GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 10 રેખાઓ 10.1

Question 1. યામ-સમતલમાં \( (-4, 5), (0, 7), (5, -5) \) અને \( (-4, -2) \) શિરોબિંદુઓવાળો ચતુષ્કોણ દોરો અને તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
Answer: ધારો કે, \( A (-4, 5), B (0, 7), C (5, -5) \) અને \( D (-4, -2) \) ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ છે. યામ-સમતલમાં ચતુષ્કોણ ABCD નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે:

Answer: ચતુષ્કોણ ABCDનું ક્ષેત્રફળ ગણવા માટે, આપણે તેને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ. \( = \text{AABCનું ક્ષેત્રફળ} + \text{AACDનું ક્ષેત્રફળ} \) આપણે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ: \( \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) | \) AABC (A(-4, 5), B(0, 7), C(5, -5)) માટે: \( = \frac{1}{2}|-4 (7 - (-5)) + 0 (-5 - 5) + 5 (5 - 7)| \) \( = \frac{1}{2}|-4 (12) + 0 (-10) + 5 (-2)| \) \( = \frac{1}{2}|-48 + 0 - 10| \) \( = \frac{1}{2}|-58| = \frac{58}{2} = 29 \) ચોરસ એકમ AACD (A(-4, 5), C(5, -5), D(-4, -2)) માટે: \( = \frac{1}{2}|-4 (-5 - (-2)) + 5 (-2 - 5) + (-4) (5 - (-5))| \) \( = \frac{1}{2}|-4 (-3) + 5 (-7) - 4 (10)| \) \( = \frac{1}{2}|12 - 35 - 40| \) \( = \frac{1}{2}|-63| = \frac{63}{2} = 31.5 \) ચોરસ એકમ ચતુષ્કોણ ABCDનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( = 29 + 31.5 = 60.5 \) ચોરસ એકમ.
In simple words: આપણે ચતુષ્કોણને બે ત્રિકોણમાં વહેંચીને તેનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકીએ છીએ. પ્રથમ, ત્રિકોણ ABC અને પછી ત્રિકોણ ACDનું ક્ષેત્રફળ શોધો. બંને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરવાથી ચતુષ્કોણનું કુલ ક્ષેત્રફળ મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે કોઈ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું હોય અને તેના શિરોબિંદુઓ આપેલા હોય, ત્યારે તમે તેને બે ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરી શકો છો અને દરેક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીને તેનો સરવાળો કરી શકો છો. આ માટે, વિભાજન રેખા તરીકે એક કર્ણનો ઉપયોગ કરો.

Question 2. એક સમબાજુ ત્રિકોણનો પાયો X-અક્ષ પર એવી રીતે આવેલો છે કે તેનું મધ્યબિંદુ ઊગમબિંદુ છે. આ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ 20 હોય, તો તેનાં શિરોબિંદુઓ શોધો.
Answer: ધારો કે, સમબાજુ ત્રિકોણ ABCનો પાયો AB Y-અક્ષ પર આવેલો છે અને તેનું મધ્યબિંદુ ઊગમબિંદુ છે. હવે, સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ 20 છે. જો પાયાનું મધ્યબિંદુ ઊગમબિંદુ \( (0, 0) \) હોય અને પાયો X-અક્ષ પર હોય, તો તેના શિરોબિંદુઓ \( (x, 0) \) અને \( (-x, 0) \) જેવા હશે. અહીં પાયો Y-અક્ષ પર આવેલો છે, અને તેનું મધ્યબિંદુ ઊગમબિંદુ છે. તેથી, A (0, a) અને B (0, -a) થશે. પાયાની લંબાઈ AB \( = |a - (-a)| = |2a| = 2a \). આપણને ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ 20 આપેલી છે. તેથી, \( 2a = 20 \implies a = 10 \). આમ, પાયાના શિરોબિંદુઓ A(0, 10) અને B(0, -10) છે.

