ AB નું \( 1 : 2 \) ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
\( \therefore h = \frac{1(0)+2(a)}{1+2} \) અને \( k = \frac{1(b)+2(0)}{1+2} \)
\( \therefore h = \frac{2a}{3} \) અને \( k = \frac{b}{3} \)
\( \therefore a = \frac{3h}{2} \) અને \( b = 3k \) પ્રાપ્ત થાય; જેને પરિણામ (1) માં મૂકતાં,
માગેલ રેખાનું સમીકરણ \( \frac{x}{\left(\frac{3h}{2}\right)}+\frac{y}{3k} = 1 \)
\( \therefore \frac{2x}{3h}+\frac{y}{3k} = 1 \)
\( \therefore 2kx + hy = 3hk \)
In simple words: રેખાના X અને Y અંતઃખંડોને \( a \) અને \( b \) ધારો. પછી, વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બિંદુ \( R(h,k) \) ના યામ \( a \) અને \( b \) ના સ્વરૂપમાં શોધો. આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને \( a \) અને \( b \) ને \( h \) અને \( k \) ના સંદર્ભમાં દર્શાવો. છેલ્લે, આ કિંમતોને રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકીને સમીકરણ મેળવો.

Exam Tip: Use the section formula to express the intercepts in terms of \( h \) and \( k \), and then substitute them into the intercept form of the line.

Question 20. રેખાના સમીકરણની સંકલ્પનાનો ઉપયોગ કરી સાબિત કરો કે \( (3, 0), (–2, -2) \) અને \( (8, 2) \) સમરેખ છે.
Answer: ધારો કે, \( A (3, 0), B (– 2, – 2) \) અને \( C (8, 2) \) આપેલાં બિંદુઓ છે.
પહેલાં બિંદુઓ \( A (3, 0) \) અને \( B (– 2, – 2) \) માંથી પસાર થતી રેખા AB નું સમીકરણ શોધીએ.
બિંદુઓ \( (x_1, y_1) \) અને \( (x_2, y_2) \) માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ \( \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \) છે.
અહીં, \( (x_1, y_1) = (3, 0) \) અને \( (x_2, y_2) = (-2, -2) \)
રેખા AB નું સમીકરણ \( \frac{y-0}{x-3}=\frac{-2-0}{-2-3} \)
\( \implies \frac{y}{x-3}=\frac{-2}{-5} \)
\( \implies \frac{y}{x-3}=\frac{2}{5} \)
\( \implies 5y = 2(x - 3) \)
\( \implies 5y = 2x - 6 \)
\( \therefore 2x - 5y - 6 = 0 \)
હવે, \( x = 8 \) અને \( y = 2 \) રેખા ABના સમીકરણમાં મૂકતાં,
ડા.ભા. \( = 2 (8) - 5 (2) - 6 \)
\( = 16 - 10 - 6 = 0 \)
\( = \) જ.ભા.
આથી બિંદુ \( C (8, 2) \) રેખા AB ઉપર આવેલું છે.
આમ, બિંદુઓ A, B, C સમરેખ છે.
In simple words: ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ છે તે સાબિત કરવા માટે, પહેલા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો. પછી, ત્રીજા બિંદુના યામને આ રેખાના સમીકરણમાં મૂકો. જો ત્રીજું બિંદુ સમીકરણને સંતોષે તો બધા બિંદુઓ સમરેખ છે.

Exam Tip: To prove collinearity using the equation of a line, find the equation of the line passing through two of the points and then check if the third point satisfies that equation.