Answer: સમબાજુ ત્રિકોણમાં, બધા શિરોબિંદુઓ સરખી લંબાઈના હોય છે. શિરોબિંદુ C \( (x, 0) \) X-અક્ષ પર હશે કારણ કે પાયો AB Y-અક્ષ પર છે અને ઊગમબિંદુ તેનું મધ્યબિંદુ છે. ત્રિકોણની દરેક બાજુ 20 એકમ લાંબી છે. તેથી, ACની લંબાઈ 20 એકમ હશે. AC \( = \sqrt{(x-0)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{x^2 + a^2} \) \( 20 = \sqrt{x^2 + 10^2} \) \( 400 = x^2 + 100 \) \( x^2 = 300 \) \( x = \pm \sqrt{300} = \pm 10\sqrt{3} \) આમ, સમબાજુ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ: A \( (0, 10) \), B \( (0, -10) \) અને C \( (10\sqrt{3}, 0) \) અથવા A \( (0, 10) \), B \( (0, -10) \) અને C \( (-10\sqrt{3}, 0) \)
In simple words: એક સમબાજુ ત્રિકોણમાં બધી બાજુઓ સરખી હોય છે. જો પાયો Y-અક્ષ પર હોય અને તેનું મધ્યબિંદુ \( (0,0) \) હોય, તો બીજા શિરોબિંદુ X-અક્ષ પર હશે. આપણે આપેલ બાજુની લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને X-અક્ષ પરના શિરોબિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: સમબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મો યાદ રાખો, ખાસ કરીને કે બધી બાજુઓ સરખી હોય છે. ઊગમબિંદુ મધ્યબિંદુ હોય ત્યારે શિરોબિંદુઓની સંમિતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી સરળ બનાવો.

Question 3. જ્યારે (i) Pg, Y-અક્ષને સમાંતર હોય (ii) Pg, X-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે બિંદુઓ P \( (x_1, y_1) \) અને \( (x_2, y_2) \) વચ્ચેનું અંતર શોધો.
Answer: ધારો કે, બે બિંદુઓ P \( (x_1, y_1) \) અને Q \( (x_2, y_2) \) છે. આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર PQ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: \( PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \quad (1) \) (i) જ્યારે રેખા PQ, Y-અક્ષને સમાંતર હોય: આ કિસ્સામાં, બિંદુઓ P અને Q ના X-યામ સમાન હશે. એટલે કે, \( x_1 = x_2 \). આ પરિણામને સમીકરણ (1)માં મૂકતા, આપણને મળે છે: \( PQ = \sqrt{(x_1-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \) \( PQ = \sqrt{0 + (y_2-y_1)^2} \) \( PQ = \sqrt{(y_2-y_1)^2} \)
\( \implies PQ = |y_2 - y_1| \) એટલે કે, અંતર એ Y-યામના તફાવતના નિરપેક્ષ મૂલ્ય બરાબર હશે. (ii) જ્યારે રેખા PQ, X-અક્ષને સમાંતર હોય: આ કિસ્સામાં, બિંદુઓ P અને Q ના Y-યામ સમાન હશે. એટલે કે, \( y_1 = y_2 \). આ પરિણામને સમીકરણ (1)માં મૂકતા, આપણને મળે છે: \( PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_1-y_1)^2} \) \( PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + 0} \) \( PQ = \sqrt{(x_2-x_1)^2} \)
\( \implies PQ = |x_2 - x_1| \) એટલે કે, અંતર એ X-યામના તફાવતના નિરપેક્ષ મૂલ્ય બરાબર હશે.
In simple words: બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે, આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જો રેખા Y-અક્ષને સમાંતર હોય, તો X-યામ સરખા હોય અને અંતર ફક્ત Y-યામના તફાવતનું માપ હોય છે. જો રેખા X-અક્ષને સમાંતર હોય, તો Y-યામ સરખા હોય અને અંતર ફક્ત X-યામના તફાવતનું માપ હોય છે.

Exam Tip: જ્યારે રેખા X-અક્ષ અથવા Y-અક્ષને સમાંતર હોય, ત્યારે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાને બદલે, ફક્ત સંબંધિત યામના તફાવતનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઈને ઝડપથી ગણતરી કરી શકાય છે.

Question 4. \( (7, 6) \) અને \( (3, 4) \) થી સમાન અંતરે હોય એવું X-અક્ષ પરનું બિંદુ શોધો.
Answer: ધારો કે, બે બિંદુઓ A \( (7, 6) \) અને B \( (3, 4) \) છે. આપણે X-અક્ષ પર એક બિંદુ P \( (x, 0) \) શોધવાનું છે જે A અને B થી સમાન અંતરે હોય. તેથી, \( PA = PB \). અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને: \( PA^2 = PB^2 \) \( (x-7)^2 + (0-6)^2 = (x-3)^2 + (0-4)^2 \) \( (x-7)^2 + (-6)^2 = (x-3)^2 + (-4)^2 \) \( x^2 - 14x + 49 + 36 = x^2 - 6x + 9 + 16 \) \( x^2 - 14x + 85 = x^2 - 6x + 25 \) બંને બાજુથી \( x^2 \) ને દૂર કરતા: \( -14x + 85 = -6x + 25 \) X-પદને એક બાજુ અને અચળ પદને બીજી બાજુ લાવો: \( 85 - 25 = -6x + 14x \) \( 60 = 8x \) \( x = \frac{60}{8} \)
\( \implies x = \frac{15}{2} \) તેથી, માગેલ બિંદુ \( (\frac{15}{2}, 0) \) છે.
In simple words: આપણે X-અક્ષ પર એક એવું બિંદુ શોધી રહ્યા છીએ જે બે આપેલા બિંદુઓથી સરખા અંતરે હોય. અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બંને બિંદુઓથી અંતરને સરખાવીએ છીએ અને x-યામ માટે ઉકેલ શોધીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે X-અક્ષ પરના બિંદુની વાત આવે, ત્યારે તેનો Y-યામ હંમેશા 0 હોય છે. Y-અક્ષ પરના બિંદુ માટે, તેનો X-યામ હંમેશા 0 હોય છે. આ સરળ નિયમ યાદ રાખવાથી ગણતરીમાં ભૂલ થતી નથી.

Question 5. P \( (0, -4) \) અને B \( (8, 0) \) ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુ અને ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ શોધો.
Answer: ધારો કે, P \( (0, -4) \) અને B \( (8, 0) \) ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ M \( (x, y) \) છે. મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને: \( x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{0+8}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) \( y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{-4+0}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \) તેથી, મધ્યબિંદુ M \( (4, -2) \) થશે. હવે, આપણે ઊગમબિંદુ O \( (0, 0) \) અને M \( (4, -2) \) માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ શોધવાનો છે. રેખાનો ઢાળ \( = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) અહીં, \( (x_1, y_1) = (0, 0) \) અને \( (x_2, y_2) = (4, -2) \). ઢાળ \( = \frac{-2 - 0}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \) આમ, માગેલ રેખાનો ઢાળ \( -\frac{1}{2} \) છે.
In simple words: પહેલા, P અને B ના મધ્યબિંદુને શોધો. પછી, આ મધ્યબિંદુ અને ઊગમબિંદુ વચ્ચેનો ઢાળ શોધો. ઢાળ શોધવા માટે, આપણે Y-યામના તફાવતને X-યામના તફાવત વડે ભાગીએ છીએ.

Exam Tip: મધ્યબિંદુ અને ઢાળ સૂત્રોને યાદ રાખો. ઊગમબિંદુ હંમેશા \( (0, 0) \) હોય છે. ગણતરીમાં યામને યોગ્ય રીતે મુકવાની કાળજી રાખો.

Question 6. પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યા વગર બતાવો કે \( (4, 4), (3, 5) \) અને \( (-1, -1) \) કાટકોણ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
Answer: ધારો કે, A \( (4, 4) \), B \( (3, 5) \) અને C \( (-1, -1) \) એ AABCનાં શિરોબિંદુઓ છે. પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યા વગર, આપણે રેખાઓના ઢાળનો ઉપયોગ કરીને ચકાસી શકીએ છીએ કે કોઈ બે રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે કે નહીં. જો બે રેખાઓ લંબ હોય, તો તેમના ઢાળનો ગુણાકાર \( -1 \) થાય છે. પ્રથમ, રેખાખંડ ABનો ઢાળ શોધો: \( m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 4}{3 - 4} = \frac{1}{-1} = -1 \) બીજું, રેખાખંડ BCનો ઢાળ શોધો: \( m_{BC} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 5}{-1 - 3} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2} \) ત્રીજું, રેખાખંડ ACનો ઢાળ શોધો: \( m_{AC} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 4}{-1 - 4} = \frac{-5}{-5} = 1 \) હવે, ઢાળનો ગુણાકાર ચકાસો: \( m_{AB} \times m_{AC} = (-1) \times (1) = -1 \) કારણ કે \( m_{AB} \times m_{AC} = -1 \), તેનો અર્થ એ થાય કે રેખાખંડ AB એ રેખાખંડ AC ને લંબ છે. તેથી, \( \angle BAC \) કાટખૂણો છે. આમ, AABC એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
In simple words: કાટકોણ ત્રિકોણ બતાવવા માટે, આપણે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કર્યા વગર, રેખાઓના ઢાળનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. જો કોઈ બે રેખાઓનો ઢાળ ગુણાકાર \( -1 \) આપે, તો તે રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોય છે, અને તે કાટકોણ બનાવે છે. અહીં, AB અને ACના ઢાળનો ગુણાકાર \( -1 \) થાય છે, જે દર્શાવે છે કે તેઓ કાટખૂણો બનાવે છે.

Exam Tip: કાટકોણ ત્રિકોણ સાબિત કરવાની બે મુખ્ય રીતો છે: પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ ચકાસવી, અથવા ઢાળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લંબ રેખાઓ શોધવી. જ્યારે પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ ન કરવાનું કહેવામાં આવે, ત્યારે ઢાળની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો.

Question 7. એક રેખા Y-અક્ષની ધન દિશા સાથે ઘડિયાળના કાંટાથી વિરુદ્ધ દિશામાં 30નો ખૂણો બનાવે, તો તે રેખાનો ઢાળ શોધો.
Answer: અહીં, આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે, રેખા Y-અક્ષની ધન દિશા સાથે ઘડિયાળના કાંટાથી વિરુદ્ધ દિશામાં 30નો ખૂણો બનાવે છે.

Answer: જો રેખા Y-અક્ષની ધન દિશા સાથે ઘડિયાળના કાંટાથી વિરુદ્ધ દિશામાં 30નો ખૂણો બનાવે, તો X-અક્ષની ધન દિશા સાથેનો ખૂણો \( \theta \) નીચે પ્રમાણે શોધી શકાય: Y-અક્ષ અને X-અક્ષ એકબીજાને લંબ હોય છે, તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો 90° હોય છે. X-અક્ષની ધન દિશાથી Y-અક્ષની ધન દિશા સુધીનો ખૂણો 90° છે. આપેલ રેખા Y-અક્ષની ધન દિશા સાથે 30° નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી, આ રેખા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે \( \theta = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ \) નો ખૂણો બનાવશે. અથવા, જો રેખા Y-અક્ષ સાથે 30° નો ખૂણો બનાવે, તો તે X-અક્ષ સાથે 90° - 30° = 60° નો ખૂણો બનાવે છે. પરંતુ Y-અક્ષની ધન દિશા સાથે ઘડિયાળના કાંટાથી વિરુદ્ધ દિશામાં 30° નો ખૂણો હોવાથી, તે X-અક્ષની ધન દિશાથી \( (90^\circ + 30^\circ) = 120^\circ \) ના ખૂણા પર હશે. રેખાનો ઢાળ \( = \tan \theta \) \( = \tan 120^\circ \) આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha \). તેથી, \( \tan 120^\circ = \tan (180^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ \) આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \). આમ, \( \tan 120^\circ = -\sqrt{3} \). આપેલી રેખાનો ઢાળ \( -\sqrt{3} \) છે.
In simple words: જ્યારે રેખા Y-અક્ષ સાથે ખૂણો બનાવે છે, ત્યારે આપણે X-અક્ષ સાથેનો સાચો ખૂણો શોધીએ છીએ. X-અક્ષ અને Y-અક્ષ વચ્ચે 90 ડિગ્રીનો ખૂણો હોય છે. Y-અક્ષ સાથેના 30 ડિગ્રીના ખૂણાનો અર્થ થાય છે કે X-અક્ષ સાથેનો કુલ ખૂણો \( 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ \) છે. પછી, આપણે ઢાળ શોધવા માટે \( \tan(120^\circ) \) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

Exam Tip: ખૂણાઓને X-અક્ષની ધન દિશાથી ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં માપવાની ટેવ પાડો. \( \tan \) ફંક્શનના જુદા જુદા ચતુર્થાંશમાંના મૂલ્યો અને \( \tan(180^\circ - \alpha) \) જેવા સૂત્રો યાદ રાખો.

Question 8. જો બિંદુઓ \( (x, -1), (2, 1) \) અને \( (4, 5) \) સમરેખ હોય, તો \( x \) ની કિંમત શોધો.
Answer: ધારો કે, A \( (x, -1) \), B \( (2, 1) \) અને C \( (4, 5) \) સમરેખ બિંદુઓ છે. જો ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ હોય, તો તેમની વચ્ચેના કોઈપણ બે રેખાખંડનો ઢાળ સમાન હશે. તેથી, રેખાખંડ ABનો ઢાળ = રેખાખંડ BCનો ઢાળ. રેખાખંડ ABનો ઢાળ \( m_{AB} = \frac{1 - (-1)}{2 - x} = \frac{1+1}{2-x} = \frac{2}{2-x} \) રેખાખંડ BCનો ઢાળ \( m_{BC} = \frac{5 - 1}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \) ઢાળને સરખાવતા: \( \frac{2}{2-x} = 2 \) \( 2 = 2(2-x) \) \( 1 = 2-x \) \( x = 2-1 \)
\( \implies x = 1 \) આમ, \( x \) ની કિંમત 1 છે.
In simple words: જો ત્રણ બિંદુઓ એક જ રેખા પર હોય, તો તેમને જોડતા કોઈપણ બે ભાગનો ઢાળ સરખો હશે. આપણે પ્રથમ બે બિંદુઓનો ઢાળ અને પછી બીજા બે બિંદુઓનો ઢાળ શોધીએ છીએ. આ બંને ઢાળને સરખાવીને આપણે ખૂટતી \( x \) કિંમત શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: સમરેખતાની શરત યાદ રાખો: ત્રણ કે તેથી વધુ બિંદુઓ સમરેખ હોય તો તેમને જોડતા કોઈપણ બે રેખાખંડનો ઢાળ સમાન હોય છે. આ ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને ખૂટતી કિંમતો સરળતાથી શોધી શકાય છે.

Question 9. અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યા વગર બતાવો કે \( (-2, -1), (4, 0), (3, 3) \) અને \( (-3, 2) \) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
Answer: ધારો કે, A \( (-2, -1) \), B \( (4, 0) \), C \( (3, 3) \) અને D \( (-3, 2) \) ચતુષ્કોણનાં શિરોબિંદુઓ છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં, સામસામેની બાજુઓ સમાંતર હોય છે. જો બે રેખાઓ સમાંતર હોય, તો તેમના ઢાળ સમાન હોય છે. આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યા વિના ઢાળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ સાબિત કરી શકીએ છીએ. રેખાખંડ ABનો ઢાળ શોધો: \( m_{AB} = \frac{0 - (-1)}{4 - (-2)} = \frac{0+1}{4+2} = \frac{1}{6} \) રેખાખંડ BCનો ઢાળ શોધો: \( m_{BC} = \frac{3 - 0}{3 - 4} = \frac{3}{-1} = -3 \) રેખાખંડ CDનો ઢાળ શોધો: \( m_{CD} = \frac{2 - 3}{-3 - 3} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} \) રેખાખંડ ADનો ઢાળ શોધો: \( m_{AD} = \frac{2 - (-1)}{-3 - (-2)} = \frac{2+1}{-3+2} = \frac{3}{-1} = -3 \) અહીં, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે: \( m_{AB} = m_{CD} = \frac{1}{6} \)
\( \implies \) AB || CD (AB, CD ને સમાંતર છે). \( m_{BC} = m_{AD} = -3 \)
\( \implies \) BC || AD (BC, AD ને સમાંતર છે). કારણ કે ચતુષ્કોણ ABCD માં સામસામેની બાજુઓની જોડી સમાંતર છે, તેથી ABCD એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
In simple words: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બતાવવા માટે, આપણે ફક્ત તેના સામસામેની બાજુઓના ઢાળ સરખા છે કે નહીં તે ચકાસીએ છીએ. જો સામસામેની બાજુઓના ઢાળ સરખા હોય, તો તે બાજુઓ સમાંતર હોય છે. અહીં, AB અને CD ના ઢાળ સરખા છે, અને BC અને AD ના ઢાળ સરખા છે, તેથી આ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

Exam Tip: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો યાદ રાખો, ખાસ કરીને કે સામસામેની બાજુઓ સમાંતર હોય છે. ઢાળનો ખ્યાલ એ સાબિત કરવા માટે એક શક્તિશાળી સાધન છે કે રેખાઓ સમાંતર અથવા લંબ છે.

Question 10. \( (3, -1) \) અને \( (4, -2) \) ને જોડતી રેખા અને X-અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાનું માપ શોધો.
Answer: ધારો કે, A \( (3, -1) \) અને B \( (4, -2) \) આપેલા બિંદુઓ છે. પ્રથમ, રેખા ABનો ઢાળ શોધો: \( m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - (-1)}{4 - 3} = \frac{-2 + 1}{1} = \frac{-1}{1} = -1 \) ઢાળ \( m = \tan \theta \), જ્યાં \( \theta \) એ રેખા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. તેથી, \( \tan \theta = -1 \). આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan 45^\circ = 1 \). કારણ કે ઢાળ નકારાત્મક છે, ખૂણો બીજા ચતુર્થાંશમાં હશે. આપણે જાણીએ છીએ કે \( \tan (180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha \). તેથી, \( \tan \theta = \tan (180^\circ - 45^\circ) = \tan 135^\circ \). આમ, \( \theta = 135^\circ \). રેખા AB અને X-અક્ષ વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 135° છે.
In simple words: પહેલાં આપેલ બે બિંદુઓનો ઢાળ શોધો. ઢાળ એ X-અક્ષ સાથે બનેલા ખૂણાના \( \tan \) મૂલ્ય જેટલો હોય છે. જો ઢાળ નકારાત્મક હોય, તો ખૂણો 90 ડિગ્રીથી મોટો હશે. આપણે \( \tan \) ના મૂલ્ય પરથી ખૂણો શોધીએ છીએ.

Exam Tip: ઢાળ \( m \) અને ખૂણા \( \theta \) વચ્ચેનો સંબંધ \( m = \tan \theta \) યાદ રાખો. \( \tan \) ફંક્શનના મૂલ્યો અને જુદા જુદા ચતુર્થાંશમાં તેના સંકેતો વિશે સ્પષ્ટ રહો, ખાસ કરીને ઋણ ઢાળ માટે.

Question 11. જો બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાનું માપ \( \alpha \) હોય અને \( \tan \alpha = \frac{1}{3} \) હોય અને બે રેખાઓ પૈકીની એક રેખાનો ઢાળ બીજી રેખાના ઢાળ કરતાં બે ગણો હોય તો તે બે રેખાઓના ઢાળ શોધો.
Answer: ધારો કે, બે રેખાઓના ઢાળ \( m_1 \) અને \( m_2 \) છે. આપેલ છે કે એક રેખાનો ઢાળ બીજી રેખાના ઢાળ કરતાં બે ગણો છે. તેથી, આપણે ધારી શકીએ કે \( m_2 = 2m_1 \). હવે, બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા \( \alpha \) માટેનું સૂત્ર છે: \( \tan \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| \) આપેલ છે કે \( \tan \alpha = \frac{1}{3} \). અને આપણે \( m_2 = 2m_1 \) લઈએ છીએ. તેથી, \( \frac{1}{3} = \left| \frac{m_1 - 2m_1}{1 + m_1 (2m_1)} \right| \) \( \frac{1}{3} = \left| \frac{-m_1}{1 + 2m_1^2} \right| \) કારણ કે \( 1 + 2m_1^2 \) હંમેશા ધન હોય છે, આપણે નિરપેક્ષ મૂલ્યને દૂર કરી શકીએ છીએ અને બંને કિસ્સાઓનો વિચાર કરી શકીએ છીએ: કેસ 1: \( \frac{1}{3} = \frac{-m_1}{1 + 2m_1^2} \) \( 1 + 2m_1^2 = -3m_1 \) \( 2m_1^2 + 3m_1 + 1 = 0 \) આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલતા: \( (2m_1 + 1)(m_1 + 1) = 0 \) તેથી, \( 2m_1 + 1 = 0 \implies m_1 = -\frac{1}{2} \) અથવા \( m_1 + 1 = 0 \implies m_1 = -1 \) કેસ 2: \( \frac{1}{3} = - \left( \frac{-m_1}{1 + 2m_1^2} \right) = \frac{m_1}{1 + 2m_1^2} \) \( 1 + 2m_1^2 = 3m_1 \) \( 2m_1^2 - 3m_1 + 1 = 0 \) આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલતા: \( (2m_1 - 1)(m_1 - 1) = 0 \) તેથી, \( 2m_1 - 1 = 0 \implies m_1 = \frac{1}{2} \) અથવા \( m_1 - 1 = 0 \implies m_1 = 1 \) હવે આપણે \( m_1 \) ની દરેક કિંમત માટે \( m_2 \) શોધીએ: 1. જો \( m_1 = -\frac{1}{2} \), તો \( m_2 = 2(-\frac{1}{2}) = -1 \). ઢાળની જોડી છે \( (-\frac{1}{2}, -1) \). 2. જો \( m_1 = -1 \), તો \( m_2 = 2(-1) = -2 \). ઢાળની જોડી છે \( (-1, -2) \). 3. જો \( m_1 = \frac{1}{2} \), તો \( m_2 = 2(\frac{1}{2}) = 1 \). ઢાળની જોડી છે \( (\frac{1}{2}, 1) \). 4. જો \( m_1 = 1 \), તો \( m_2 = 2(1) = 2 \). ઢાળની જોડી છે \( (1, 2) \). આમ, બે રેખાઓના શક્ય ઢાળની જોડીઓ છે: \( (1, 2) \), \( (\frac{1}{2}, 1) \), \( (-1, -2) \) અને \( (-\frac{1}{2}, -1) \).
In simple words: આપણને બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો અને એક રેખાનો ઢાળ બીજી રેખાના ઢાળ કરતાં બમણો છે તેવી માહિતી આપી છે. આપણે ઢાળ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને તેને આપેલ \( \tan \alpha \) કિંમત સાથે સરખાવીએ છીએ. પછી \( m_1 \) માટે દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ અને તેમાંથી \( m_1 \) અને \( m_2 \) ના શક્ય મૂલ્યો શોધીએ છીએ.

Exam Tip: બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતી વખતે નિરપેક્ષ મૂલ્ય \( |\cdot| \) ને ધ્યાનમાં રાખવાનું ભૂલશો નહીં, કારણ કે તે ધન અને ઋણ બંને કિસ્સાઓ તરફ દોરી શકે છે. દ્વિઘાત સમીકરણોને ધ્યાનપૂર્વક ઉકેલો.

Question 12. એક રેખા \( (x_1, y_1) \) અને \( (h, k) \) માંથી પસાર થાય છે. જો આ રેખાનો ઢાળ \( m \) હોય, તો સાબિત કરો કે \( k - y_1 = m (h - x_1) \).
Answer: ધારો કે, A \( (x_1, y_1) \) અને B \( (h, k) \) માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ \( m \) છે. બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના ઢાળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) અહીં, \( (x_1, y_1) \) એ પ્રથમ બિંદુ અને \( (h, k) \) એ બીજું બિંદુ \( (x_2, y_2) \) છે. તેથી, ઢાળ \( m = \frac{k - y_1}{h - x_1} \). હવે, આપણે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ: \( m (h - x_1) = k - y_1 \) અથવા \( k - y_1 = m (h - x_1) \) આમ, માગેલું પરિણામ સાબિત થાય છે.
In simple words: જો એક રેખા બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી હોય અને તેનો ઢાળ \( m \) હોય, તો આપણે ઢાળના મૂળભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પછી, સૂત્રના પદોને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ જેથી આપેલ સમીકરણ મળે.

Exam Tip: બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાના ઢાળનું સૂત્ર યાદ રાખો અને તેને યોગ્ય રીતે લાગુ કરો. સાબિત કરવાના પ્રશ્નોમાં, આપેલ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને સૂત્રને ફરીથી ગોઠવવું ઘણીવાર જરૂરી બને છે.

Question 13. જો ત્રણ બિંદુઓ \( (h, 0), (a, b) \) અને \( (0, k) \) એક રેખા પર આપેલા હોય, તો સાબિત કરો કે \( \frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1 \).
Answer: ધારો કે, A \( (h, 0) \), B \( (a, b) \) અને C \( (0, k) \) એક રેખા પર આવેલા છે. જો ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ હોય, તો તેમને જોડતા કોઈપણ બે રેખાખંડનો ઢાળ સમાન હશે. તેથી, રેખાખંડ ABનો ઢાળ = રેખાખંડ BCનો ઢાળ. રેખાખંડ ABનો ઢાળ: \( m_{AB} = \frac{b - 0}{a - h} = \frac{b}{a - h} \) રેખાખંડ BCનો ઢાળ: \( m_{BC} = \frac{k - b}{0 - a} = \frac{k - b}{-a} \) હવે, ઢાળને સરખાવતા: \( \frac{b}{a - h} = \frac{k - b}{-a} \) ક્રોસ-ગુણાકાર કરતા: \( -a \cdot b = (k - b) (a - h) \) \( -ab = ka - kh - ba + bh \) \( -ab = ka - kh - ab + bh \) બંને બાજુથી \( -ab \) ને દૂર કરતા: \( 0 = ka - kh + bh \) પદોને ફરીથી ગોઠવતા: \( kh = ka + bh \) હવે, સમીકરણના દરેક પદને \( kh \) વડે ભાગતા: \( \frac{kh}{kh} = \frac{ka}{kh} + \frac{bh}{kh} \) \( 1 = \frac{a}{h} + \frac{b}{k} \) આમ, માગેલું પરિણામ સાબિત થાય છે.
In simple words: જો ત્રણ બિંદુઓ એક જ રેખા પર હોય, તો તેમના ઢાળ સરખા હોય છે. આપણે પ્રથમ બે બિંદુઓનો ઢાળ અને પછી બીજા બે બિંદુઓનો ઢાળ શોધીએ છીએ. આ ઢાળને સરખાવીને, આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ જેથી \( \frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1 \) સાબિત થાય.

Exam Tip: ત્રણ સમરેખ બિંદુઓ માટે ઢાળની સમાનતાનો ગુણધર્મ યાદ રાખો. બીજગણિતની ગણતરીઓ કરતી વખતે ખાસ ધ્યાન રાખો, ખાસ કરીને ક્રોસ-ગુણાકાર અને પદ વિભાજનમાં.

Question 14. વસ્તી અને સંગત વર્ષનો એક આલેખ નીચે આપેલ છે. રેખા ABનો ઢાળ શોધો અને તેનો ઉપયોગ કરી વર્ષ 2010માં વસ્તી કેટલી હશે તે શોધો.
Answer: અહીં, આલેખમાં રેખા AB પરના બે બિંદુઓ આપેલા છે: A \( (1985, 92) \) અને B \( (1995, 97) \). વર્ષ X-અક્ષ પર છે અને વસ્તી (કરોડમાં) Y-અક્ષ પર છે. પ્રથમ, રેખા ABનો ઢાળ શોધો: \( m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{97 - 92}{1995 - 1985} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \) રેખાનો ઢાળ \( \frac{1}{2} \) છે. હવે, આપણે આ ઢાળનો ઉપયોગ કરીને વર્ષ 2010માં વસ્તી કેટલી હશે તે શોધીએ. ધારો કે, વર્ષ 2010માં વસ્તી \( x \) કરોડ હશે. આમ, બિંદુ C \( (2010, x) \) રેખા AB પર આવેલું છે. કારણ કે A, B, C સમરેખ બિંદુઓ છે, રેખા ABનો ઢાળ અને રેખા BCનો ઢાળ સમાન હશે. રેખા BCનો ઢાળ \( m_{BC} = \frac{x - 97}{2010 - 1995} = \frac{x - 97}{15} \) હવે, બંને ઢાળને સરખાવતા: \( \frac{1}{2} = \frac{x - 97}{15} \) ક્રોસ-ગુણાકાર કરતા: \( 1 \times 15 = 2 \times (x - 97) \) \( 15 = 2x - 194 \) \( 15 + 194 = 2x \) \( 209 = 2x \) \( x = \frac{209}{2} \) \( x = 104.5 \) આમ, વર્ષ 2010માં વસ્તી 104.5 કરોડ હશે.
In simple words: પહેલાં, આપેલા બે વર્ષ અને વસ્તીના ડેટાનો ઉપયોગ કરીને રેખાનો ઢાળ શોધો. પછી, વર્ષ 2010 અને અજાણી વસ્તી \( x \) નો ઉપયોગ કરીને બીજો ઢાળ શોધો. આ બંને ઢાળને સરખાવીને, આપણે 2010ની વસ્તી શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: આલેખ પરથી ડેટા પોઈન્ટ્સને કાળજીપૂર્વક વાંચો. ભૂલથી ખોટા યામ લેવાથી આખો જવાબ ખોટો પડી શકે છે. ઢાળનો ઉપયોગ કરીને ભવિષ્યના ડેટાનું અનુમાન કરવાની આ એક વ્યવહારુ રીત છે.